Khi đó ta có thể xác định giá trị thống kê của hμm tương quan R~τ trên khoảng τε∈[ưT , T].. quan lμ một hμm ngẫu nhiên nμo đó, vμ giá trị tính được của nó R~τ có thể khác nhiều so với gi
Trang 1Hình 10.2
Theo công thức (10.2.9), ở đây có thể biểu diễn dưới dạng
τ τ
=
t u
u t R d D
0
) ( ) ( (10.2.16)
Các giá trị của hệ số khuếch tán rối của thμnh phần vĩ hướng đã được tính vμ dẫn
ra trên hình 10.2
Phân tích hình nμy cho thấy rằng, theo thời gian hệ số khuếch tán rối tăng lên, đạt
đến cực đại sau 30 giờ, sau đó dần tiến đến giá trị giới hạn
∞
τ τ
=
∞
0
d R
mμ trên thực tế nó đạt được chỉ ở khoảng τ=54ữ60 giờ
Chương 11: Về việc tính mật độ phổ quá trình ngẫu nhiên dừng
Phổ sóng biển
11.1 Xác định mật độ phổ theo số liệu thực nghiệm
(3.2.12) Khi đó cần biết hμm tương quan thực trên toμn khoảng vô hạn của sự biến đổi của đối số
thực nghiệm chúng ta sử dụng các thể hiện của quá trình ngẫu nhiên được ghi trên một khoảng hữu hạn T nμo đó của sự biến thiên của đối số t Khi đó ta có thể xác định giá trị thống kê của hμm tương quan R~(τ) trên khoảng τε∈[ưT , T] Đặc biệt, khi xác định hμm
T, giá trị thống kê của nó được xác định theo công thức (2.6.2)
Như đã thấy trong chương 6, do nhiều nguyên nhân, giá trị thống kê của hμm tương
Trang 2quan lμ một hμm ngẫu nhiên nμo đó, vμ giá trị tính được của nó R~(τ) có thể khác nhiều so với giá trị thực của hμm tương quan R(τ) vμ phương sai sai số tăng đáng kể khi đối số τ
tăng
Vì vậy việc sử dụng trực tiếp công thức (3.2.12) vμ thay hμm tương quan thực trong
đó bằng giá trị thống kê của nó, thay khoảng tích phân vô hạn bằng khoảng hữu hạn, tức công thức
ư
ωτ
ư τ τ π
= ω
T
T
i d R e
2
1
,
biệt tại những giá trị τ gần các cận của khoảng tích phân, có thể dẫn đến giá trị S~(ω)
tìm được sẽ rất khác với giá trị thực của mật độ phổ
Một vấn đề nảy sinh lμ, lμm thế nμo để xác định giá trị phù hợp nhất của mật độ phổ của quá trình ngẫu nhiên đang xét trong khi không có hμm tương quan thực, mμ chỉ sử dụng giá trị thống kê của nó
Ta xét hμm R~(τ), bằng giá trị thực của hμm tương quan R(τ) khi τ ≤τm vμ bằng 0 khi τ >τm Hμm nμy có thể xem như tích của hμm R(τ) với hμm λ(τ)
) ( ) ( ) (
~
τ τ λ
=
R , (11.1.1) trong đó
τ
>
τ
τ
≤ τ
= τ λ
, )
(
m
m
khi 0
khi 1
(11.1.2) Hμm R~(τ) được cho trên khắp trục số thực Ta sẽ tìm biến đổi Fourier của nó vμ xem đó lμ giá trị gần đúng S~(ω) của mật độ phổ S(ω), tức lμ tính S~(ω) theo công thức
∞
ư
ωτ
ư
∞
∞
ư
ωτ
π
= τ τ π
=
2
1 2
1
(11.1.3)
Ta ký hiệu S(ω) lμ mật độ phổ thực của quá trình ngẫu nhiên, tức biến đổi Fourier của hμm tương quan thực R(τ), ký hiệu Q(ω) lμ biến đổi Fourier, tức phổ, của hμm λ(τ)
τ τ λ π
=
∞
ư
ωτ
e
2
1
(11.1.4) Theo (11.1.3) tích λ R(τ) (τ) lμ biến đổi Fourier của hμm S~(ω)
ω ω
= τ τ
∞
ư
ωτS d e
)
Mặt khác, ta có
= ω ω ω
ω
= τ τ
∞
ư
τ ω
∞
∞
ư
τ ω
2 2 1
1
2
e
) (
1 2 2 1
2
ω ω ω
= ∞
∞
ư
∞
∞
ư
τ ω +
e
Khi thay thế ω1+ω2=ω ở tích phân bên trong vμ đổi thứ tự lấy tích phân, ta được
Trang 3
∞
∞
ư
∞
∞
ư
ω ω
ư ω ω
= τ τ
λ( )R( ) e i S( 1)Q( 1)d 1 d (11.1.6)
So sánh (11.1.5) vμ (11.1.6) ta nhận được mối liên hệ giữa mật độ phổ thực S(ω) vμ giá trị gần đúng của nó (11.1.3)
∞
∞
ư
ω ω
ư ω ω
=
S~( ) ( ) ( ) (11.1.7)
Từ đó thấy rằng, S~(ω) chính lμ giá trị của mật độ phổ thực S(ω) được lấy trung bình theo toμn khoảng tần với hμm trọng lượng Q(ωưω1)
Đối với hμm λ(τ) dạng (11.1.2) phổ Q(ω) của nó được xác định dưới dạng
τ τ
ư
ωτ
ư
πω
ωτ
= τ π
=
m
m i
d e
) ( 2
1
(11.1.8)
Như vậy, bằng cách sử dụng tích (11.1.1) lμm giá trị thống kê của hμm tương quan
lựa chọn hμm λ(τ) sao cho phép lμm trơn (11.1.7) lμ tốt nhất, tức nó cho giá trị S~(ω) gần nhất với giá trị thực S(ω)
Như vậy bμi toán xác định mật độ phổ có thể phát biểu dưới dạng sau: Giả sử có giá trị thống kê của hμm tương quan R~(τ) tại τ ≤T, ta sẽ tìm giá trị thống kê của mật độ phổ S~(ω) theo công thức
τ τ
ư
ωτ
π
=
m
d R e
2
1
(11.1.9)
với điều kiện phải chọn hμm λ(τ) vμ giá trị τm sao cho thoả mãn một chỉ tiêu tối ưu nμo
đó Hμm λ(τ) được gọi lμ hμm trọng lượng lμm trơn, còn giá trị τm gọi lμ điểm cắt của hμm tương quan
tương ứng với sự lμm trơn phổ thực của quá trình ngẫu nhiên dạng (11.1.7) với hμm trọng lượng lμ phổ của hμm λ(τ)
Để lμm tiêu chuẩn đánh giá đại lượng S~(ω) vμ chọn hμm lμm trơn tối ưu λ(τ) có thể lấy sai số bình phương trung bình η S[~(ω)], xác định theo công thức
[ ] [~(ω) = { ~(ω)ư (ω)] }=σ [ ] [ ]~(ω) + ~(ω)
Trong công thức nμy đại lượng
[ ]~(ω) = { [~(ω)ư [ ]~(ω) ] }=σ [ ] [ ]~(ω) ư ~(ω)
lμ phương sai của các giá trị S~(ω) vμ đặc trưng cho sự tản mạn của các giá trị thống kê của mật độ phổ xung quanh kỳ vọng toán học của nó
Đại lượng
[ ] [S~(ω) =M S~(ω)ưS(ω)]
Trang 4được gọi lμ độ chệch vμ đặc trưng cho sự lệch của kỳ vọng toán học của các trị số thống kê
)
(
~
ω
nó mμ các giá trị S~(ω) sẽ tập trung không phải gần giá trị thực S(ω), mμ gần một giá trị
)]
(
~
[S ω
Tiêu chuẩn khác, nhờ đó có thể đánh giá độ chính xác của việc xác định đại lượng
)
(
~
ω
ω ω
ư ω
=
∞
ư
d S S M S
J ~( ) ~( ) ( ) 2 (11.1.13)
Trong công trình của E Parzen [70] đã nhận được nghiệm bμi toán nμy ứng với tiêu chuẩn (11.1.13) cho hai dạng hμm tương quan R(τ)
Dạng thứ nhất gồm lớp các hμm tương quan giảm theo quy luật hμm mũ với hệ số
,
0
>
ρ tức những hμm thoả mãn bất đẳng thức R(τ)≤R0e ρτ, trong đó R0 lμ một hằng số nμo đó
Người ta đã chứng minh được rằng đối với những hμm tương quan như vậy các hμm lμm trơn sau lμ tối ưu:
, sin ) ( , )
( , )
(
u
u u
u u
>
≤
ư
= τ λ +
= τ
1 khi 0
1 khi 1
1
1
τ
τ
=
m
vμ một số hμm khác nữa
Dạng thứ hai các hμm tương quan mμ Parzen xét lμ lớp các hμm giảm theo kiểu đại
số, tức những hμm có dạng τưr trong đó r<1 với những giá trị τ lớn Đối với các hμm dạng nμy những hμm trọng lượng tối ưu lμm cho sai số bình phương trung bình tích phân cực tiểu có thể lμ những hμm dạng
r
Bu2
1
1 +
= τ
trong đó hằng số B được biểu diễn qua hμm tương quan thực R(τ)
cho sai số bình phương trung bình tích phân (11.1.13) cực tiểu, có dạng
[ ]~( ) )
(
) ( )
(
τ + τ
τ
= τ λ
R D R
R
2
2
(11.1.14)
thực của quá trình ngẫu nhiên được khảo sát vμ do đó, không tồn tại một hμm lμm trơn duy nhất áp dụng cho tất cả các quá trình ngẫu nhiên
Ngoμi ra, vì khi xác định thực nghiệm các đặc trưng thống kê của quá trình ngẫu nhiên ta chưa biết hμm tương quan thực, còn giá trị thống kê của nó chỉ lμ ước lượng gần
Những công thức nμy chỉ có thể sử dụng như lμ công thức định hướng khi chọn dạng cụ thể của hμm lμm trơn trong công thức (11.1.9)
Trang 5Hiện nay các tác giả khác nhau đề xướng nhiều dạng hμm lμm riêng biệt có những tính chất khác nhau, mô tả chi tiết về các hμm nμy trình bμy trong các công trình [2, 25,
70, 91ư97]
Phổ dụng nhất trong số đó lμ những hμm sau:
1 Hμm Bartlette
τ
>
τ
τ
≤ τ
= τ
m
m
khi 0
khi 1
(11.1.15)
2 Hμm Bartlette biến dạng
τ
>
τ
τ
≤ τ τ
τ
ư
= τ λ
, )
(
m
m m
khi 0
khi 1
(11.1.16)
3 Hμm Tiukey
τ
>
τ
τ
≤ τ τ
πτ +
ư
= τ λ
, cos
) (
m
m m
a a
khi 0
khi 2
2 1
(11.1.17)
biết rằng trị số a=0,25 lμ tối ưu dưới góc độ tiêu chuẩn (11.1.13)
4 Hμm Hanning
τ
>
τ
τ
≤ τ
τ
πτ
ư
= τ λ
, cos
, ) (
m
m m
khi 0
khi 1
5 0
(11.1.18)
5 Hμm Parzen
τ
>
τ
τ
≤ τ
τ
τ
ư
= τ λ
, )
(
m m q
m
khi 0
khi 1
(11.1.19)
với q>1, đặc biệt Parzen đã xét hμm nμy với q=2
6 Parzen cũng đã nghiên cứu hμm dạng
τ
>
τ
τ
≤ τ
τ
τ +
= τ λ
,
, )
(
m
m q
m
khi 0
khi 1
1
(11.1.20)
đối với những trị số q=1 vμ q=2
7 Hμm Hemming
τ
>
τ
τ
≤ τ τ
πτ +
= τ λ
, cos
, , ) (
m
m m
khi 0
khi 46
0 54 0
(11.1.21)
Tất cả những hμm đã trình bμy lμ tốt nhất theo quan điểm tối ưu hoá một tính chất nμo đó trong số các tính chất của giá trị thống kê của mật độ phổ
Khi xác định giá trị thống kê của mật độ phổ theo công thức (11.1.9) với hμm lμm
Trang 6trơn λ(τ) đã chọn, giá trị nhận được sẽ phụ thuộc nhiều vμo việc chọn đại lượng τm
đáng kể do tập mẫu của các giá trị S~(ω) tại những τm lớn
thống kê của hμm tương quan, nó không khác nhiều lắm so với giá trị thực, tuy nhiên ta giả thiết nó bằng 0 với những giá trị τ>τm, mμ tại đó hμm tương quan có thể rất khác không Chính vì vậy chúng ta đã mắc sai số hệ thống gây nên độ chệch của ước lượng
những τ lớn giá trị thống kê R~(τ) chúng ta sử dụng có thể khác xa so với giá trị thực
)
(τ
R Vì lý do đó phương sai của ước lượng S~(ω) tăng lên, đặc biệt lμ khi khoảng ghi thể
mật độ phổ dẫn tới sự cần thiết phải thoả mãn hai đòi hỏi mâu thuẫn nhau
sau: Tại những giá trị τm nhỏ trên đồ thị S~(ω) các đỉnh mật độ phổ sẽ bị lμm trơn Khi
nhiên mμ từ đó R~(τ) được xác định
11.2 Phân tích phổ sóng biển
Lý thuyết phổ các quá trình ngẫu nhiên dừng hiện nay được sử dụng rộng rãi khi phân tích sóng biển ở đây người ta xem những dao động mực biển tại điểm xác định như lμ hμm ngẫu nhiên của thời gian Những khảo sát thực nghiệm về sóng biển cho thấy: hμm
điểm cố định so với mực trung bình, ở một mức độ gần đúng nμo đó, có thể xem như quá trình ngẫu nhiên tựa dừng, có tính egođic
Giả định rằng mỗi thể hiện có thể chia thμnh những đoạn dừng, trong phạm vi đó các đặc trưng xác suất giữ nguyên không đổi, còn khi chuyển từ một đoạn dừng nμy sang
đoạn dừng khác thì các đặc trưng xác suất biến đổi nhảy vọt Tính tựa dừng của sóng thực cũng như những khó khăn kỹ thuật trong khi thực hiện những đợt đo sóng dμi hạn dẫn tới chỗ, để xác định các đặc trưng thống kê buộc phải sử dụng một hoặc một số không nhiều các thể hiện với độ dμi hạn chế
Tương ứng với giả thiết về tính egođic, giá trị thống kê của hμm tương quan R~(τ)
theo một thể hiện độ dμi T được xác định theo công thức (6.2.2)
Sự phân tích các băng ghi sóng gió ổn định ở đại dương, các biển vμ hồ nước đã cho thấy rằng các hμm tương quan của sóng gió có thể xấp xỉ bằng biểu thức dạng
βτ
=
τ) ư α τcos ( De
R z (11.2.1) hay
Trang 7τ βτ
=
B De
R z( ) cos cos , (11.2.2)
liên nhóm của đường bao hμm tương quan
Ta sẽ xét phương pháp xác định mật độ phổ bằng ví dụ nghiên cứu phổ sóng biển ở
đây chúng ta sẽ dựa vμo công trình [72] Với kiểu hμm tương quan đã chọn, mật độ phổ
được xác định theo công thức (11.1.9) Để phân tích ảnh hưởng của đại lượng τm trước tiên
ta chọn hμm lμm trơn λ(τ) lμ hμm Bartlette (11.1.15) Khi đó công thức (11.1.9) đối với quá trình ngẫu nhiên thực Z (t) có thể viết lại dưới dạng
τ
τ ωτ τ π
=
0
1 ( )cos )
(
~
(11.2.3) Thế hμm tương quan (11.2.1) vμo (11.2.3) vμ lấy tích phân, ta nhận được
+
ω
ư β + α
+ ω + β + α
π
α
=
)
(
S z
+ +
+
+ +
+ +
ư
ư
2
) sin(
) ( ) cos(
ατ
m m
De
ω
ư β + α
τ ω
ư β ω
ư β + τ ω
ư β α
ư
) (
) sin(
) ( )
(11.2.4)
Như đã chỉ ra trong chương 3, số hạng thứ nhất của (11.2.4) lμ mật độ phổ thực, ứng với hμm tương quan (11.2.1) Do đó, số hạng thứ hai biểu thị độ chệch hệ thống của
đại lượng S~(ω) Độ chệch nμy, như đã thấy từ (11.2.4), giảm dần khi τm tăng
thức trong dấu ngoặc nhọn của công thức (11.2.4) không ảnh hưởng đáng kể đến đại lượng S~(ω)
thị mật độ phổ tính theo công thức (11.2.4) với D=1; α=0,1; β=0,644 vμ các giá trị
3
7,
=
Để lμm rõ tính biến động do tập mẫu của các giá trị thống kê của mật độ phổ vì thay thế hμm tương quan thực R(τ) trong công thức (11.2.3) bằng giá trị thống kê của nó
)
(
~
τ
R , trên hình 11.2 dẫn ra các giá trị S~(ω) nhận được theo chuỗi các trị số R~(τ) tính
nhận lấy bằng 112 giây
Trang 8Hình 11.1
Hình 11.2
Hình 11.3
tương quan R~(τ) biểu lộ rất mạnh
tại đó chưa biểu lộ rõ sự tản mạn của các giá trị thống kê của hμm tương quan Sự thoả
nếu khoảng dừng của quá trình ngẫu nhiên đủ lớn Còn nếu như khoảng dừng của quá trình không cho phép tăng đáng kể độ dμi thể hiện, trên đó xác định các đặc trưng thống
kê, thì lúc đó việc chọn hμm lμm trơn λ(τ) có vai trò quan trọng Trên hình 11.3 dẫn ra các giá trị mật độ phổ sóng gió S~(ω) tính theo công thức (11.1.9) với hμm trọng lượng Hemming (11.1.21) (đường cong 1), vμ với hμm trọng lượng Bartlette (11.1.15) (đường cong 2)
của τm lớn, τm=0,1T, tương ứng với sự tản mạn đáng kể của đại lượng R~(τ), đường cong
2 ư với τm nhỏ, thuộc miền tin cậy của đại lượng R~(τ) Như ta thấy từ hình 11.3, đường cong 2 cho những giá trị lμm trơn của mật độ phổ
Tμi liệu tham khảo
Phần 1
Trang 9
Ν
Ν
Ν
IV
VII,
Trang 10
Ν
n-Ν
Ν
Wiener N Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time series New York, 1949
33 Taylor G J Diffusion by continuous movements Proc London Math Soc (2), 20
PhÇn 2
Ν