.Từ tích hai ma trận... Giải: Ta có T đóng kín đối với phép nhân do đồng nhất thức 1 đã trình bày ở trên.
Trang 11
Một vài ví dụ áp dụng
Ví dụ 1: Cho các số và ( ) = ( + )( + ) … ( + ) Khi đó
Giải:
g x
Quy đồng mẫu số, ta có
( − ) … ( − )
= ( + 1)( + 2) … ( + ) + ( + 2) … ( + ) + ( + 1)( + 3) … ( + ) + ⋯
+ ( + 1)( + 2) … ( + − 1)
Cho = −1, −2, … , − ta nhận được
⎩
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎧ =(−1) (1)
( − 1)!
= (−1) (2) ( − 2)!
…
=(−1) ( ) ( − 1)!
Trang 22
Vậy
( − )( − ) … ( − )
( + 1)( + 2) … ( + ) − 1
= (−1) (1) ( + 1)( − 1)!+
(−1) (2) ( + 2)1! ( − 2)!+ ⋯ +
(−1) ( ) ( + )( − 1)!
Cho = 0 ,ta có :
(−1) (0)
! − 1 =
(−1) (1) ( − 1)! +
(−1) (2) 2! ( − 2)! + ⋯ +
(−1) ( )
!
Từ đây suy ra
(−1) ( ) = (−1) !
b)Ta biểu diễn
Từ đó suy ra
1
n
n
Cho x=-1/2,-1,-2, ,-n, ta có
Trang 33
1 ( 1) ( )
(1 )(2 ) ( )
n
f y
n
v
1 1
2
( )
n
n
n
f x
n f x
n
f n x
Do đó ta có :
1
1 ( 1) ( )
( 1)( 2) ( ) (2 1)(1 )(2 ) ( )
1.( 1)( 1)! 3.( 2)1!( 2)! (2 1)( )( 1)!
n n
f
+
Vậy : ∑ ( ) ( ) = ( )− (0)
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n,
(2n)!
(1 + 1 )(1 + 2 ) … (1 + n )=
2n
2 + 2
(−1)
1 +
2n
n + k
Giải:Biểu diễn
(2 )!
( + 1 )( + 2 ) … ( + ) = +
+ + 1 + ⋯ +
+ + Quy đồng mẫu số và so sánh tử số ta nhận được
(2 )! = ( + 1 ) … ( + )
+ [( + )( + 2 ) … ( + ) + ( + )( + 1 ) … ( + ) + ⋯ + ( + )( + 1 ) … ( + ( − 1) )]
Trang 44
Cho = 0 ta nhận được = 2 Cho = , 2 , …, với = −1, ta có
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ = 2(−1) 2+ 1 , = 0
= 2(−1) 2
+ 1 , = 0
…
= 2(−1) 2
+ 1 , = 0
Từ đó suy ra
(2 )!
( + 1 )( + 2 ) … ( + )= + + 1+ ⋯ + +
Cho = 1 ta nhận được
(2 )!
∏ (1 + )=
2 + 2 (−1)
1 +
2n
n + k
Bài tập:
Bài tập 3: Ký hiệu
1
1
n
j i
a
a
Chứng minh rằng: 1+fn(x)-fn(ax)=
1
i
j j
a x
Chứng minh:
Ta có fn(ax)=
2
2 2
n
n n
fn(x)=
2
1 2
(1 ) (1 )(1 ax) (1 ) (1 )
n
n n
Trang 55
Từ đó ta suy ra :
1+fn(x)-fn(ax) = 1+
2
2
n
n
=
1
i
j j
a x
Bài tập 5:
Chứng minh
1
( 1)
n n
C j
Với mọi n nguyên dương
Giải:
Ta biểu diễn
( − )( − ) … ( − )
( + 1)( + 2) … ( + )(2 + 1) = + 1+ + 2+ ⋯ + + +2 + 1
Từ đó suy ra
( − )( − ) … ( − ) − ( + 1) … ( + )
= [ ( + 2) … ( + ) + ⋯ + ( + 1) … ( + − 1)](2 + 1)
Đồng nhất thức Eucler:
ớ
Chứng minh :
Trang 66
Ta có :
det + +
Từ đồng nhất thức
+ +
− + −
+ + – + = =
+ +
− + −
trong đó
ta có đồng nhất thức Euler bằng cách lấy định thức hai vế
Đồng nhất thức lagrange:
Với mọi , ta có
Với hai ma trận
=
⋯
…
⋯
…
⋯
gọi B’ là ma trận chuyển của B ,thì theo công thức Bine-Cauchy ,ta có det( ) =
∑ ⋯ … ,trong đó … , … là những định thức con cấp r của A và B tương ứng với các cột thứ , , … Từ tích hai ma trận
Trang 77
⋯
⋯
… …
=
⎝
⎜
⎜
⎛
⎟
⎟
⎞
nên áp dụng công thức trên ta suy ra đồng nhất thức cần chứng minh
Ví dụ 1 : Chứng minh rằng tập
= { + + + | , , , ∈ đóng kín đối với phép nhân
Từ đó chỉ ra phương trình
+ + + = 2005 luôn có nghiệm nguyên cho mọi số
nguyên dương n
Giải :
Ta chứng minh T đóng kín đối với phép nhân
T đóng kín đối với phép nhân suy ra từ đồng nhất thức Euler
Ta chứng minh phương trình đã cho luôn có nghiệm nguyên
với mọi số nguyên dương n bằng cách quy nạp theo n
-Khi n=1 ,phương trình + + + = 2005 có nghiệm là
(x,y,x,t)=(44,7,4,2) là nghiệm
-Giả sử , , , là các nghiệm nguyên của phương trình :
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ = 44= 7 + 44− 7 − 4− 2 − 2+ 4
= 4 + 2 + 44 − 7
= 2 − 4 + 7 + 44
Theo đồng nhất thức Euler ta có
Trang 88
Từ đó suy ra , , , cũng là nghiệm của
phương trình đã cho
Ví dụ 2 :
Chứng minh rằng tập = { + + − 3 | , , ∈ } đóng kín đối với phép nhân Từ đó suy ra phương trình + + − 3 = 1944 luôn luôn
có nghiệm nguyên , , cho mọi số nguyên dương n
Giải:
Ta có T đóng kín đối với phép nhân do đồng nhất thức (1) đã
trình bày ở trên
Ta chứng minh phương trình đã cho luôn có nghiệm nguyên
dựa vào tính đóng của T
-Ta chứng minh quy nạp theo n
với n=1 ta có : Phương trình + + − 3 = 1944 nhận nghiệm nguyên ( , , ) = (2,11,11 ) là nghiệm
Giả sử , , là nghiệm của của phương trình đã cho Khi đó thì
= 2 + 11 + 11
= 11 + 2 + 11 _
= 11 + 11 + 2
là nghiệm của phương trình đã cho Từ đó ta có điều phải chứng minh
Bài tập: