Chương 1: Một Vài Nguyên Lí Cơ Bản NGUYÊN LÝ DIRICHLET_4 pot

Nếu ≠ 0 chia cả hai vế của bất phương trình cho ta được:.

Chương 1: Một Vài Nguyên Lí Cơ Bản

NGUYÊN LÝ DIRICHLET

max = 2 khi =

= √ − √ − với a dương và n nguyên dương

Điều kiện 0 ≤ ≤

Ta có = √ − √ − = − ( − )

= 1

1

2 ( − ) > 0

⟹ hàm số đã cho luôn đồng biến

⟹ (0) ≤ ( ) ≤ ( ), ∀ ∈ [0, ]

Vậy min = (0) = − √

max = ( ) = √

= | | | | với p và q lớn hơn 1

Đặt = |cos | , ∈ [0,1] ⟹ |sin | = 1 −

⟹ = ( ) = (1 − )

2 2

2(1 − ) −

2

2 −

+ 2

( ) = 0 ⟺

= 0

1 − = 0

2 −

+

⟺

= 0

= 1

= + (0) = (1) = 0

Vậy min = (0) = (1) = 0

max =

mọi a và b không âm; > ∑

! với mọi > 0 và hãy mở rộng kết

quả này

LG:

Nếu = 0 ⟹ 3 ≥ 0 luôn đúng do ≥ 0

Nếu ≠ 0 chia cả hai vế của bất phương trình cho ta được:

Đặt = , ≥ 0

⟹ (1) ⟺ 3 − 18 + 17 ≥ 0 Xét ( ) = 3 − 18 + 17

( ) = 9 − 18

( ) = 0 ⟺ = −√2 < 0 ( ạ )

= √2 Bảng biến thiên

√2 = 6√2 − 18√2 + 17 = −12√2 + 17 > 0

⟹ ( ) ≥ 0 ∀ ∈ [0, +∞)

⟹ 3 + 17 ≥ 18 (đ )

a > ∑

! với mọi > 0

Ta có:

>

! ⟺ − ! > 0 Đặt

!

( − 1)!

′′( ) = −

( − 2)!

… … … …

( )( ) = > 0 ∀

⟹ ( )( ) đồng biến trên [0, +∞) ⟹ ( )( ) > ( )(0) >

0 ∀

⟹ ( )( ) đồng biến trên [0, +∞) ⟹ ( )( ) > ( )(0) >

0 ∀

… … …

Tương tự như vậy ta có ( ) > 0 ∀ ∈ [0, +∞) ⟹ ( ) đồng biến trên [0, +∞)

! > (0) > 0 ∀ ∈ [0, +∞)

Bài 3/91: Với x, y dương, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

4

LG:

Đặt = 4

Chia cả tử và mẫu của biểu thức cho ta được:

4

Đặ = , > 0 ⇒ = ( ) = 4

+ √ + 4 Khi đó A đạt giá trị lớn nhất khi ( ) đạt giá trị lớn nhất

Ta có

( ) =

4 + √ + 4 − 4 3 + √ + 4 1 +

+ √ + 4

+ √ + 4 √ + 4 ( ) = 0 ⟺ 4 + 4 − 12 = 0 ⟺ + 4 = 3

⎣

⎢

⎢

⎡ = − 1

√2 < 0 ( ạ )

= 1

√2

Bảng biến thiên

Vậy max = 1

8

Bài 1/94:

Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:

= √ − ± √ − với > ;

= 3| | − 4| | với > 0;

LG:

= | | − | | với > 0

nên −1 ≤ ≤ 1

2 +

Vậy min = −1 và max = 1

= √ − ± √ − với >

= √ − + √ −

Điều kiện ≤ ≤

= 1

= 0 ⟺ 1

2 ( ) = ( ) = √ −

+

+

2 > √ − Vậy min = √ − khi = hoặc =

= √ − − √ −

Ta có

Vậy min = − √ −

max = √ −

Ta có −4 ≤ −4| | ≤ 3| | − 4| | ≤ 3| | ≤ 3

⟹ −4 ≤ ≤ 3

| | = 0 ⟺ x = 2 +

= 3 ⟺ | | = 1

Vậy min = −4

max = 3

Ta có 0 ≤ sin ≤ 1

0 ≤ cos ≤ 1 ⟹ 0 ≤ sin

⇒ sin + cos ≤ sin + cos

⇒ đạt giá trị lớn nhất ⟺ sin + cos = sin + cos

⟺

cos = 0 sin = ±1 cos = ±1 sin = 0

2