Biến đổi hμm ngẫu nhiên bằng toán tử tuyến tính Giả sử hμm ϕt nhận được từ hμm ft bằng cách thực hiện một số phép toán nμo đó vμ L lμ ký hiệu qui ước các phép toán nμy, tức L lμ qui tắc
Trang 1Chương 4: Biến đổi tuyến tính quá trình ngẫu nhiên dừng
4.1 Biến đổi hμm ngẫu nhiên bằng toán tử tuyến tính
Giả sử hμm ϕ(t) nhận được từ hμm f(t) bằng cách thực hiện một số phép toán nμo đó
vμ L lμ ký hiệu qui ước các phép toán nμy, tức L lμ qui tắc, theo đó hμm f(t) biến đổi thμnh ϕ(t) Trong toán học, người ta gọi qui tắc, theo nó một tập hμm được ánh xạ sang một tập hợp hμm khác lμ toán tử Ta sẽ nói rằng, hμm ϕ(t) lμ kết quả tác dụng toán tử L lên hμm f(t), tức lμ
( )t =L{ }f( )t
ϕ (4.1.1) Trong kỹ thuật vô tuyến vμ các ứng dụng kỹ thuật khác người ta thường gọi hμm f(t) lμ tác dụng lối vμo, hμm ϕ(t) lμ tín hiệu ra, còn L toán tử của hệ lμm biến đổi tác dụng lối vμo Toán tử L được gọi lμ tuyến tính, nếu nó thoả mãn hai điều kiện sau:
1 L{cf( )x}=cL{ }f( )x (4.1.2)
tức lμ kết quả tác dụng toán tử lên tích của hμm f(t) vμ một thừa số không đổi c bằng tích của thừa số đó với kết quả tác dụng toán tử đó lên f(t)
2 L{f1( )t + f2( )t }=L{ }f1( )t +L{ }f2( )t (4.1.3)
tức lμ kết quả tác dụng toán tử lên tổng hai hμm bằng tổng kết quả tác dụng toán tử lên mỗi hμm riêng biệt
Toán tử không thoả mãn các điều kiện trên gọi lμ toán tử phi tuyến
Ví dụ, toán tử vi phân lμ toán tử tuyến tính, vì nó thoả mãn các đẳng thức
( )
{ } { } f ( ) t
dt
d c t cf dt
d
1
vμ
( ) ( )
{ } { } ( ) { } f ( ) t
dt
d t f dt
d t f t f dt
d
2 1
2
Toán tử lấy tích phân lμ toán tử tuyến tính Toán tử nhận được khi tác dụng liên tiếp một vμi toán tử tuyến tính cũng lμ toán tử tuyến tính Toán tử lấy kỳ vọng toán học của hμm ngẫu nhiên lμ toán tử tuyến tính
Ví dụ về toán tử phi tuyến lμ phép toán nâng lên luỹ thừa, toán tử lấy phương sai hμm ngẫu nhiên
Nếu hμm ngẫu nhiên Y(t) lμ kết quả tác dụng của một toán tử tuyến tính L bất kỳ lên hμm ngẫu nhiên X(t) có kỳ vọng toán học mx(t) vμ hμm tương quan Rx(t1,t2), tức lμ
( )t L{ }X( )t
Y = (4.1.4) thì
( ) t L { m ( ) t }
my = x (4.1.5)
( )t1,t2 L( ) ( ) 1 L2 {R ( )t1,t2 }
R y = t t x (4.1.6) nghĩa lμ my(t) nhận được bằng cách tác dụng toán tử L lên mx(t), Ry(t1,t2) nhận được bằng cách tác dụng hai lần toán tử L lên hμm Rx(t1,t2), đầu tiên theo đối số thứ nhất t1, sau đó theo đối số thứ hai t2
Trang 2Thực vậy,
( ) t M [ L { } X ( ) t ]
my = (4.1.7) Toán tử L tác dụng lên biến t, toán tử tìm kỳ vọng toán học tiến hμnh lấy trung bình tung độ của hμm ngẫu nhiên (khi cố định t) theo tập hợp tất cả các giá trị có thể của
đại lượng ngẫu nhiên X(t), cũng lμ toán tử tuyến tính Vì vậy, có thể đổi chỗ trật tự tác dụng của các toán tử M vμ L cho nhau, tức lμ my(t)= L{M[X(t)]}=L{mx(t)}, vμ điều đó đã chứng minh cho đẳng thức (4.1.5)
Tiếp theo
( ) t1, t2 M { [ Y ( ) t1 m ( ) t1 ] [ Y ( ) t2 m ( ) t2 ] }
( ){ ( ) } ( ){ ( ) }
[ L1 X t1 L1 m t1 L2 X t2 L21 m t2 ]
( ) ( ){ [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] }
[ L1L 2 X t1 m t1 X t2 m t2
( ) ( )1L2 { M [ [ X ( ) t1 m ( ) t1 ] [ X ( ) t2 m ( ) t2 ] ] }
Các công thức đã trình bμy trong chương 2 đối với kỳ vọng toán học vμ hμm tương quan của đạo hμm vμ tích phân của hμm ngẫu nhiên lμ các trường hợp riêng của (4.1.5)
vμ (4.1.6)
Việc biết Dx(t) lμ chưa đủ để nhận được phương sai Dy(t) của quá trình ngẫu nhiên Y(t) Trước hết cần phải tìm hμm tương quan Ry(t1,t2) theo công thức (4.1.6), sau đó thế vμo nó t1=t2=t
Để tìm các đặc trưng của hμm ngẫu nhiên, lμ kết quả tác dụng toán tử phi tuyến lên hμm ngẫu nhiên X(t), thì biết mx(t) vμ Rx(t1,t2) cũng chưa đủ, vì trong trường hợp nμy
qui luật phân bố của hμm X(t) đóng một vai trò quan trọng Đối với các toán tử phi tuyến
có thể nhận được những kết quả tương đối đơn giản chỉ ở trong một số trường hợp riêng Trong trường hợp tác dụng toán tử tuyến tính lên hμm X(t) có qui luật phân bố
chuẩn, hμm ngẫu nhiên Y(t) = L{X(t)} cũng tuân theo qui luật phân bố chuẩn, bởi vì do
tính chất tuyến tính của toán tử L, hμm Y(t) có thể chỉ nhận được nhờ tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn hoặc vô hạn các tung độ của hμm X(t) Nhưng từ lý thuyết xác suất
ta biết rằng, tổ hợp tuyến tính các đại lượng ngẫu nhiên phân bố chuẩn phụ thuộc hoặc
độc lập đều tuân theo qui luật phân bố chuẩn
Do vậy, trong trường hợp X(t) lμ hμm ngẫu nhiên tuân theo qui luật phân bố chuẩn, thì Y(t) cũng tuân theo qui luật phân bố chuẩn vμ các đặc trưng my(t), Ry(t1,t2) tìm được hoμn toμn xác định nó
Nếu X(t) không phải lμ hμm ngẫu nhiên phân bố chuẩn, thì Y(t) cũng sẽ không có cùng qui luật phân bố với X(t) Qui luật phân bố chuẩn cũng sẽ không được bảo toμn nếu toán tử L không tuyến tính
4.2 Biến đổi tuyến tính dưới dạng phổ
Ta hãy biểu diễn phép biến đổi tuyến tính dưới dạng phổ Muốn vậy, ta sử dụng khái niệm hμm delta Dirac, một hμm được sử dụng rộng rãi trong toán học
Hμm delta δ(t) lμ hμm có các tính chất sau:
Trang 31) ( )
=
∞
≠
=
0
0 0
t
t t
tức lμ δ(t) bằng không với mọi giá trị t khác không, còn tại điểm t = 0 thì tăng lên vô hạn 2) Tích phân hμm delta trên toμn miền vô hạn bằng đơn vị
( ) = 1
∞
∞
ư
dt t
δ (4.2.2)
Hμm delta không phải lμ hμm theo
nghĩa thông thường, mμ lμ một hμm
tượng trưng nμo đó Theo nghĩa chính
xác, hμm có các tính chất (4.2.1) vμ
(4.2.2) không tồn tại Tuy nhiên có thể
giống như giới hạn của hμm thông
thường
Ta lấy hμm Gauss lμm ví dụ
Hình 4.1
2
2 2
σ π
t
e t
đối với hμm nμy hệ thức (4.2.2) được thoả mãn
Ta sẽ giảm đại lượng σ xuống, khi đó đồ thị của hμm sẽ nhọn hơn (trong nguyên bản viết lμ đồ thị giãn ra ưND) (hình 4.1), giá trị cực đại ( )
σ π 2
1
0 =
giá trị khác không của hμm thu hẹp lại Lấy giới hạn khi σ→0 ta nhận được hμm có tính chất của hμm delta
Sử dụng khái niệm giới hạn nμy, có thể biểu diễn hμm delta dưới dạng tích phân Tương ứng với mục 1.12, mật độ phân bố của đại lượng ngẫu nhiên phân bố chuẩn có thể
được biểu diễn như lμ phép biến đổi ngược Fourier hμm đặc trưng của nó, theo (1.12.25)
2
2 σ ω
ω = eư
∞
∞
ư
ư
ư
ư
σ π
σ ω ω
t
2 2
2 2 2
2
2
1 2
1
(4.2.3)
Lấy giới hạn hai vế đẳng thức (4.2.3) khi σ→0 ta nhận được biểu diễn tích phân
hμm delta
∞
∞
ư
ư
π
d e
2
1 ) ( (4.2.4) Nếu xét hμm delta của đối số tưτ, với τ lμ một số xác định, thì
( )
=
∞
≠
=
ư
τ
τ τ
δ
t
t
(4.2.5)
Trang 4( ư ) = 1
∞
∞
ư
dt
t τ
δ (4.2.6)
Đối với mọi hμm f(t) bất kỳ, liên tục tại t=τ, ta có đẳng thức
( ) ( ) t d f ( ) t
∞
∞
ư
τ τ δ
τ (4.2.7)
Điều nμy được suy ra một cách đơn giản như sau, mặc dù không thật chặt chẽ Vì
δ(tưτ) khác 0 chỉ khi t=τ, nên tích phân (4.2.7) khác 0 chỉ trong khoảng [tưε, t+ε], với ε>0
bé tuỳ ý Từ đó
( ) ( ) ( ) ( )
ư
∞
∞
ư
ư
=
ε
τ τ δ τ τ
τ δ
τ
t
t
d t f d t
f f ( ) ( t t ) d f ( ) ( t t ) d f ( ) t
t t
= τ τ
ư δ
= τ τ
ư δ
∞
ư
ε + ε
ư
Ký hiệu g(t,τ) lμ kết quả tác dụng toán tử tuyến tính L nμo đó lên hμm delta δ(tưτ) tại điểm τ cố định
( )t τ =L{ δ (tưτ ) }
g , (4.2.8)
Nhờ hμm g(t,τ) nμy, ta sẽ biểu thị kết quả tác dụng toán tử L đã cho lên hμm f(t)
bất kỳ cho trên đoạn [a,b]
Tác dụng toán tử tuyến tính L lên hai vế đẳng thức (4.2.7), ta được
( ) { }= ( ) ( )
b
a
d f t g t f
L ,τ τ τ (4.2.9)
Như vậy, hμm ϕ(t)=L{f(t)}, kết quả tác dụng toán tử tuyến tính L lên hμm f(t), có thể được biểu diễn dưới dạng
( )= ( ) ( )
b
a
d f t g
ϕ , (4.2.10) Hμm g(t,τ), kết quả tác dụng toán tử L lên hμm delta δ(tưτ), được gọi lμ hμm trọng lượng (Trong kỹ thuật vô tuyến người ta gọi nó lμ hμm chuyển xung)
Nếu hμm f(t) được cho trong khoảng vô hạn (ư∞, +∞) thì có thể viết
( ) ∞ ( ) ( )
∞
ư
ϕ t g t , f d (4.2.11)
Trong trường hợp riêng, nếu toán tử L lμ dừng thì hμm trọng lượng chỉ phụ thuộc vμo hiệu tưτ Khi đó có thể viết
( ) ∞ ( ) ( )
∞
ư
ư
ϕ t g t f d (4.2.12) Tích phân (4.2.12) được gọi lμ tích phân chập của hμm f(t) vμ g(t)
Ký hiệu Sf(ω) vμ Sϕ(ω) lμ biến đổi Fourier (mật độ phổ) tương ứng của các hμm f(t)
vμ ϕ(t) Khi đó ta có:
( ) ∞ ( )
∞
ư
= S ω eωd ω
t
f f i t (4.2.13)
Trang 5( ) ∞ ( )
∞
ư
ϕ e d S
t i t (4.2.14)
Đặt các biểu thức trên vμo (4.2.12), ta nhận được
( ) ( ) ( )
∞
ư
∞
∞
ư
∞
∞
ư
ư
ω
Thay đổi thứ tự lấy tích phân trong tích phân hai lớp vμ lμm phép đổi biến tưτ=τ1,
ta được
( ) ( ) ( )
∞
ư
∞
∞
ư
ư
∞
∞
ư
ω
Ký hiệu G(ω) lμ biến đổi Fourier (mật độ phổ ) của hμm trọng lượng g(t)
( ) ∞ ( )
∞
ư
ư
π
ω 2
1
(4.2.17) Tích phân trong móc vuông (4.2.16) bằng 2πG(ω), từ đó có thể viết
( ) ( ) ( )
∞
∞
ư
=
Điều nμy chứng tỏ rằng, biến đổi ngược Fourier hμm Sϕ ( )ω ư S f ( )ω 2πG( )ω bằng
0, vμ do đó đẳng thức sau cần được thoả mãn
( ) ω ( ) ω π ( ) ω
S = f 2 (4.2.19) Hμm:
( ) ( ) ∞ ( )
∞
ư
ư
=
L ω 2 π ω iωt (4.2.20)
được gọi lμ hμm truyền của toán tử tuyến tính L Từ đó có thể viết (4.2.19) dưới dạng
( ) ω ( ) ( ) ω ω
Như vậy, mật độ phổ Sϕ(ω), kết quả của việc tác dụng toán tử tuyến tính L lên hμm f(t), bằng tích mật độ phổ Sf(ω) của hμm f(t) vμ hμm truyền L(ω) của toán tử
4.3 Mật độ phổ của phép biến đổi tuyến tính quá trình ngẫu nhiên dừng
Bây giờ ta xét quá trình ngẫu nhiên dừng X(t) có kỳ vọng toán học bằng 0 vμ hμm tương quan Rx(τ) cho trước Vμ giả sử một quá trình ngẫu nhiên khác Y(t) lμ kết quả tác dụng toán tử tuyến tính dừng L lên quá trình ngẫu nhiên X(t)
( )t L{ }X( )t
Y = (4.3.1) Khi đó ta có thể biểu diễn quá trình ngẫu nhiên Y(t) dưới dạng
( ) ∞ ( ) ( )
∞
ư
ư
= g t τ X τ d τ
t
Y (4.3.2)
với g(tưτ) lμ hμm trọng lượng
Trang 6Thật vậy, mỗi thể hiện yi(t) của quá trình ngẫu nhiên Y(t), kết quả tác dụng toán tử
L lên hμm không ngẫu nhiên xi(t) lμ thể hiện tương ứng của quá trình ngẫu nhiên X(t),
vμ do đó đối với chúng hệ thức (4.3.2) lμ đúng, khi đó nó cũng đúng đối với tập tất cả các thể hiện
Trong trường hợp toán tử tuyến tính L được cho dưới hình thức một bộ biến đổi thực nμo đó, thì nguyên tắc cần thoả mãn lμ khả năng thực hiện được về mặt vật lý, mμ theo đó phản ứng của bộ biến đổi lên tác dụng lối vμo không thể xuất hiện trước khi bắt
đầu có tác động xảy ra, tức lμ hμm trọng lượng g(tưτ) cần phải đồng nhất bằng 0 khi t<τ Xuất phát từ đó, đối với bộ biến đổi thực, công thức (4.3.2) cần phải viết dưới dạng
( ) ( ) ( )
∞
ư
ư
=
t
d X t g t
Y τ τ τ (4.3.3) Thực hiện phép đổi biến tưτ=τ1, ta được
( )=∞ ( ) ( ư )
0
τ τ
τ X t d g
t
Y (4.3.4)
g(t)=0 khi t <0
Ta xác định hμm tương quan quá trình ngẫu nhiên Y(t)
( )1 2 = [ ( ) ( )1 1 ] =
R t t M Y t Y t
ư
ư
0
2 2 2 1
0
1 1
g M
( ) ( ) [ ( ) ( ) ] =
ư
ư
= ∞ ∞
0
1 0
2 2 2 1 1 2
g
( ) ( ) ( )
∞
+
ư
ư
=
0
2 1 2 1 2 2 0
1
Từ đó thấy rằng, hμm tương quan Ry(t1,t2) chỉ phụ thuộc vμo hiệu t2ưt1=τ, tức Y(t) lμ quá trình ngẫu nhiên dừng theo nghĩa rộng
( )=∞ ( ) ∞ ( ) ( ư + )
0
2 1 2 2
0
1 1 x
R τ gτ dτ gτ R xτ τ τ dτ (4.3.6)
Ta xác định mật độ phổ của quá trình ngẫu nhiên Y(t)
( ) = ∞ ( ) =
∞
ư
τ π
2
1
Sy
( ) ( ) ( )
∞
∞
ư
=
0
2 1 2 2
0
1 1 2
1
τ τ τ τ τ τ τ τ
i
(4.3.7)
Thay đổi thứ tự tích phân trong tích phân ba lớp vμ lμm phép đổi biến τưτ2+τ1=t,
ta nhận được tích của ba tích phân một lớp
( ) ( ) ( ) ∞ ( )
∞
ư
ư
∞
ư
∞
ω
0
2 2
0
1 1
2 1
Trang 7Khi đó thừa số ( ) ( ) ω
t i
x t e dt S
∞
∞
ư
ư
2
1
lμ mật độ phổ quá trình ngẫu nhiên X(t)
Tích phân ( ) τ ωτ τ =L( ) ω
0
2
∞
e
chỉ nhận các giá trị thực, nên tích phân ( ) τ ωτ τ =L*( ) ω
0
1
∞
d e
của hμm truyền Như vậy, công thức (4.3.8) có thể viết dưới dạng
( ) ( ) ( ) ( ) ω ω ω x ω
S (4.3.9) hay
( ) ω ( ) ( ) ω x ω
2
S (4.3.10)
Do vậy, mật độ phổ của kết quả biến đổi quá trình ngẫu nhiên dừng X(t) nhờ toán
tử tuyến tính dừng L bằng tích mật độ phổ của quá trình ngẫu nhiên vμ bình phương modul hμm truyền của toán tử
4.4 nghiệm dừng của phương trình vi phân tuyến tính
có hệ số hằng số
Để lμm ví dụ cho toán tử tuyến tính ta xét phương trình vi phân tuyến tính có hệ số hằng số
( ) + ( ) + + ( ) + ( ) =
ư
ư
dt
t dy a dt
t y d a dt
t y d
n n n n
1
( ) ( ) ( ) b x ( ) t
dx
t dx b dt
t x d b dt
t x d
m m m m
1
+
Như đã biết từ lý thuyết phương trình vi phân tuyến tính có vế phải, nghiệm tổng quát của phương trình (4.4.1) bằng tổng của nghiệm tổng quát y (t ) của phương trình thuần nhất tương ứng vμ một nghiệm riêng bất kỳ của phương trình không thuần nhất Nghiệm y (t ) xác định cái gọi lμ dao động tự do hay dao động riêng của quá trình đang xét, không phụ thuộc vμo hμm x(t) Trên thực tế thường gặp những quá trình ổn định trong đó dao động tự do tắt dần theo thời gian
Nếu xét một thời điểm khá xa so với thời điểm ban đầu, khi mμ các dao động tự do trên thực tế không còn tồn tại, ta có thể đặt y (t ) = 0 Khi đó, bμi toán dẫn tới việc tìm dao động cưỡng bức y(t) gây nên bởi x(t) Người ta gọi quá trình như vậy lμ ổn định để phân biệt với quá trình chuyển tiếp mμ ở đó còn tồn tại dao động tự do
Ta ký hiệu toán tử vi phân bằng chữ cái p, tức lμ
n
n n
dt
d p dt
d p dt
d
p = , 2 = 22 , , =
(4.4.2) Khi đó có thể viết phương trình (4.4.1) dưới dạng ký hiệu
(anpn
+ an-1pn-1
+ +a1p+a0)y(t)=(bmpm
+ bm-1pm-1
+ +b1p+b0)x(t) (4.4.3)
Đặt
anpn
+ an-1pn-1
+ +a1p+a0=An(p)
Trang 8bmp + bm-1p + +b1p+b0=Bm(p) (4.4.4)
ta có thể viết (4.4.3) dưới dạng ký hiệu gọn hơn nữa
( ) ( ) ( ) ( ) x t
p A
p B t y
n
m
= (4.4.5)
Biểu thức
) (
) (
p A
p B
n
m lμ toán tử phương trình vi phân (4.4.1) được viết dưới dạng ký
hiệu Có thể nói rằng hμm y(t) lμ kết quả tác dụng toán tử đó lên hμm x(t) Vì phương trình vi phân tuyến tính có hệ số không đổi thoả mãn nguyên lý chồng chất, tức nếu x(t)
lμ tổng của một số hμm thì nghiệm y(t) bằng tổng các nghiệm của mỗi hạng tử riêng rẽ, nên toán tử đang xét lμ tuyến tính Vμ khi đó, từ những điều đã trình bμy ở mục 4.2, có thể tìm nghiệm y(t), kết quả của việc tác dụng toán tử tuyến tính (4.4.5) lên hμm x(t), theo công thức (4.2.12) dưới dạng:
( ) ∞ ( ) ( )
∞
ư
ư
= g t τ x τ d τ
t
y , (4.4.6)
nếu như đã biết hμm trọng lượng g(tưτ) lμ nghiệm của phương trình vi phân (4.4.1), trong
đó hμm delta δ(tưτ) đóng vai trò lμ x(t)
Như vậy, để tìm nghiệm y(t) của phương trình (4.4.1) cần tìm nghiệm của phương trình
( ư τ ) = ( ) ( ( ) δ t ư τ )
p A
p B t
g
n
m
(4.4.7)
đối với mọi giá trị t khi τ cố định vμ đặt hμm g(tưτ) tìm được vμo (4.4.6)
Thuận tiện hơn sẽ tìm nghiệm y(t) dưới dạng phổ khi sử dụng công thức liên hệ
(4.2.21) giữa mật độ phổ của các hμm x(t) vμ y(t) Khi đó cần phải tìm hμm truyền L(ω) của toán tử
) (
) (
p A
p B
n
Để tìm hμm truyền L(ω) ta xem x(t) lμ dao động điều hoμ
x(t)=ei ω t (4.4.8) Khi đó, theo (4.4.6), nghiệm y(t) được viết dưới dạng
( ) = ( ư ) = ∞ ( ) ( ) =
∞
ư
ư
∞
∞
ư
τ τ
τ
t g t
( ) τ ωτ τ ω ( ) ω
ei t i = i t
= ∞
∞
ư
ư (4.4.9)
Ta thay (4.4.8) vμ (4.4.9) vμo (4.4.1) Vì
( )k i t t
i k
k
e i e dt
ω
= (4.4.10)
( )
[ i t ] ( ) ( )k i t k
k
e L i L
e dt
ω ω
ω = (4.4.11) nên ta có
[an(iω)n+ an-1(iω)n-1+ + a1(iω)+a0]L(ω)ei ω t=
Trang 9=[bm(iω)m+ bm-1(iω)m-1+ + b1(iω)+b0]ei ω t (4.4.12)
Từ đó ta nhận được biểu thức đối với hμm truyền
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 1
1 1
0 1
1 1
a i a i
a i
a
b i b i
b i
b
n n n
m m m m
+ +
+ +
+ +
+ +
ư
ư
ư
ω ω
ω
ω ω
ω
Khi sử dụng ký hiệu (4.4.4) có thể viết
( ) ω ( ) ( ) ω ω
i A
i B L
n
m
= (4.4.14)
Như vậy, để xác định hμm truyền, thay cho toán tử vi phân p, cần phải đặt vμo
toán tử phương trình vi phân đại lượng iω
Khi thay biểu thức tìm được của hμm truyền vμo (4.2.21), ta nhận được biểu thức
đối với mật độ phổ Sy(ω) của nghiệm phương trình vi phân
( ) ( ) ( ) ( ) ω
ω
ω
n
m
i A
i B
S = (4.4.15) trong đó Sx(ω) lμ mật độ phổ của hμm x(t)
Bây giờ ta xét trường hợp khi mμ x(t) trong phương trình (4.1.4) lμ quá trình ngẫu nhiên dừng X(t) có kỳ vọng toán học bằng 0 vμ hμm tương quan lμ Rx(τ) Ta sẽ xác định hμm tương quan của quá trình ngẫu nhiên Y(t) lμ nghiệm của phương trình (4.4.1) Vì Y(t) lμ kết quả tác dụng toán tử tuyến tính
) (
) (
p A
p B
n
X(t), nên, từ những điều đã trình bμy trong mục 4.3, Y(t) cũng lμ hμm ngẫu nhiên dừng
Khi đó giữa mật độ phổ của các hμm ngẫu nhiên X(t) vμ Y(t) xảy ra hệ thức (4.3.10)
Đặt giá trị tìm được của hμm truyền của phương trình vi phân (4.4.14) vμo (4.3.10)
ta được
( ) ( ) ( ) ( ) ω
ω ω
n
m
i A
i B S
2
= (4.4.16)
Khi biết mật độ phổ Sy(ω), ta có thể tìm được hμm tương quan Ry(τ) của hμm ngẫu nhiên Y(t) theo công thức
( ) ∞ ( )
∞
ư
d e S
Ry y i (4.4.17)
Các ví dụ
1 Với những giả thiết nhất định, chuyển động một chiều (hình chiếu trên trục cho trước) trong mặt phẳng ngang của phần tử trong dòng khí có thể được mô tả bởi phương trình
( ) bv ( ) ( ) t F t
dt
t dv
m + = (4.4.18)
ở đây v(t) lμ hình chiếu của xung vận tốc phần tử trên trục đã cho, còn F(t) lμ hình chiếu của lực tác động lên phần tử do ảnh hưởng của rối khí quyển, thμnh phần bv(t) đặc trưng cho lực ma sát
Nếu chia (4.4.18) cho khối lượng phần tử m, thì phương trình được viết dưới dạng
Trang 10( ) v ( ) t F ( ) t
dt
t dv
1
= + α (4.4.19) Phương trình (4.4.19) lμ phương trình Lanjeven
Ta sẽ cho rằng lực F1(t) lμ hμm ngẫu nhiên dừng của thời gian mμ mật độ phổ của
nó Sf(ω) có thể nhận giá trị hằng số, tức lμ "ồn trắng"
Sf(ω)=c=const (4.4.20) Như ta đã chỉ ra (xem mục 3.2, ví dụ 1), mật độ phổ không thể hằng số trên toμn dải tần số, vì nếu vậy phương sai của quá trình ngẫu nhiên trở nên vô hạn Giả thiết rằng mật độ phổ có dạng đường cong (hình 4.2) ít thay đổi trong một khoảng [ưT, T] nμo
đó vμ một cách gần đúng có thể xem nó lμ hằng số
Khi tần số ω tiến đến vô hạn, S(ω) tiến đến 0 rất nhanh, đảm bảo tính hội tụ của tích phân ∞ ( )
∞
ư
ω
S
Hình 4.2
Ta tìm hμm tương quan của quá trình ngẫu nhiên V(t) lμ nghiệm của phương trình (4.4.9) ở chế độ ổn định
Muốn vậy, ta xác định hμm truyền của phương trình (4.4.9) khi viết nó dưới dạng
ký hiệu
( ) F ( ) t p
t
α +
= (4.4.21)
Đối với phương trình (4.4.21) hμm truyền được viết dưới dạng
( ) ω ω α
+
=
i
(4.4.22)
Từ đó ta nhận được mật độ phổ Sv(ω) của nghiệm V(t) dưới dạng
( ) ( ) ω
α ω
i S
2
1 +
= (4.4.23) hay
( ) ω = ω2 + α2
c
Sv (4.4.24)
Từ công thức (4.4.24) thấy rằng, Sv(ω) giảm khi ω tăng, vμ dải tần số lớn, ở đó trị số
Sf(ω) khác giá trị c mμ ta đã thừa nhận, không quan trọng
Khi biết mật độ phổ Sv(ω) ta có thể tìm được hμm tương quan Rv(τ)
Trong ví dụ 1 mục 3.2 ta đã thấy rằng mật độ phổ