đặc trưng của các tính chất (dn dz ) và (wdz ) trong lớp các không gian frechet

Luận văn nghiên cứu về đặc trưng của các tính chất DN DZ và WD Z trong lớp các không gian Frechet phân bậc.. WDZ trong lớp các không gian Frechet phân bậc cùng đặc trưng của các tính c

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên htt p :// w w w l rc -tnu e d u v n

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN DUY PHAN

ĐẶC TRƯNG CỦA CÁC TÍNH CHẤT

CÁC KHÔNG GIAN FRECHET

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN – 2007

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYẾN DUY PHAN

ĐẶC TRƯNG CỦA CÁC TÍNH CHẤT

Người hướng dẫn khoa học:

TS PHẠM HIẾN BẰNG

THÁI NGUYÊN - 2007

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên htt p :// w w w l rc -tnu e d u v n

các định lý phân rã Các bất biến tôpô tuyến tính (DN ) và (W) đã được

D.Vog giới thiệu và nghiên cứu sâu sắc Vog đã sử dụng các bất biến tôpôtuyến tính đó để chứng minh định lý phân rã đối với các không gian Frechettrong trường hợp không gian hạch và trường hợp không gian Frechet -Hilbert Đồng thời đã cho đặc trưng đầy đủ của các bất biến tôpô tuyến tính

(DN ) và (W)

Từ năm 1990 M.Poppenberg đã giới thiệu và nghiên cứu các tính chất

(DNDZ ) và (WDZ ) trong lớp các không gian Frechet phân bậc Ông đã giới

thiệu khái niệm ánh xạ tuyến tính tame giữa các không gian Frechet phân bậc

và thiết lập định lý phân rã trong phạm trù các không gian Frechet phân bậc

và các ánh xạ tuyến tính tame Tiếp theo, trong trường hợp không gian hạch,

Poppenberg đã cho đặc trưng đầy đủ của các tính chất (DNDZ ) và (WDZ ) Theo hướng nghiên cứu này, chúng tôi chọn đề tài : " Đặc trưng của các tính chất (DN DZ ) và (WD Z )trong lớp các không gian Frechet ".

Theo chúng tôi đề tài này có tính hiện đại và tính thời sự được nhiềungười quan tâm nghiên cứu

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

2.1 Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu về đặc trưng của các

tính chất (DN DZ ) và (WD Z )trong lớp các không gian Frechet phân bậc.

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Trên cơ sở mục đích đã đặt ra, luận văn tập

trung vào các nhiệm vụ sau đây:

- Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất (DNDZ ) và

(WDZ ) trong lớp các không gian Frechet phân bậc cùng đặc trưng của các tính chất (DNDZ ) và (WDZ )

- Chứng minh chi tiết một số kết quả về các tính chất (DN DZ

trong lớp các không gian Frechet phân bậc cùng đặc trưng của các tính

chất (DN DZ ) và (WD Z )

3 Phương pháp nghiên cứu

Để giải quyết các nhiệm vụ đặt ra chúng tôi đã tiến hành:

- Đọc tham khảo các tài liệu trong và ngoài nước, trao đổi, tham khảo

và học tập các chuyên gia cùng lĩnh vực nghiên cứu

- Áp dụng các phương pháp truyền thống của giải tích hàm, giải tíchhiện đại và các phương pháp của lý thuyết về các bất biến tôpô tuyếntính Cụ thể ở đây chúng tôi đã kế thừa các kết quả và phương phápgần đây của Vogt, M.Poppenberg để giải quyết các bài toán cụ thể đãnêu ra ở trên

4 Bố cục của luận văn Nội dung luận văn gồm 52 trang, trong đó có phần

mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.Chương 1 của luận văn trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các

tính chất (DNDZ ) và (WDZ ) trong lớp các không gian Frechet phân bậc cùng đặc trưng của các tính chất (DNDZ ) và (WDZ )

Chương 2 của luận văn cũng là chương cuối với nội dung chính là trình bàychứng minh chi tiết các kết quả của N.V.Khuê, L.M.Hải và B.Đ.Tắc về các

tính chất (DN DZ ) và (WD Z ) trong lớp các không gian Frechet phân bậc cùng đặc trưng của các tính chất (DN DZ ) và (WD Z ) Phần cuối cùng của

chương này dành cho việc trình bày các kết quả về tính ổn định của các tính

Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.

Bản luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm - Đại họcThái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của TS Phạm Hiến Bằng Nhândịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng nhữngkinh nghiệm trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáotrong tổ Giải tích, các thầy cô giáo trong trường Đại học sư phạm - Đại họcThái Nguyên, Viện Toán học và trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảngdạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứukhoa học

Xin chân thành cảm ơn trường Đại học Sư phạm - Đại học TháiNguyên, trường Cao Đẳng kỹ thuật mỏ Quảng Ninh cùng các đồng nghiệp

đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong suốt quá trình học tập và hoànthành bản luận văn này

Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậyrất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn họcviên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôitrong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Thái Nguyên, tháng 09 năm 2007

Tác giả

Nguyễn Duy Phan

CHƯƠNG 1

ĐẶC TRƯNG CỦA CÁC TÍNH CHẤT (D N D Z ) VÀ

(WD Z )TRONG LỚP CÁC KHÔNG GIAN FRECHET

Trước tiên chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm và kết quả về các

tính chất (DNDZ ) và (WDZ ) là cơ sở để trình bày đặc trưng của các tính chất (DNDZ ) , (WDZ )

1.1 Một số khái niệm cơ bản.

1.1.1 Định nghĩa Một dãy khớp các không gian lồi địa phương và ánh xạ

tuyến tính liên tục là một dãy hữu hạn hay vô hạn

×××® E ¾

sao cho ảnh của ánh xạ tuyến tính vào bằng hạt nhân của ánh xạ tuyến tính ra.

1.1.2 Định nghĩa Một dãy các không gian lồi địa phương và ánh xạ tuyến

Khi đó F = E Å G ( Å là tổng trực tiếp tô pô của E và G ).

Bây giờ xét phạm trù tame với các vật là các không gian Frechet phân

bậc E , F , ( trên K = ¡ hoặc £ ), tức là các không gian Frechet được trang

bị dãy các nửa chuẩn cố định

0 £ 1 £ 2 £

xác định tôpô; dãy được gọi là bậc Các không gian con và không gian thương được trang bị các nửa chuẩn cảm sinh Các cấu xạ là các ánh xạtuyến tính tame giữa các không gian Frechet phân bậc.

¥

n

1.1.5 Định nghĩa Ánh xạ tuyến tính A : E ® F được gọi là đẳng cấu

Hai bậc trên E được gọi là tương đương tame nếu phép đồng nhất là đẳng cấu tame.

1.1.6 Định nghĩa Dãy khớp ngắn các không gian Frechet phân bậc

Các không gian Frechet sau đây là các không gian phân bậc một cách

tự nhiên, tức là không gian dãy Ko&

&the

(a ) :

Î

ç p p ö1/ p

÷

xạ chính tắc.

Với mỗi k cố định đặt:

1.1.8 Định nghĩa Cho E là không gian Frechet phân bậc.

ii ) E được gọi là hạch tame nếu tồn

tại tame, hoặc tương đương:

e > 0 sao cho E là (e) - hạch

a n (E k + m ® E k ) £ c (n + 1) - e(m - q) với mọi m ³ q, k ³ 0 và n ³ 0 ,

Trong [11], [15] D.Vog đã chứng minh rằng không gian Frechet hạch

E đẳng cấu tôpô với không gian con của s nếu E có tính chất (DN ) , tức là

£ r i + 1 ,

1.2.1.2 Mệnh đề [5] Nếu không gian Frechet phân bậc E đẳng cấu tame

Bỏ đi một số hữu hạn các nửa chuẩn trong E% và trang bị cho E các

n - n a j 0

Từ đó, j là ngược trái tame của i

1.2.1.4 Hệ quả Nếu E có tính chất (DNDZ ) và L ¥ (a ) là hạch thì mỗi

0

đều chẻ tame.

1.2.1.5 Mệnh đề Giả sử không gian Frechet phân bậc E là hạch và có tính

chất (DNDZ ) Khi đó E là hạch tame.

= 0

d(B k , B k + m ; F ) c k ,m d

(B q , B k ; F )

ê

ëq û

m - p m - p

k - q + p k - q + p

1.2.2.2 Định lý Nếu E là không gian Frechet phân bậc (e) - hạch tame có

1.2.2.3 Định lý Với mỗi không gian Frechet hạch phân bậc E , các mệnh

đề sau là tương đương:

i ) E có tính chất (DNDZ )

1.3.1.1.Định nghĩa Cho E là không gian Frechet phân bậc Ta nói rằng E

1.3.1.2 Mệnh đề Nếu không gian Frechet phân bậc E đẳng cấu tame với

Giả sử E Í G và H Í L ¥ (a ) là các không gian con phân bậc và E

c n ¢ y n + d

do đó

å e - 2da j j

1.3.1.4 Hệ quả Nếu E có tính chất (WDZ ) , H là hạch và có tính

chất

(DNDZ ) , thì mỗi dãy khớp tame 0 ® E ® G ® H ® 0 đều là chẻ tame.

1.3.2 Đặc trƣng của tính chất (WD Z )

1.3.2.1 Mệnh đề Cho E là không gian Frechet hạch phân bậc.

i ) Nếu E có tính chất (DNDZ ) , thì tồn tại dãy khớp tame

1.3.2.2 Hệ quả Nếu E là không gian Frechet hạch phân bậc có tính chất

(DNDZ ) , thì tồn tại dãy khớp tame

Chứng minh

Không gian F xuất hiện trong mệnh đề 1.3.2.1 có tính chất (DNDZ )

và (WDZ ) , nên F đẳng cấu tame

tame với không gian con phân bậc của F , nên suy ra F đẳng cấu tame với

q : s e ® s d , ta nhận được dãy khớp tame cần tìm

1.3.2.3 Định lý Với mỗi không gian Frechet phân bậc E , các mệnh đề sau

iv) E đẳng cấu tame với không gian với không gian con phân bậc của

Z

)

của dãy khớp tame,

là điều kiện đủ đối với (WDZ ) - tính chất ba không gian Chú ý rằng

sao

n

n

ç r i - s

U

ö

r i - s j (U

n - i - p ÷ ç

,k k + s

U n + k ,

æn - s - p ö æ ¥ c% ö

và đặt g = g%+ h

Đặt

i +

i = 0

æ

1.3.2.11 Mệnh đề Nếu a <

1.3.2.12 Mệnh đề.

b , thì D [a,b] @ s

là đẳng cấu tame.

i ) s es @

Để chứng minh tính cần của (WDZ ) đối với định lý chẻ, ta cần bổ đề

1.3.2.15 sau, mà phép chứng minh của nó giống trường hợp tôpô

1.3.2.15 Bổ đề ([18] và [19]) Nếu

® Q ® 0 ,

® Q ® 0

h o y = j , thì tồn tại dãy khớp tame

iii ) E là hạch tame và với mỗi (DNDZ ) - không gian hạch H , mỗi dãy

Do bổ đề 1.3.2.15 và định lý 1.3.2.13 tồn tại các dãy khớp tame

CHƯƠNG 2

ĐẶC TRƯNG CỦA CÁC TÍNH CHẤT (D N D Z ) VÀ

U 2 ,

¥

p

÷

Chương này chúng tôi sẽ trình bày các đặc trưng của các tính chất

(DN DZ ) , (WD Z ) Cụ thể sẽ trình bày hai kết quả chính sau đây:

không

gian Frechet phân bậc E có tính chất (DN DZ ) khi và chỉ khi tồn tại tập chỉ

số I sao cho E đẳng cấu tame tuyến tính với không gian con của không

tính

chất (WD Z ) khi và chỉ khi tồn tại tập chỉ số I sao cho E đẳng cấu tame

è U 2 ,

èè

r

r r

Từ đó E có tính chất (D N D Z )

đối với các bậc của E xác định bởi cơ sở lân

Hơn nữa, không mất tính tổng quát, ta giả sử E có tính chất (DN DZ ) với

và B n = {a 2n

+

ka : k ³ 0}

æ

a2 j

G ij

Bây giờ ta xét chuỗi

hội tụ trong

g ij =

¥å

n = 0 (n ) ij

2.2.2 Bổ đề ([6] ) Tồn tại dãy khớp tame 0 ® s ® s ® w ® 0 ,

(x 0, x1 , x n ) = ån x i

i = 0

2.2.3 Bổ đề Với mỗi không gian Banach B tồn tại dãy khớp tame

0 ® s(B ) ®

s(B ) ® B ¥ ® 0 ,

ở đó s(B ) là không gian Frechet với bậc được cho bởi

íï

là dãy khớp tame Bổ đề được chứng minh.

2.2.4 Định nghĩa Không gian Frechet phân bậc E gọi là có hệ các toán tử

Bây giờ ta sẽ chứng minh bổ đề sau

Giả sử { k }k ³ 1 là hệ các nửa chuẩn xác định bậc trên E Với mỗi

e k ( f k ) = ïí f), k (i

ì

0,îï

¥

i Î I k

i Ï I k

¥

2.2.7 Định lý Không gian Frechet phân bậc E có tính chất (DN DZ

và chỉ khi tồn tại tập chỉ số I sao cho E đẳng cấu tame tuyến tính với

Chứng minh

Điều kiện đủ Vì không gian con phân bậc của không gian Frechet phân bậc

có tính chất (DN DZ ) cũng có tính chất (DN DZ ) và theo mệnh đề 2.2.5

điều kiện đủ được chứng minh

Mặt khác, theo bổ đề 2.2.3 ta có dãy khớp tame

nên theo mệnh đề 2.2.1 suy ra q có ngược phải tame tuyến tính Từ đó E

2.2.8 Hệ quả Mỗi không gian Frechet phân bậc E có tính chất (D N D Z ) đều đẳng cấu tame tuyến tính với không gian Frechet phân bậc F có tính chất (DNDZ )

2.2.9 Hệ quả Cho E là không gian Frechet hạch phân bậc Khi đó E có

gian con của s

khi và chỉ khi E đẳng cấu tame tuyến tính với không

Chứng minh Do mệnh đề 2.1.3 ta có thể giả sử rằng các bậc của E và

trong đó

d kl = íïï 1,

i = k, j = l

Chọn 1 £ C n £ C n + 1 sao cho

4C%

n n

a2 j 2- nXét chuỗi

+ ¥

Từ bất đẳng thức này ta nhận được ước lượng sau đây

æ n

2.3.3 Bổ đề Cho E là không gian Frechet phân bậc Khi đó tồn tại dãy

khớp tame

2.3.4 Định lý Không gian Frechet phân bậc E có tính chất (WD Z

)

khi và

tính chất (WD Z )được di truyền qua không gian thương Do đó kết luận của

điều kiện đủ được chứng minh

dãy khớp tame tuyến tính

Tổng trực tiếp của hệ thức trên với dãy khớp

nào đó, nên ta có dãy khớp

Ta có biểu đồ giao hoán sau với các dòng và cột là khớp tame

0 0

giao hoán sau với các dòng và cột là khớp

không gian thương tame của

Ĉ

Vì l1(I ) Ĉ

s

có tính chất (WDZ )nên từ định lý 2.3.4 suy ra

2.3.5 Hệ quả Mỗi không gian Frechet phân bậc E có tính chất (WD Z )đều

đẳng cấu tame tuyến tính với không gian Frechet phân bậc F có tính chất (WDZ )

2.3.6 Hệ quả Cho E là không gian Frechet hạch phân bậc Khi đó E là

hạch tame và có tính chất (W D Z )

tính với không gian thương của s

khi và chỉ khi E đẳng cấu tame tuyến

2.4 Tính ổn định của các tính chất (D N D Z

)

gian đối ngẫu thứ hai.

và (W D Z ) đối với không

Áp dụng các định lý 2.2.7 và 2.3.4 trong phần này chúng ta sẽ thiết lập

mối qua hệ giữa các tính chất (DN DZ ) và (WD Z ) với không gian Frechet phân bậc E và không gian đối ngẫu thứ hai của nó.

Cho E là không gian Frechet phân bậc với cơ sở lân cận giảm cố định

{U n }n ³

1

xác định tôpô của nó Khi đó ta xét không gian đối ngẫu thứ hai của

Trước tiên chú ý rằng nếu E là không gian con Frechet phân bậc của

Điều kiện đủ là hiển nhiên

2.4.2 Định lý Không gian Frechet phân bậc E có tính chất (W D Z ) nếu

Chứng minh Tương tự như 2.4.1, ta chú ý rằng nếu E là không gian

Giả sử E có tính chất (WD Z ) Do định lý 2.3.4 tồn tại tập chỉ số I sao cho

định lý Hahn - Banach tồn tại u Î E ¢ sao cho với mỗi x Î B : u(x ) £ 1 và

n - am

00

a 2n - am và Cl s ( E ¢,E ¢) U a 2

n + am

00

a 2n + am

nên suy ra

KẾT LUẬN

- Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất (DNDZ ) và

khi và chỉ khi tồn tại tập chỉ số I sao cho E đẳng cấu tame tuyến tính với

khi và chỉ khi tồn tại tập chỉ số I sao cho E đẳng cấu tame tuyến tính với

- Trình bày các kết quả về tính ổn định của các tính chất (D N D Z ) và

(W D Z ) đối với không gian đối ngẫu thứ hai.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] L.M.Hai, N.V.Khue and B.D Tac, Characterization of (DN DZ ) and

(WD Z ) in class of Frechet spaces, Pubblications of CFCA Vol 3

[5] M Poppenberg, Cheracterization of the subspaces of (s) in the tame

category, Arch Math 54 (1990),274 - 283.

[6] M Poppenberg, Cheracterization of the quotient spaces of (s) in the

tame category, Math Nachr 150 (1991), 127 - 141.

[7] M Poppenberg, Simultaneous smoothing and interpolation with respect

to E.Borel's Theorem, Arch Math 61 (1993) , 150 - 159.

[8] M Poppenberg, A sufficient condition of type (W) for tame splitting of

short exact sequences of Frechet spaces, Manuscripta Math 72 (1994), 257

[11] D.Vogt, Subspaces and quotient spaces of (s) , In functional

Analysis: Surveys and Recent Results, North - Holland Math Stud 27 (1997),

167 - 187

[12] D.Vogt, Tame spaces and power series spaces, Math Z., 196 (1987),

532 - 536

[13] D.Vogt, Frechtraume, zwischen denen jede stetige linear Abbildung

beschrankt ist, J Reine Angew Math 345 (1983), 182 - 200.

[14] D.Vogt, On two classes of (F) – spaces, Arch Math, 45 (1985), 255-266 [15] D.Vogt, Charakterisierung der Unterrọume von s Math 155 (1997),

109-117

[16] D.Vogt, Charakterisierung der Unterrọume eines nuklearen stabilen

Potenzreihen-rọumes von endlicher Typ, Studia Math.

[17] D.Vogt, Eine Charakterisierung der Potenzreihenrọume von endlichen

Typ und ihre Folgerungen, Manuser Math, 37(1982), 269-301.

[18] D.Vogt and M.Wagner, Charakterisierung der Potenzreihenrọume

und Quotientenrọme der nuklearen stabilen Potenzreihenrọume von unendlichen Typ, studia Math, 70 (1981), 63-80

[19] D.Vogt and M.Wagner, Charakterisierung der quotientenrọume von

sund eine vermutung von Martineau , Stud Math, 67 (1980), 225-240.