của ma trận mở rộng I tức là A|B về ma trận bậc thang và sau đó giải hệ phương trình tương ứng của ma trận bậc thang đó từ dưới lên.. Giả sử biến đổi ma trận mở rộng A|B về dạng ma trận
Trang 1{
Phương trình A.X = B <=> =
2 PHƯƠNG PHÁP GAUSS - GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Phương pháp Gauss là phương pháp dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng ( các bạn xem lại các phép biến đổi sơ cấp trên dòng là gì? ) của ma trận mở rộng (I) tức là (A|B) về
ma trận bậc thang và sau đó giải hệ phương trình tương ứng của ma trận bậc thang đó từ dưới lên
Như đã trình bày ở phần 1 ma trận, ứng dụng của hạng ma trận là để giải hệ phương trình tuyến tính Giả sử biến đổi ma trận mở rộng (A|B) về dạng ma trận bậc thang mở rộng (A’|B’) thì:
o Hạng của A bằng hạng của A’
o Hạng của B bằng hạng của B’
(A’|B’) ( các bạn xem lại tính chất hạng của ma trận không đổi khi dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng )
Như vậy việc xem xét hạng của ma trận A và hạng của ma trận mở rộng (A|B) rất dễ dàng thông qua việc xét hạng của ma trận A’ và hạng của ma trận bậc thang mở rộng (A’|B’)
Sau khi biến đổi và tìm hạng của ma trận A’ ( tương ứng với hạng của ma trận A ) và ma trận (A’|B’) ( tương ứng với hạng của ma trận (A|B) ), thì số nghiệm của phương trình A.X = B như sau:
Chú ý rằng nếu chúng ta nên dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng, bởi vì nếu chúng ta biến đổi trên cột sẽ dẫn đến thứ tự các biến số (x,y,z) thay đổi theo Mục đích trong tài liệu này chúng ta lúc nào cũng dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng chứ không thực hiện biến
Trang 2đổi trên cột là như thế Các bạn thử chiêm nghiệm lại xem việc biến đổi sơ cấp trên cột có phải là như thế không? Sẽ làm thay đổi trật tự của biến dẫn đến khó khăn khi biện luận phương trình!
Các bạn đã nắm được cách giải, bây giờ chúng ta lấy ví dụ để các bạn có thể hiểu rõ hơn
về cách giải
Ví dụ 1: cho hệ phương trình sau:
{
Tìm x,y,z
Ta có ma trận mở rộng (A|B) =
Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận (A|B) về dạng bậc thang
Bước 1:
Bước 2:
Như vậy, thông qua 2 bước biến đổi sơ cấp như trên, ta được ma trận bậc thang mở rộng (A’|B’) như sau:
(A’|B’) =
Hạng của ma trận (A’|B’) cũng là hạng của ma trận (A|B), hạng của ma trận A cũng là hạng của ma trận A’
nghiệm duy nhất
Ta giải hệ phương trình A’.X = B’ để tìm nghiệm
Hệ A’.X = B’ có dạng như sau:
{
Ví dụ 2: cho hệ phương trình sau:
Trang 3{
Tìm x,y,z
Ta có ma trận mở rộng (A|B):
(A|B) =
Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ma trận mở rộng (A|B) về dạng bậc thang
số 1 nếu nó là một số khác ( đặc biệt quan trọng )
Vậy ta làm như sau: ( ở đây chúng tôi chỉ ghi các bước làm, các bạn phải tự mình thực hành viết ra giấy nháp để thấy rõ hơn, các bạn hãy làm thay chúng tôi, Please !!!)
Bước 1:
Bước 2:
Bước 3:
Sau khi thực hiện các phép biến đổi như trên, chúng ta thu được một ma trận bậc thang mở rộng như sau:
Ví dụ 3: cho hệ phương trình sau:
{
Tìm x,y,z
Ta có ma trận mở rộng (A|B)
Trang 4(A|B) =
Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đối với ma trận mở rộng (A|B) để đưa về dạng
ma trận bậc thang mở rộng (A’|B’)
Bước 1:
Bước 2:
Ta được ma trận bậc thang mở rộng sau:
(A’|B’) =
( Chú ý, những bước thực hiện biến đổi ma trận như trên phải thực hiện bằng bảng, tức là phải ghi rõ ràng ra sự biến đổi đó bằng các thay đổi của ma trận, trong bài làm các bạn phải viết ra, chúng tôi chỉ hướng dẫn các bạn các phép biến đổi, do vậy các bạn phải ghi
ra giấy đàng hoàng )
đã cho có vô số nghiệm
Ta có hệ sau khi biến đổi:
{
Như vậy với mỗi một giá trị của z thì ta có một bộ nghiệm của hệ ( điều đó nói lên rằng hệ có vô số nghiệm )
3 PHƯƠNG PHÁP CRAMER – GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHI ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN A KHÁC KHÔNG
Cho hệ phương trình tuyến tính (I): A.X = B có n ẩn số Hệ (I) gọi là hệ cramer khi và chỉ khi A là ma trận vuông và |A| # 0 Và lúc này hệ (I) có 1 nghiệm duy nhất
Nghiệm duy nhất đó được xác định như sau:
Trang 5
|A1| là định thức của ma trận A bỏ đi cột 1 thay vào ngay vị trí đó là cột của ma trận B
( các bạn xem cột của ma trận B là gì? Ma trận B có mấy cột ? các bạn nghiên cứu xem thay vào đó tức là như thế nào ? )
Ví dụ: Giải hệ phương trình sau:
{
Định thức của ma trận A:
|A| = |
| = 2
|A1| = |
| = 2
|A2| = |
| = 0
|A3|= |
| = 4 Như vậy, bằng cách như trên ta tìm được nghiệm duy nhất của hệ phương trình đã cho:
4 GIẢI VÀ BIỆN LUẬN NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Giải và biện luận nghiệm của hệ phương trình tuyến tính dựa vào tham số và hàng của
ma trận Với những trình bày ở phía trên, chúng ta có thể giải và tìm nghiệm của hệ phương trình, điều đó là quá dễ Tuy nhiên, mức độ khó hơn của việc giải hệ phương trình
Trang 6đó là chúng ta phải biện luận theo tham số nào đó ( tham số này chỉ là 1 ký tự ví dụ như đề
bài cho tham số có thể là m, có thể là a…điều đó là tùy )
Các bước làm như sau: ( ví dụ tham số đề bài cho là m )
Bước 1: Viết ma trận mở rộng (A|B)
Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng ( cột ) để đưa ma trận về dạng ma trận
bậc thang (A’|B’)
Bước 3: Dựa vào tham số m biện luận hạng của ma trận (A|B) với ma trận A Kết luận các giá trị của tham số m như thế nào để hạng của ma trận như thế nào?
Bước 4: Tìm nghiệm theo yêu cầu, hoặc biện luận theo các trường hợp:
+ Giá trị tham số của m là bao nhiêu thì hệ có 1 nghiệm ( 1 nghiệm thì có nghĩa là với giá
+ Giá trị của tham số m là bao nhiêu thì hệ có vô số nghiệm ( vô nghiệm có nghĩa là với
+ Giá trị của tham số m là bao nhiêu thì hệ vô nghiệm ( vô nghiệm có nghĩa là với giá trị
Để các bạn dễ hiểu hơn, ta lấy một số ví dụ như sau:
Ví dụ: giải và biện luận nghiệm của hệ phương trình sau theo tham số m
{
Ta có ma trận mở rộng:
] Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ma trận mở rộng (A|B) về dạng ma trận
bậc thang mở rộng (A’|B’)
Bước 1: thay đổi vị trí của dòng 1 cho dòng 3
chúng ta phải đưa nó về số 1 ở mọi bài toán để dễ dàng tính các bước kế tiếp )
Bước 2:
Trang 7Dòng 3: dòng 3 trừ đi m lần dòng 1
Bước 3:
Dòng 3: dòng 3 cộng dòng 2
Các trình tự biến đổi như sau:
(A|B) =[
] [
] [
] [
] Chú ý: nhắc lại một số công thức toán học cơ bản a2– b2 = (a - b)(a + b): 1 – m2 +(1 – m) = 12– m2 + (1 – m) = (1 – m)(1 + m) + (1 – m) = (1 – m)( 1 + m + 1) = (1 – m)(2 + m) a3 – b3= (a – b)(a2+ a.b + b2): (13 – m3) + (m –m2) = (1 – m)(1 + m + m2) + (1 – m ).m = (1 – m)( 1 + m + m2 + m) = (1 – m)( 1 + 2m + m2) = (1 – m)(1 + m)2 ( a + b )2 = a2 + 2.a.b + b2 Như vậy ta được ma trận A’ và ma trận bậc thang mở rộng (A’|B) Cho tất cả các phần tử nằm trên đường chéo chính khác không Ta có: { <=> {
Với m # 1 và m # -2 thì R(A|B) = RA = 3 = số ẩn ( ta có 3 ẩn x,y,z ) Vậy hệ đã cho có 1 nghiệm duy nhất, ta có hệ tương đương.{
Như vậy, nghiệm duy nhất: x = - ; y = ; z =
Cho tất cả các phần tử nằm trên đường chéo chính khác không Ta có:
Với m = -2, ma trận mở rông có dạng: