Bài tập Phần Tóan học 1... Tính giới hạn các hàm số sau, nếu tồn tại.. Tính giới hạn các hàm số sau, nếu tồn tại.. Tính giới hạn các hàm số sau... Áp dụng VCB tính các giới hạn sau: 1..
Trang 1Bài tập
Phần Tóan học
1 Tính giới hạn các dãy số sau
( )
n
n
n 2
3
n
(n 2)! (n 1)!
d) lim
(n 2)! (n 1)!
f ) lim
2n
g) lim
® ¥
® ¥
÷
÷
-+ + + (2n)2
2 Tính giới hạn 1 phía các hàm số sau
1
1 x
x
x
2 x
6
x ln(1 e )
f ) lim c) lim
cosx-1 x
±
±
±
-+
-+
3 Tính giới hạn các hàm số sau, nếu tồn tại
2
2
x 1
h 0
3
g) lim c) lim
h
®
®
Trang 2
t 0
x 9 2
x 1
t 0
h 0
2
x 1
x 2
t
i) lim
®
®
®
®
-®
®
®
®
-
-4 Giải thích tại sao khi viết
2
- lại sai trong khi viết
2
5 Tính giới hạn các hàm số sau, nếu tồn tại Nếu không tồn tại giải thích tại sao
2
x 1.5
x 4
x 2
x 0
d) lim
c) lim
f ) lim
-+
®
®
®
®
÷
ç
÷
6 Tính giới hạn các hàm số sau, nếu tồn tại Nếu không tồn tại giải thích tại sao
2
2
2
8 x , khi x>2
x 2x 2, khi x 1
b) f (x)
1 , khi x 0 c) f (x) sgn x 0 , khi x 0
1 , khi x 0
d) f (x)
ïï
ïï
-ïïî
ï
= í
ïî
ïï ïï
ïïî
-=
-7 Tính giới hạn các hàm số sau
Trang 32
x 0
2
2
x
x 0
5
x 0
5 x
50 x
x 2
a) lim
b) lim
(1 x)(1 2x)(1 3x) 1
c) lim
x (1 x) (1 5x)
d) lim
(x 1)(x 2)(x 3)(x 4)(x 5)
e) lim
(5x 1) (2x 3) (3x 2)
f ) lim
(2x 1)
g) lim
(x 12x 16)
h) lim
®
® ¥
®
®
® ¥
® ¥
®
+
+
x 1
3 2
x 2
x 3
2 x
x
2
2
x 2
x
k) lim
l) lim
m) lim
o) lim 2x
t) lim
®
®
-®
® ¥
® ¥
®
® + ¥
÷
÷
÷
÷
2
2 x
3
x 2
3
x 1
x 4
q) lim
r) lim
s) lim
® - ¥
®
®
®
÷
ç
÷
8 Tính giới hạn các hàm số sau
2
x 4
3
x 2
3 3
3
x x
3
x 0
x 4
l) lim e) lim
x
®
®
® + ¥
®
® ¥
® ¥
®
®
+
-9 Áp dụng VCB tính các giới hạn sau:
1
x 0
1 sin 4x cos4x
lim
1 sin 4x cos4x
2 2
x 0
1
sin x
3
2
x 0
1 cos 4x
lim
x.tg2x
4
x 0
cos4x-cos5x.cos3x lim
2x.s inx
x 0
sin 2x tg2x
lim
x
tgx+1 s inx+1 lim
x
Trang 47
x 0
ln(1 6x) ln(1 2x)
lim
2x
ln(cos4x) lim
ln(cos2x)
9
x a
s inx-sina
lim
x a
sin 5x lim tg8x
11.
x lim / 2 x tgx
2
1 2x 1 lim
tg3x
13.
2
2
x 0
sin 3x
lim
ln (1 2x)
2x
x 0
lim ln(1 4x)
15.
x 1
ln(1 x 3x 2x )
lim
ln(1 3x 4x x )
ln(1 cosx) lim
ln(1 x )
17
3 5
2
(1 x) 1
lim
(1 x) (1 x) 1
19
3 4
x 0
8 3x 2 lim
16 4x 2
20
2
x 0
1 1 4x
lim
1 1 arctgx
3 1 x
x 1
lim
ln cos(x-1)
22
x 0
1 2x 1
lim
tg3x
23
3 4
x 0
8 3x 2 lim
16 5x 2
24
2
x 0
x arcsin
1-x lim
ln(1 x)
2
x 1/ 2
4x 1 lim
arcsin(1 2x)
26
x 1
x 1
sin(e 1)
lim
ln(x)
x 0
ln(cosx) lim
ln(1 x )
28
2 2
x 2
arctg(2-x)+sin(x-2)
lim
x 0
lim
ln cosx
30
x 0
2 sin x x ln(1 x)
lim
31
3
7 x 3
x 0
xarcsin x (e 1) lim
tg x.ln(1 3x)
10 Áp dụng các VCB tính các giới hạn sau
Trang 5x 3x 4
x 1
2
x
2 x
x c x
1
x a
x a
f ) lim
x 5a
s in2x
d) lim
sin 2a
+
+
-® ¥
® ¥ +
-® ¥
® ¥ +
® ¥
-®
æ + ÷ö
+
æ - ö÷
çè + ø
x
x 0 x
x 0
tgx x
2
1 2x h) lim cos( x ) k) lim(sinx)
®
®
p
®
-l
0
lim
3
x
x
tg x
m
2 2 0
sin 3 lim
ln 1 2
x
x x
n
2
0
1 lim
ln 1 4
x
x
e
x
1
lim
ln 1 3 4
x
k
0
ln cos
lim
ln 1
x
x x
3 5
2
lim
x
x
q
3 4 0
lim
16 4 2
x
x x
x
2 0
lim
x
x arctgx
3 1 1
1 lim
ln cos 1
x x
e x
11 Xét tính liên tục của các hàm số sau
2
2 2
3
, khi x 2 a)f (x) x-2
e)f (x)
x ax+b ,khi
x 1 , khi x 1
b)f (x)
ax 2 , khi x 1
ax 1 , khi x
2 c) f (x)
sinx b , khi x
2 (x 1) , khi x 0
d) f (x) ax+b , khi 0<x<1
x , khi x 1
ìï
ï
= í
ïî
= +
ïï
= í
ïî
ïïï
= í
ïï
ïî
ïï
ï
= í
ïï
ïî
2 2
(x 1)
, khi x 1
f ) f (x)
x
b , x
ìï ï
ïî
ìï
ïï -ï
= í
= -ïï
ïî ìï
ïï
ïï ïï ïï ïî
Trang 612 Hãy phân lọai điểm gián đọan của các hàm số sau
b)y
e)y
1
c)y
=
-=
-13 Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số
2
x
2
1
a) y
x
c) y e
x 2x , khi x 0 d)y f (x)
=
=
=
ï
ïî
14 a) Cho f (x)= x s in(x-2).2 Tính f’(2)
f (x) x (x 1)arcsin
x+1
15 Tính đạo hàm của các hàm số sau
2 3
2
2 2
3
2
2 x
2
2 2
12.y
14.y x 1 ln x
15.y x sìnx 3x 1
2x 1
2x 1 1
7.y x
x
8.y x e
9.y x 1 sin x
10.y sin x.tgx
+
=
= +
+
-=
+
=
=
x 2 x
3x 1 18.y
sin x
19.y
21.y sin 5 x
-= +
= +
-16 Tính đạo hàm của hàm số
Trang 71 x
k x
n
2
f )y e a) y (acosx+bsinx)
1 s inx b) y Ae sin( x+ ) g)y ln
1+cosx ax+b
cx+d
i)y=ln(ln(lnx ))
k)y ln tg
e)y
tg2x cot g2x
+ a
-=
=
÷ ç
=
-17 Tính đạo hàm của hàm số sau
7
ln x
2
log e 1 ln x log e
ln x
arctgx 2
s inx
sinx
x
c)y arcsinsin x
e)y (cosx)
1
f )y 1
x
+ +
=
=
=
=
æ ö÷
ç
= ç + ÷÷
18 Tính đạo hàm f '(0 ), f '(0 )+ - các hàm số sau
3 4
5 7 1 x
3 4
x , khi x 0
a) f (x)
x , khi x 0
b) f (x)
ln(1 x ) , khi x 0
1 e , khi x 0
c) f (x)
1 x , khi x 0
ïï
= í
ïî
ïï
= í
ïî
ìï
ïï
= í
ïïî
19 Tính đạo hàm một phía của hàm số tại điểm gián đọan của nó
x
x
a) f (x)
ìï
ïï
= í
ïïî
Trang 81 x
1
, khi x 0 b) f (x) 1 e
1+x
1-x c) f (x)
, khi x 1 2
1
x d) f (x)
, khi x 0 2
ìï
ïï
= í +
ïï
ïî
ï
= í
ï p
ïï
ïî
ï
= í
ïï
ïî
20 Cho hàm số
x 1
, khi x 1
+
-ïï
ïïî a) Xác định m để f liên tục tại x =-1
b) Tìm f’(-1) ứng với m vừa tìm được trong câu a
21 Cho hàm số
2 x
, khi x 0
ï
= í
ïî a) Xác định m để f liên tục tại x =0
b) Tìm f’(0) ứng với m vừa tìm được trong câu a
22 Cho hàm số
, khi x 0
ïï
= í
ïïî a) Xác định m để f liên tục tại x =0
b) Tìm f’(0) ứng với m vừa tìm được trong câu a
23 Cho hàm số
bx 2
(x a)e , khi x 0
f (x)
ax bx 1 , khi x 0
ï
= í
ïî Tìm a, b để hàm số có đạo hàm tại x=0
24 Tìm vi phân của các hàm số sau
Trang 92
4
b)y cos x
c) y=x t anx
d) y= 1+t
e) y
f )y (1 2r)
+
=
25 a) Tìm vi phân dy của các hàm số sau; b) Tính giá trị của dy ứng với x và dx được cho sau đây
2
3 2
1
2
p
26 Tìm hàm tuyến tính L(x) của các hàm số sau tại a
3
3
1.f (x) x ,a 1
2.f (x) 1/ 2 x , a 0
-27 Tính Dy, dy ứng với giá trị của x và dx= D Sau đó rút ra nhận xét gì x
2
2
4.y 16 / x , x 4, x 1
-28 Sử dụng vi phân tính gần đúng các giá trị sau
Trang 10( )
4
6
0
0
1 36.1
2 1.02 1.02
1
3
10.1
4 1.97
5.sin 59
6.cos31.5
+
29 Tìm vi phân tại các điểm đã chỉ ra
3
2 3
2 x
x
x 2
d) d
x
÷
÷
÷
30 Cho biết các câu phát biểu sau là đúng hay sai
a) Nếu f liên tục tại a thì f có vi phân tại a
b) Nếu f và g có vi phân tại a, thì d f (x) g(x) f '(x) g '(x)
c) Nếu f và g có vi phân thì d f (x).g(x) f '(x).g '(x)
d) Nếu f và g có vi phân thì d f (g(x)) f '(g(x)).g '(x)
e) Nếu f có vi phân thì d f '(x)
f (x)
f) Nếu f có vi phân thì d f (x) f '(x)
g) d 2
h) Nếu f’(x) tồn tại thì
x r
lim f (x) f (r)
31 Tìm để các hàm số sau đây: i) liên tục trên , ; ii) khả vi trên
Trang 11a)
2
y f (x)
b)
2
, x 1 x
c)
x
2
d)
3
arcsin , x 2 x
e)
x 2
y f (x)
y f (x)
cosx+ sinx ,x 0
32 Tìm đạo hàm và vi phân cấp hai của hàm số sau
2 2 2
2
2 2 2
2
x(1 3 1 x )
a)y
1 x
b)y cos x
d)y arctg x+ x 1
e) y arcsin
1-x
f ) y arccotg
2x-x
33.Tính
2 2
,
dy d y
dx dx , với y=y(x) là hàm số cho bưởi phương trình tham số
a) x1 cos 2tsint , 2
sin cos
y t t; b) 2
1 t
x t e , yt e 2 2t;
c)
2
2
1
t t
x
t
,
2
1
t y t
;
Trang 12d) x ln 1 sin t , y ln 1 cos 2 t;
34 Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau đây
4 12
x
y
2 2
1 1
x y x
;
c)
2 2
3 2
x
y
1 2x
y x ;
e) yxcosx; f) ln3
3
x
y x
x
35 Viết khai triển Taylor tại lân cận điểm x của hàm số 0
a) y sin 2 x 3 , x0 ; 1 b) yx e2 2x,x0 ; 1
c) 2 2
0
1
ln 2 1 ,
2
y x x ;
e) 2 1, 0 2
1
x
x
2
0
2
x
36 Áp dụng khai triển Maclaurin của các hàm số sơ cấp, tính các giới hạn sau đây
2
0
ln 1
lim
x
x x
x
0
1 lim
x x
x
;
c)
2
4
0
cos 1
2 lim
x
x x
x
0
lim
x
tgx x x
;
0
sin lim
x
arctgx arc x
x
0
lim sin
x
tgx x
x x
38 Áp dụng quy tắc L’Hospital, tính các giới hạn sau đây
1 1)
2 2
0
1 lim
x
x
x x
2)
2 2
1 lim
x
x
x x
0
lim
x
x
3 2
0
lim
x
x x
5
lim
x
x
50
lim
x
x
20 2
10
2 3
2 lim
12 16
x
x x
3
lim
9
x
x
lim
2
x
x x
9
2 2
lim
2
x
0
lim
x
x x
x
11 lim
12 lim3 1 3
0
1 cos 5 lim
1 cos 3
x
x x
Trang 1314 2
0
sin
lim
x
tgx x
x
15
3
1 2 cos lim
3
x
x x
16
1
cos
2 lim
1
x
x x
3 2
ln 2 lim
ln 3
x x x
e e
18 lim ln 1 ln
19
0
1 5 lim 1
x x
20
0
8 7
lim
6 5
x
sin 2 lim ln(1 )
x
x x
22
2 2 0
2 lim
h
h
(a>0)
23
0
sin 3 sin
lim
ln 1
x
x
1 5 5
lim 10x x
25
2
1 2
2
1 lim
x
x
x
x
x c x
x a
x b
27
1
sin
lim
sin
x a
x
a
28 lim 1 2 0 x
29
1
2 2
lim
2
x
x
x
2 1
1 lim ln
x
x
x x
1 2 0
39 Áp dụng quy tác L’Hospital, tính các giới hạn sau đây
a)
2
2
1
lim
x
ln cos lim
ln cos 3
x
x x
c)
0
ln
lim
ln sin
x
x
x
2
ln
2 lim
x
x tgx
;
e) lim 2
x arctg x x
0
lim
x xarctgx x
;
g)
1 0
2
lim arccos x
0
lim 1 x
0
lim arcsin tgx
2
x
tgx
39 Tìm các giới hạn sau
1
1
1
x
x
x
x a
a a
c)lim 0, 1
x a
x a
sin lim
x
tg x
e)
0
lim sin ln cot
x x arctgx
Trang 14g) 2 2
0
lim
sin
lim
arcsin
i)
1
1
1
lim x
x
x arctgx
k) cos
2
x
tgx
sin 0
1 lim
x