Nếu sau khi bị can nhiễu hệ thống không thể đạt tới trạng thái cân bằng ổn định, mà truyền động theo chu kỳ ổn định thì gọi là hệ thống nằm trên biên giới ổn định Xét tính ổn định củ
Trang 1 Nếu sau khi bị can nhiễu hệ thống không thể đạt tới trạng thái cân bằng ổn định, mà truyền động theo chu kỳ ổn định thì gọi là hệ thống nằm trên biên giới ổn định
Xét tính ổn định của nó thì ta phải đánh giá chuyển động của nó sau khi vất nhiễu ( chuyển động tự do )
Giã sử phương trình vi phân của hệ thống có dạng:
( a Pn n+ + a P1 + ao) Y = ( b Pm m+ + b P1 + bo) X (1) Trong đó ao an , bo bm là các hệ số , P là toán tử (vi phân hoặc Laplapce) Sự thay đổi đại lượng điều chỉnh Y(t) khi có tác động của X(t) được biểu thị bằng nghiệm của phương trình (1) và nghiệm này có dạng:
Y(t) = Yo(t) + Ytd(t) Trong đó: Yo(t) - là thành phần cưỡng bức được quyết định bởi vế phải của pt (1) nó chính là nghệm riêng của phương trình vi phân không thuần nhất (1)
Ytd(t) - là thành phần chuyển động tự do (hay quá độ) và đây chính là nghệm tổng quát của phương trình thuần nhất không vế phải
( a Pn n+ + a P a Y1 + o) = 0 (2) Phương trình (2) là phương trình chuyển động tự do của hệ thống trên Giãi ra
ta tìm được Y (t) = ? và từ đó ta đánh giá được Sự ổn định của hệ thống
Ta thường tìm được nghiệm của phương trình trên dưới dạng hàm mũ Y(t) = C1eP1t + + Cn ePnt
Trong đó P1 Pn - là nghiệm của phương trình đặc tính
an Pn + a1P + ao = 0
* Khảo sát một số dạng nghiệm của phương trình đặc tính
6.1.1.Các nghiệm của phương trình đặc tính đều là số thực & không bằng nhau
a/ Nếu các nghiệm thực này là âm ( tất cả )
K
n
P k t
1
0 ⇒ Hệ thống ổn định
b/ Nếu 1 hoặc nhiều nghiệm dương
K
n
P k t
1
⇒ Hệ thống không ổn định
ϕ
t o
Trang 26.1.2 Phương trình đặc tính có 1 cặp là số phức còn lại là số thực âm
K K
⎧
⎨
α α
1
mà
Y t ( ) = ∑ C eK. PKt = C eK PKt + CK+1eP K+ + =t e t( C eK. iut + CK+1 e−iut)
= eαt. .sin( D ut + θ )
Trong đó :
arctg C C
K K
⎝
⎠
⎟
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
+
+
2 1 2
1
θ
a/ α > 0 t → ∞ ⇒ lim ( )
→∞ = ∞ không ổn định b/ α < 0 t → ∞ ⇒ lim ( )
t Y t
→∞ = 0 ổn định 6.1.3 Phương trình đặc tính có 1 cặp nghiệm là số ảo còn lại là thực âm
P iu
K K
=
= −
⎧
⎨
⎩ +1
Đây là giao động điều hòa ⇒ hệ thống nằm trên biên giới ổn định 6.1.4 Có một nghiệm bằng không còn lại là nghiệm thực âm
PK = 0 ⇒ khi t → ∞ lim ( )
t Y t CK
⇒ hệ thống ổn định 6.1.4 Có một số nghiệm trùng nhau còn lại là nhiệm thực âm
Giả sử có nghiệm trùng nhau ⇒
Y t ( ) = ( C + C t + C t + CK tK− ) eP t + CK eP t
+
1
Nếu P1 < 0 ⇒ khi t → ∞ ⇒ Y(t) → 0 ⇒ hệ thống ổn định Nếu P1 ≥ 0 ⇒ khi t → ∞ ⇒ Y(t) → ∞ ⇒ hệ thống không ổn định Kết luận : - Tất cả các nghiệm
nằm trên trục ảo Jm thì hệ thống nằm trên biên giới ổn định -Trục ảo chia ranh giới ổn định của hệ thống
- Phía trái là vùng ổn định
- Phía phải là vùng không ổn định
Vậy : Điều kiện cần và đủ để một hệ thống tự động tuyến tính ổn định là phần thực của tất cả các nghiệm của phương trình đặc tính đều phải là âm ( nghĩa là các nghiệm của phương trình đặc tính phải nằm bên trái của mặt phẳng phức )
Re
jm
o
Trang 3 Các định lý của Λuanynob
1/ Nếu hệ thống tuyến tính hóa ổn định thì hệ thống phi tuyến góc cũng ổn định
2/ Nếu hệ thống tuyến tính hóa không ổn định thì hệ thống phi tuyến góc cũng không ổn định
3/ Nếu hệ thống tuyến tính hóa nằm trên biên giới ổn định để xác định tính ổn định của hệ thống phi tuyến góc cần phải tiến hành những thí nghiệm bổ sung dựa vào phương trình phi tuyến góc của hệ thống
Dựa vào những kinh nghiệm thực tế của qúa trình nghiên cứu người ta đưa ra được những tiêu chuẩn ổn định để xét tính ổn định mà không cần giải phương trình đặc tính
6.2: Tiêu chuẩn ổn định đại số Hurwitz (Đức)
Giả sử có hệ thống mà tính chất động của nó được mô tả bằng phương trình vi phân tuyến tính có phương trình đặc tính dạng
a Pn n + an− Pn− + a P + ao =
1 1
Ta lập định thức Dn=1 từ các hệ số a1 an-1 , an
- Trên đường chéo chính là các hệ số được lập như bên
- Còn các cột còn lại phía trên đường chéo chính thì giảm dần còn phía dưới thì tăng dần
Định thức này gọi là định thức Hurwitz chính
- Nếu ta bỏ đi một hàng cuối và cột cuối thì ta được định thức con Dn-2 & và tiếp tục ta có các định thức Dn-3 D2 và D1
2
− − D1 = an-1
Phát biểu tiêu chuẩn : Điều kiện cần và đủ để cho một hệ thống tự động tuyến tính ổn định là các hệ số trong phương trình đặc tính và các định thức đường chéo lập từ các hệ số trên phải dương
Tức là :
n
⎧
⎨
⎩
−
−
Ví dụ 1: Giả sử có hệ thống tự động mà phương trình đặc tính có dạng
P4 + 5P3 + 3P2 +2P + 0,003 = 0
Ta đã có a1 a4 > 0 Lập định thức chính
1 3
0 2 2 1
2
3 1
0 0
0
0
0 0
a a
a a a a
a a
a a
n
n n
n n
−
−
−
−
Trang 4= , = 30 - 0,75 - 4 > 0
D2
= = 15 -2 > 0 và D
1 = an-1 = 5 > 0
Hệ thống ổn định
Ví dụ 2 : Giả sử có hệ thống tự động mà phương trình đặc tính có dạng
P4 + 3P3 + 0,2P2 + P + 1 = 0
D3
= , = 0,6 - 0,9 -1 < 0 ; D
2 < 0 Hệ thống không ổn định
Tiêu chuẩn đại số Hurwitz cho phép xác định một cách nhanh chống tính ổn
định tuyệt đối của hệ thống khi biết trước phương trình đặc tính với hệ số thực Nếu như có ít nhất một hệ số của phương trình đặc tính là số phức hoặc phương trình không có dạng đại số mà là dạng hàm mũ hoặc hàm sin thì tiêu chuẩn Hurwitz dạng đơn giản không áp dụng trực tiếp được
Một giới hạn nữa của tiêu chuẩn Hurwitz là không đánh giá được đặc tính chất
lượng của hệ thống và không đề xuất được phương án cải tiến hoặc hiệu chỉnh hệ thống
6.3: Tiêu chuẩn ổn định Muxau Λob (Nga)
Vào năm 1938 khi nghiên cứu về nguyên lý góc quay MuxauΛob nhà bác học người Nga đã đưa ra tiêu chuẩn đánh giá ổn định hệ thống tự động dựa trên việc xét một đường cong gọi là đường cong MuxauΛob
Giã sử hệ thống tự động có phương trình đặc tính
an Pn + + a1 P + ao = 0 Thay P = iω ⇒
M (iω) = an(iω)n + + a1 (iω) + ao = 0
⇒ M (iω) = U (ω) + i V(ω) = R(ω).ei ψ ( ω )
Trang 5U(ω)
ω = 0
ω = 0,1
ω = 0,64
ω = 1,73 0
V(ω)
U(ω)
ω = 0 ω = 0,58 0
ω = 0,3
Trên mặt phẳng phức, M (iω) là một véc tơ và gọi là véc tơ MuxauΛob, khi ω
= 0 ÷ ∞ thì muiî véc tơ vẽ nên đường cong MuxauΛob trên mặt phẳng phức ( Véc tơ quay chiều ngược kim đồng hồ )
Phát biểu tiêu chuẩn : Điều kiện cần và đủ để cho một hệ thống tự động
Trong đó n là bậc phương trình đặc tính của hệ thống nếu đường cong
trên biên giới ổn định
Hệ thống ổn định HT nằm trên biên giới ổn định HT không ổn định
Chúng ta có thể thấy rằng đối với hệ thống ổn định thì tất cả các hệ số của
trôn ốc mở ra
Ví dụ 1: Hệ thống có phương trình đặc tính
P4 + 5P3 + 3P2 +2P + 0,003 = 0
⇒ M (iω) = (iω)4+5(iω)3+3(iω)2+ 2(iω)+0,003= 0
⇒ M (iω) = (ω4
- 3ω2 + 0,003) + i (-5 ω3 + 2ω)
⇒ U = ω4 - 3ω2 + 0,003 ; V(ω) = -5 ω3 + 2ω Dựng đường cong MuxauΛob
ω = 0 ⇒ U = 0,003 V = 0 ω = 0,64
ω = 0,1 ⇒ U = 0
⇒ Hệ thống ổn định
Ví dụ 2: P4 + 3P3 + 0,3P2 +P + 1 = 0
⇒ M (iω) = (ω4
- 0,2ω2 + 1) + i (- 3ω3 + ω)
⇒ U = ω4 - 0,2ω2 + 1 ; V(ω) = -3 ω3 + ω
⇒ Hệ thống không ổn định
V(ω)
n = 2 n = 1
n = 3 n = 4
n = 5
ω = 0
V(ω)
n = 3
n = 4
ω = 0
V(ω)
n = 6
n = 7
n = 4
ω = 0