LÝ THUYẾT HÀM NGẪU NHIÊN TRONG KHÍ TƯỢNG THỦY VĂN - Chương 8 pps

Với hệ hμm được chọn như trên việc biểu diễn hμm ngẫu nhiên X t dưới dạng tổng n số hạng n k kϕ ≈ =1 8.1.17 được gọi lμ khai triển hμm thμnh tổng các thμnh phần trực giao tự nhiên..

có thể định ra những chỉ dẫn cụ thể về việc chọn tối ưu độ dμi tuyến đo tuyết vμ khoảng cách giữa các điểm đo ứng với từng vùng địa lý căn cứ vμo những dẫn liệu về cấu trúc thống kê của độ cao thảm tuyết ở vùng đã cho

Chương 8: Khai triển quá trình ngẫu nhiên vμ trường ngẫu nhiên

thμnh những thμnh phần trực giao tự nhiên

8.1 Thiết lập bμi toán

Trong toán học, phương pháp khai triển các hμm thμnh chuỗi theo một hệ hμm trực giao chuẩn hoá nμo đó được sử dụng rộng rãi Hệ hμm ϕ1(t), ϕ2(t), , ϕn (t), được gọi lμ trực giao chuẩn hoá (trực chuẩn) trên khoảng [ b a , ] (hữu hạn hoặc vô hạn), nếu thoả mãn

hệ thức

=

≠

= ϕ

ϕ

b

a

k i

k i

k i t

d t t

, )

( ) (

khi 1

khi 0

(8.1.1)

Hệ hμm {ϕk (t)} được gọi lμ đầy đủ nếu như một hμm f (t) bất kỳ cho trên khoảng ]

,

[ b a , có thể khai triển thμnh chuỗi Fourier theo nó

∞

= ϕ

=

1

k k

a t

f() ( ) (8.1.2) Các hằng số a k gọi lμ các hệ số Fourier vμ từ (8.1.1), (8.1.2) chúng được xác định theo công thức

 ϕ

=

b

a k

a ( ) ( ) , (8.1.3) Tổng n số hạng đầu tiên của chuỗi (9.1.2)



=

ϕ

= n

k k k

f

1

)

( )

( (8.1.4)

được gọi lμ đa thức Fourier của hμm f (t) Bây giờ, một cách gần đúng, nếu ta thay thế hμm f (t) bằng tổng (8.1.4) thì với mỗi giá trị của đối số t xuất hiện sai số δn (t) bằng

)

( ) ( ) (t f t f n t

δ (8.1.5) Người ta gọi đại lượng δn lμ sai số bình phương trung bình của phép xấp xỉ hμm )

(t

f bằng tổng (8.1.4) trên khoảng [ b a , ]

 ư

= δ

b

a

n

n f(t) f (t) 2dt (8.1.6)

Từ các đa thức dạng



= ϕ

n

k k

C

1

) ( ,

độ lệch bình phương trung bình nhỏ nhất của hμm f (t) sẽ cho một đa thức Fourier, tức một đa thức mμ các hệ số C k lμ các hệ số Fourier a k Khi đó đại lượng 2

n

δ bằng

=

ư

= δ

b

a

n

k k

1

2 2

2 ( ) (8.1.7) Thực vậy,

=













ϕ

ư

=

=

b

a

n

k k k

2

1

 ư   ϕ +

=

=

b

a

b

a k n

k

C dt

t

1

= =

= ϕ ϕ

n

k n

i b

a

i k i

C

1 1

) ( ) (

 ∞ 

ư

ư

=

b

n

k k k

C dt t f

2 2

2() ( ) (8.1.8)

Vế phải của (8.1.8) nhận giá trị nhỏ nhất bằng (8.1.7) khi 

=

=

ư

n

k

k

k a C

1

2 0 )

k

Đại lượng 2

n

δ không âm, vì vậy ta có bất đẳng thức



 ≤

=

b

a n

k

1

2

(8.1.9)

Từ đó thấy rằng, đối với các hμm khả tích với bình phương, tức khi b

a dt t

f2( )

lμ một

số hữu hạn, thì chuỗi ∞

=1 2

k k

a hội tụ, hơn nữa, bất đẳng thức sau xảy ra



∞ ≤

=

b

a k

1

2

(8.1.10)

vμ nó được gọi lμ bất đẳng thức Bessel

Nếu hệ hμm {ϕk (t)}lμ đầy đủ thì đối với một hμm lấy được tổng bình phương bất kỳ )

(t

f sẽ có đẳng thức



∞ =

=

b

a k

1

2

(8.1.11)

vμ được gọi lμ phương trình khép kín

Người ta ứng dụng việc khai triển các hμm theo những hệ hμm trực chuẩn khác nhau: khai triển thμnh chuỗi Fourier theo hệ hμm lượng giác, khai triển thμnh chuỗi FourierưBessel theo hệ hμm Bessel, khai triển theo các đa thức trực giao ư Trebưsev, Ermit vμ các hệ hμm khác

Phương pháp khai triển theo hệ các hμm trực chuẩn cũng có thể áp dụng vμo các hμm ngẫu nhiên

Giả sử X (t) lμ một hμm ngẫu nhiên xác định trên khoảng [ b a , ] có kỳ vọng toán học bằng không m x (t)=0 vμ hμm tương quan cho trước R x(t1,t2), t1,t2∈[a,b]; {ϕk (t)} lμ hệ hμm trực chuẩn đầy đủ Khi đó ta biểu diễn hμm ngẫu nhiên X (t) dưới dạng chuỗi Fourier

= ϕ

=

1

k k

A t

X() () (8.1.12) Các hệ số Fourier A k được xác định dưới dạng

 ϕ

=

b

a k

A () () (8.1.13)

lμ những đại lượng ngẫu nhiên

Ta ký hiệu



= ϕ

= n

k k k

X

1

) ( )

( (8.1.14)

lμ tổng của n số hạng đầu tiên của khai triển (8.1.12) vμ ta sẽ xấp xỉ hμm ngẫu nhiên )

(t

X bằng tổng X n (t) Khi đó, sai số bình phương trung bình của phép xấp xỉ

 ư

= δ

b

a

n

n x(t) X (t) 2d t (8.1.15)

sẽ lμ một đại lượng ngẫu nhiên

Để lμm thước đo độ chính xác của phép xấp xỉ ta sử dụng kỳ vọng toán học của bình phương đại lượng ngẫu nhiên δn

[ ]2 2

n

n =M δ

σ (8.1.16)

Đại lượng 2

n

σ biểu thị phương sai sai số của phép xấp xỉ đại lượng ngẫu nhiên, nó phụ thuộc vμo việc chọn hệ hμm {ϕk (t)} vμ số lượng hμm n của chúng Khi đó, có thể không cho trước hệ hμm {ϕk (t)} mμ xác định hệ nμy xuất phát từ yêu cầu thoả mãn một điều kiện

tự nhiên nμo đó Chẳng hạn, có thể xác định một hệ như vậy từ một số cho trước n hμm

) ( ),

(

),

(t ϕ t ϕn t

ϕ1 2 , sao cho đại lượng 2

n

σ trong (8.1.16) trở thμnh cực tiểu Những hμm )

( ),

(

),

(t ϕ t ϕn t

ϕ1 2 , như vậy được gọi lμ những hμm trực giao tự nhiên Với hệ hμm được chọn như trên việc biểu diễn hμm ngẫu nhiên X (t) dưới dạng tổng n số hạng

) ( )

n

k

kϕ

≈

=1

(8.1.17)

được gọi lμ khai triển hμm thμnh tổng các thμnh phần trực giao tự nhiên

Những vấn đề lý thuyết của việc khai triển theo các thμnh phần trực giao tự nhiên

vμ các tính chất của phép khai triển như vậy đã được xét trong các công trình của Kh Khoteling [92], A M Obukhov [67, 68], N A Bagrov [35, 36], V S Pugatrev [21]

Từ đẳng thức (8.1.7), có thể viết biểu thức (8.1.15) dưới dạng





=

ư

=

k k b

a

1

2 2

2 () (8.1.18)

Sử dụng (8.1.13) ta nhận được

 



=

=











 ϕ

ư

=

k b

a k b

a

1

2 2

2 ( ) () ( )





ư

k b

a b

a

k k b

a

dt dt t t t X t X dt

t X

1

2 1 2 1 2 1

2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (8.1.19)

Thế giá trị nμy của 2

n

δ vμo (8.1.16) ta nhận được



=

ϕ ϕ

ư

= σ

k a a

k k x

a x

1

2 1 2 1 2 1

2 ( ) ( , ) ( ) ( ) (8.1.20) Bμi toán quy về tìm các hμm ϕ1(t),ϕ2(t), ,ϕn(t) sao cho biểu thức (8.1.20) trở thμnh cực tiểu, hay nói cách khác, sao cho tổng



n

k b

a b

a

k k

R

1

2 1 2 1 2

1, ) ( ) ( ) ( (8.1.21) trở thμnh cực đại

8.2 Một số kiến thức về lý thuyết phương trình tích phân

Để tìm hệ hμm trực chuẩn lμm cho (8.1.21) cực đại, ta sử dụng những kết quả đã biết từ lý thuyết phương trình tích phân với nhân đối xứng mμ chúng ta sẽ liệt kê dưới

đây vμ bỏ qua việc chứng minh Trình bμy chi tiết về lý thuyết nμy có thể tìm thấy, chẳng hạn, trong [66, 24]

Xét phương trình tích phân thuần nhất

 ϕ =λϕ

b

a

x ds s s x

K( , ) ( ) ( ), (8.2.1) trong đó hμm K ( s x, ) lμ hμm hai biến thực cho trong hình chữ nhật a≤x≤b, a≤s≤b;λ lμ một số nμo đó; ϕ(x) lμ hμm cần tìm cho trên khoảng [ b a , ]

Ta sẽ xem các hμm K ( s x, ) vμ ϕ(x) giới nội vμ có số một hữu hạn điểm gián đoạn, tại

đó tích phân trong (8.2.1) tồn tại

Hμm K ( s x, ) gọi lμ nhân của phương trình tích phân Nếu thoả mãn hệ thức

) , ( ) ,

x s K s x

K = , (8.2.2)

đối với nhân thực, điều nμy tương đương với đẳng thức

) , ( ) , (x s K s x

K = , (8.2.3) thì nhân được gọi lμ đối xứng

Các giá trị của tham số λ, tại đó phương trình tích phân (8.2.1) có nghiệm không

đồng nhất bằng không, được gọi lμ giá trị riêng của nhân K ( s x, ) hay của phương trình (8.2.1) Nếu λ=λ0 lμ giá trị riêng của phương trình (8.2.1) vμ ϕ0(x) lμ nghiệm của phương trình nμy khi λ=λ0, tức

) ( )

( ) , (x s s d s x K

b

a

0 0

0 =λ ϕ ϕ

 , (8.2.4) thì hμm ϕ0(x) được gọi lμ hμm riêng ứng với giá trị riêng λ0 của nhân K ( s x, ) hay của phương trình tích phân

Có thể chỉ ra rằng tất cả các giá trị riêng của nhân đối xứng lμ những số thực, vμ tất cả các hμm riêng cũng có thể coi lμ những hμm thực

Các hμm riêng của nhân đối xứng, ứng với những giá trị riêng khác nhau, trực giao với nhau Có thể lμm cho các hμm riêng trở thμnh các hμm chuẩn hoá

Ta quy ước liệt kê dãy các số riêng theo thứ tự giá trị tuyệt đối giảm dần Như vậy, nếu

( )

2

1 λ λ λ ≥ λ ≥ ≥λ ≥

λ , , n, (8.2.5)

lμ dãy các giá trị riêng của một nhân đối xứng nμo đó, thì tương ứng với dãy nμy lμ hệ trực giao các hμm riêng

,

2

1(x),ϕ (x), ϕn(x)

ϕ (8.2.6) Trong trường hợp nμy định lý GilbertưSmidth khẳng định rằng, có thể biểu diễn hμm f (x) bất kỳ qua nhân K ( s x, ) dưới dạng



=

b

a

ds s h s x K x

f( ) ( , ) ( ) , (8.2.7) trong đó h (s) lμ một hμm giới nội nμo đó có số hữu hạn điểm gián đoạn vμ khai triển được thμnh chuỗi Fourier hội tụ tuyệt đối vμ đều theo các hμm riêng của nhân Do đó nếu viết chuỗi Fourier của hμm h (x) theo các hμm riêng (8.2.6) của nhân K ( s x, ) dưới dạng

)

(x

h ~ ∞

= ϕ

1

k k

h ( ), (8.2.8) thì hμm f (x) (8.2.7) được khai triển thμnh chuỗi

∞

=

ϕ λ

=

1

k

k k

x

f( ) ( ), (8.2.9) trong đó λk lμ giá trị riêng, còn ϕk (x) lμ hμm riêng của nhân K ( s x, )

Giả sử p (x) vμ q (x) lμ hai hμm giới nội có số hữu hạn điểm gián đoạn trên khoảng ]

,

[ b a Lập tích phân kép

b

a b

a

dxds s q x p s x

K( , ) ( ) ( ) (8.2.10)

áp dụng định lý Gilbert-Smidth, ta được

 ∞

=

ϕ λ

=

b

k k

ds s q s x K

1

) ( )

( ) , ( , (8.2.11) trong đó q k lμ các hệ số Fourier của hμm q (x) khi khai triển thμnh chuỗi Fourier theo các hμm riêng (8.2.6), vμ chuỗi ở vế phải hội tụ đều

Nhân hai vế của (8.2.11) với p (x), lấy tích phân theo x vμ ký hiệu p k lμ những hệ

số Fourier của hμm p (x) khi khai triển nó thμnh chuỗi theo các hμm riêng (8.2.6), ta nhận được biểu diễn của tích phân (8.2.10) dưới đây:

  ∞

= λ

=

b

k k k b

a

q p dxds

s q x p s x K

1

) ( ) ( ) , ( (8.2.12)

Đặc biệt, khi p(x)≡q(x) ta được

  ∞

=

λ

=

b

k k b

a

p dxds

s p x p s x K

1

2

) ( ) ( ) , ( (8.2.13)

Ta sẽ xét những tính chất cực trị của các hμm riêng của nhân đối xứng Khi sắp xếp các giá trị riêng theo thứ tự giảm dần giá trị tuyệt đối của chúng, theo (8.2.13) ta có

=

λ

≤

b

k b

a

p dxds

s q x p s x K

1

2 1

) ( ) ( ) , ( (8.2.14) Theo phương trình khép kín (8.1.11),

 ∞

=

=

k p dx x p

1

2

2( ) (8.2.15)

Đối với hμm chuẩn hoá p (x), tích phân trong vế trái (8.2.15) bằng đơn vị, do đó

∞

=

=

1

2 1

k k

p (8.2.16)

Từ đó, đối với hμm chuẩn hoá p (x) bất đẳng thức (8.2.14) được viết dưới dạng

b

a b

a

dxds s q x p s x

K( , ) ( ) ( ) 1 (8.2.17) Trong (8.2.17) đẳng thức sẽ xảy ra khi p(x)=ϕ1(x), tức khi hμm p (x) trùng với hμm riêng ϕ1(x)

Thực vậy, sau khi nhân hai vế đẳng thức

( )

2

1 λ λ λ ≥λ ≥ ≥ λ ≥

λ , , n, (8.2.18) với ϕ1(x) vμ lấy tích phân theo x, do tính chuẩn hoá của hμm ϕ1(x), ta nhận được:

 ϕ ϕ =λ ϕ =λ

b

a b

a

b

a dx x dxds

s x s x

K( , ) 1( ) 1( ) 1 21( ) 1 (8.2.19) Như vậy, định lý sau đây lμ đúng: Trên tập hợp các hμm chuẩn hoá p (x) tích phân

b

a

b

a

dxds s p

x

p

s

x

K( , ) ( ) ( ) có cực đại bằng λ1 khi p(x)=ϕ1(x)

Bây giờ xét tập hợp các hμm chuẩn hoá p (x) trực giao với mư1 hμm riêng đầu tiên của (8.2.6) của nhân K ( s x, ) Khi đó trong (8.2.13) mư1 hệ số Fourier đầu tiên p k của biểu thức khai triển hμm p (x) thμnh chuỗi Fourier theo các hμm (8.2.6) sẽ bằng không Khi đó (8.2.13) được viết dưới dạng

= λ

=

b

a b

k

k p dxds

s p x p s x

K( , ) ( ) ( ) 2 (8.2.20)

Từ đó

b

a b

a

m dxds s p x p s x

K( , ) ( ) ( ) (8.2.21) Trong (8.2.21) đẳng thức đạt được khi p(x)=ϕm(x), tức lμ định lý sau đây đúng: Trên tập hợp các hμm chuẩn tắc p (x) trực giao với mư1 hμm riêng đầu tiên của nhân )

,

( s x

K , tích phân b

a b

a

dxds s p x p s x

K( , ) ( ) ( ) có cực đại bằng λm , cực đại nμy đạt được khi )

(

)

8.3 Tìm các thμnh phần trực giao tự nhiên

Bây giờ trở lại bμi toán tìm hệ các hμm {ϕk (x)} lμm cho tổng (8.1.21) trở thμnh cực

đại, ta thấy rằng trên cơ sở lý thuyết đã trình bμy trong mục 8.2, mỗi số hạng thứ k của

nó có cực đại bằng λk khi chọn hμm riêng của hμm tương quan R x(t1,t2) ứng với giá trị riêng λk lμm hμm ϕk (t) Như vậy, với tư cách lμ các hμm trực giao tự nhiên của phép khai triển hμm ngẫu nhiên X (t) (8.1.17) phải lấy n hμm riêng đầu tiên của hμm tương

quan R x(t1,t2) tương ứng với n giá trị riêng của hμm tương quan nμy được sắp xếp theo thứ tự giảm dần giá trị tuyệt đối

Khi đó phương sai sai số của phép xấp xỉ 2

n

σ được xác định theo công thức

=

λ

ư

= σ

b

a

n

k k x

1

2 (, ) (8.3.1)

Từ đẳng thức

 ϕ ϕ

= λ

b

a b

a

k k x

b

a

t X



























 ϕ

2 ) ( ) ( (8.3.2)

thấy rằng, các giá trị riêng của hμm tương quan lμ phương sai của các hệ số A k tương ứng của khai triển hμm ngẫu nhiên theo hệ các hμm riêng {ϕk (t)} Do đó, các giá trị riêng của hμm tương quan thực sự lμ những số dương, vμ dấu giá trị tuyệt đối trong (8.3.1) có thể bỏ đi

Hệ phương pháp đã trình bμy hoμn toμn có thể áp dụng cả cho khai triển trường ngẫu nhiên thμnh các thμnh phần trực giao tự nhiên Trong trường hợp nμy, tất cả các hμm được xét như hμm của điểm N(ρ) cho trên miền giới hạn nμo đó với số chiều đã cho Chẳng hạn, giả sử U(ρ)=U(x,y,z) lμ trường không gian ngẫu nhiên xác định trong miền

D, có kỳ vọng toán học bằng không vμ hμm tương quan R u(ρ 1,ρ2)

Ta biểu diễn trường ngẫu nhiên U(ρ) dưới dạng tổng



= ϕ ρ

≈

k k k A U

1

) ( )

(  , (8.3.3) trong đó {ϕ k(ρ)} lμ hệ hμm trực chuẩn đầy đủ trong miền D, tức lμ đối với nó điều kiện sau được thực hiện

 

≠

=

= ϕ

ϕ

)

, )

, , ( ) , , (

D

k i

k i

k i dxdydz

z y x z y x

khi

khi

(8.3.4)

Các hệ số Fourier A k lμ những đại lượng ngẫu nhiên được xác định theo công thức

 ϕ

=

) (

) , , ( ) , , (

D

k

A (8.3.5)

Trong trường hợp nμy bμi toán xấp xỉ trường ngẫu nhiên bởi tổng các thμnh phần trực giao tự nhiên (8.3.3) được quy về việc tìm các hμm ϕ1(ρ),ϕ2(ρ), ,ϕn(ρ) lμm cực đại tổng

ζ η ξ ζ η ξ ϕ

ì

















ϕ ζ η ξ

 

=

d d d dxdydz

z y x z

y x

n

k

) ( ( ) 1

(8.3.6)

Khi xem xét lý thuyết đã trình bμy trong mục 8.2 áp dụng vμo phương trình tích phân

) , , ( )

, , ( ) , ,

; , , (

) (

z y x d

d d z

y x K D

λϕ

= ζ η ξ ζ η ξ ϕ ζ η ξ

ta nhận được những hμm trực giao tự nhiên của khai triển trường ngẫu nhiên U(ρ) (8.3.3) lμ n hμm riêng đầu tiên của hμm tương quan R u(ρ 1,ρ2) tương ứng với n giá trị

riêng đầu tiên của phương trình (8.3.7) được sắp xếp theo thứ tự không tăng giá trị của chúng Khi đó phương sai sai số của phép xấp xỉ 2

n

σ được xác định theo công thức





=

λ

ư

=

k k D

u

1 2

) (

) , ,

; , , ( (8.3.8)

Từ những công thức đối với phương sai sai số của phép xấp xỉ (8.3.1) hay (8.3.8) thấy rằng, độ chính xác tăng lên khi tăng số các thμnh phần trực giao tự nhiên mμ hμm ngẫu nhiên khai triển theo chúng Tuy nhiên các số λ1,λ2, ,λn phân bố theo thứ tự giảm dần, do đó số thứ tự của thμnh phần trong công thức (8.1.14) hay (8.3.3) cμng lớn thì, về trung bình, tỷ trọng của thμnh phần cμng nhỏ Nếu các giá trị riêng giảm khá nhanh, thì

điều đó cho phép nhận những kết quả gần đúng khi chỉ cần chú ý tới một số không lớn các thμnh phần ưu điểm cơ bản của phép khai triển theo các thμnh phần trực giao tự nhiên lμ ở chỗ nó tập trung tối đa thông tin về hμm ngẫu nhiên vμo một số không nhiều các số hạng

Khi đánh giá độ chính xác của phép xấp xỉ (8.1.17) bởi một số n các thμnh phần trực giao tự nhiên đã chọn, có thể sử dụng phương sai tương đối của sai số xấp xỉ





















ư

= η





b

a

b

a

n

n

dt t X M

dt t X t X M

) (

)]

( ) ( [ 2

2

2

(8.3.9)

Theo (8.3.1) với giá trị cực tiểu của 2

n

σ ta nhận được



=

λ

ư

=

a x

b

a

n

k k x

n

dt t t R

dt t t R

) , (

) , (

1

2 (8.3.10)

Sau khi dựng đồ thị phụ thuộc của đại lượng ηn vμo số n, có thể ước lượng số số hạng khai triển cần thiết tuỳ theo độ chính xác đã cho của phép xấp xỉ

Bây giờ ta xét trường hợp khi không có bản ghi liên tục của hμm ngẫu nhiên, mμ chỉ có các lát cắt của nó ở những điểm rời rạc, điều mμ thường xảy ra khi nghiên cứu thực nghiệm các hμm ngẫu nhiên

Giả sử hμm ngẫu nhiên X (t) có kỳ vọng toán học bằng không, được cho tại một số hữu hạn điểm t1,t2, ,t m, {ϕk (t)} lμ hệ hμm bất kỳ, cũng được cho tại các điểm t1,t2, ,t m

Ta sẽ xem hμm ngẫu nhiên X (t) như một vectơ m chiều X(X1,X2, ,X m) mμ mỗi thμnh phần của nó lμ một lát cắt của hμm ngẫu nhiên X1=X(t1),X2 =X(t2), , X m=X(t m)

Ta cũng xem các hμm ϕk (t) như những vectơ m chiều ( , , k)

m k k

ϕ 1 2 , mμ các thμnh phần của chúng lμ những giá trị của hμm ϕk (t) tại các điểm ti, tức

) ( ),

( ),

m k

k

k

k

t t

ϕ

=

Ta sẽ coi các vectơ ϕk lμ trực giao vμ chuẩn hoá (trực chuẩn) Hai vectơ

a

2

1, , , )

(a a a m vμ b

2

1, , , ) (b b b m gọi lμ trực giao nếu tích vô hướng của chúng bằng không,



=

=

=

i i

i b a b a

1

0



 (8.3.11)

Vectơ a gọi lμ chuẩn hoá nếu độ dμi của nó bằng đơn vị

1 a

1

2 =

=

m

i i a

 (8.3.12)

Điều kiện trực chuẩn của các vectơ { }ϕk được viết dưới dạng



= 



≠

=

= ϕ ϕ

m

i

l i k i

l k

l k

1 khi

khi

, (8.3.13)

Ta biểu diễn vectơ ngẫu nhiên X

dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ { }ϕk



= ϕ

≈ n

k

k k A X

1





, (8.3.14) trong đó các hệ số A k lμ những tổ hợp tuyến tính của các thμnh phần của vectơ ngẫu nhiên



= ϕ

= m

j

k j j

A

1 (8.3.15)

Đẳng thức vectơ (8.3.14) viết cho các thμnh phần vectơ sẽ dẫn tới hệ các đẳng thức



= ϕ =

≈ n

k

k i k

X

1

, 2 1 , , , (8.3.16) Phương sai sai số của phép xấp xỉ vectơ ngẫu nhiên X

bởi tổng (8.3.14) được xác

định dưới dạng

=





























ϕ

ư

=

m

i

n

k

k i k i

1

2

1

























ϕ ϕ +

ϕ

ư

m

i

n

k

n

k n

l

l i k i l k k

i k i

X M

2 2













ϕ ϕ +

ϕ ϕ

ư

m

i

n

k m

i m

j

n

k n

l

m

i

l i k i l k l

j k i j i

X M

2

Do (8.3.13), tổng cuối cùng trong đẳng thức (8.3.17) bằng

k j n

k m

i m

j

k i j i n

k k k n

k n

l

m

i

l i k i l

= = =

=

= 1 = 1 = 1 1 1 1 1

(8.3.18)

Từ đó ta nhận được

k j n

k m

i m

j

k i ij m

i ii

= = =

= 1 1 1 1

2

, (8.3.19) trong đó R ij lμ mômen tương quan giữa các lát cắt X i=X(t i) vμ X j=X(t j) của hμm ngẫu nhiên, tức lμ các phần tử của ma trận tương quan R ij của vectơ ngẫu nhiên X

Ta sẽ tìm một hệ các vectơ trực chuẩn { }ϕk sao cho đại lượng 2

n

σ nhận giá trị nhỏ nhất, hay nói cách khác, tổng ba lớp trong (8.3.19) nhận giá trị lớn nhất

Những vectơ như vậy gọi lμ các vectơ trực giao tự nhiên của vectơ ngẫu nhiên X

, còn phép khai triển (8.3.14) với cách chọn các vectơ { }ϕk như vậy gọi lμ khai triển vectơ ngẫu nhiên thμnh các thμnh phẫn trực giao tự nhiên

Vì hμm tương quan của quá trình ngẫu nhiên lμ hμm xác định dương, nên mỗi số hạng

= =

ϕ ϕ

=

i

k j k i j ij

b

1 1

(8.3.20)

không âm, do đó, bμi toán quy về việc xác định những vectơ trực chuẩn { }ϕk sao cho mỗi

số hạng b k nhận giá trị lớn nhất

Ta sẽ xét hệ phương trình



=

= λϕ

= ϕ

m

j

i j

R

1

, 2 1 , , , (8.3.21)

Những giá trị của tham số λ tại đó hệ (8.3.21) có nghiệm

) ,

,

(ϕ ϕ ϕm

ϕ 1 2 , khác vectơ không, được gọi lμ các giá trị riêng hay số riêng của ma trận các hệ số R ij của hệ nμy, còn các nghiệm ϕk nhận được ứng với số riêng đã cho λk được gọi lμ những vectơ riêng của ma trận R ij

Hệ (8.3.21) tương tự (analog) như phương trình tích phân (8.2.1) mμ ta đã xét đối với trường hợp thể hiện của quá trình ngẫu nhiên được ghi liên tục, ma trận tương quan

ij

R của hệ (8.3.21), như đã biết, lμ ma trận đối xứng, tương tự như nhân đối xứng của phương trình tích phân

Những vectơ riêng của ma trận thực đối xứng ứng với những số riêng khác nhau sẽ trực giao với nhau

Thực vậy, ta xét vectơ riêng ϕk vμ ϕl ứng với các số riêng λk vμ λ l, k≠l, ta có



=

= ϕ λ

= ϕ

m

j

k i k k j

R

1

, 2 1 , , , , (8.3.22)



=

= ϕ λ

= ϕ

m

j

l i l l j

R

1

, 2 1 , , , (8.3.23)

Nhân hai vế của các đẳng thức trong (8.3.22) với l

i

ϕ rồi cộng lại vμ nhân từng đẳng thức trong (8.3.23) với k

i

ϕ vμ cũng cộng lại:

ϕ ϕ λ

= ϕ ϕ

m

i m

j

m

i

l i k i k l i k j ij

R

, (8.3.24)

ϕ ϕ λ

= ϕ ϕ

m

i m

j

m

i

l i k i l k i l j ij

R

(8.3.25)

Trừ (8.3.25) cho (8.3.24) ta nhận được



= ϕ ϕ = λ

ư

i

l i k i l k

1

0 )

( (8.3.26)

Vì λk ưλl ≠0 nên 

=

= ϕ ϕ

m

i

l i k i

1

0, tức các vectơ ϕk vμ ϕl trực giao

Ta tính phương sai của các tổ hợp tuyến tính (8.3.15)

=



























 ϕ

=

2

1

m

j

k j j

A

= =

= =

ϕ ϕ

=













ϕ

i m

j

k j k i ij m

i m

j

k j k i j

X M

1 1

1 1

(8.3.27)

Nếu λk lμ một số riêng của ma trận tương quan, còn ϕk ( , , , k)

m k

tương ứng với nó, ta có thể viết (8.3.27) dưới dạng