tóm tắt luận án tiến sĩ tính chẻ ra của môđun đối đồng điều địa phương và ứng dụng

VI ỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM... Công trình được hoàn thành tại: Viện Toán học, Viện khoa học và Công nghệ Việt Nam Tập thể hướng dẫn khoa học: GS.. Có thể tìm hiểu luận án tại: -

VI ỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

Công trình được hoàn thành tại:

Viện Toán học, Viện khoa học và Công nghệ Việt Nam

Tập thể hướng dẫn khoa học: GS TSKH Nguyễn Tự Cường

Phản biện 1:

Phản biện 2:

Phản biện 3:

Luận án đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Viện họp tại: Viện Toán

học – Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam vào hồi …… giờ ngày …… tháng

…… năm 201…

Có thể tìm hiểu luận án tại:

- Thư viện Quốc gia

- Thư viện Viện Toán học

❤➵♥ ❝ñ❛ M t➢➡♥❣ ø♥❣ ✈í✐ a ✭➜Þ♥❤ ❧Ý ✹✳✷✳✾✮✳

❈➳❝ ❦Õt q✉➯ t❤✉é❝ ❝➳❝ ❈❤➢➡♥❣ ✶✱ ✷✱ ✈➭ ✹ ➤➢î❝ ✈✐Õt t❤➭♥❤ ❜è♥ ❜➭✐ ❜➳♦ ➤➲

➤➢î❝ ➤➝♥❣ ✈➭ ♥❤❐♥ ➤➝♥❣ t➵✐ ✵✸ t➵♣ ❝❤Ý tr♦♥❣ ❞❛♥❤ s➳❝❤ ❙❈■ ✈➭ ✵✶ t➵♣ ❝❤Ýtr♦♥❣ ❞❛♥❤ s➳❝❤ ❙❈■❊✳ ❈➳❝ ❦Õt q✉➯ tr♦♥❣ ❈❤➢➡♥❣ ✸ sÏ ➤➢î❝ t➳❝ ❣✐➯ t✐Õ♣ tô❝

♣❤➳t tr✐Ó♥ tr♦♥❣ t➢➡♥❣ ❧❛✐✳

tö 0 ❝ñ❛ Ext1

R(•, •)✳ ▼è✐ ❧✐➟♥ ❤Ö ❣✐÷❛ tæ♥❣ ✈➭ tÝ❝❤ ❝ñ❛ ❝➳❝ ♣❤➬♥ tö tr♦♥❣ R

✈➭ ❝➳❝ ❞➲② ❦❤í♣ ♥❣➽♥ t➢➡♥❣ ø♥❣ sÏ ➤➢î❝ tr×♥❤ ❜➭② tr♦♥❣ ❚✐Õt ✶✳✸✳ ❚r♦♥❣ ❤❛✐t✐Õt ➤➬✉ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ✈Ò ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ❝➡ së ✈Ò ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉

a (M ) b, 0 :Ht

−1

a (M ) b) ➤➵✐ ❞✐Ö♥ ❜ë✐ ❞➲② ❦❤í♣ ♥❣➽♥ ❞➢í✐ ➤➞② ♥Õ✉ ♥ãtå♥ t➵✐

✭✐✮ xy t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ (♯)✱ ✈➭ Ei

xy = yExi ✈í✐ ♠ä✐ i < t − 1✳ ●✐➯ söt❤➟♠ r➺♥❣ Ht

❇æ ➤Ò ✶✳✹✳✶✳ ❈❤♦ (R, m) ❧➭ ♠ét ✈➭♥❤ ◆♦❡t❤❡r ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣✱ a✱ b ❧➭ ❝➳❝ ✐➤➟❛♥

✈➭ p1, , pn ❧➭ ❝➳❝ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè s❛♦ ❝❤♦ ab * pj ✈í✐ ♠ä✐ j ≤ n✳ ❳Ðt

x ❧➭ ♠ét ♣❤➬♥ tö ♥➺♠ tr♦♥❣ ab ♥❤➢♥❣ x /∈ pj ✈í✐ ♠ä✐ j ≤ n✳ ❑❤✐ ➤ãtå♥ t➵✐ ❝➳❝ ♣❤➬♥ tö a1, , ar ∈ a ✈➭ b1, , br ∈ b ➤Ó t❛ ❝ã t❤Ó ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥

dimR/mSoc(Hmi (M )).

x = x1, , xd ❝ñ❛ M ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét ❤Ö t❤❛♠ sè tèt ❝ñ❛ M t➢➡♥❣ ø♥❣ ✈í✐

❧ä❝ F ♥Õ✉ Mi∩ (xd i +1, , xd)M = 0✈í✐ ♠ä✐ i = 0, 1, , t − 1✳ ▼ét ❤Ö t❤❛♠

sè tèt t➢➡♥❣ ø♥❣ ✈í✐ ❧ä❝ ❝❤✐Ò✉ ❝ñ❛ M ➤➢î❝ ❣ä✐ ➤➡♥ ❣✐➯♥ ❧➭ ♠ét ❤Ö t❤❛♠ sètèt ❝ñ❛ M✳

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✷✳✶✳✻✳ ❈❤♦ F : M0 ⊆ M1 ⊆ · · · ⊆ Mt = M ❧➭ ♠ét ❧ä❝

❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝ñ❛ M✳ ❚❤× ❧ä❝ F ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét ❧ä❝ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ✭s✉②ré♥❣✮ ♥Õ✉ ♥ã t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝❤✐Ò✉✱ dim M0 = 0✈➭ M1/M0, , Mt/Mt−1

❧➭ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ✭s✉② ré♥❣✮✳ ❚❛ ♥ã✐ M ❧➭ ♠ét ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲

▼❛❝❛✉❧❛② ✭s✉② ré♥❣✮ ❞➲② ♥Õ✉ ♥ã ❝ã ♠ét ❧ä❝ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ✭s✉② ré♥❣✮✳

❳Ðt F ❧➭ ♠ét ❧ä❝ t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝❤✐Ò✉ ❝ñ❛ M✳ ➜➷t IF(M ) =supxIF,M(x)✱ ✈í✐ x = x1, , xd ❝❤➵② tr➟♥ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ❤Ö t❤❛♠ sè tèt ❝ñ❛

M t➢➡♥❣ ø♥❣ ✈í✐ F✳ ◆✳❚✳ ❈➢ê♥❣ ✈➭ ➜✳❚✳ ❈➢ê♥❣ ✭✷✵✵✼✮ ➤➲ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣

M ❧➭ ♠ét ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣ ❞➲② ✈í✐ ❧ä❝ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛②s✉② ré♥❣ F ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ IF(M ) < ∞✳

✷✳✷ ▼ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t æ♥ ➤Þ♥❤

❑Ý ❤✐Ö✉ ✷✳✷✳✶✳ ❚r♦♥❣ t✐Õt ♥➭② t❛ ❧✉➠♥ ①Ðt

−



di − 1j



ℓ(Hmj(M/Mi))

✭✐✐✮ IF,M(x) = IF(M ) ✈í✐ ♠ä✐ ❤Ö t❤❛♠ sè tèt x = x1, , xd ❝ñ❛ M t➢➡♥❣ø♥❣ ✈í✐ ❧ä❝ F ♥➺♠ tr♦♥❣ mn ✈í✐ n ≫ 0✳

✭✐✐✮ ❚❤❡♦ ◆✳❚✳ ❈➢ê♥❣ ✈➭ ➜✳❚✳ ❈➢ê♥❣ ♥Õ✉ R ❧➭ ➯♥❤ ➤å♥❣ ❝✃✉ ❝ñ❛ ♠ét ✈➭♥❤

❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛②✱ t❤× dim R/ai(M ) ≤ i ✈í✐ ♠ä✐ i < d✳ ❍➡♥ ♥÷❛dim R/ai(M ) = i ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ tå♥ t➵✐ p ∈ AssM✱ dim R/p = i✳

0 → HIt−1(M ) → HIt−1(M/xM ) → 0 :H t

I (M ) x → 0t❛ t❤✉ ➤➢î❝ ❞➲② ❦❤í♣ tr➳✐ ❞➢í✐ ➤➞②

0 → HIt−1(M ) → 0 :H t−1

(M ) b(M )

s➡✱ tr♦♥❣ t✐Õt ♥➭② t❛ ❞ï♥❣ deg(I, M) ➤Ó ❦Ý ❤✐Ö✉ ❜é✐ ❍✐❧❜❡rt✲❙❛♠✉❡❧ t❤➠♥❣t❤➢ê♥❣✳ ❈➠♥❣ t❤ø❝ ❜é✐ ❧✐➟♥ ❦Õt ❞➢í✐ ➤➞② ❝❤Ø r❛ r➺♥❣ deg(I, M) ❝❤Ø ♣❤ô t❤✉é❝

i=0deg(I, Di)✳ ❳Ðt p ∈ AssDi✱ dim R/p = di✳ ❚❛ ❝ã

p ∈ AssM/D/ i✳ ❉♦ ➤ã tõ ❞➲② ❦❤í♣ ♥❣➽♥

0 → Di → M → M/Di → 0t❛ ❝ã H0

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✸✳✸✳✸✳ ❳Ðt M(R) ❧➭ ♣❤➵♠ trï ❝➳❝ R✲♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤✳ ▼ét

❜❐❝ ♠ë ré♥❣ tr➟♥ M(R) t➢➡♥❣ ø♥❣ ✈í✐ ✐➤➟❛♥ I ❧➭ ♠ét ❤➭♠ sè

Deg(I, •) : M(R) → Rt❤á❛ ♠➲♥ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ s❛✉

ë ➤➞② Ui(M ) ➤➢î❝ ❤✐Ó✉ ♥❤➢ ❧➭ UM/(x i+2 , ,x d )M(0) ✈í✐ x1, , xd ❧➭ ♠ét ❤Öt❤❛♠ sè ❜✃t ❦× ❝ñ❛ M t❤á❛ ♠➲♥ xi ∈ b(M/(xi+1, , xd)M )3 ✈í✐ ♠ä✐ i ≤ d✳

◆❣♦➭✐ r❛✱ ✈í✐ ♠ç✐ 0 ≤ i ≤ d−1 t❛ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ udegi(I, M ) = gdeg(I, Ui(M ))✳

❱Ý ❞ô ✸✳✸✳✷✵✳ ❳Ðt R = k[[X1, , X7]]/(X1, X2, X3) ∩ (X4, X5, X6) ✈í✐ k ❧➭

♠ét tr➢ê♥❣ ✈➭ Xi, 1 ≤ i ≤ 7, ❧➭ ❝➳❝ ❜✐Õ♥✳ ❚❛ ❝ã

deg(R) = adeg(R) = 2 < udeg(R) = 4 < hdeg(R) = 5

▼Ö♥❤ ➤Ò ✹✳✶✳✻✳ ❈❤♦ a ❧➭ ♠ét ✐➤➟❛♥ ❝ñ❛ ✈➭♥❤ R✱ ✈➭ M ❧➭ ♠ét R✲♠➠➤✉♥ ❋❙❋✳

❳Ðt t ❧➭ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ ❦❤➠♥❣ ➞♠ s❛♦ ❝❤♦ Hi

a(M ) ❧➭ ❋❙❋ ✈í✐ ♠ä✐ i < t✳ ❚❤×HomR(R/a, Hat(M ))

❧➭ ❋❙❋✳ ◆ã✐ r✐➟♥❣✱ AssR(Hat(M )) ❧➭ ♠ét t❐♣ ❤î♣ ❤÷✉ ❤➵♥✳

➜Þ♥❤ ❧ý ✹✳✶✳✽✳ ❈❤♦ a ❧➭ ♠ét ✐➤➟❛♥ ❝ñ❛ R✱ ✈➭ M ❧➭ ♠➠t R✲♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥s✐♥❤✳ ❳Ðt t ❧➭ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ ❦❤➠♥❣ ➞♠ s❛♦ ❝❤♦ Hi

a(M ) ❧➭ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ ❤♦➷❝supp(Hai(M )) ❧➭ ♠ét t❐♣ ❤÷✉ ❤➵♥ ✈í✐ ♠ä✐ i < t✳ ❑❤✐ ➤ã AssR(Hat(M )) ❧➭

✸✳ ❉ï♥❣ tÝ♥❤ ❝❤❰ r❛ ❝ñ❛ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ♠ét sè tÝ♥❤

❝❤✃t ✈Ò tÝ♥❤ æ♥ ➤Þ♥❤ ❝ñ❛ ❤Ö t❤❛♠ sè tèt ❝ñ❛ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛②s✉② ré♥❣ ❞➲②✳

tè ❧✐➟♥ ❦Õt✳

✼✳ ◆❣❤✐➟♥ ❝ø✉ tÝ♥❤ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝ñ❛ ♠ét sè t❐♣ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè ❧✐➟♥ ❦Õt ❧✐➟♥q✉❛♥ ➤Õ♥ ❝❤✐Ò✉ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ M t➢➡♥❣ ø♥❣ ✈í✐ a✳