phương trình, hệ phương trình đại số ôn thi đại học có giải

Định m để phương trình có nghiệm: HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ 3.1... Với mỗi a đó, gọi xa là nghiệm bé nhất của phương trình.. Định tất các giá trị của tham số m để cho phương trình : 4.7... Bả

LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Đại số

Chương 1

PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN

VẤN ĐỀ 1 Phương trình bậc nhất một ẩn : ax + b = 0

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Định nghĩa:

Phương trình bậc nhất 1 ẩn là phương trình có dạng ?

ax + b = 0 (a ≠ 0), a và b là các hệ số, x là ẩn số

2 Giải và biện luận phương trình : ax + b = 0 Cho phương trình : ax + b = 0 (1)

* Nếu a ≠ 0 : (1) có nghiệm duy nhất x b

a

= −

* Nếu a = 0 : (1) ⇔0x b 0+ = ⇔0x= − b

b ≠ 0 : (1) vô nghiệm

b = 0 : mọi x R∈ là nghiệm của (1)

II CÁC VÍ DỤ:

Ví dụ 1:

Giải và biện luận phương trình :

mx + 2 (x – m) = (m + 1)2 + 3

Giải Phương trình ⇔mx 2x 2m m+ = + 2+2m 1 3+ +

=

− a = b : (1)⇔0x a= 2−a3=a (1 a)2 −

Tóm lại: a ≠ 1 và a ≠ 3: Phương trình có nghiệm x = 2a – 3

a = 3 : Phương trình vô nghiệm

m3x = mx + m2 –m Giải

Ta có : m3x = mx + m2 –m Phương trình có nghiệm x R m32 m 0 m(m2 1) 0

III BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

1.1 Giải và biện luận các phương trình :

2

(m 1) x 1 m (7m 5)x+ + − = −1.5 Định m để phương trình sau có tập nghiệm là R :

2

(m −1)x m 1= −

HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ

Phương trình có nghiệm

2 2 2

Vấn đề 3 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Phương trình bậc hai:

a Cho phương trình : ax2+bx c 0(a 0) (*)+ = ≠

∆ < 0 : f(x) luôn cùng dấu với a⇔af(x) 0, x R> ∀ ∈

∆ = 0 : f(x) cùng dấu với a với mọi x b

2a

≠ − và f( b) 0

2a

∆ > 0 : f(x) có 2 nghiệm phân biệt : x1<x2

Bảng xét dấu:

b Định lý đảo về dấu của tam thức: Cho tam thức

f(x) = ax2+bx c(a 0)+ ≠ và một số thực α

f(x)co ù 2 nghiệmx xaf( ) 0

x ,xaf( ) 0

4 So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với hai số cho trước

Cho phương trình : f(x) ax= 2+bx c 0(a 0)+ = ≠ và hai số , (α β α < β )

Phương trình có 2 nghiệm x ,x và 1 2 1 2

0af( ) 0

Vậy Min (x12+x ) 222 = khi m = 1

Ví dụ 3:

Cho hàm số f(x) = 2x + m + log2 (mx2−2(m 2)x 2m 1)− + − (m là tham số)

Tìm tất cả các giá trị của m để f(x) xác định với mọi x

(ĐẠI HỌC CẦN THƠ – Khối D năm 2000) Giải

f(x) xác định ∀ ⇔ x mx2− 2(m 2)x 2m 1 0 − + − > ∀ x (1) m = 0 : (1) 4x 1 0 x 1

4

⇔ − > ⇔ > không thoả với x∀

(ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN – Khối D năm 2000)

Giải Gọi x0 là nghiệm chung của 2 phương trình cho, ta có:

+ Với x0=0 : cả 2 phương trình đã cho đều vô nghiệm

+ Với x0= là nghiệm chung của hai phương trình đã cho, thì ta có: 1:

Ta xét các trường hợp sau:

Phương trình cho có nghiệm x = 1

Thế vào phương trình cho: 3m – 3 = 0⇔m 1=

Thế m = 1 vào phương trình cho: x2−2x 1 0+ = ⇔ = (kép) x 1

4 f( 2 3) f(2 3)1

2

(m 5)x− −2mx m 4 0 (*)+ − =Có một nghiệm nhỏ hơn 1 và một nghiệm lớn hơn 2

Giải Đặt f(x) (m 5)x= − 2−2mx m 4+ − Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của (*), ta có :

x1 < 1 < 2 < x2

5 m 24af(2) 0 (m 5)(m 24) 0 5 m 24

2 2

xx

III BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

3.1 Cho hai phương trình : x2− +x m 0 (1)=

2

x −3x m 0 (2)+ =Với những giá trị nào của m, thì phương trình (2) có một nghiệm khác

0, gấp 2 lần một nghiệm của phương trình (1)

3.2 Cho hai phương trình : x2+3x 2s 0+ =

2

x +6x 5s 0+ = Tìm tất cả các giá trị của s để mỗi phương trình đều có 2 nghiệm phân

biệt, và giữa 2 nghiệm của phương trình này có đúng một nghiệm của

Có không ít hơn hai nghiệm âm khác nhau

3.5 Định m để phương trình 4x22 4 2ax2 1 a2 0

1 2x+ +x +1 x+ + − = có nghiệm

3.6 Định m để phương trình có nghiệm:

HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ

3.1 Điều kiện đồng thời có nghiệm của 2 phương trình cho là :

1 2

1

0g(x ).g(x ) 0

⇒ ít nhất 1 trong 2 phương trình đã cho phải có nghiệm

3.4 Nhận xét x = 0 không phải là nghiệm của (1) Đặt t x 1 h(x) x2 tx 1 0 (2)

x

Điều kiện t 2≥ ⇔ ≥ ∨ ≤ − t 2 t 2(2) nếu có nghiệm thì các nghiệm cùng dấu

t = - 2 thì (2) có 1 nghiệm âm

(2) có 2 nghiệm âm ⇔ < − t 2

5s

Vấn đề 4 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC 3 – BẬC 4

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC 2

Dạng 1: Phương trình trùng phương: ax4+bx2+ =c 0 (a 0)≠

Đặt t x (t 0)= 2 ≥ ta có phương trình : at2+bt c 0+ =

+ Nhận xét x = 0 không phải là nghiệm của phương trình

+ Chia hai vế cho x2 và đặt t x 1, t 2

+ Chia 2 vế cho x và đặt 2 t x 1

+ Chia 2 vế cho x , làm giống như trên 2

ax +bx c ax+ + +b'x c+ = ≠+ Nhận xét x = 0 không phải là nghiệm

+ Phương trình được viết : m n k

x a

+ ≥+ Đặt t (x a) x b

α là một nghiệm của đa thức P(x) khi P(α) = 0 Định lý Bezout : P( ) 0α = ⇔P(x)chia hết cho x - α

b Phương trình bậc 3:

ax +bx +cx d 0 (a 0)+ = ≠Phương trình bậc 3 luôn luôn có nghiệm

Định lý Viete:

x x x x x x

aa

+ Nếu biết một hệ thức giữa các nghiệm thì ta dùng định lý viete

+ Dùng hằng đẳng thức biến đổi thành phương trình tích số với các

phương trình có dạng :

Đặt t (x 1)(x 4) x= + + = 2+5x 4+ Điều kiện t (1 4)2 9

t 3(loại)(a b c 0)

=

⎧+ − =

5 13x

Ta có : ' 4 m 0∆ = + ≥ ⇔m≥ − 4Thử lại với m≥ − phương trình (1) cũng có nghiệm 4,Với m≥ − phương trình (2) có nghiệm t = t4, 0 thế vào (*) :

Giải Với x = 0 : (1) ⇔ = vô nghiệm 1 0Chia hai vế cho x2 :

2 2

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên để phương trình (*) có nghiệm phân biệt khi và chỉ khi : 4 k 5− < <

Ví dụ 5:

Định a để phương trình : x4+2x2+2ax a+ 2+2a 1 0+ = có nghiệm Với mỗi a đó, gọi xa là nghiệm bé nhất của phương trình Định a để xanhỏ nhất

Ví dụ 6 : Tìm điều kiện của a, b để phương trình x3+ax b 0+ = có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng

Giải Gọi x1, x2, x3 là 3 nghiệm phân biệt của phương trình cho, lập thành một cấp số cộng : x1 + x3 = 2x2 (*)

Định lý viete cho : x1 x2 x3 B 0

A+ + = − = ⇔3x2= ⇔0 x2=0

Thay x2 = 0 vào phương trình : x3+ax b 0+ = ta được: b = 0

Để (**) có 2 nghiệm phân biệt và khác 0 ⇔ < a 0

Vậy để phương trình cho có 3 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số

AD

Điều kiện cần: Giả sử phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm x1, x2, x3 thỏa

đề bài, ta có : f(x) = (x – x1)(x – x2)(x – x3) và

f(2) 0< ⇔ − < ⇔9 m 0 m 9>

Điều kiện đủ: Giả sử ta có: m > 9

f(0) m 1 0= + > và f(2) = 9 – m < 0 ⇒f(0).f(2) 0<

Nếu tồn tại x2∈(0,2) : f(x ) 02 = (nghĩa là 0 < x2 < 2 (1))

Vì limx→+∞f(x) = +∞ nên tồn tại m > 2 mà f(m) > 0 ⇒f(2).f(m) 0<

⇒ Phương trình đã cho có 1 nghiệm x3∈(2,m)sao cho f(x) = 0

Ví dụ 12 : Giải phương trình :

(3x 1)+ +(2x 3)− =(5x 2) (*)−

Giải

Vì (3x + 1) + (2x –3 )= 5x –2 Aùp dụng hằng đẳng thức:

(A B)+ =A +B +3AB(A B)+

(*) 3(3x 1)(2x 3)(5x 2) 0⇔ + − − =

1x33x 1 0

⎡ = −

⎢+ =

III BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

4.1 Định m để phương trình : x4−2(m 1)x+ 2+2m 1 0+ =

có 4 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng

4.2 Định tất các giá trị của tham số m để cho phương trình :

4.7 Định a để phương trình sau có nghiệm:

x +x +2(a 2)x a− − +4a 3 0− = 4.8 Giải phương trình : 8x3−6x 1=

Chứng minh: 9a2−100b 0=

Giải Tóm Tắt

4.1 Đặt t x= 2 Phương trình đã cho ⇔t2−2(m 1)t 2m 1 0 (1)+ + + =

Để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt ⇔ (1) có 2 nghiệm

dương phân biệt

Với điều kiện (*), (1) có 2 nghiệm t1, t2 thỏa 0 t< < 1 t2

Phương trình đã cho có 4 nghiệm :

s

2g( 2) 4 8m m 5 0

2t

3(x 2 3)(2x 3)(3x 3) 0

x 2 33x23x3

Bảng biến thiên cho, để phương trình có 1 nghiệm duy nhất m 3

⎪⎩

t= − −x 4 : (1)⇔x2+4x 0= ⇔ = −x 4,x 0=

Vậy nghiệm x = 0, x = - 4, x = - 1 ± 5

4.12 Đặt α =x2≥ Phương trình cho trở thành: 0, α + α + =2 a b 0 (*)Phương trình cho có 4 nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân biệt :

Vấn đề 4 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC 3 – BẬC 4

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC 2

Dạng 1: Phương trình trùng phương: ax4+bx2+ =c 0 (a 0)≠

Đặt t x (t 0)= 2 ≥ ta có phương trình : at2+bt c 0+ =

+ Nhận xét x = 0 không phải là nghiệm của phương trình

+ Chia hai vế cho x2 và đặt t x 1, t 2

+ Chia 2 vế cho x và đặt 2 t x 1

+ Chia 2 vế cho x , làm giống như trên 2

ax +bx c ax+ + +b'x c+ = ≠+ Nhận xét x = 0 không phải là nghiệm

+ Phương trình được viết : m n k

x a

+ ≥+ Đặt t (x a) x b

α là một nghiệm của đa thức P(x) khi P(α) = 0 Định lý Bezout : P( ) 0α = ⇔P(x)chia hết cho x - α

b Phương trình bậc 3:

ax +bx +cx d 0 (a 0)+ = ≠Phương trình bậc 3 luôn luôn có nghiệm

Định lý Viete:

x x x x x x

aa

+ Nếu biết một hệ thức giữa các nghiệm thì ta dùng định lý viete

+ Dùng hằng đẳng thức biến đổi thành phương trình tích số với các

phương trình có dạng :

Đặt t (x 1)(x 4) x= + + = 2+5x 4+ Điều kiện t (1 4)2 9

t 3(loại)(a b c 0)

=

⎧+ − =

5 13x

Ta có : ' 4 m 0∆ = + ≥ ⇔m≥ − 4Thử lại với m≥ − phương trình (1) cũng có nghiệm 4,Với m≥ − phương trình (2) có nghiệm t = t4, 0 thế vào (*) :

Giải Với x = 0 : (1) ⇔ = vô nghiệm 1 0Chia hai vế cho x2 :

2 2

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên để phương trình (*) có nghiệm phân biệt khi và chỉ khi : 4 k 5− < <

Ví dụ 5:

Định a để phương trình : x4+2x2+2ax a+ 2+2a 1 0+ = có nghiệm Với mỗi a đó, gọi xa là nghiệm bé nhất của phương trình Định a để xanhỏ nhất

Ví dụ 6 : Tìm điều kiện của a, b để phương trình x3+ax b 0+ = có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng

Giải Gọi x1, x2, x3 là 3 nghiệm phân biệt của phương trình cho, lập thành một cấp số cộng : x1 + x3 = 2x2 (*)

Định lý viete cho : x1 x2 x3 B 0

A+ + = − = ⇔3x2= ⇔0 x2=0

Thay x2 = 0 vào phương trình : x3+ax b 0+ = ta được: b = 0

Để (**) có 2 nghiệm phân biệt và khác 0 ⇔ < a 0

Vậy để phương trình cho có 3 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số

AD

Điều kiện cần: Giả sử phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm x1, x2, x3 thỏa

đề bài, ta có : f(x) = (x – x1)(x – x2)(x – x3) và

f(2) 0< ⇔ − < ⇔9 m 0 m 9>

Điều kiện đủ: Giả sử ta có: m > 9

f(0) m 1 0= + > và f(2) = 9 – m < 0 ⇒f(0).f(2) 0<

Nếu tồn tại x2∈(0,2) : f(x ) 02 = (nghĩa là 0 < x2 < 2 (1))

Vì limx→+∞f(x) = +∞ nên tồn tại m > 2 mà f(m) > 0 ⇒f(2).f(m) 0<

⇒ Phương trình đã cho có 1 nghiệm x3∈(2,m)sao cho f(x) = 0

Ví dụ 12 : Giải phương trình :

(3x 1)+ +(2x 3)− =(5x 2) (*)−

Giải

Vì (3x + 1) + (2x –3 )= 5x –2 Aùp dụng hằng đẳng thức:

(A B)+ =A +B +3AB(A B)+

(*) 3(3x 1)(2x 3)(5x 2) 0⇔ + − − =

1x33x 1 0

⎡ = −

⎢+ =

III BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

4.1 Định m để phương trình : x4−2(m 1)x+ 2+2m 1 0+ =

có 4 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng

4.2 Định tất các giá trị của tham số m để cho phương trình :

4.7 Định a để phương trình sau có nghiệm:

x +x +2(a 2)x a− − +4a 3 0− = 4.8 Giải phương trình : 8x3−6x 1=

Chứng minh: 9a2−100b 0=

Giải Tóm Tắt

4.1 Đặt t x= 2 Phương trình đã cho ⇔t2−2(m 1)t 2m 1 0 (1)+ + + =

Để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt ⇔ (1) có 2 nghiệm

dương phân biệt

Với điều kiện (*), (1) có 2 nghiệm t1, t2 thỏa 0 t< < 1 t2

Phương trình đã cho có 4 nghiệm :

s

2g( 2) 4 8m m 5 0

2t

3(x 2 3)(2x 3)(3x 3) 0

x 2 33x23x3

Bảng biến thiên cho, để phương trình có 1 nghiệm duy nhất m 3

⎪⎩

t= − −x 4 : (1)⇔x2+4x 0= ⇔ = −x 4,x 0=

Vậy nghiệm x = 0, x = - 4, x = - 1 ± 5

4.12 Đặt α =x2≥ Phương trình cho trở thành: 0, α + α + =2 a b 0 (*)Phương trình cho có 4 nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân biệt :

CHƯƠNG 2

HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN

Bài 1:

HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

a x b y c 0(I)

DxD

D 0 : (I)

DyD

* D = 0 và Dx≠0 hay Dy≠0 : (I)vô nghiệm

* D D= x=Dy=0 : (I)có thể vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm

Chú ý:

Trong thực hành, khi D = 0, ta thường thay vào hệ các giá trị cụ thể

của tham số để kết luận

II CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1:

Định m để hệ sau vô nghiệm:

2

2m x 3(m 1)y 3(I)

23(m 1)2m

m 2m

= ⇔ = − ∨ = + a = -1 : hệ x 2y b 2 x 2y b 2

1 Với b = 0, hãy giải và biện luận hệ theo a và c

2 Tìm b để với mọi a, ta luôn tìm được c sao cho hệ có nghiệm

+ Nếu c2+ ≠ ⇔ ≠ và cc 0 c 0 ≠ −1: (2)VN⇒ hệ VN

+ Nếu c2+ = ⇔ = ∨ = −c 0 c 0 c 1: (2)⇔0x 0= ⇒ Hệ có

Hệ có nghiệm ⇔(*)có nghiệm

+ Nếu 1 a− 2≠ ⇔ ≠ ±0 a 1: (*) có nghiệm duy nhất ⇒ Hệ phương trình

cho có nghiệm b.∀

+ Nếu a = 1: (*) ⇔c2+ − =c b 0x, để có nghiệm c2+ − = thì ta c b 0,

phải có điều kiện để có được c : 1 4b 0 b 1

4

∆ = + ≥ ⇔ ≥ − + Nếu a = - 1: (*) ⇔c2+ + =c b 0x và có nghiệm khi c2+ + = c b 0

để tìm được c ta phải có: 1 4b 0 b 1

4

∆ = − ≥ ⇔ ≤ Vậy để a∀ , ta luôn tìm được c sao cho hệ có nghiệm thì : 1 b 1

Giải Gọi (x ,y ) là nghiệm của hệ : 0 0

III BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

1.1 Giải và biện luận hệ: (a22 1)x (a 1)y a3 3 1

Hướng dẫn và giải tóm tắt

1.3 a D m= 2− Hệ có nghiệm duy nhất 1 ⇔ ≠ ⇔D 0 m≠ ± 1

Gọi x và y là nghiệm của hệ, ta có:

Bài 2:

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 1

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Dạng : (I) f(x,y) 0

g(x,y) 0

=

⎧

⎩ với f(x,y) f(y,x)= và g(x,y) g(y,x)=

2 Cách giải: Đưa hệ (I) về hệ :

F(S,P) 0(II)

2

t −St P 0+ = Điều kiện để (I) có nghiệm là hệ (II) có nghiệm thỏa: S2−4P 0≥

II CÁC VÍ DỤ:

Có cùng biệt số: ' 1 (1 a) a∆ = − − =

Và có 4 nghiệm khác nhau: α = ±1 a, 'α = − ±1 a khi a > 0

Nên chỉ đúng 2 nghiệm khi a = 0

III BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

2.1 Cho hệ phương trình: x y 2a 12 2 2

Định a để hệ có nghiệm (x, y) và xy nhỏ nhất

2.2 Cho hệ phương trình: (x 1)(y 1) m 4

1 Định m để hệ có nghiệm

2 Định m để hệ có 4 nghiệm phân biệt 2.3 Cho hệ phương trình: x y yx a 12 2

Hướng Dẫn Và Giải Tóm Tắt

Bảng biến thiên:

Từ Bảng biến thiên f(a)Min a 2 2

⎩ thì x và y là nghiệm phương trình: t2−mt 3 0+ =

Phương trình có nghiệm ⇔ ∆ =1 m2−12 0≥ ⇔m≤ −2 3 m 2 3∨ ≥

≤ hay a 8≥

Bài 3:

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ

2 Cách giải: Ta thường biến đổi về hệ tương đương:

f(x,y) f(y,x) 0 f(x,y) f(y,x) 0f(x,y) 0 f(x,y) f(y,x) 0

2 2

a2x y

y

a2y x

Hệ (I) 2x y y22 22 a22 2x y y2 2 a2

(x y)(2xy x y) 02y x x a

Do (*) có nghiệm duy nhất, Bảng biến thiên ⇒(I) có nghiệm duy nhất

Ta nhận thấy x = 0, y = 0 là nghiệm của hệ

Và nếu (x, y) là nghiệm của hệ thì (y, x) cũng là nghiệm của hệ Vậy

để hệ có nghiệm duy nhất là x = y

III BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

3.1 Giải hệ phương trình: x33 2x y

(x y) xy 1 0(II) : (II)

2 2

Bài 4:

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ

* Tìm nghiệm thỏa x = 0 (hay y = 0)

* với x 0≠ ( hay y 0≠ ), đặt y tx= (hay x ty= )

* Đối với hệ 22 2 2

Ta có thể khử y2 (hay x2) rồi tính y theo x ( hay x theo y) rồi thay vào

một trong 2 phương trình của hệ

II CÁC VÍ DỤ:

1 Giải hệ phương trình với m = 0

2 Với những giá trị nào của m thì hệ có nghiệm ?

(ĐH Kinh Tế TPHCM năm 1998, Khối A) Giải

1 m = 0 : Hệ 2 2

3x 2xy y 11(I)

⇒ = − = ∓Tóm lại có 4 nghiệm: (1, 2), (-1, -2), 4 3, 5 3 , 4 3 5 3,

(4) 3 2t t: 11 (k 33)t 2(k 11)t 3k 11(5) 1 2t 3t k

(2) chia (1)

2

(m 26)y(m 26)y x

12y(x y) 12 y (m 14) 144

+

⎧+

Vậy hệ có nghiệm khi m 14 0+ > ⇔m> − 14

III BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

4.1 Định m để phương trình sau có nghiệm: x22 mxy y2 m 2

4.3 Cho hệ phương trình: x22 4xy y2 m

a Giải hệ khi m = 1

b chứng minh hệ luôn có nghiệm

Hướng Dẫn Và Giải Tóm Tắt

0 3 0

2

(1) m 1 1: (m 1) m 0 m 1(2) 2 m 2

−Thử lại:

a/ Với m = 0: hệ cho x và y không thỏa: x + y = 0 ⇒m 0= (loại) b/ Với m = - 1: Hệ đã cho trở thành: x33 y32 0 2

c/ Với m = 1 Hệ trở thành: x33 y32 2 2

Bài 4:

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ

* Tìm nghiệm thỏa x = 0 (hay y = 0)

* với x 0≠ ( hay y 0≠ ), đặt y tx= (hay x ty= )

* Đối với hệ 22 2 2

Ta có thể khử y2 (hay x2) rồi tính y theo x ( hay x theo y) rồi thay vào

một trong 2 phương trình của hệ

II CÁC VÍ DỤ:

1 Giải hệ phương trình với m = 0

2 Với những giá trị nào của m thì hệ có nghiệm ?

(ĐH Kinh Tế TPHCM năm 1998, Khối A) Giải

1 m = 0 : Hệ 2 2

3x 2xy y 11(I)

⇒ = − = ∓Tóm lại có 4 nghiệm: (1, 2), (-1, -2), 4 3, 5 3 , 4 3 5 3,

(4) 3 2t t: 11 (k 33)t 2(k 11)t 3k 11(5) 1 2t 3t k