Bài tập cơ học đại cương - Phần 2 Dao động và sóng cơ - Chương 1 docx

Gôi ψ t lµ dÞch chuyÓn cña cÌu so víi vÞ trÝ c©n b»ng.. Suy ra biÓu thøc cña dÞch chuyÓn ψ t cña qu¶ cÌu.. @ Bài 1 Trang 28: Dao động của hai phao: Hai phao hình trụ giống nhau tiết diệ

PHẦN II : BÀI TẬP DAO ĐỘNG VÀ SÓNG CƠ

Bài tập Cơ học đại cương (Mé canique Générale) PFIEV Đà nẵng

bµi tỊp ch−¬ng 1 : Dao ®ĩng tö ®iÒu hßa ghÐp hiÖn t−îng lan truyÒn dao ®ĩng

@ Bµi tỊp I: Dao ®ĩng c−ìng bøc kh«ng cê lùc c¶n cña hÖ mĩt bỊc tù do:

XÐt mĩt dao ®ĩng tö mĩt bỊc tù do nh− h×nh vÏ Hai lß xo cê cïng ®ĩ cøng lµ K Qu¶ cÌu cê khỉi l−îng lµ M Gôi ψ( )t lµ dÞch chuyÓn cña cÌu so víi vÞ trÝ c©n b»ng Gi¶ sö bâ qua môi lùc c¶n t¸c dông lªn qu¶ cÌu

1) Gi¶ sö t¹i thíi ®iÓm ban ®Ìu, hÖ chÞu mĩt kÝch thÝch cê d¹ng: ψ(0)=0; 0

0

v

t

d dt

ψ

=

thiÕt lỊp ph−¬ng tr×nh dao ®ĩng tù do vµ x¸c ®Þnh tÌn sỉ gêc ω cña dao ®ĩng tù do cña qu¶ cÌu Suy ra biÓu thøc cña dÞch chuyÓn ψ( )t cña qu¶ cÌu

2) B©y gií nhí mĩt c¬ cÍu tay quay con tr−ît, ®Ìu A cña qu¶ cÌu chÞu mĩt dÞch chuyÓn d−íi d¹ng: ξ( )t =ξ0cosωt H·y x¸c ®Þnh dÞch chuyÓn cña qu¶ cÌu trong chÕ ®ĩ c−ìng bøc h×nh sin

ưn ®Þnh VÏ ®ơ thÞ cña biªn dĩ dao ®ĩng c−ìng bøc A( )ω cña qu¶ cÌu theo tÌn sỉ gêc cña lùc kÝch thÝch (ωgôi lµ tÌn sỉ kÝch thÝch) øng víi gi¸ trÞ nµo cña ω, hiÖn t−îng cĩng h−ịng sÏ x¶y ra ?

H−íng dĨn: Ph−¬ng tr×nh dao ®ĩng tù do cña hÖ: 2

1

ψ ω ψ+ =0 víi 1 K

M

ω = DÞch chuyÓn

cña qu¶ cÌu: 0

1 1

( ) cos( )

2

v

ω

2 2 1

1 ( ) F

A

M

ω

ω ω

=

− víi F0 =Kξ0

x

( )t

ξ

( )t

ψ

x

( )t

ψ

K

B

Cĩng h−ịng x¶y ra khi ω ω= (tÌn sỉ kÝch thÝch 1 ω b»ng tÌn sỉ riªng ω1 cña hÖ)

@ Bµi tỊp II: Dao ®ĩng c−ìng bøc cê lùc c¶n nhít cña hÖ mĩt bỊc tù do:

XÐt mĩt dao ®ĩng tö mĩt bỊc tù do nh− h×nh vÏ §Ìu A

cña lß xo ®−îc kÝch thÝch bịi mĩt c¬ cÍu tay quay con

tr−ît, t¹o nªn mĩt dÞch chuyÓn cê d¹ng: ξ( )t =ξ0cosωt

cña ®Ìu A

x

ψ

( )t

ξ

Lß xo cê ®ĩ cøng K b»ng h»ng sỉ Qña cÌu B cê khỉi

l−îng lµ M Gôi ψ lµ dÞch chuyÓn cña cÌu so víi vÞ trÝ c©n

b»ng Gi¶ sö qu¶ cÌu chÞu t¸c dông cña mĩt lùc c¶n nhít:

F = ư  , trong đó h là hệ số cản nhớt của môi trường (h = hằng số) Gọi hψ 1M

Q h

ω

2

1 K

M

ω = (Q được gọi là hệ số phẩm chất)

1) Viết phương trình chuyển động của dao động tử

2) Chúng ta chỉ nghiên cứu chế độ cưỡng bức hình sin ổn định Hãy xác định biên độ dao

động cưỡng bức A( )ω của dao động tử nói trên, bằng cách biểu diễn ψ( )t và F t( )=K ( )ξ t

dưới dạng phức Khảo sát sự biến thiên của A( )ω theo tần số góc ω của lực kích thích trong trường hợp 1

2

2

Q< Từ đó suy ra điều kiện để có cộng hưởng và giá trị của ω

khi xảy ra cộng hưởng

Hướng dẫn: Phương trình dao động tự do của hệ: 1 2

1

( ) F t

ω

ψ+ ψ ω ψ+ = với F t( )=Kξ( )t

Biên độ dao động:

0

2 2

2 2 1 1

1 ( ) F

A

M

Q

ω

ω ω

ω ω

=

A( )ω cực đại khi 1 1 12

2Q

ω ω= ư với

điều kiện 1

2

Q> (điều kiện để có cộng hưởng)

@ Bài 1 (Trang 28): Dao động của hai phao:

Hai phao hình trụ giống nhau (tiết diện s

và khối lượng m) có thể dao động trong

nước của một bình chứa có tiết diện S

Gọi ρ là khối lượng riêng của nước Vị

trí của các phao được xác định bằng các

dịch chuyển x1 và x2 của chúng theo

phương thẳng đứng so với vị trí cân bằng

1) Tìm hệ phương trình vi phân mô tả

chuyển động của hai phao (thừa nhận

rằng mặt thoáng của nước nằm ngang và

có thể áp dụng định lý Archimède)

2) Giải hệ phương trình trên, giả sử rằng

tại thời điểm ban đầu, hai phao đều nằm

ở vị trí cân bằng, với vận tốc ban đầu là

2v0 đối với phao thứ nhất và v0 đối với phao thứ hai

Tiết diện S Tiết diện S

Tiết diện s Hình bài 1

Bài giải : Câu 1 :

ắ Khi phao dịch chuyển theo phương thẳng đứng ⇒ mực nước trong bình bị thay đổi

Gọi x là dịch chuyển của mặt thoáng chất lỏng so với vị trí lúc các phao cân bằng; x1 và x2 là dịch chuyển của hai phao so với vị trí cân bằng

Khi hai phao nổi lên so với vị trí cân bằng (x1 > 0, x2 > 0), mực nước trong bình sẽ hạ xuống :

x < 0

Do thể tích nước trong bình không đổi, nên : (x1+ x2).s=- ( - 2 )x S s ⇒ ( 1 2)

2

x

+

= ư

ư

ắ áp dụng định lý về động lượng cho các phao :

( ) ( )

chim

chim

ρ ρ

⎧ = ư + ⎡ ư ư ⎤

⎨

⎩





⎦

mg

Với : V0, chim : thể tích phần chìm trong nước của mỗi phao lúc phao cân bằng : V 0,chimρg=

Bài tập Cơ học đại cương (Mé canique Générale) PFIEV Đà nẵng

2 2

ρ ρ

= − −

⎧

⎩





) 2)

1 2 ( ) 2

x

+

= −

−

( )

2

ρ ρ

+

2

s g

ρ

−



2

( )



⇒

§Ưt : 12 ( )

2

ρ

ω = −

2 2

12

2

ρ

ω =

− (Chó ý r»ng : ω ω1> 2) Suy ra : x1 = −ω12x1−ω22x 2

T−¬ng tù, tõ (2) suy ra :

2

( )

2



Hay : x2 = −ω22x1−ω12x 2

¾ Têm l¹i, hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n m« t¶ chuyÓn ®ĩng cña hai phao :

2 2

1 1 1 2

2 2

2 2 1 1

2 2

⎧ = − −

⎪

⎨

= − −

⎪⎩



C©u 2 :

¾ Cĩng vÕ theo vÕ cña hÖ ph−¬ng tr×nh (3) :

1 2 1 1 1 2 2 2 2 1

x +x = −ω x −ω x −ω x −ω x

1 2 1( 1 2) 2( 1 2)

x +x = −ω x +x −ω x +

) ⇒ x1+x2 = −(ω12+ω22)(x1+x2 2

1 2 1( 1 2)

⇒ x +x = −Ω x +x 2

2 víi Ω =12 ω12 +ω

T−¬ng tù, trõ vÕ theo vÕ cña hÖ ph−¬ng tr×nh (3) :

2 2

1 2 ( 1 2)( 1 2)

x −x = −ω −ω x −x

1 2 2( 1 2)

⇒ x −x = −Ω x −x 2

2 víi Ω =22 ω12−ω

Suy ra :

2

1 2 1 1 2

2

1 2 2 1 2

( ) ( )

⎧ + = −Ω +

⎪

⎨

− = −Ω −

⎪⎩

 

  x ⇒

sin sin

⎧

t

⎪

⎨

2

2

⎪⎪

⎨

⎪⎩

Ta cê : 1 1 cos 1 2 cos 2

x = Ω Ω + Ωt Ω t T¹i t = 0, x1 =2v0 ⇒ 2v0 1 2

= Ω + Ω (4)

Ta cê : 2 1 cos 1 2 cos 2

x = Ω Ω − Ωt Ω t T¹i t = 0, x2 =v0 ⇒ v0 1 2

= Ω − Ω (5)

Tõ (4) vµ (5), suy ra : 0

1

3v

=

A

Ω ;

0 2

v =

B

Ω

Têm l¹i :

0

0

2

2

2

2

⎨

⎩

Ω

⎠ Ω

@ Bµi 2 (Trang 28): TriÖt tiªu dao ®ĩng:

XÐt dao ®ĩng tö nh− trªn h×nh vÏ (h×nh a) DÞch chuyÓn cña ®Ìu A cña lß xo cê d¹ng h×nh sin:

0

( ) sin

1 1

1) X¸c ®Þnh dÞch chuyÓn x1(t) cña dao ®ĩng tö so víi vÞ trÝ c©n b»ng trong chÕ ®ĩ c−ìng bøc h×nh sin ưn ®Þnh

2) Một dao động tử thứ 2 được đặt nối tiếp dao động tử trên, như sơ đồ trên hình vẽ (hình b)

Đầu A của lò xo thực hiện dịch chuyển hình sin như đã nói trên đây Với các điều kiện nào của K2 và m2, dịch chuyển x1 trong chế độ cưỡng bức ổn định sẽ bằng 0 ?

x

( )

y t

A

1

m

1

K

1( )

x t

(a) (b)

Hình bài 2

x

( )

y t

A

1

m

1

K

1( )

x t

2

2( )

x t

Bài giải : Câu 1 :

Phương trình chuyển động của khối lượng m1 có dạng :

1 1 ( 1 ) 1

m x = ư x ưy K ⇒ x1+ω12x1=ω12y với 1

1

1

K m

ω = ⇒ x1+ω12x1=ω12y0sinΩt (1) Nghiệm riêng x1(t) của phương trình (1) biểu diễn dao động cưỡng bức của khối lượng m1 có dạng : x t1( )= ΩA( ) sinΩ t ⇒ x1 = ΩAcosΩt ⇒ 2 2

x = ưΩ A Ω = ưΩt x



Thay tất cả vào (1) : ưΩ2x1+ω12x1=ω12y0sinΩt ⇒ (ω12ư Ω2)x1=ω12y0sinΩt

1 2 2 0

1

sin

ω

Biên độ dao động cưỡng bức :

2

1 0 2 1

ω

ư Ω Cộng hưởng xảy ra khi : Ω =ω1, khi đó |A|

→ ∞

Câu 2 :

Phương trình chuyển động của hệ hai dao động tử liên kết m1, m2 :

1 1 1 1 2 2 1

2 2 2 2 1

⎧

⎩





)

2

Khi x1 = 0, phương trình trên trở thành :

1 2

2 2 2 2

0 K y K x

⎧

Nghiệm riêng x2 của phương trình (2) biểu diễn chế độ cưỡng bức ổn định của khối lượng m2

có dạng :

sin sin

⎪

⎨

⎩

t

2

2

K m

2

K m

Ω =

Như vậy, với điều kiện 2

2

K m

Ω = thì dịch chuyển x1(t) trong chế độ cưỡng bức ổn định thỏa mãn x1(t) = 0 Hệ lò xo như trên được ứng dụng vào việc thiết kế hệ thống cách rung trong kỹ thuật

Bài tập Cơ học đại cương (Mé canique Générale) PFIEV Đà nẵng

@ Bµi 8 (Trang 30): Ph−¬ng tr×nh truyÒn sêng Klein-Gordon:

cña sêng dôc theo

Ký hiÖu:

H×nh bµi 8 :

Oz

:

Kh¶o s¸t sù lan truyÒn

mĩt chuìi c¸c con l¾c ®¬n giỉng nhau, khỉi

l−îng M, chiÒu dµi L, liªn kÕt víi nhau b»ng

c¸c lß xo cê ®ĩ cøng K, nh− trªn h×nh vÏ

0

K

0

g M

ω = vµ:

L

Ω = 1) ViÕt ph−¬ng tr×nh lan truyÒn liªn hÖ c¸c

dÞch chuyÓn bÐ ψn ≈L.θn, ψn−1 vµ ψn+1 cña

c¸c ®Ìu tù do cña c¸c con l¾c ViÕt hÖ thøc

t¸n x¹ cña c¸c sêng ch¹y ®¬n s¾c ®Ưc tr−ng

cho sù lan truyÒn nµy

2) BiÓu diÔn hÖ thøc t¸n x¹ vµ chØ rđ d¶i tÌn

trªn trong phÐp gÌn ®óng cho c¸c m«i tr−íng liªn tôc

µi gi¶i : C©u 1 :

cho phÐp cña c¸c tÌn sỉ gêc cña c¸c dao ®ĩng tù do cña chuìi c¸c con l¾c liªn kÕt

3) ChØ rđ d¹ng cña c¸c kÕt qña nêi

n truyÒn :

l−îng cho con l¾c thø n ®ỉi víi trôc Oz vu«ng gêc víi mƯt

¾ Ph−¬ng tr×nh la

¸p dông ®Þnh lý momen ®ĩng

ph¼ng chuyÓn ®ĩng cña hÖ : dL Oz ( e)

Oz i i

=∑

dt

G víi L Oz = Jθn; J = ML2

2

⇒

Ví cosθn ≈1;sinθn ≈θ ψn; n ≈Lθ

MLθ = −MgLθ + −KL θ − − θ θ+ n+ ) (1)

§Ưt :

1 2 1

0

K

M

ω = vµ 0 g

L

Ω = Ph−¬ng tr×nh lan truyÒn sêng dôc(1) trong chuìi con l¾c trị thµnh :

2 2

θ = −Ωθ ω θ+ − − θ θ+ + (2)

Trong ®ê : lµ tÌn sỉ riªng cña

NghiÖm h×nh sin cña ph−¬ng tr×nh truyÒn sêng :

×nh bµy trong phÌn lý thuyÕt

m

0

Ω dao ®ĩng tù do cña con l¾c ®¬n

¾

ị ®©y ta sö dông ph−¬ng ph¸p kh¸c víi ph−¬ng ph¸p tr

§Ó t×m nghiÖm tưng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh lan truyÒn (2), tr−íc hÕt ta t×m c¸c nghiÖ θn( )t

cña ph−¬ng tr×nh (2), sau ®ê nghiÖm tưng qu¸t θn( )t ®−îc t×m d−íi d¹ng mĩt tư hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c nghiÖm θn( )t

Sö dông ký hiÖu phøc : θn( )t =A e n i tω víi A n =A e n iϕ

⇒ θn( )t = A i e nω i tω ⇒ ( )2 i t 2

eω

θ = ω = −ω θ

y vµo ph−¬ng tr×nh lan truyÒn (2) :

Tha

(

− = −Ω + − − A eω +A e+ ω (3)

0A n 1 2 0 0 A n 0 1 0

ω − + ω − ω − Ω +ω A n+ =

O

( )+

M

1 ( 1 )

n

θ

MgG

n

ψ

1 ( 1)

Chúng ta tìm A dưới dạng n A n =r n, suy ra : A nư1=r nư1 và A n+1=r n+1

Hệ thức (3) trở thành : ω2r nư 1 (ω2ư2ω2ư Ω2)r 2r n+1=

0 + 0 0 n+ω0 0

2 2

của phương trình bậc hai (4) :

0

Hay : 2 2 ( 2 2

Biệt số

ω ω ω ω

ω ư ω ư Ω ư ω ω ư ω ư Ω + ω

0 4 0 0

∆ = ư Ω ư ư

ƒ Nếu ∆ > 0 (hay )

∆ =

0 1 ( ,

1 4ω0 0

Ω = + Ω ), nghiệm của (4) là nghiệm thực

nh (4) là r1 và r

Do tích số của hai nghiệm của phương trì 2 nghiệm đúng hệ thức r1.r2 = 1 ⇒ Một trong hai nghiệm thực sẽ lớn hơn 1 Khi đó, các nghiệmA , tổ hợp tuyến tính của r n 1n và

r2nsẽ phân kỳ Điều này về phương diện vật lý là không thể chấp nhận được đối với một chuỗi vô hạn các dao động tử lý tưởng

ƒ Do đó, phải có ∆ < 0 hay Ω < < Ω0 ω 1 Các tần số góc ω của các dao động tự do sẽ nằm trong miền

⇒

0 ω 1

Ω < < Ω tức là 2 2

4

0 ω ω0 0

Ω < < + Ω Đây chính là dải tần cho phép của của các dao do của chuỗi con lắc

0 ω 4ω0 0

Ω < < + Ω ⇒ 2 2 2

0 0

0<ω ư Ω <4ω Do đó, có thể đặt :

2 2 2 2

0 4 0sin

2

ω ư Ω = ω ⎛ ⎞⎜ ⎟Φ

⎝ ⎠, với Φ ∈(0, )π Phương trình (4) trở thành:

0 4 0 sin 2 0 0 0

2

ω +⎛⎜ ω ⎛ ⎞⎜ ⎟Φ ư ω ⎞⎟ +ω =

⎝ ⎠

2

ư ⎜ ư ⎜ ⎟⎟ + =

⎝ ⎠

(5)

⇒ 2

2 cos 1 0

r ư r Φ + =

trình (5) là r1 và r2, là hai số phức liên hợp và tích của chúng: r

Ta có : ∆ =cos2Φ ư =1 i2sin (2 Φ)

, do đó : r =cosΦ ±isinΦ⇒ i

r1,2 = e± Φ

1,2 2

Đặt k

a

Φ

= , trong đó na xác định vị trí cân bằng của vật dao động thứ (n), suy ra:

1,2

ika

r =e± ⇒ θn( )t =e inka i t eω

Do đó, cá só hình sin lan t yền dọc theo chuỗi các con lắc liên kết có dạng (dưới dạng tổ

±

hợp tuyến tính của các nghiệm θn( )t =e±inka i t eω ):

Bài tập Cơ học đại cương (Mé canique Générale) PFIEV Đà nẵng

( ) inka i t inka i t

Dao ®ĩng cña c¸c con l¾c ®¬n ®ưîc viÕt dưíi d¹ng thùc như sau:

θ = + ω ư +ϕ + + ư ω + +ϕ ư

¾ HÖ thøc t¸n x¹ :

Tõ phư¬ng tr×nh truyÒn sêng, ta suy ®ưîc hÖ thøc:

2 2 2 2

0 4 0sin

2

ω ư Ω = ω ⎛ ⎞⎜ ⎟Φ

⎝ ⎠ víi Φ ∈(0, )π vµ k

a

Φ

=

0

4 sin

2

ka

ω = ω ⎛⎜ ⎞⎟

⎝ ⎠

2 0

HÖ thøc (5) ®ưîc gôi lµ hÖ thøc t¸n x¹

¾ HÖ thøc t¸n x¹ (c¸ch chøng minh giỉng như trong phÌn lý thuyÕt):

NghiÖm cña phư¬ng tr×nh (2) dưíi d¹ng phøc như sau : θn( )t = Aexp ([i ωtưkx n)] víi

0

exp( )

A=A iϕ , víi A lµ sỉ thùc dư¬ng, cßn ϕ0 lµ mĩt sỉ thùc nµo ®ê, ω lµ mĩt sỉ thùc dư¬ng TÝnh θn( )t vµ ( )

n t

θ : θn( )t =i Aω exp ([i ωtưkx n)]; 2 [ ]

θ = ưω ω ư Thay vµo (2), ®ơng thíi lưu ý r»ng x n =n a , suy ®ưîc :

2 2

0 0 1 2

θ = ưΩθ ω θ+ ư ư θ θ+ n+1

exp (i kna) exp( ikna) exp (i kna ka) 2.exp (i kna) exp (i kna ka)

0 0 exp(ika) 2 exp( ika)

0 0 cos(ka) isin(ka) 2 cos(ka) isin(ka)

0 2 0 cos(ka) 1

0 4 0.sin

2

ka

ω ư Ω = ω ⎛⎜ ⎞⎟

⎝ ⎠

4 sin

2

ka

ω = ω ⎛⎜ ⎞⎟+

⎝ ⎠

2

Ω

HÖ thøc nµy cho mỉi liªn hÖ gi÷a k vµ ω vµ ®ưîc gôi lµ hÖ thøc t¸n x¹

Do 0 sin2 ⇒

2

ka

⎛ ⎞

≤ ⎜ ⎟≤

⎝ ⎠ 1 Ω ≤02 ω2ư Ω ≤02 4ω02 ⇒⇒ 2 2

0 ω 4ω0 0

Ω < < + Ω

⇒ C¸c tÌn sỉ gêc ω cña c¸c dao ®ĩng tù do sÏ n»m trong miÒn : 2 2

0 ω 4ω0 0

Ω < < + Ω

C©u 2 :

ƒ §ơ thÞ cña ω(k ) như h×nh vÏ, chØ cÌn ®ưîc vÏ trong vïng :

k

ư < < , bịi v× c¸c gi¸ trÞ k vµ 2

a

+ øng víi cïng mĩt nghiÖm vỊt lý θ( , )x t

T¹i k = 0 ⇒ ω = Ω0

T¹i k

a

π

= ư hay k

a

π

= ⇒ ω2 =4ω02+ Ω = Ω02 2 ⇒

1 ω= Ω 1

§¹o hµm theo k :

2 0

cos 2

4 sin 2

ka ka

d

ka dk

ω = ⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠

⎛ ⎞ +Ω

⎜ ⎟

⎝ ⎠

Khi k = 0 vµ k 2

a

π

= ± ⇒

0

d

dk

ω =

⇒ ®ơ thÞ nhỊn ®ưíng th¼ng n»m ngang lµm tiÕp tuyÕn

ƒ C¸c tÌn sỉ gêc ω cña c¸c dao ®ĩng tù do sÏ n»m trong miÒn :

2 2

0 ω 4ω0

Ω < < + Ω0

Câu 3 :

ắ Trong phép gần đúng cho môi truờng liên tục (a << λ), chúng ta có thể dùng tập hợp gián

đoạn các giá trị của θn( )t để biểu diễn hàm θ( , )x t , nghĩa là : θn( )t ≈θ(x=na t, );

1( ) [ ( 1) , ]

θ + ≈θ = + ; θnư1( )t ≈θ[x=(nư1) , ]a t

Sử dụng khai triển Taylor cho hàm θ( , )x t , ta có :

2 2

θ =θ + ư ∂ + ư ∂ +

Do 1

( 1) , ( ) ( , )

n t x t x n a t

θ + =θ = + , và lấy x0 = na và x = (n+1)a thì xư = +x0 (n 1)a naư = , suy ra : a

2 2

1( ) ( , ) ( 1) , ( )0 ( )0 2 ( )

θ + =θ = + =θ + ∂ + ∂

Hay :

2 2

( ,

2!

x na t

a

θ θ

θ + θ = + θ

=

Tương tự, ta có :

2!

n x n a t

x na t

a

=

0 0 1 2

θ = ưΩθ ω θ+ ư ư θ θ+ +1 trở thành:

x na t

=

=

2 2

x

θ ⎤

⎥

⎦

0 0

θ θ ω θ

0

θ θ θ

∂ ∂ = với c=ω0a

Phương trình này được gọi là phương trình truyền sóng Gordon

ắ Trong mô hình gần đúng của môi trường liên tục : a << λ ⇒ k a<< k λ=2π (với sóng

đơn sắc)

⇒ k a<<2π ⇒

2

ka<<π và là khá nhỏ ⇒

2 2

⎛ ⎞ ⎛≈ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇒ Hệ thức tán xạ

2

2 2 0 4 2

ka

0

= ⎜ ⎟ + Ω

⎝ ⎠ trở thành :

2 2 2

0

c k

ω = + Ω2

với c=ω0a ⇒

2 2

2

k

c

ω ư Ω

=

@ Bài 4 (Trang 28): Cái thang cho vẹt :

Một cái thang cho vẹt treo trên trần nhà gồm những thanh như

nhau, có momen quán tính J đối với trục quay thẳng đứng (Ox)

của chúng Các thanh được buộc từng đôi một với nhau bằng

những sợi dây xoắn có độ dài a, độ cứng (xoắn) C

Gọi θn là góc quay của thanh thứ n so với vị trí cân bằng của

nó

1) Hãy viết phương trình lan truyền của một sóng dọc theo cái

thang cho vẹt

2) Trong phép gần đúng của môi trường liên tục, phương trình

nói trên trở thành phương trình nào?

Bài tập Cơ học đại cương (Mé canique Générale) PFIEV Đà nẵng

3) Nh÷ng ®¹i l−îng t−¬ng tù nh− nh÷ng h»ng sỉ ω0 (tÌn sỉ gêc cña dao ®ĩng cña thanh) vµ c

(vỊn tỉc lan truyÒn) lµ nh÷ng ®¹i l−îng nµo ?

Bµi gi¶i : C©u 1 :

¸p dông ®Þnh lý momen ®ĩng l−îng ®ỉi víi trôc (Ox) cho

thanh thø n : Ox ( e)

Ox i i

dL

n

θ

O

1

n

θ −

a

1

n

θ +

x

1

n

1

n

Víi : L Ox = Jθn vµ Ox( i e) n 1 n 1

i

xo¾n tõ con l¾c thø n -1 t¸c dông lªn con l¾c thø n :

;

1

M − = −C θ θ− M n+1 : momen xo¾n tõ con l¾c thø n -1

t¸c dông lªn con l¾c thø n : M n+1 = −C(θn+1−θn)

⇒ Jθn = −C(θ θn− n−1)−C(θn+1−θn)

⇒ Jθn =C(θn−1−2θ θn + n+1)

§©y chÝnh lµ ph−¬ng tr×nh lan truyÒn dao ®ĩng xo¾n trong

chuìi c¸c thanh liªn kÕt tõng ®«i mĩt

C©u 2 :

Trong phÐp gÌn ®óng cho m«i tr−íng liªn tôc (a << λ), chóng

ta cê thÓ dïng tỊp hîp gi¸n ®o¹n c¸c gi¸ trÞ cña θn( )t ®Ó biÓu

diÔn hµm θ( , )x t , nghÜa lµ : θn( )t ≈θ(x=na t, ); θn+1( )t ≈θ[x=(n+1) , ]a t ;

1( ) [ ( 1) , ]

θ − ≈θ = −

Sö dông khai triÓn Taylor cho hµm θ( , )x t , ta cê :

2 2

θ =θ + − ∂ + − ∂ +

Do 1

( 1) , ( ) ( , )

n t x t x n a t

θ + =θ = + , vµ lÍy x0 = na vµ x = (n+1)a th× x− = +x0 (n 1)a na− = , suy ra : a

2 2

1( ) ( , ) ( 1) , ( )0 ( )0 2 ( )

θ + =θ = + =θ + ∂ + ∂

Hay :

2 2

( ,

2!

x na t

a

θ θ

θ + θ = + θ

=

T−¬ng tù, ta cê :

2!

n x n a t

)

x na t

a

=

Ph−¬ng tr×nh truyÒn sêng Jθn =C(θn−1−2θ θn+ n+1) trị thµnh:

Ca

2

2 2 2

1

θ θ

Víi :

2

Ca

c

J

= Ph−¬ng tr×nh (1) chÝnh lµ ph−¬ng tr×nh truyÒn sêng §al¨mbe

C©u 3 :

øng víi tÌn sỉ gêc 0 K

M

ω = ®ỉi víi chuìi dao ®ĩng tö liªn kÕt, ị ®©y ta cê gi¸ trÞ 0 C

J

ω = øng víi vỊn tỉc truyÒn sêng biÕn d¹ng c trong chuìi dao ®ĩng tö ghÐp , ta cê vỊn tỉc lan

truyÒn sêng xo¾n :

2 0

Ca

J

ω