Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o Kú thi chän häc sinh giái tØnh
Thõa Thiªn HuÕ Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh CÇM TAY
§Ò thi chÝnh thøc Khèi 12 THPT - N¨m häc 2010-2011
Th i gian làm bài: 150 phút
Ngày thi: 11/11/2010 - thi g m 5 trang
i m toàn bài thi (H Các giám kh , tên và ch ký) o (Do Ch S phách t ch H i
đ ng thi ghi) GK1
B ng s B ng ch
GK2
Qui đ nh: H c sinh trình bày v n t t cách gi i, công th c áp d ng, k t qu tính toán vào
ô tr ng li n k bài toán Các k t qu tính g n đúng, n u không có ch đ nh c th , đ c
ng m đ nh chính xác t i 5 ch s ph n th p phân sau d u ph y
Bài 1 (5 đi m) Tính g n đúng nghi m (đ , phút, giây) c a ph ng trình:
cos 4x+cos 3x+23cos x-79 cos x+23cosx+20=0
Bài 2.(5 đi m)
a) Ch ng t r ng elip
2 2
25 9
E + = là h p c a hai đ th c a hai hàm s y= f x1( )
và y= f2( )x Xác đ nh hai hàm s đó
b) Tính g n đúng t a đ giao đi m c a c a đ ng tròn (C) tâm I(5; 3), bán kính
2
R = v i elip ( ) : 2 2 1
25 9
Trang 2Bài 3 (5 đi m) Cho hai parabol: ( ) 2
P y=x - x+ và ( ) 2
-Tìm kho ng cách ng n nh t t đ nh A c a ( )P1 đ n m t đi m b t k c a ( )P2
Bài 4 (5 đi m) Cho dãy s { }u n v i:
2! 3! 4! 5! 6!
n
u = + - - + + - (n s h ng)
Tìm n0 đ v i m i n³n0 thì u n có ph n nguyên và chín ch s th p phân ngay sau d u
ph y là không đ i Tính giá tr u2010 Vi t quy trình gi i
Trang 3Bài 5 (5 đi m) Cho dãy s { }u n v i:
3
Tính giá tr c a u7;u u8; 9;u15;u20;u2010 K t qu l y đ 10 ch s Nêu quy trình b m phím liên t c đ tính u n > n( 7)
Bài 6 (5 đi m)
Theo k t qu đi u tra dân s , dân s trung bình n c Vi t Nam qua m t s m c th i gian ( n v : 1.000 ng i):
S dân 49160 53722 66016,7 77635 88434,6 a) Tính t l % t ng dân s trung bình m i n m trong các giai đo n 1976-1980,
1980-1990, 1990-2000, 2000-2010 K t qu chính xác t i 4 ch s ph n th p phân sau
d u ph y Gi s t l % t ng dân s trung bình m i n m không đ i trong m i giai
đo n
b) N u c duy trì t l t ng dân s nh giai đo n 2000-2010 thì đ n n m 2015 và
2020 dân s c a Vi t Nam là bao nhiêu ?
c) kìm hãm đà t ng dân s , ng i ta đ ra ph ng án: K t n m 2010, m i n m
ph n đ u gi m b t x% (x không đ i) so v i t l % t ng dân s n m tr c (ngh a là
n u n m nay t l t ng dân s là a% thì n m sau là (a − x)%) Tính x đ s dân n m
2015 là 92,744 tri u ng i K t qu chính xác t i 4 ch s ph n th p phân sau d u
ph y Nêu s l c quy trình b m phím trên máy tính đ gi i
Trang 4Tóm t t cách gi i: K t qu :
Bài 7 (5 đi m) Cho bi u th c
=ç + ÷ ç+ + ÷ +ç + ÷ + ××× +ç + ÷
Tìm h s chính xác c a s h ng không ch a x trong khai tri n và rút g n bi u th c P(x)
Bài 8 (5 đi m)
M t máy bay đang bay v i v n t c v=256km h/ theo ph ng n m ngang Tính xem máy bay đang đ cao nào, bi t r ng khi đang v trí O1 thì phi công nhìn th y m t
v t c đ nh A d i m t đ t theo góc 0
1 25 38 ' 28"
a = so v i ph ng th ng đ ng và sau đó
15 giây, máy bay đ n v trí O2 phi công l i nhìn th y v t c đ nh A theo góc
0
2 14 55 '53"
a = so v i ph ng th ng đ ng ?
Trang 5Bài 9 (5 đi m) Cho hình chóp S.ABCD v i ABCD là hình thang vuông t i A và D;
AD=AB= a CD= =a dm; m t bên SAD vuông góc v i m t đáy và là tam giác cân
t i S; góc gi a m t bên SBC v i m t đáy là 0
72
a) Tính g n đúng th tích hình chóp S.ABCD
b) Tính g n đúng góc gi a 2 m t ph ng ch a hai m t bên SAD và SBC
Bài 10 (5 đi m) Trong m t ph ng t a đ Oxy cho t giác ABCD ngo i ti p đ ng tròn tâm I bi t: A( 4; 1),- B( 1;- -3), D(1; 4) và c nh CD đi qua đi m E(3; 0)
a) Tính g n đúng t a đ tâm I c a đ ng tròn n i ti p t giác ABCD
b) Tính di n tích t giác ABCD
-H T -
www.MATHVN.com
Trang 6Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o Kú thi chän häc sinh giái tØnh
Thõa Thiªn HuÕ Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh CÇM TAY
Khèi 12 THPT - N¨m häc 2010-2011
www.MATHVN.com
áp án và bi u đi m
Bài Cách gi i TP i m
i m toàn bài
1
cos 4x+cos 3x+23cos x-79 cos x+23cosx+20=0 (1)
4 2 cos
3 cos 3x=4 cos x-3cosx
s
(1)Û8co x+27 cos x-87 cos x+20 cosx+21 0=
t t=cosx (- £ £1 t 1), ph ng trình (1) t ng đ ng:
8t +27t -87t +20t+21 0 ( 1= - £ £ t 1)
8
V y nghi m c a ph ng trình (1) là:
1 112 01' 28" 360 ; 2 39 43' 21 360
5
2
-Do đó elip (E) là h p c a hai đ th c a hai hàm s :
y= f x = -x y= f x = - -x
x- + y- =
V trong m t ph ng t a đ , ta th y "M x y( ; )Î( ) :C x>0;y>0
H ph ng trình cho t a đ giao đi m c a đ ng tròn và elip:
2
3
5 3
5
í
-ïî
( ALPHA X − 5 ) x2
+ ( 0.6 ( 25 − ALPHA X x2
)
5
Trang 7− 3 ) x2
− 4 ALPHA = 0 SHIFT SOLVE Nh p giá tr đ u là 3
n phím = cho k t qu x »1 3,10868
SHIFT SOLVE Nh p giá tr đ u là 4.5 n phím = cho k t qu
Dùng ch c n ng CALC đ tính các giá tr tung đ giao đi m:
V y: ng tròn và elip c t nhau t i hai đi m :
(3,10868; 2,34968 ,) (4, 7006; 1, 02253)
3
4)
Kho ng cách t đ nh A c a ( )P1 đ n đi m M là:
d = x- + - +x x- y= - +x x
f x = x- + - x+ - +x x
f x = x - x + x -Dùng ch c n ng gi i ph ng trình b c 3 đ gi i
th c x »0 1,857961603
Hàm s f(x) có m t c c ti u duy nh t và c ng là giá tr nh nh t c a hàm
s t i x »0 1,857961603
Thay vào d = f x( ) ta có: dmin =3,13967 www.MATHVN.com
5
4
ALPHA A ALPHA = ALPHA A + 1 ALPHA : ALPHA B
ALPHA = ALPHA B + ( 2 ALPHA A − 1 ) ab/c
ALPHA A SHIFT x! ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA A + 1
1 ) ab/c ALPHA A SHIFT x! ALPHA : ALPHA A ALPHA =
ALPHA A + 1
1 ) ab/c ALPHA A SHIFT x! ALPHA : ALPHA A ALPHA =
ALPHA A + 1
5
Trang 81 ) ab/c ALPHA A SHIFT x! ALPHA : ALPHA A ALPHA =
ALPHA A + 1 B m = liên ti p ta đ c n =0 13
V i m i n³n0 =13 thì u » n 1, 462377902không đ i
5
Ta có th tính tr c ti p u u3; 4; ;u : 7
tính u ta b7 m máy:
( 2 + 3 SHIFT x ( 3 + 4 SHIFT x ( 4 + 5 SHIFT
x
( 5 + 6 SHIFT x
( 6 + 7 SHIFT x
( 7 ) ) ) ) )
= Cho k t qu : u »7 1, 91163911
Tính u : B8 m máy theo quy trình:
8 SHIFT x
( 8 9 SHIFT STO A
ALPHA = ALPHA ( D − 1 ) x
( D − 1 + ALPHA = ALPHA A ) B m = liên t c cho đ n khi D = 3 b m ti p = Cho k t
qu là: u »8 1,911639214
Tính u : B9 m máy theo quy trình:
9 SHIFT x ( 9 10 SHIFT STO A
ALPHA = ALPHA ( D − 1 ) x
( D − 1 + ALPHA = ALPHA A ) B m = liên t c cho đ n khi D = 3 b m ti p = Cho k t
qu là: u »9 1, 911639216
T ng t ta có: u15 =u20 »1, 911639216 Suy ra: u2010 »1,911639216
5
6
a)
T l % t ng
b)N u duy trì t l t ng dân s nh giai đo n 2000-2010 thì:
88434, 6 1 1, 3109 /100+ »94, 385
tri u ng i
88434, 6 1 1, 3109 /100+ »100, 736
tri u ng i
là:
88434, 6 1, 013109 -x 1, 013109 2 - x 1, 013109 3 - x 1, 013109 4 - x 1, 013109 5 - x
Ta có ph ng trình:
5
Trang 9( )( ) ( )
88434, 6 1, 013109 -x 1, 013109 2 - x 1, 013109 5 - x = 92744
1.013109 SHIFT STO A
) ( ALPHA A − 5 ALPHA X ) − 92744 = 0
SHIFT SOLVE Hi n th giá tr c a A, n phím = Nh p giá tr đ u
c a A là 0.01 = Cho k t qu : x% »0,1182%
www.MATHVN.com
7
1
k k k n k k k k n
x
H s c a s h ng không ch a x trong khai tri n nh th c Niu-t n c a
1
2
n x
x
2 2
k k k n n
2
n
k- = Û =n n kÛ =k (n ch n)
Do đó: H s c a s h ng không ch a x trong khai tri n và rút g n c a
P(x) là:
2C +2 C +2 C + + 2 C Quy trình b m máy nh sau:
0 SHIFT STO A 0 SHIFT STO D
ALPHA D ALPHA = ALPHA D + 2 ALPHA : ALPHA A
ALPHA = ALPHA A + ALPHA D SHIFT nCr ( ALPHA D
÷ 2 ) B m = liên ti p cho đ n khi D = 20 b m ti p = cho k t
qu : 1 2 2 3 3 20 10
2C +2 C +2 C + + 2 C =217886108
www.MATHVN.com
5
8
O AO =a a- O O A= +a
cos
-Suy ra:
1 2
sin
O O
a a
-5
Trang 109
90
BHC =
Suy ra:
2
SH là đ ng cao c a hình chóp S.ABCD, suy ra SK ^BC, do đó:
72
SKH = =a Suy ra:
SH =HK a = a a
S.ABCD là:
1 1 1
2 4 4 2
3 ABCD 3 2
Hai tia BC và AD c t nhau t i E
Khi đó SE là giao tuy n c a hai
T D k DI vuông góc v i SE t i I Ta có: DC^DA gt( ) và
DC^SH SH ^mp ABCD , nên DC^mp SAD( )ÞDC^SE Do
đó SE^mp CDI( )ÞCI ^SE V y: b =CID· là góc gi a hai m t
t g =SDH· Ta có:
2 tan
a
a
+
ED
s s
2
SD
2
a
SE= a a+æç + aö÷ = a a+
2
s
SDE
a
2
2
3
3
SDE SDE
D
´
Trong tam giác vuông CDI, ta có:
5
Trang 112
tan
a DI
a b
a
+
+
V y góc gi a hai m t ph ng (SAD) và (SBC) là:
2
4sin
a b
a
10
G i I là tâm đ ng tròn n i ti p t giác ABCD
Ta có: H s góc c a AI là:
a= - æ æ - æ ö+ - æ öö- - æ öö
1 1
1 4 3
tan tan tan 0,1958872249
2 3 5
-
-æ æ æ ö æ ööö
= - ç ç ç ÷- ç ÷÷÷»
-è ø è ø
è ø
H s góc c a DI là:
è
' 3.43405783
Ph ng trình phân giác góc BAD là:
AI y =ax+ a+
Ph ng trình phân giác góc ADC là:
DI y =a x+ -a
Hoành đ giao đi m I c a hai phân giác là nghi m c a ph ng trình:
'
a a
a a
và l u k t qu vào bi n nh C
Suy ra tung đ c a I là: y »0, 2353111201 l u k t qu vào bi n D
Ph ng trình đ ng th ng AB: 4x+3y+13=0
Bán kính đ ng tròn n i ti p t giác ABCD là:
5
Ph ng trình đ ng th ng BC: y=kx+ - Ûk 3 kx- + - =y k 3 0
Ta có:
2
3
1
I I
kx y k
k
+
0, 4023380264
k »
Ph ng trình đ ng th ng BC: y= -2x+6
Hoành đ giao đi m c a C là nghi m c a ph ng trình:
5
Trang 129 6
2
k
Suy ra tung đ c a C: y » -1,157745396 l u vào bi n Y
Di n tích c a t giác ABCD là:
1
28, 6838 2
www.MATHVN.com