tích phân và ứng dụng của tích phân trong kinh tế

BÀI THẢO LUẬNĐỀ TÀI: Tích phân và ứng dụng của tích phân trong kinh tế... Các phương pháp tính tích phân bất định :1.. Phương pháp đổi biến Xét Giả sử là một hàm liên tục cùng với đạo h

BÀI THẢO LUẬN

ĐỀ TÀI: Tích phân và ứng dụng của

tích phân trong kinh tế.

Nhóm: 04 Lớp: 1115FMAT0211

DANH SÁCH NHÓM:

• Lại Quang Huy

• Lã Thanh Huyền

• Lê Thị Hường

• Nguyễn Thị Hường

• Vũ Thị Lan

• Vũ Thị Hữu

• Nguyễn Thị Hương

• Lã Thanh Huyền

• Nguyễn Thị Lệ

• Đỗ Thị Ngọc Lan

Các phương pháp tính tích phân bất định :

1 Phương pháp đổi biến

Xét

Giả sử là một hàm liên tục cùng với đạo hàm của

nó và có hàm ngược Khi đó Trong trường hợp

này ta dễ dàng tìm được nguyên hàm của nó, chẳng hạn

Vậy trở lại biến cũ ta được

dt t

dx   ( )

f (x)dx

)

(t

x  

 

f (x)dx f [  (t)]   t dt

C t

dt t t

 [  ( )]  ( ) ( )

C x

dx x

 ( ) ( 1( ))

1 Phương pháp đổi biến

Xét

Giả sử là một hàm liên tục cùng với đạo hàm của

nó và có hàm ngược Khi đó Trong trường hợp

này ta dễ dàng tìm được nguyên hàm của nó, chẳng hạn

Vậy trở lại biến cũ ta được

Ví dụ 1 Tính các tích phân:

C x

x C

t

t t

dt t

t

tdt I

tdt dx

t x t

x t

x

















































1

1 ln

) 1 (

2 )

1 (

2

2

; 1 1

1

2 2

1

2











x x

x I

x

dx I

x x

dx

cos sin

2 sin )

3 )

1 (

)

2 1

)

1

C x

x C

t

t C

t

t C

t t

dt t

tdt I

t t

x tdt

dx x t

t x











































2

3 2 2

2 2

2

1 sin

1

sin cos

sin tan

cos )

(cos cos

cos sin

1 1

; cos ,

arcsin sin

C x

C

t t

t d t

t

dt t

t

dt I

x t

x x

x d

dx x x

x

x x

I



























































) 1 sin

2 arctan(

) 2

1 ( 2

arctan ]

4

1 ) 2

1 [(

2

) 2

1 ( 2

1 ) 4

1 2

1 2 (

2 2

2

1

sin

) sin 1 ( sin 2 1

)

(sin cos

sin 2 ) cos (sin

cos sin

2

2 2

2 2

3

2

2 2

2 2

2 2

2 2

3

Giải 1) Đặt

2)Đặt

3)

Đặt Ta có

C x

C

t t

t d t

t

dt t

t

dt I

x t

x x

x d

dx x x

x

x x

I



























































) 1 sin

2 arctan(

) 2

1 ( 2

arctan ]

4

1 ) 2

1 [(

2

) 2

1 ( 2

1 ) 4

1 2

1 2 (

2 2

2

1

sin

) sin 1 ( sin 2 1

)

(sin cos

sin 2 ) cos (sin

cos sin

2

2 2

2 2

3

2

2 2

2 2

2 2

2 2

3

2 Phương pháp tính tích phân theo từng phần

• Nếu u(x), v(x) là các hàm khả vi, ta có

d(uv)= udv+ vdu Lấy tích phân hai vế ta có công thức

Ví dụ 2 Tính các tích phân bất định

udv uv  vdu

 x sin xdx 2 )  e x cos xdx

)

Giải

C x

x

e J

J x

x e

xdx e

x e

x e

xdx e

x e

x d

e xdx

e J

C x

x x

xdx x

x x

xd xdx

x

x

x x

x x

x x

x x



































































) cos 2

(sin 5

4 )

cos 2

(sin cos

4 cos

2 sin

sin 2

sin )

(sin cos

)

2

sin cos

cos cos

) cos (

sin

)

1

2

2 2

2 2

2 2

2 2

) (

) (

)

( )

(

) (

) (

) (

) (

) (

) (

) (

) (

) (

) (

) (

2

2 2

1 1 1

2 2

1 1

2 2

2 2

2 2

22 2 2

2

21 1

1 1

2 2

1 1

2 2 2 1

1

2 1 1

2

2 2

2 2

1

1

2 1

2 1

1





















































































m m m

m

m m

n n

n n m

n

c x b x

Q

P c

b x

Q x

P c

x b x

Q x

P

c x b x

N

M c

b x

N x

M c

b x

N x

M

x x

B x

x

B x

x B

x x

A x

x

A x

x

A x

Q

x

P

Trong đó là các hằng số được xác định bằng phương pháp hệ số bất định.

,

, , ,

, , , ,

, , ,

1 A An B B Bn M M Mm

A