Giáo trình DỰ BÁO THỦY VĂN BIỂN - Chương 3 pdf

NHỮNG CHỈ SỐ HOÀN LƯU KHÍ QUYỂN DÙNG TRONG DỰ BÁO THỦY VĂN BIỂN Các quá trình động lực và nhiệt trong biển bị quyết định trực tiếp hay gián tiếp bởi các đặc điểm hoàn lưu của khí quyển

CHƯƠNG 3 - TÍNH TỚI HOÀN LƯU KHÍ QUYỂN TRONG DỰ BÁO THỦY VĂN BIỂN

Các dự báo thủy văn biển dựa trên những phương pháp khoa học, trên những giả thiết vật lý, những định luật của vật lý biển và khí quyển Nguyên tắc quan trọng nhất là tính tới tương tác khí quyển và đại dương Bản chất của mối tương tác này là các điều kiện khí tượng có ảnh hưởng nhất định tới một số hiện tượng diễn ra trong biển, còn trạng thái của biển tác động lại các quá trình khí quyển Việc xác định mức độ ảnh hưởng của hoàn lưu khí quyển lên chế độ thủy văn biển là một bài toán rất phức tạp Các công trình nghiên cứu về vấn đề này có xu hướng rất khác nhau Tư tưởng chung trong đó là nghiên cứu độ biến động không gian và thời gian của các quá trình khí quyển và xác lập các quy luật biến đổi chế

độ biển tuỳ thuộc vào biến đổi hoàn cảnh khí áp, tình thế khí áp

V Iu Vize là người đầu tiên nghiên cứu vấn đề dự báo thủy văn có tính tới ảnh hưởng của hoàn lưu khí quyển Ông đã chỉ ra rằng đặc điểm trạng thái băng các biển bắc cực có thể xem là hậu quả của cường độ hoàn lưu chung của khí quyển Vize gọi phương pháp của mình là phương pháp khuôn mẫu khí áp Bằng cách xem xét và nghiên cứu các bản đồ áp suất khí quyển trung bình tháng đối với những nhóm năm có độ băng nhẹ và những năm có độ băng khắc nghiệt thấy rằng các bản đồ này có những đặc điểm rất khác nhau

3.1 NHỮNG CHỈ SỐ HOÀN LƯU KHÍ QUYỂN DÙNG TRONG DỰ BÁO THỦY VĂN BIỂN

Các quá trình động lực và nhiệt trong biển bị quyết định trực tiếp hay gián tiếp bởi các đặc điểm hoàn lưu của khí quyển trên một không gian rộng lớn

Việc thiết lập các mối liên hệ dự báo giữa các hiện tượng thủy văn trong biển

và các yếu tố quyết định chúng theo các quan trắc về gió ở một điểm thường không dẫn tới những kết quả tốt Những mối phụ thuộc này có khi có hệ số tương quan cao nhưng sẽ mang tính địa phương và không ổn định với thời gian Vì vậy, người

ta đã đề suất tính tới hoàn lưu khí quyển bằng những chỉ số khác nhau biểu thị đặc điểm và cường độ hoàn lưu khí quyển sao cho thâu tóm được ảnh hưởng của các quá trình khí quyển trên những miền rộng lớn bao quanh vùng dự báo

Trong khi xây dựng những mối phụ thuộc dự báo thì nhiệt độ không khí, tốc

độ gió, áp suất không khí ở một hay một số địa điểm, hiệu áp suất không khí ở hai địa điểm hay ở hai hướng vuông góc nhau có thể được dùng làm chỉ số hoàn lưu khí quyển Phương pháp tỏ ra hiệu quả nhất để tính tới ảnh hưởng định lượng của hoàn lưu khí quyển là sử dụng những chỉ số hoàn lưu khí quyển Trong thực hành

dự báo biển sử dụng rộng rãi nhất là những chỉ số do N A Belinxki, L A Vitels,

E N Blinova, A L Katx đề suất

Chỉ số hoàn lưu khí quyển Belinxki biểu thị cường độ của hoạt động xoáy thuận và xoáy nghịch trong khí quyển Vùng nghiên cứu được chia ra thành các ô hình chữ nhật với các cạnh 10° trên kinh tuyến và 5° trên vĩ tuyến Trong mỗi ô hình chữ nhật, từ bản đồ synop lấy giá trị áp suất có kể đến độ cong của các đường đẳng áp đi qua hình chữ nhật đó Độ cong của các đường đẳng áp được xác định như sau: đường đẳng áp có độ cong xoáy thuận nếu trong vùng do đường đẳng áp bao quanh quan sát thấy áp suất thấp, nếu như áp suất bên trong vùng do đường đẳng áp bao quanh lớn hơn áp suất ghi trên đường đẳng áp thì đường đẳng áp ấy có

độ cong xoáy nghịch

Để đặc trưng về mặt số trị áp suất khí quyển và độ cong các đường đẳng áp Belinxki đã đề ra một hệ thống các chỉ số quy ước (bảng 3.1) Nếu đường đẳng áp thuộc xoáy thuận chỉ số hoàn lưu sẽ mang dấu dương, nếu đường đẳng áp thuộc xoáy nghịch chỉ số hoàn lưu sẽ mang dấu âm

Bảng 3.1 Các chỉ số hoàn lưu khí quyển của N A Belinxki

Áp suất trong xoáy thuận

Áp suất trong xoáy nghịch

Bảng 3.2 Thang điểm chỉ số hoàn lưu đơn giản hoá của Belinxki

Những chỉ số này được tính bằng cách như sau: Hàng ngày trên các vùng đã chọn, từ bản đồ synop lấy các giá trị áp suất khí quyển theo độ lệch so với 1010

mb (có tính đến độ cong các đường đẳng áp) và sau đó tính trung bình trượt năm ngày Sau đó trên cơ sở các kết quả nhận được tìm các giá trị trung bình của chỉ số trong tháng cho các vùng riêng biệt, giá trị rổng cộng của một số vùng, giá trị tổng cộng của chỉ số trong năm Đây là một công việc rất nặng nhọc Vì vậy để nhận được các chuỗi quan trắc dài nhiều năm Belinxki đã đề xuất một phương pháp nữa,

đơn giản hơn, để xác định các chỉ số hoàn lưu khí quyển xuất phát từ thang điểm đánh giá các quá trình khí quyển cho những vùng cố định (thí dụ, Vitels đã định ra tất cả tám vùng bao quát phần bắc Đại Tây dương, châu Âu và lãnh thổ châu Âu của nước Nga) (bảng 3.2)

3.2 PHƯƠNG PHÁP BIỂU THỊ GIẢI TÍCH VỀ PHÂN BỐ CÁC YẾU TỐ KHÍ TƯỢNG THỦY VĂN Trong thực hành dự báo thủy văn biển cũng như trong dự báo khí tượng sử dụng rộng rãi cách biểu thị giải tích các trường thủy văn, khí tượng dưới dạng các hàm của tọa độ Phương pháp thường được sử dụng nhất là khai triển các trường thành chuỗi của các đa thức hoặc các hàm trực giao, thí dụ các đa thức trực giao của Chebưsev, các hàm trực giao tự nhiên của Bagrov Trong dự báo thủy văn biển

N A Belinxki và M I Glagoleva là những người đầu tiên sử dụng các phương pháp này

Khi khai triển theo các đa thức Chebưsev một đường cong hay một trường yếu

tố khí tượng thủy văn cần nghiên cứu được biểu diễn dưới dạng tổng của các đường cong hay trường đơn giản, mỗi đường cong hay trường đơn giản ấy đặc trưng cho những nét riêng biệt của phân bố thực

Khai triển hàm một biến thành chuỗi theo các đa thức trực giao Chebưsev có dạng

i i

A A

A A

x

f( )= 0ϕ0 + 1ϕ1+ 2ϕ2 + + ϕ , (3.1) trong đó A i− các hệ số khai triển, ϕi − các đa thức biểu diễn các hàm parabôn bậc

),

, n

,

2

,

1

(

i

i =

, 1

0 =

ϕ

2

1 1

+

−

= x n

12

1 2 2 1 2

−

−

=ϕ n

ϕ (3.2) Công thức để tính các đa thức bậc bất kỳ có dạng

, ) 1 4 ( 4

) (

1 2

2 2 2 1

+

−

−

−

k

k

k n k

ϕ ϕ

ϕ

ϕ (3.3)

trong đó n− số điểm tại đó cho giá trị của hàm, x− số hiệu của điểm nhận các trị

số 1, 2, 3, , n

Những giá trị của các đa thức Chebưsev với những trường hợp

được ghi trong bảng 3.3

13 , 12 , 11

=

n

Bảng 3.3 Các đa thức Chebưsev ứng với khác nhau n

11

=

x

1

ϕ ϕ 2 ϕ 3 ϕ 4 ϕ 5 ϕ 6 ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3 ϕ 4 ϕ 5 ϕ 6 ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3 ϕ 4 ϕ 5 ϕ 6

1 −5 15 −30 6 −3 15 −5,5 55 −33 33 −33 11 −6 22 −11 99 −22 22

2 −4 6 6 −6 6 −48 −4,5 25 3 −27 57 −31 −5 11 0 −66 33 −55

3 −3 −1 22 −6 1 29 −3,5 1 21 −33 21 11 −4 2 6 −96 18 8

4 −2 −6 23 −1 −4 36 −2,5 −17 25 −13 −29 25 −3 −5 8 −54 −11 43

5 −1 −9 14 4 −4 −12 −1,5 −29 19 12 −44 4 −2 −10 7 11 −26 22

6 0 −10 0 6 0 −10 −0,5 −35 7 28 −20 −20 −1 −13 4 64 −20 −20

7 1 −9 −14 4 4 −12 0,5 −35 −7 28 20 −20 0 −14 0 84 0 −40

8 2 −6 −23 −1 4 36 1,5 −29 −19 12 44 4 1 −13 −4 64 20 −20

9 3 −1 −22 −6 −1 29 2,5 −17 −25 −13 29 25 2 −10 −7 11 26 22

10 4 6 −6 −6 −6 −48 3,5 1 −21 −33 −21 11 3 −5 −8 −54 11 43

11 5 15 30 6 3 15 4,5 25 3 −27 −57 −31 4 2 −6 −96 −18 8

ϕ 2 110 858 4290 286 156 11220 572 12012 5148 8008 15912 4488 182 2002 572 68068 6188 14212

Bảng 3.4 Thí dụ khai triển đường cong theo các đa thức Chebưsev [12]

n t qt ϕ1 tϕ 1 ϕ2 tϕ 2 ϕ3 tϕ 3 ϕ4 tϕ 4 ϕ5 tϕ 5 ϕ6 tϕ 6

1 11,1 −6 −66,6 22 244,2 −11 −122,1 99 1098,9 −22 −244,2 22 244,2

2 11,1 −5 −55,5 11 122,1 0 0 −66 −732,6 33 366,3 −55 610,5

3 11,1 −4 −44,4 2 22,2 6 66,6 −96 −1065,6 18 199,8 8 88,8

4 11,1 −3 −33,3 −5 −55,5 8 88,8 −54 −599,4 −11 −122,1 43 477,3

5 10,6 −2 −21,2 −10 −106,0 7 74,2 11 116,6 −26 −275,6 22 233,2

6 9,1 −1 −9,1 −13 −118,3 4 36,4 64 582,4 −20 −182,0 −20 −182,0

7 8,1 0 0 −14 −113,4 0 0 84 680,4 0 0 −40 −324,0

8 7,5 1 7,5 −13 −97,5 −4 −30,0 64 480,0 20 150,0 −20 −150,0

9 7,1 2 14,2 −10 −71,0 −7 −49,7 11 78,1 26 184,6 22 156,2

10 6,9 3 20,7 −5 −34,5 −8 −55,2 −54 −372,6 11 75,9 43 296,7

11 6,9 4 27,6 2 13,8 −6 −41,4 −96 −662,4 −18 −124,2 8 55,2

12 6,9 5 34,5 11 75,9 0 0 −66 −455,4 −33 −227,7 −55 −379,5

13 6,9 6 41,4 22 151,8 11 75,9 99 683,1 22 151,8 22 151,8

004038 , 0 14212 4 , 57 , 007659 , 0 6188 4 , 47 ,

002475 , 0 68068 5 , 168

, 07604 , 0 572

5 , 43 A , 01688 , 0 2002

8 , 33 , 4626 , 0 182

2 , 84 , 80 , 8

6 5

4

3 2

1 0

=

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

=

=

=

−

=

−

=

=

A A

A

A A

A

Bảng 3.5 Khôi phục đường cong theo các hệ số khai triển chuỗi Chebưsev [12]

n A0 A1ϕ1 

= 1

i

Aϕ A2 ϕ 2 

= 2 0

i i i

Aϕ A3 ϕ 3 

= 3 0

i i i

Aϕ A4 ϕ 4 

= 4 0

i i i

Aϕ A5 ϕ 5 

= 5 0

i i i

Aϕ A6 ϕ 6 

= 6 0

i i i

Aϕ tt tqt

1 8,80 2,77 11,57 0,37 11,94 −0,84 11,10 −0,24 10,86 0,17 11,03 0,09 11,12 11,1 11,1

2 8,80 2,31 11,11 0,18 11,29 0,00 11,29 0,16 11,45 −0,25 11,20 −0,22 10,98 11,0 11,1

3 8,80 1,85 10,65 0,03 10,68 0,45 11,13 0,24 11,37 −0,14 11,23 0,03 11,26 11,3 11,1

4 8,80 1,39 10,19 −0,08 10,11 0,61 10,72 0,13 10,85 0,08 10,93 0,17 11,10 11,1 11,1

5 8,80 0,93 9,73 −0,17 9,56 0,53 10,09 −0,03 10,06 0,20 10,26 0,09 10,35 10,4 10,6

6 8,80 0,46 9,26 −0,22 9,04 0,30 9,34 −0,16 9,18 0,15 9,33 −0,08 9,25 9,2 9,1

7 8,80 0,00 8,80 −0,24 8,56 0,00 8,56 −0,21 8,35 0,00 8,35 −0,16 8,19 8,2 8,1

8 8,80 −0,46 8,34 −0,22 8,12 −0,30 7,82 −0,16 7,66 −0,15 7,51 −0,08 7,43 7,4 7,5

9 8,80 −0,93 7,87 −0,17 7,70 −0,53 7,17 −0,03 7,14 −0,20 6,94 0,09 7,03 7,0 7,1

10 8,80 −1,39 7,41 −0,08 7,33 −0,61 6,72 0,13 6,85 −0,08 6,77 0,17 6,94 6,9 6,9

11 8,80 −1,85 6,95 0,03 6,98 −0,45 6,53 0,24 6,77 0,14 6,91 0,03 6,94 6,9 6,9

12 8,80 −2,31 6,49 0,18 6,67 0,00 6,67 0,16 6,83 0,25 7,08 −0,22 6,86 6,9 6,9

13 8,80 −2,77 6,03 0,37 6,40 0,84 7,24 −0,24 7,00 −0,17 6,83 0,09 6,92 6,9 6,9

Những hệ số khai triển được xác định theo những giá trị cho trước của hàm và các đa thức

) (

) ( ) (

1 2

1





=

=

x i

n x

i i

x

x x f A

ϕ

ϕ

(3.4)

Số hạng thứ nhất của chuỗi (3.1) A0ϕ0 đặc trưng cho trị số trung bình số học của hàm f (x) tại điểm, số hạng thứ hai của chuỗi n (A1ϕ1)− thể hiện đường thẳng, các số hạng tiếp sau − các parabôn bậc (hình 3.1) Để khẳng định rằng những hệ

số khai triển tính được đã thể hiện đủ chính xác đường cong xuất phát hay chưa ta

có thể tiến hành khôi phục lại đường cong đó Muốn vậy cần tính giá trị của hàm tại từng điểm của biến

i

)

(x

Trong bảng 3.4 và 3.5 trình bày thí dụ khai triển và khôi phục đường cong phân bố thẳng đứng của nhiệt độ nước Trên hình 3.2 dẫn đường cong thực và đường cong khôi phục để so sánh (lấy từ [12])

qt

t

Muốn đạt được sự trùng hợp hoàn toàn giữa hàm giải tích và hàm thực cần phải lấy số số hạng của chuỗi bằng số điểm nút tại đó cho giá trị của hàm Kinh nghiệm cho thấy rằng để xấp xỉ đường cong với độ chính xác thoả mãn các mục đích thực tiễn có thể chỉ cần lấy số số hạng chuỗi nhỏ hơn Thí dụ, nếu đường cong được cho bởi các giá trị nhiệt độ nước tại 13 điểm nút thì chỉ cần lấy 6−8 đa thức đầu tiên đã cho độ chính xác thoả mãn mục đích thực tiễn Trên hình 3.2 thấy rằng đường cong 4 biểu thị tổng của sáu số hạng đầu tiên đã gần trùng với đường cong nhiệt độ thực 5

Để khai triển hàm hai biến sử dụng công thức sau

) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

, (x y A00 0 x 0 y A10 1 x 0 y A01 0 x 1 y

) ( ) (

) ( ) ( 1 1

+A ϕ xψ y A ijϕi xψ j y , (3.5) trong đó ϕi ,ψ j − các đa thức Chebưsev, A ij − các hệ số khai triển

Giá trị của các hệ số tính theo công thức tương tự như công thức (3.4)

)

, ,

2 2

1 1



= =

m

q n

n j m

i

k m

q n

n j m i n m ij

y x

y x

y x P A

ψ ϕ

ψ

ϕ

(3.6)

trong đó k− số điểm nút trên hướng trục x tại đó cho hàm, số điểm nút trên hướng trục

−

q y

Các giá trị của hàm P(x m,y n) được cho dưới dạng ma trận

( )

2 1

2 2

2 1

2

1 2

1 1

1

q k k

k

q q

n m

y x P y

x P y x P

y x P y

x P y x P

y x P y

x P y x P y

x P

,

, ,

.

,

, ,

,

, ,

2

4

6

8

10

12

n

2

4

6

8

10

12

n

Hình 3.1 Những đường cong đơn biểu thị các đa thức Chebưsev bậc từ 1 đến 6



=

=

4 0 2

0

0 , 2 ) , 3 ) ,

) 1

A A

6 0

) 5 , )



= ϕ Hình 3.2 Xấp xỉ đường cong nhiệt độ nước bằng tổng của các đa thức Chebưsev

Công thức trên đây đối với trường hợp một trong các chỉ số bằng không, thí

dụ , sẽ trở nên đơn giản hơn: A00 ,A10 ,A01 ,

,

) , (

1 1 00

kq

y x P A

k m

q n

n m



= =

= (3.8)

, ) (

) ( ) , (

1

2 1

1 1

1 10





=

= =

k m

q n

m n m

x q

x y x P A

ϕ

ϕ

(3.9)

) (

) ( ) , (

1

2 1

1 1

1 01





=

= =

m

n

k m

q n

n n m y k

y y x P A

ψ

ψ

(3.10)

Những số hạng riêng biệt của chuỗi Chebưsev (ít ra là những số hạng đầu tiên) tương ứng với những trường đơn nhất định và có ý nghĩa vật lý riêng Thí dụ, nếu ta khai triển trường áp suất khí quyển thành chuỗi Chebưsev, thì số hạng

0

0

00ϕ ψ

A ứng với giá trị trung bình của trường khí áp trên toàn diện tích miền cho trước áp suất, các số hạng A10ϕ1ψ0 và A01ϕ0ψ1 đặc trưng cho sự vận chuyển tuần tự theo hướng dọc kinh tuyến và dọc vĩ tuyến của không khí (nếu các trục x và hướng tuần tự theo vĩ tuyến và kinh tuyến),

y

−

1 1

11ϕψ

A sự hội tụ và phân kỳ của các dòng không khí v.v (hình 3.3)

Bảng 3.6 Khai triển trường áp suất không khí P (chênh lệch so với 1010 mb)

n

1

ψ

7 P ψ1

n

6

1 2 0 0 0 -5 -10 -11 -24 -4 96 28 -672 -14 336

6 8 11 14 16 14 14 15 92 1 92 -17 -1564 -9 -828

7 9 13 16 16 14 14 15 97 2 194 -8 -776 -13 -1261

8 9 12 14 13 13 12 12 85 3 255 7 595 -7 -595

1

Pϕ 1 -168 -104 -63 0 35 82 189 Pϕ 1 = 29 −

2

Pϕ 2 280 0 -189 -296 -165 0 315 Pϕ 2 = 5

3

Pϕ 3 -56 52 63 0 -35 -41 63 Pϕ 3 = 46

, 007 , 0 9 84

5 , 148 , 2 7 60

902

, 115 , 0 9 28

29

, 095 , 6 9 7

384

20 01

10

⋅

=

=

⋅

=

−

=

⋅

−

=

=

⋅

A

188 , 0 7 990

1303

, 852 , 0 9 6

46

, 084 , 0 7 2772

1636

03 30

⋅

−

=

=

⋅

=

−

=

⋅

−

Tích số ϕ 1ψ1

1

ϕ

1

ψ

Tích số Pϕ1ψ1

1Pϕ 1 ψ 1

267 , 0

60

28

449

⋅

=

A

Các trị số tuyệt đối của các hệ số khai triển chỉ ra tỷ trọng của mỗi trường đơn trong trường xuất phát Dấu đứng trước các hệ số đặc trưng cho hướng của dòng Thí dụ nếu dấu của A10 dương thì trường đơn A10ϕ1ψ0 đặc trưng cho dòng không khí theo kinh tuyến hướng từ nam lên bắc, nếu dấu của là dấu âm − từ bắc xuống nam

10

A

Tùy thuộc vào bài toán đặt ra để thể hiện định lượng các trường phân bố các yếu tố khí tượng thủy văn mà người ta có thể lấy số số hạng chuỗi khác nhau Đặc điểm phân bố càng phức tạp, biến động không gian càng phức tạp thì khi khai triển trường càng phải lấy số số hạng chuỗi lớn hơn Nếu như chỉ cần đặc trưng những nét cơ bản nhất của phân bố, thì có thể giới hạn ở một số ít các số hạng đầu tiên của chuỗi Khi cần thể hiện đầy đủ cả những nét chi tiết của trường thì cần lấy số

số hạng nhiều hơn

Trường đơn A10ϕ1ψ0 Trường đơn A01ϕ0ψ1

Trường đơn A11ϕ1ψ1 Trường đơn A12ϕ1ψ2

Hình 3.3 Một số trường đơn ứng với các số hạng khác nhau của khai triển chuỗi theo các đa thức Chebưsev

Thực tế cho thấy rằng khi khai triển trường áp suất không khí cho trước tại

100 điểm nút, chỉ cần giới hạn đến các đa thức bậc ba, tức chỉ cần dùng đến sáu số hạng đầu tiên của chuỗi Lưới với các điểm nút cho trước các giá trị của hàm

chọn sao cho khoảng cách giữa các điểm nút dọc theo từng trục tọa độ bằng )

,

( y x

P

nhau Số lượng các điểm nút chọn tuỳ thuộc vào kích thước vùng nghiên cứu Khoảng cách giữa các nút chọn tuỳ thuộc tính phức tạp của trường Nếu các građien của trường càng lớn và hình dạng các đường đẳng trị càng phức tạp thì khoảng cách giữa các nút càng nên lấy nhỏ hơn Trong bảng 3.6 là thí dụ tính các

hệ số khai triển khi khai triển trường khí áp thành chuỗi Chebưsev trong đó ma

trận các giá trị P cho trước tại 63 điểm

Khi sử dụng các hệ số khai triển chuỗi Chebưsev với tư cách là các đối số trong các phương trình dự báo người ta sử dụng một phương pháp do B Kh Rưbacov đề xuất để giảm nhẹ công việc tính toán

ij

A

Nếu

),

(P F

Z = (3.11)

và P được biểu thị bằng các đa thức Chebưsev, tức là

) ., , , (A00 A10 A ij f

P= , (3.12) thì phương trình hồi quy đối với Z được viết dưới dạng

ij

r A a A

a A a A a a

Z = 0 + 1 00 + 2 10 + 3 01+ + , (3.13) trong đó các hệ số có giá trị số của phương trình hồi quy;

các hệ số khai triển chuỗi

−

r

a a

a0 , ,

−

ij

A

, 1

A

A00 , 10 , ,

Như vậy, để tính hàm Z trước tiên phải tính các hệ số theo công thức (3.6), sau đó thế chúng vào phương trình (3.13)

ij

A

Tính các hệ số là thao tác khá tốn công sức, vì vây Rưbacov đã xây dựng một phương pháp giản tiện để tính vế phải của phương trình (3.13)

ij

A

Bây giờ nếu thế (3.6) vào (3.13) thì

+ +

= =

k m

n m n m

q

m

q

m

y x P y x

y x

a a

Z

1

0 0

1

2 0

2 0

1

) ( ) (

ψ

ϕ ψ

ϕ



= =

+ k

m

n m n j m i q

m

q

m i

y x

a

1 1

2 2

) , ( ) ( ) ( ) ( ) (

ψ ϕ

(3.14)

Sau khi đưa thừa số chung ra khỏi dấu ngoặc ta nhận được

 













+ + +

m

n m

q

n k m

q n

n m

y x

y x

a a

Z

1

0 0

1

2 0

2 0

1

) ( )

(

ψ

ϕ ψ

ϕ

) , ( ) ( ) ( ) ( ) (

2 2

n m n

j m i k

m

q n

n j m i

y x

a













ψ

ϕ ψ

ϕ

(3.15)