Ma trận A: A= Như vậy, bằng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng ta đưa ma trận A đã cho về ma trận bậc thang rút gọn.. Như vậy, với các phép biến đổi sơ cấp trên dòng ta lại đưa được ma t
Trang 1= C
Ví dụ: đưa các ma trận sau về dạng bậc thang rút gọn
Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng
Ma trận A:
A=
Như vậy, bằng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng ta đưa ma trận A đã cho về ma trận bậc thang rút gọn
Ma trận B:
B=
Đưa các phần tử ở cột 2 phía dưới dòng 2 thành 0, và không làm thay đổi dòng 1 Dòng 3: dòng 3 trừ dòng 2
Dòng 4: dòng 4 trừ 2 lần dòng 2
Đổi chỗ dòng 3 và dòng 4 cho nhau Ta tìm được ma trận bậc thang
Dòng 2: dòng 2 trừ 2 lần dòng 1
Dòng 3: dòng 3 trừ dòng 1
Dòng 3: nhân dòng 3 cho trừ 1
Đổi chỗ dòng 3 cho dòng 2
Dòng 2: dòng 2 cộng dòng 3
Dòng 1: dòng 1 nhân 1
2
Dòng 2: dòng 2 nhân 1
3
Trang 2Như vậy, với các phép biến đổi sơ cấp trên dòng ta lại đưa được ma trận B về dạng bậc thang rút gọn
Sử dụng kỹ thuật trên để đưa ma trận về dạng bậc thang rút gọn gọi là phương pháp Gauss – Jordan
7 HẠNG CỦA MA TRẬN ( R )
Chúng ta không cần biết định nghĩa hạng của ma trận là gì Chúng ta chỉ quan tâm tại sao lại cần phải biết hạng của ma trận, dùng nó vào việc gì? Và làm sao để tìm được hạng của
ma trận
- Hạng của ma trận dùng để áp dụng khi giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính
- Sau khi dùng biến đổi ma trận về dạng bậc thang, thì số dòng khác không của ma trận bậc thang chính là hạng của ma trận bậc thang đó và là hạng của ma trận ban đầu đã cho
Ký hiệu của hạng ma trận là R(A) hay RA
Ví dụ ma trận:
A=
B =
Dòng 1: dòng 1 trừ 2 lần dòng 3
Dòng 2: dòng 2 trừ 2
3 dòng 3
Dòng 1: dòng 1 trừ 3
2 dòng 2
Số dòng khác không của ma trận là 3
Vậy R(A) = 3
Số dòng khác không của ma trận là 3
Vậy R(B) = 3
Trang 3
8 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
8.1 Định nghĩa ma trận nghịch đảo
Như đã trình bày ở mục 2 về dạng tổng quát của ma trận đơn vị ( In ) Chúng ta có định nghĩa như sau về ma trận đơn vị: ma trận vuông I cấp n được gọi là ma trận đơn vị nếu A.I = I.A = A với mọi ma trận vuông A cấp n
Định nghĩa về ma trận nghịch đảo: Một ma trận vuông B cấp n gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A cấp n, nếu A.B = B.A = I Khi đó ta nói ma trận A khả đảo Ký hiệu của ma trận nghịch đảo là A-1
Nếu thay B = A-1 thì công thức trên được viết lại
A A-1 = A-1.A = I
Chú ý: Không phải ma trận nào cũng khả đảo
Nếu tốn tại ma trận nghịch đảo thì nó là duy nhất
Tinh ý một chút các bạn có thể thấy rằng muốn xét ma trận đó có ma trận nghịch đảo hay không thì trước tiên chính ma trận đó phải là ma trận vuông, nếu không vuông thì không xét làm gì, vì không tồn tại ma trận nghịch đảo
Tại sao chúng ta phải nghiên cứu ma trận nghịch đảo? Ma trận nghịch đảo có mấy cách tính cơ bản nhất? Vâng, điều này sẽ được trình bày trong tập tài liệu này Và các bạn chú ý rằng, đây là tập tài liệu thực dụng dùng để luyện “gà” nên có rất nhiều vấn đề ở các nội dung chúng ta không cần quan tâm, muốn tìm hiểu sâu thì các bạn có thể mua sách về tự đọc
8.2 Tìm ma trận nghịch đảo thông qua phép biến đổi sơ cấp
Cách tìm ma trận nghịch đảo thông qua phép biến đổi sơ cấp Cho một ma trận A, tìm ma trận nghịch đảo của nó, ta viết một ma trận đơn vị I liền kề bên phải ma trận A, ta được
ma trận mở rộng (A|I) Sau đó ta sử dụng các phép biến đổi sơ cấp biến đổi ma trận mở rộng (A|I) sao cho A trở thành I, lúc đó I sẽ trở thành A-1 Ta có cái nhìn tổng quát như sau
(A|I) (I|A-1)
Trong quá trình biến đổi nếu xuất hiện một dòng ( cột ) bằng 0 thì ma trận đã cho không khả đảo, không có ma trận nghịch đảo
Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau
A=
Cách giải:
- Viết ma trận mở rộng (A|I)
- Với I là ma trận đơn vị cấp 3 ( vì ma trận A là ma trận vuông cấp 3 )
Trang 4Ta có ma trận mở rộng như sau:
(A|I) =
Dòng 2: dòng 2 trừ 2 lần dòng 1
Dòng 3: dòng 3 trừ dòng 1
Dòng 3: dòng 3 nhân với -1 Sau đó đổi chỗ dòng 3 cho dòng 2
Dòng 2: dòng 2 cộng dòng 3
Dòng 1: dòng 1 trừ dòng 2
Như vậy ma trận mở rộng (A|I) trở thành (I|A-1
) Vậy ma trận nghịch đảo của ma trận A là:
A-1 =
Như vậy thông qua 09 trang giấy trình bày phần ma trận, ắt hẳn các bạn đã nắm bắt được những điều căn bản nhất và thực dụng nhất để chuẩn bị cho các chủ đề kế tiếp
Để hiểu rõ hơn các bạn sẽ được làm những bài tập để nhuần nhuyễn các kiến thức này Nhưng trước khi làm bài tập, các bạn sẽ phải hiểu và chú ý các vấn đề sau Xin vui lòng xem tiếp trang kế
Trang 5MỘT SỐ ĐIỂM CẦN CHÚ Ý VỀ MA TRẬN
01 Ghi nhớ 03 phép biến đổi sơ cấp đối với hàng ( cột )
02 Khi nhân một số thực với một ma trận thì phải nhân số thực đó với toàn bộ các phần tử nằm trong ma trận Do vậy, khi muốn lấy thừa số chung ra ngoài ma trận thì phải lấy thừa số chung cho tất cả các phần tử
03 Mọi ma trận đều có thể đưa về dạng bậc thang rút gọn nhờ các phép biến đổi sơ cấp với hàng ( cột ): dùng phép biến đổi đưa các phần tử chính thành 1 ( xem lại phần tử chính là gì? ), sau đó làm cho các phần tử ở cùng cột với phần tử chính ( và ở trên phần
tử chính ) bằng 0 Quá trình trên đi từ phần tử chính cuối cùng
04 Khi nhân 2 ma trận với nhau A.B thì số cột của ma trận A phải bằng số dòng của ma trận B
A m.n xB n p
Chú ý đến thứ tự trước sau của 2 ma trận, nếu ma trận A nhân ma trận B tồn tại thì chưa chắc là ma trận B nhân ma trận A tồn tại
Ví dụ ma trận A3.2 nhân ma trận B2.4 là tồn tại tức A.B tồn tại Nhưng nếu lấy ma trận
B nhân ma trận A thì không tồn tại tức B.A không tồn tại vì số cột của B là 4 và số dòng của A là 3
05 Để xét một ma trận nghịch đảo hay không thì điều kiện ban đầu là ma trận đã cho phải
là ma trận vuông cấp n
06 Để tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A bằng phép biến đổi sơ cấp thông qua ma trận
mở rộng thì A phải là ma trận vuông cấp n và nó phải tương đương hàng với ma trận đơn vị cùng cấp ( tương đương hàng có nghĩa là ma trận A có thể biến thành ma trận I nhờ các phép biến đổi sơ cấp ) Trong quá trình biến đổi nếu xuất hiện một dòng ( cột ) bằng 0 thì ma trận đã cho không khả đảo, không có ma trận nghịch đảo
Tuy nhiên, việc dùng cách này để tìm ma trận nghịch đảo sẽ không thực dụng trong chương trình luyện thi cao học Sẽ có cách tìm khác khi chúng ta xem xét đến phần định thức
07 Hạng của ma trận là số dòng khác không của nó sau khi biến đổi về dạng bâc thang ( các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận ban đầu, cho nên hạng của ma trận bậc thang sau khi biến đổi bằng hạng của ma trận ban đầu đã cho )
08 Khi thực hiện tính toán các bạn phải chú ý và tập trung thật tốt vì nếu sai chỉ một lỗi nhỏ các bạn có thể làm sai hoàn toàn bài toán Tính toán và biến đổi ma trận không khó, nhưng nếu sai 1 ly đi 1 dặm
09 Khi làm bài, các bạn nên viết bài giải lên giấy nháp từng bước cụ thể Vì khi nếu thấy sai thì có thể nhìn ra ngay chỗ sai để chỉnh sửa Chúng tôi khuyên không nên viết tắt
bỏ bước
Trang 6PHẦN A: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH CHỦ ĐỀ 2: ĐỊNH THỨC
1 ĐỊNH NGHĨA
Cho ma trận vuông A = (aij) cấp n, định thức của A ký hiệu |A| hay Det(A) được tính như sau:
Det(A) = a11A11 + a12A12 + … + a1nA1n
Với Aik = (-1) i + k det(Mik) và Mik là ma trận vuông cấp (n-1) cho bởi ma trận A bỏ đi dòng thứ i và cột thứ k Aik là phần bù đại số của aik
Tổng quát về cách tính định thức của ma trận vuông cấp 1, cấp 2, cấp 3
Cấp 1 ( n = 1 ):
|A| = | 11| = 11 Cấp 2 ( n = 2 ):
|A| = | 11 12
21 22| = 11 22 12 21 Cấp 3 ( n = 3 ):
|A| =
= 11 22 33 + 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 23 32 12 21 33
Chú ý rằng: dấu | | trong định thức không phải là trị tuyệt đối
Việc tính định thức từ cấp 3 trở lên các bạn có thể bị rối mắt, cho nên cách khắc phục tốt nhất là các bạn ghi ra nháp liền kề ma trận A thêm 2 cột thứ 1 và cột thứ 2
Hãy xem hình sau:
Các bạn hãy lấy tích của các phần tử nằm trên mỗi đường chéo màu xanh ( các đường chéo từ trái qua ) cộng lại rồi đem TRỪ tích của các phần tử nằm trên mỗi đường chéo màu đỏ ( các đường chéo từ phải qua ) Như vậy, sẽ dễ dàng để nhìn ra công thức:
|A| = 11 22 33 + 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 23 32 12 21 33
Các bạn hãy xem các ví dụ sau:
Trang 7Ví dụ: tính định thức của các ma trận sau:
A= , B = , và tìm giá trị x trong |C| = |
| = 6
Dễ dàng tính được:
* |A| = |
| = 44.67 – (-31).92 = 5800
* |B| = -3, cách làm viết thêm 2 cột thứ 1 và thứ 2 liền kề ma trận B, sau đó dòng quy tắc tính của đường chéo để tính, ta được:
|B| = 1.1.0 + 2.(-1).1 + 3.2.0 – 3.1.1 – (-1).2.1 – 0.0.2 = -3
* |C| = 6, tìm x Cách làm cũng viết thêm 2 cột thứ 1 và thứ 2 liền kề ma trận C, sau đó dùng quy tắc đường chéo để tính, ta được:
|C| = 6 = 11 -5x, với phương trình 11 – 5x = 6 thì suy ra x = 1
2 CÁCH TÍNH ĐỊNH THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG PHẦN BÙ ĐẠI SỐ
Ta có Aik = (-1) i + k det(Mik) và Mik là ma trận vuông cấp (n-1) cho bởi ma trận A bỏ đi dòng thứ i và cột thứ k Aik là phần bù đại số của aik
Xem xét định thức:
|A| =
= 11 22 33 + 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 23 32 12 21 33
= 11 22 33 11 23 32 + 12 23 31- 12 21 33 + 13 21 32 13 22 31
= 11 22 33 – 23 32) + 12 23 31- 21 33) + 13 21 32 22 31
= 11| 22 23
32 33| 12| 21 23
31 33| 13| 21 22
Như vậy, định thức A cấp 3 được biểu diễn theo định thức cấp 2 Trong đó:
| 22 23
32 33| = M11 là định thức con bù của 11 , | 21 23
31 33| = M12 là định thức con bù của
12 , | 21 22| = M13 là định thức con bù của 13