Chương 1: Một Vài Nguyên Lí Cơ Bản NGUYÊN LÝ DIRICHLET_5 pptx

+ Hệ các phương trình trên gọi là hệ bất phương trình bậc nhất, một ẩn.. Để giải và biện luận hệ bpt bậc nhất trên ta đi giải từng bpt rồi kết hợp miền nghiệm... Để tiện so sánh và ta gh

Chương 1: Một Vài Nguyên Lí Cơ Bản

NGUYÊN LÝ DIRICHLET

Bài 2/94: Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

1

dương;

= √ + + + √ + + với > 0 và − 4 < 0;

− 4 < 0 LG:

1

2

| cos sin | =

2.2

|sin 2 |

≥ 2

Dấu đẳng thức xảy ra khi

sin 2 = 1 ⟺ = + 2

Vậy min = 2

với m và n nguyên dương

Áp dụng bất đẳng thức

+

+ 2

Ta được

1

1 cos

2

1

2

1

1

2

1

4

2 2

2

2 (1 + 4 ) = 2 1 + 4

2 Dấu đẳng thức xảy ra khi = + 2

Vậy min = 2 khi = + 2

= √ + + + √ + + với > 0 và − 4 < 0;

− 4 < 0

Ta có

= √ − −

4 Đặt

⃗ = − −

2 ,

4

2 ,

4

2 ,

| ⃗ + ⃗| = −

2 Mặt khác |⃗| + | ⃗| ≥ | ⃗ + ⃗|

Suy ra ta có

2 Dấu đẳng thức xảy ra khi

− −2

+2

=

2

2

Vậy

2 Khi

Chương 5: Phương Trình Và Hệ Bất Phương Trình

Bài 3.BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH I.Một số phép biến đổi cơ bản

1 ( ) > ( ) ⇔ ( ) > ( )

2 ( ) ≥ ( ) ⇔ ( ) ≥ ( )

( ) ≥ 0

3 ( ) ≥ ( ) ⇔ ( ) > ( )

4 ( ) ≥ ( ) ⇔

⎣

⎢

⎢

⎢

( ) < 0

5 ( ) < ( ) ⇔ 0 < ( ) < ( )

( ) > 0

6 ( ) ≥ ( ) ⇔ 0 ≤ ( ) ≤ ( )

7 ( ) ( ) > 0 ⟺

⎣

⎢

⎢

⎡ ( ) > ( ) ( ) > 0 ( ) < 0 ( ) < 0

II.Bất phương trình bậc nhất và hệ bất phương trình bậc nhất

1.Bpt bậc nhất,hệ bpt bậc nhất một ẩn

+)Xét bất phương trình dạng + > 0 ℎ ặ + ≥ 0 ℎ ặ +

< 0 ℎ ặ + ≤ 0,trong đó ≠ 0, được gọi là bất phương trình bậc nhất, một ẩn

+) Hệ các phương trình trên gọi là hệ bất phương trình bậc nhất, một ẩn

Để giải và biện luận hệ bpt bậc nhất trên ta đi giải từng bpt rồi kết hợp miền nghiệm

Vì các dạng bpt trên có cách giải tương tự nhau nên ta chỉ cần xét bpt dạng + > 0

Giải và biện luận bpt này như sau

TXD: = ℝ

Nếu > 0 tập nghiệm là = > −

Nếu < 0 tập nghiệm là = < −

Nếu = 0, < 0 tập nghiệm là ℝ

Nếu = 0, > 0 bpt vô nghiệm

Bài tập áp dụng

Bài 3.(gt-182)

Tìm m để 2 bất phương trình sau tương đương

( − 1) − + 3 > 0 (1)

( + 1) − + 2 > 0 (2)

Giải

Gọi , lần lượt là tập nghiệm của các bpt (1), (2).Ta tìm m sao cho

=

Để tiện so sánh và ta ghi kết quả giải và biện luận các bpt (1), (2)

ra bảng sau

m

+∞ − 3

− 1; +∞

− 2 + 1; +∞

−1

2; +∞

−∞; − 3

− 1

− 2 + 1; +∞

−∞ −∞; − 3

− 2 + 1

Từ bảng trên ta suy ra

=

> 1

< −1

⟺ = 5

Bài tập tự luyện

Bài 1.Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình sau đây vô

nghiệm