PHƯƠNG TRÌNH NAVIER STOKES TRONG CÁC KHÔNG GIAN TỚI HẠN

PHƯƠNG TRÌNH NAVIER STOKES TRONG CÁC KHÔNG GIAN TỚI HẠN Phương trình Navier Stokes lần đầu tiên được nghiên cứu vào năm 1822, cho đến nay đã có rất nhiều công trình nghiên cứu viết về phương trình này. Tuy nhiên, những hiểu biết của chúng ta về phương trình này còn rất khiêm tốn, muốn hiểu được hiện tượng sóng đập vào đuôi con tàu đang chạy trên mặt nước hoặc hiện tượng không khí nhiễu loạn sau đuôi máy bay khi bay trên bầu trời . . .

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

VIỆN TOÁN HỌC

———————o0o——————–

PHƯƠNG TRÌNH NAVIER - STOKES

TRONG CÁC KHÔNG GIAN TỚI HẠN

Mục lục

Lời nói đầu 2

Chương 1 Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes 5

1.1 Phương trình Navier - Stokes 5

1.2 Nghiệm cổ điển, nghiệm mềm và nghiệm yếu 8

1.3 Biến đổi Fourier của Navier 13

Chương 2 Kiến thức cơ sở 17

2.1 Các không gian Banach gồm các hàm suy rộng bất biến với phép tịnh tiến 17

2.2 Các không gian Besov 21

2.3 Các không gian thuần nhất 25

Chương 3 Sự tồn tại và duy nhất của một số lớp nghiệm mềm 27

3.1 Sự tồn tại nghiệm của phương trình Navier - Stokes 29

3.2 Tính duy nhất của nghiệm của phương trình Navier - Stokes 46

Kết luận 52

Tài liệu tham khảo 53

Lời nói đầu

Phương trình Navier - Stokes lần đầu tiên được nghiên cứu vào năm 1822, chođến nay đã có rất nhiều công trình nghiên cứu viết về phương trình này Tuynhiên, những hiểu biết của chúng ta về phương trình này còn rất khiêm tốn,muốn hiểu được hiện tượng sóng đập vào đuôi con tàu đang chạy trên mặt nướchoặc hiện tượng không khí nhiễu loạn sau đuôi máy bay khi bay trên bầu trời chúng ta đều phải tìm cách giải phương trình Navier - Stokes, do nhu cầu củaKhoa học và Công nghệ mà việc nghiên cứu phương trình Navier - Stokes càngtrở nên thời sự và cấp thiết

Phương trình Navier - Stokes mô tả sự chuyển động của chất lỏng trong Rn

(n = 2 hoặc n = 3) Ta giả thiết rằng chất lỏng không nén được lấp đầy Rn

Ta đi tìm hàm vectơ vận tốcu(t, x) = (ui(t, x)), i = 1, 2, , nvà hàm áp suấtp(t, x),xác định tại vị trí x ∈Rn và thời gian t thỏa mãn phương trình Navier - Stokesnhư sau:

Ở đây, hàm vectơ u0(x) thỏa mãn ∇ · u0= 0 và ν là một hệ số dương

Luận văn này sẽ trình bày một vài kết quả nghiên cứu gần đây về nghiệm

mềm của phương trình Navier - Stokes trong một số không gian tới hạn với

n = 3, dựa trên bài báo của Carlos E Kenig và Gabriel S Koch

Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương và tài liệu tham khảo Cụ thể là,Chương 1"Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes" trình bày về bài toánCauchy của phương trình Navier - Stokes, khái niệm nghiệm và phép biến đổiFourier đối với phương trình này Nội dung của phần này được trình bày dựatrên [3]

Chương 2 "Kiến thức cơ sở" trình bày kiến thức về các không gian Banachgồm các hàm suy rộng bất biến với phép tịnh tiến và các không gian Besov cóliên quan Nội dung của chương này dựa trên [10]

Chương 3 "Sự tồn tại và duy nhất của một số lớp nghiệm mềm" trình bày sựtồn tại và duy nhất của nghiệm của phương trình Navier - Stokes với điều kiệnban đầu trong các không gian H˙ 12 , ˙ H12 ∩ L∞, L3 và L3∩ L∞ Ngoài ra, luận văncòn trình bày định lý nghiệm mềm của Kato trong H˙s, s ≥ 12 và các định lý vềtính duy nhất của nghiệm của hệ phương trình Navier - Stokes Nội dung củaChương 3 được trình bày dựa trên [8] và [10]

Mặc dù đã rất cố gắng, nhưng do thời gian có hạn và những hiểu biết củabản thân còn hạn chế nên trong bản luận văn này em mới chỉ chứng minh được

rõ ràng hơn một số điểm trình bày trong bài báo của Carlos E Kenig và Gabriel

S Koch ở Chương 3

Cuối cùng, em xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáoPGS TSKH Nguyễn Minh Trí, người đã tận tình hướng dẫn và tạo mọiđiều kiện giúp đỡ em hoàn thành luận văn này Em xin chân thành cảm ơnThS Đào Quang Khải và các thầy cô phòng Phương trình vi phân đã quan tâm,giúp đỡ em trong quá trình làm luận văn

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn các thầy cô giáo trường THPT ChuyênChu Văn An - Lạng sơn và các thầy cô giáo, cán bộ công nhân viên của ViệnToán học; xin cảm ơn gia đình và các bạn lớp cao học K19đã giúp đỡ em trongsuốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.

Hà Nội, tháng 8 năm 2013

Lâm Thúy Quyên

Chương 1

Giới thiệu về phương trình Navier Stokes

Chúng ta nghiên cứu bài toán Cauchy cho phương trình Navier - Stokes với

ẩn hàm là vận tốc u(t, x) = (u 1 (t, x), u 2 (t, x), u 3 (t, x)) và áp suất p(t, x) của mộtchất lỏng nhớt không nén được (có hệ số nhớt được cho bởi hằng số ν xác định)

là toán tử Laplacetheo các biến không gian x ∈R3

Ta sẽ giả thiết rằng độ nhớt ν bằng 1 Điều này có thể thực hiện được, màkhông làm mất tính tổng quát, do cấu trúc bất biến của phương trình Navier -Stokes

Cuối cùng, do tính chất phân kỳ tự do∇ · u = 0, thể hiện tính không nén được

Chương 1 Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes

của chất lỏng, ta có thể viết(u · ∇)u = ∇ · (u ⊗ u) Nhận xét này là quan trọng vìtích của hai hàm suy rộng tăng chậm không luôn được xác định, trong khi đóchúng ta luôn luôn có thể lấy đạo hàm (theo nghĩa suy rộng) của một hàm L1loc

Do đó, ta chỉ cần đòi hỏi u ∈ L2loc để làm cho các số hạng bậc hai ∇ · (u ⊗ u) xácđịnh tốt

Từ nay về sau, ta sẽ nói rằng một vectơ a = (a1, a2, a3)thuộc không gian hàm

X nếu a j ∈ X đối với mỗi j = 1, 2, 3 và ta đặt ||a|| = max

u(t, x) của (1.1) trong không gian C([0, T ); X) gồm các hàm liên tục mạnh theo

t ∈ [0, T ) với giá trị trong không gian Banach X gồm các hàm vectơ suy rộng.Tùy thuộc vào việc T sẽ hữu hạn (T < ∞) hay vô hạn (T = ∞) chúng ta sẽ cóđược tương ứng nghiệm địa phương hay nghiệm toàn cục (theo thời gian).Trước khi giới thiệu thiết lập các hàm thích hợp, chúng ta sẽ biến đổi hệ (1.1)

(1.2)

trong đó, với các vectơ u và v, chúng ta định nghĩa tensor của chúng u ⊗ v bởi

Chương 1 Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes

(u ⊗ v)ij = uivj và P là toán tử chiếu trực giao vào trường vectơ phân kỳ tự dođịnh nghĩa như sau

uk(ξ), j = 1, 2, 3. (1.7)

Như vậy, P là một toán tử giả vi phân và là một phép chiếu trực giao vào

điều kiện không nén được cho u (∇.u = 0) được thỏa mãn

Cuối cùng, sử dụng toán tử chiếu P này và nửa nhóm

Chương 1 Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes

Chúng ta sẽ không chứng minh chặt chẽ cho chuyển tiếp hình thức từ

(1.1) → (1.2) → (1.9) Chúng ta sẽ bắt đầu từ (1.9) và chứng minh sự tồn tại vàduy nhất của nghiệm u(t, x) của nó

Từ nay sự chú ý của chúng ta về cơ bản sẽ dành cho việc nghiên cứu phươngtrình tích phân(1.9)và do chúng ta chỉ xem xét trường hợp của cả không gian R3

nên nửa nhómS(t) trở thành nửa nhóm của phương trình truyền nhiệt exp(t4).Nghiệm của bài toán là tổng của hai nghiệm sau: số hạng tuyến tính có chứagiá trị ban đầu

Chúng ta hãy chú ý ở đây rằng có một loại tương tác trong số hạng tích phân

u ⊗ v Sự mất đi tính chính quy này được minh họa bằng ví dụ đơn giản sau:nếu hai (vô hướng) hàm f và g trong H1, tích của chúng chỉ thuộc về H1/2 vàđạo hàm của chúng ∂(f g) thậm chí còn ít chính quy hơn nếu nó trong H−1/2

Sự tồn tại của nghiệm toàn cục phụ thuộc theo thời gian vẫn chưa được chứngminh và cũng không bị bác bỏ cho trường hợp ba chiều với điều kiện ban đầu

đủ tổng quát; nhưng như chúng ta sẽ thấy trong phần tiếp theo, một nghiệmchính quy, toàn cục sẽ tồn tại khi giá trị ban đầu là dao động cao hay đủ nhỏ

Chương 1 Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes

trong một số không gian hàm

Để bắt đầu, sẽ là cần thiết cần làm rõ ý nghĩa của "nghiệm của phương trìnhNavier-stokes", bởi vì, kể từ khi chúng xuất hiện trên bài báo tiên phong của J.Leray, từ "nghiệm" đã được sử dụng trong một ý nghĩa nhiều hoặc ít tổng quáthơn Chúng ta sẽ hiểu nó theo nghĩa chung cổ điển của phương trình vi phân

S0, để có thể sử dụng các công cụ biến đổi Fuorier Giải thích này được đề xuấtbởi các khái niệm về nghiệm trong nghĩa suy rộng được sử dụng trong phươngtrình Tiếp theo, chúng ta sẽ yêu cầu không gian hàm X, mà giá trị ban đầu u0

thuộc vào nó, thỏa mãn X ,→ L2loc, để có thể đưa ra một hàm theo nghĩa suyrộng đối với số hạng phi tuyến (u · ∇)u = ∇ · (u ⊗ u) Nói chung, ta sẽ yêu cầu

u ∈ L2loc([0, T );R3)

Ta có thể liệt kê được rất nhiều định nghĩa khác nhau của nghiệm chỉ phânbiệt bởi lớp các hàm mà chúng thuộc về cổ điển, mạnh, mềm, yếu, rất yếu, yếuđều hay nghiệm địa phương Leray của phương trình Navier - Stokes

Chúng ta sẽ không trình bày tất cả các định nghĩa có thể có ở đây mà tậptrung vào ba trường hợp: nghiệm cổ điển (J Hadamard), nghiệm yếu (J Leray)

và nghiệm mềm (K Yosida)

Định nghĩa 1.2.1 Một nghiệm cổ điển(u(t, x), p(t, x)) của phương trình Navier

- Stokes là một cặp các hàm u : t → u(t) và p : t → p(t) thỏa mãn hệ (1.1), màtất cả các số hạng xuất hiện trong phương trình là các hàm liên tục của đối sốcủa chúng Chính xác hơn, nghiệm cổ điển là nghiệm của hệ (1.1) thỏa mãn:

u(t, x) ∈ C([0, T ); E) ∩ C1([0, T ); F ), (1.12)

Chương 1 Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes

u ∈ E ⇒ 4u ∈ F (toán tử liên tục), (1.14)

u ∈ E ⇒ ∇ · (u ⊗ u) ∈ F (toán tử liên tục), (1.15)

Ví dụ, nếu E là không gian Sobolev Hs và s > 3/2 (như vậy cho Hs là mộtcấu trúc đại số được trang bị phép nhân với các hàm thông thường), ta có thểchọn F = Hs−2, bởi vì 4u ∈ H s−2 và ∇ · (u ⊗ u) ∈ H s−1 ,→ Hs−2

Như chúng ta đã biết trong phần giới thiệu, rất khó để đảm bảo sự tồn tạitoàn cục của nghiệm cổ điển, trừ khi chúng ta tìm kiếm nghiệm chính xác trongmột số trường hợp các số hạng phi tuyến biến mất Cụ thể khi mà chúng ta ápđặt điều kiện rất hạn chế lên điều kiện ban đầu

nghĩa của Leray và Hopf được cho là thỏa mãn các tính chất sau

u(t, x) ∈ L∞([0, T );PL2) ∩ L2([0, T );PH1), (1.16)

T

Z

0 (−hu, ∂tϕi + h∇u, ∇ϕi + h(u · ∇)u, ϕi)ds = hu0, ϕ(0)i, (1.17)với ϕ ∈ D([0, T );PD) tùy ý Ký hiệu h·, ·i có nghĩa là tích trong L2, trong khi PX

là không gian con của X (ở đây X = L2, H1 hay D) gồm các hàm đặc trưng bởiđiều kiện phân kỳ tự do ∇ · u = 0 Cuối cùng, nghiệm yếu là giả định thỏa mãnbất đẳng thức năng lượng sau đây

Chương 1 Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes

Vì vậy, một nghiệm được gọi là "cuộn xoáy" theo nghĩa của Leray

Cuối cùng, sau bài báo của T Kato và các cộng sự của ông, chúng ta đã gọinghiệm mềm như một phạm trù thứ ba của nghiệm, mà sự tồn tại thu được

phương án này, phương trình Navier - Stokes được nghiên cứu bởi phương phápnửa nhóm như trong các bài báo tiên phong của K Yosida Chính xác hơnnghiệm mềm được định nghĩa theo cách sau

u(t, x) ∈ C([0, T );PX), (1.19)

của phương trình truyền nhiệt { exp(t4); t ≥ 0 } là liên tục mạnh và tích phântrong (1.9) là xác định tốt theo nghĩa của Bochner

Trong lịch sử sự ra đời của thuật ngữ "mềm" trong sự liên quan với công thứctích phân đối với việc nghiên cứu một phương trình tích chập tùy ý xuất phát

từ công trình của F.E Browder (xem [1]) Chúng ta không muốn sử dụng bấtđẳng thức năng lượng, nhưng chúng ta hy vọng trong cách này sẽ đảm bảo tínhduy nhất của nghiệm Điều này trái ngược với cách xây dựng nghiệm yếu củaLeray, dựa trên lập luận chặt chẽ và một đánh giá tiên nghiệm Hơn nữa, thuậttoán điểm bất động được xây dựng và ổn định Do đó, câu hỏi đặt ra là liệu có

Chương 1 Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes

tồn tại nghiệm mềm của bài toán Cauchy đối với phương trình Navier - Stokestheo nghĩa của Hadamard

Chúng ta nhớ lại rằng một hàmv(t, ·)lấy giá trị trong một không gian Banach

E, tích phân

T

R

0 v(t, ·)dt tồn tại hoặc do

T

R

0

||v(t, ·)||Edt < ∞ (trong trường hợp này

ta nói tích phân xác định theo nghĩa Bochner ) hoặc do

Một cách rõ ràng hơn, trong các tài liệu liên quan đến sự tồn tại và duy nhấtcủa nghiệm mềm của phương trình Navier - Stokes như theo H Fujita và các bàibáo nổi tiếng của T Kato (xem [6], [7]) các dáng điệu dao động của B(u, v) bịmất từ đầu, bởi vì, theo định nghĩa nghiệm mềm yêu cầu đánh giá mạnh trongcác cấu trúc liên kết mạnh mẽ, do đóB(u, v) có thể được thay thế bằng |B(u, v)|

mà không ảnh hưởng đến sự tồn tại tương ứng và kết quả duy nhất Mặt khác,như nghiệm yếu giới thiệu trong các bài báo tiên phong của J Leray (xem [14]),các dáng điệu dao động củaB(u, v) thường được phân tích bằng đồng nhất thứcnổi tiếng

trong đó ∇ · v = 0 Trong trường hợp đó vấn đề là khác nhau, đối với đồng nhất

Chương 1 Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes

thức ở trên không cho phép một sự linh hoạt lớn nhất trong việc lựa chọn khônggian hàm, mà buộc phải được xác định trong các số hạng của một chuẩn nănglượng (ví dụ L2, H1 )

Tiêu đề của phần này là mượn của một bài báo của P Federbush "Navier andStokes meet the wavelet" (xem [5]) Phương trình Navier - Stokes chưa tồn tạikhi J Fourier đưa ra nghiệm rõ ràng của phương trình truyền nhiệt

S(t) là toán tử tích chập được định nghĩa như trong (1.10) bởi

et4g(x) = [e−|·|2tbg(·)]∨(x) = ((4πt)−3/2exp{−| · |2/4t} ∗ g)(x) (1.23)Phương trình Navier - Stokes mô tả chuyển động của một chất lỏng nhớt, đãđược giới thiệu bởi C L M H Navier trong năm 1822 (xem [15]), cũng vàonăm đó, do một sự trùng hợp kỳ lạ, J Fourier xuất bản chuyên luận nổi tiếng

"Théorie Analytique de la Chaleur" (xem [13]), trong đó, ông đã phát triển mộtcách có hệ thống những ý tưởng chứa đựng trong bài báo năm 1807

Chương 1 Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes

Trong phần này, chúng ta trình bày cách vận dụng biến đổi Fourier để nghiêncứu phương trình Navier - Stokes, theo phương pháp Fourier để giải phươngtrình Navier - Stokes cho một chất lỏng nhớt không nén được, chúng ta thuđược phương trình tích phân (1.9), rất giống với (1.22), dẫn đến khái niệm vềmột phương trình mềm và một nghiệm mềm

Nếu chúng ta sử dụng các biến đổi Fourier một lần nữa, ý tưởng thứ hai đếnvới chúng ta là viết lại tích phân (1.9) ( j = 1, 2 và 3) theo biến đổi Fourier

b

uj(ξ) = exp(−t|ξ|2)bu0j

−

Z t 0 exp(−(t − s)|ξ|2)

||F (t, x)||p t−(4−3/p)/2, 1 ≤ p ≤ ∞. (1.26)Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ không tận dụng lợi thế của những đánh giátổng quát này Trong thực tế, chúng ta không sử dụng cấu trúc đầy đủ của toán

tử exp(t4)P∇· và phân tích của chúng ta sẽ áp dụng cho một lớp tổng quát hơncủa phương trình tiến hóa

Để được rõ ràng hơn, sự tồn tại và định lí duy nhất của nghiệm mềm đối vớiphương trình Navier - Stokes sẽ đạt được bằng cách sử dụng định lí điểm bất

Chương 1 Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes

động của Banach Giá trị ban đầu được xem xét trên các không gian, mà trêncác không gian đó những biến đổi Riesz là liên tục Hệ quả là đơn giản: chúng

ta sẽ thoát khỏi những biến đổi Riesz từ đầu và giới hạn nghiên cứu trong việc

đơn giản hơn của toán tử B Chúng ta biểu thị các ký hiệu Bs là toán tử xácđịnh bởi

Bs(f, g)(t) := −

t

Z

0 [S(t − s) ˙ Λ](f g)(s)ds, (1.27)trong đó f = f (t, x), g = g(t, x) là các trường vô hướng có cùng tính chất và

˙

biểu thị toán tử giả vi phân thuần nhất Calderón nổi tiếng có biểu trưng là |ξ|

hướng và các biến đổi Riesz theo công thức sau

Bs và các biến đổi Riesz Bằng cách sử dụng các đơn giản này và các tính chất

cơ bản của biến đổi Fourier, cuối cùng chúng ta nhận được biểu thức đơn giảnhơn của toán tử song tuyến tính (bằng cách lạm dụng ký hiệu sẽ luôn được kýhiệu bằng chữ cái B):

b

Chương 1 Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes

Như vậy, Θ là giải tích, dáng điệu giống như O(|x|−4) ở vô cực (điều này cũng

có thể được suy ra bởi [12] với α = 4và β = 0) và tích phân của nó bằng không

Chương 2

Kiến Thức Cơ sở

với phép tịnh tiến

Định nghĩa 2.1.1 A) Một không gian Banach bất biến với phép tịnh tiến của

liên tục D(R3 ) ⊂ E ⊂ D0(R3) và hơn nữa:

(a) Với mọix0 ∈R3và với mọif ∈ E thìf (x−x0) ∈ Evà||f ||E = ||f (x−x0)||E.(b) Với mọi λ > 0 tồn tại Cλ> 0 sao cho với mọi f ∈ E, f (λx) ∈ E và

||f (λx)||E ≤ Cλ||f ||E

(c) D(R3) là trù mật trong E

B) Một không gian Banach gồm các hàm suy rộng bất biến với phép tịnh tiến

gian Banach bất biến với phép tịnh tiến của các hàm thử E(∗) Không gian E(0)

gồm các phần tử trơn củaE được xác định như là bao đóng của D(R3)trong E.Nhận xét Một hệ quả đơn giản của giả thuyết (a) đó là một không gian Banachbất biến với phép tịnh tiến của các hàm thử E thỏa mãn S(R3) ⊂ E và một hệquả của giả thuyết (b) đó là E ⊂ S0(R3) Tương tự, chúng ta có đối với một

Chương 2 Kiến Thức Cơ sở

S(R3 ) ⊂ E(0) ⊂ E ⊂ S0(R3) Đặc biệt, E(0) là một không gian Banach bất biếnvới phép tịnh tiến của các hàm thử

Mệnh đề 2.1.1 (Tích chập trong các không gian gồm các hàm suy rộng bấtbiến với phép tịnh tiến)

thử hoặc suy rộng và ϕ ∈ S(R3), thì với mọi f ∈ E chúng ta có f ∗ ϕ ∈ E và

hội tụ đến f ∗ g trong S(R3 ) khi N dần đến ∞

Định nghĩa 2.1.2 Nếuk ∈ L1(R3)và m =bk, chúng ta định nghĩa toán tửm(D)

là toán tử tích chập m(D)f = f ∗ k và chúng ta định nghĩa chuẩn |||m(D)|||1 là

|||m(D)|||1= ||k||1

Định nghĩa 2.1.3 Cho hàm thửϕ ∈ D(R3)sao cho|ξ| ≤ 12 thìϕ(ξ) = 1và|ξ| ≥ 1

thì ϕ(ξ) = 0 Hàm ψ được định nghĩa là ψ(ξ) = ϕ(ξ2) − ϕ(ξ) Cho 4 j và S j đượcđịnh nghĩa có biến đổi Fourier cho bởi F (Sjf ) = ϕ(2ξj )F f và F (4jf ) = ψ(2ξj )F f.Hàm suy rộng 4jf được gọi là j - th dyadic block của phép biến đổi Littlewood

- Paley của f

Chương 2 Kiến Thức Cơ sở

Một trường hợp đặc biệt của các toán tử tích chập đó là phép biến đổiLittlewood - Paley (xem [10]) 4jf = ψ(D/2j)f: chúng ta có được đánh giá

||Sjf ||E ≤ |||S0|||1||f ||E và ||4jf ||E ≤ |||40|||1||f ||E Do phép biến đổi Littlewood

- Paley, chúng ta có thể dễ dàng so sánh E với một không gian Besov:

biến với phép tịnh tiến Cho C1/2 là toán tử có chuẩn trong L(E, E) của toán tử

f 7→ f (x/2) Khi đó, E ⊂ B−ln2 (C 1/2 ),∞

Chứng minh

Do chuẩn củaE là bất biến với phép tịnh tiến và do E ⊂ S0, chúng ta thấy rằng

4j ánh xạ E vào L∞ Hơn nữa, do các toán tử trên bị chặn trên E và trên L∞,chúng ta có thể viết Dj(f ) = f (2jx) và 4jf = Dj40D−jf, nó được cho đối với

j ≥ 0, 4 j ánh xạ E vào L∞ với một toán tử có chuẩn O((C1/2)j)

Như đối với trường hợp của chuẩn Lebesgue, chúng ta có bất đẳng thứcBernstein như sau

biến với phép tịnh tiến Khi đó, với mọi α ∈N3 và σ ∈R, với mọi j ∈Z và mọi

f ∈ S0(R3), chúng ta có (vế phải luôn được xác định) :

E ≤

∂α

∂x α F−1ϕe

1

E ≤

F−1(|ξ|σψ)e

1

4 j f