Chương 1: Một Vài Nguyên Lí Cơ Bản - NGUYÊN LÝ DIRICHLET_3 ppsx

Chương 1: Một Vài Nguyên Lí Cơ Bản

NGUYÊN LÝ DIRICHLET

Từ đó suy ra số hạng tổng quát của dãy có dạng:

= 1 + √5

1 − √5 2 Với ∀ ≥ 0

Mà theo giả thiết ta lại có: = 0; = 1

⇒

+ = 0

1 + √5

1 − √5

⇒

⎩

⎪

⎨

⎪

⎧

= √5 5

= −√5

5 Vậy số hạng tổng quát của dãy Fibonacci là:

Ví dụ 2:Tìm số hạng tổng quát của dãy số { } xác định như sau:

= = 0, = 6 − 9 (∀ ≥ 0)

Giải:

Phương trình đặc trưng của dãy đã cho là: − 6 + 9 = 0

Nghiệm của phương trình đặc trưng là: = = 3

Từ đó suy ra số hạng tổng quát của dãy đã cho là: = 3 +

3 (∀ ≥ 0)

Theo giả thiết : = = 1 ⇒ = 1

= −2 Vậy số hạng tổng quát của dãy đã cho là:

= 3 − 2 3 (∀ ≥ 1)

Ví dụ 3:Tìm số hạng tổng quát của dãy{ } xác định như

sau: = 0; = 1

Giải: Phương trình đặc trưng của dãy đã cho là − + 1 = 0 có nghiệm là: = √ ; = √

Ta có:| | = | | = 1, = =

Do đó số hạng tổng quát của dãy đã cho là: = 1 + sin

Với ∀ ≥ 1

Theo giả thiết ta có: = 0, = 1

nên = 0; = √

Vậy dãy đã cho có số hạng tổng quát là: = √ sin ∀ ≥ 0

BÀI TẬP:

Bài 2: Tính số hạng tổng quát của dãy{ } xác định bởi u 0 = 0;u 1 = 1

và 2 = 2 − với n0

Giải:

Phương trình đặc trưng: 2 − 2 + 1 = 0 có nghiệm :

= 1 +

1 − 2

Ta có:

| | = | | = 1

Do đó số hạng tổng quát của dãy số đã cho có dạng là:

Theo giả thiết ta có: = 0; = 1 nên p = 0

Vậy dãy đã cho có số hạng tổng quát là:

= 2 sin

4 1

√2 ∀ ≥ 0

Bài 3: Xác định số hạng tổng quát của dãy:( ) biết rằng = >

0, = > 0 và = ∀ ≥ 0

Giải: Ta có: = (1) Dễ thấy: ≠ 0 ∀ ≥ 1 Lấy ln hai vế của (1):

Đặt ln =

Vậy ta có: 3 = 2 + (2) với = ln ; = Phương trình đặc trưng của (2) là3 − 2 − 1 = 0 có nghiệm là: = 1; =

− từ đó suy ra số hạng tổng quát có dạng:

= 1 + −1

3 ; ∀ ≥ 0

Mà ta có:

= ln

= ln ⇒

− 1

3 = ln

= 3

4ln Vậy số hạng tổng quát của dãy là:

4ln ) ( −

1

3 ; ∀ ≥ 0

Bài 4: Xác định số hạng tổng quát của dãy ( ) biết rằng =

> 0, = > 0 và = (3) ∀ ≥ 0

Giải: Dễ thấy: ≠ 0; ∀ ≥ 1 Do đó, đặt =

Khi đó ta có:

1

=

2.1 1

1

Với

= 1; = 1 ∀ ≥ 0

Phương trình đặc trưng của (4) là2 − − 1 = 0 có nghiệm là: t=1;

= −

từ đó suy ra số hạng tổng quát của dãy có dạng = 1 +

− ; ∀ ≥ 0

Ta lại có:

= 1; = 1 ⇒

+ = 1

− 1

1 ⇒

= + 2 3

= 2 3

−

Vậy số hạng tổng quát của (3) là: = = 1 +

− ; ∀ ≥ 0

CHƯƠNG 3

Bài 3 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ

TRỊ NHỎ NHẤT Bài 1/91:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau đây:

= | | +| | với là một hằng số dương;

= √ + √ − với a dương và n nguyên dương;

= √ − √ − với a dương và n nguyên dương;

= | | | | với p và q lớn hơn 1

LG:

= |cos | +|sin | với là một hằng số dương

Đặt = |cos | , ∈ [0,1] ⟹ |sin | = 1 −

⟹ = + (1 − )

=

2. − 2 (1 − )

= 0 ⟺

2. − 2 (1 − ) = 0 ⟺ =

1

2 (0) = (1) = 1

2 =

1

1 2

Nếu = 2 ⟹ = 1, ∀ ∈ ℝ

Nếu < 2 ⟹ 1

2 > 1 ⟹ max =

1 2

2

min = 1

Nếu > 2 ⟹ 1

2 < 1 ⟹ min =

1 2

2

max = 1 = cos 3 − cos 5 + cos + 1

= 4 cos − 3 cos − 5(2 cos − 1) + cos + 1

= 4 cos − 10 cos − 2 cos + 6

Đặt = cos , ∈ [−1, 1]

⟹ = ( ) = 4 − 10 − 2 + 6

( ) = 12 − 20 − 2 ( ) = 0 ⟺ 6 − 10 − 1 = 0

∆ = 25 + 6 = 31

= 5 + √31

6 > 1 ( ạ )

= 5 − √31

6 Bảng biến thiên

Vậy min = −10

max = 5 − √31

6

= √ + √ − với a dương và n nguyên dương

Điều kiện 0 ≤ ≤

Ta có

= 1

1

2 ( − )

= 0 ⟺ 1

1

2 (0) = ( ) = √

2 = 2 2 > √ Vậy min = √ khi = 0 hoặc =