Bài tập chương 2 : dây rung - phương trình đalămbe @ áp dụng 1: Dây Melde Trang 48 Trong thí nghiệm về dây Melde, thanh rung thực hiện các dao động hình sin có biên độ a: ψ0,t = acosωt
Trang 1Bài tập chương 2 : dây rung - phương trình đalămbe
@ áp dụng 1: Dây Melde (Trang 48)
Trong thí nghiệm về dây Melde, thanh rung thực hiện các dao động hình sin có biên độ a:
ψ(0,t) = acosωt Sợi dây có chiều dài L, đầu kia cố định
Lức căng của sợi dây bằng T0 ( T0
c
à
= )
âm thoa
A B
L
1) Xác định dịch chuyển ψ(x,t) tại một điểm M bất kỳ
trên dây, tại một thời điểm t bất kỳ
2) Giải thích và bình luận hiện tượng cộng hưởng Xác
định giá trị của các tần số cộng hưởng
Bài giải : Câu 1 :
Nghiệm sóng dừng hình sin có dạng :
0
( , )x t cos(kx F) cos( t G)
ψ =ψ +ϕ ω +ϕ với k
c
ω
c
à
Điều kiện biên : (0, ) cos
( , ) 0
L t
t
ψ
=
⎧
⎩
0
(0, ) cos cos( ) cos (1)
( , ) cos( ) cos( ) 0 (2)
⎧
⎩
t
Từ (1) : ψ0cosϕF = ⇒a
0
ψ
= (3) và : ϕG = 0
Từ (2) : ψ0cos(kL+ϕF) cosωt= 0 ⇒ cos(kL+ϕF)= (4) 0
(Ghi chú : giá trị cos tω có thể bằng 0 khi
2
t π k
có cosωt ≠ ) 0
Từ (4) :
2
F
kL ϕ π
+ = ⇒
2
F π kL
ϕ = ư
cos
cos 2
F
kL
ψ
π ϕ
sin
a kL
a
π
Tóm lại : ( , ) sin[ ( )]cos
sin
a
(Ghi chú : Nếu mẫu số sinkL = 0, ta có trường hợp cộng hưởng)
Câu 2 :
Ta thấy rằng, khi k k n n
L
π
= = hay k L n =nπ với n nguyên thì sin ψ(x,t) trên
lý thuyết bằng vô cùng ⇒ dây bị cộng hưởng
0
n
Thực tế, do sự tắt chấn không thể tránh khỏi, đồng thời độ cứng của dây (mà ta bỏ qua khi
thiết lập phương trình truyền sóng Đalămbe), không còn có thể bỏ qua khi có cộng hưởng
biên độ của các dịch chuyển của dây là giới nội
⇒ (Khi cộng hưởng, a rất bé so với biên độ tại các bụng dao động ⇒ đầu dây gắn với thanh
rung có thể coi như là một nút dao động)
Trang 2 Ta có, tần số dao động riêng của dây : ωn =k c n với k n n
L
π
L
π
ω =
⇒ Các tần số cộng hưởng:
n n
nc L
ω ν π
Từ (5) suy ra chu kỳ theo không gian λn của ψ(x,t) (bước sóng λn) : n 2
n k
π
λ =
Khi dây bị cộng hưởng thì k k n n
L
π
n
L n
λ = ⇒
n
L= λ
Với n = 1 ⇒ 1
2
c L
2
L λ
=
Với n = 2 ⇒ 2 2
2
c L
2 2
L= λ
Với n = 3 ⇒ 3 3
2
c L
3 2
L= λ
@ áp dụng 2: Nghiên cứu các dạng dao động riêng của một sợi dây (Trang 52)
Khi thí nghiệm với dây Melde, người ta nhận thấy các kết quả sau đây :
1) Với cùng một chiều dài L của sợi dây và với cùng một khối lượng M mắc vào nó, người ta thu được các kết quả sau:
Tần số cộng hưởng là 19 Hz khi có hai bó sóng
Tần số cộng hưởng là 28 Hz khi có ba bó sóng
a) Các giá trị bằng số nói trên tương thích nhau hay không ?
b) Các tần số cộng hưởng kế tiếp sẽ bằng bao nhiêu ?
2) Chiều dài sợi dây là L = 117cm Vận tốc truyền sóng dao động trên dây này bằng bao nhiêu ?
3) Khối lượng M mắc vào dây bằng M = 25g
a) Sức căng của sợi dây bằng bao nhiêu ?
b) Rút ra cỡ độ lớn của khối lượng trên một đơn vị chiều dài của sợi dây
Bài giải : Câu 1 :
a) Trên dây Melde, khi thí nghiệm nhận thấy :
- với tần số cộng hưởng 19Hz thì có hai bó sóng
⇒ Tần số riêng của dây : ν2 =19Hz, chiều dài dây 2
2 2
L= λ
- với tần số cộng hưởng 28Hz thì có ba bó sóng
⇒ Tần số riêng của dây : ν3 =28Hz, chiều dài dây 3
3 2
L= λ Với các kết quả trên, ta có : 2 19
9, 5
; 3 28
9, 3
tức là : 2 3
ν
ν ≈
Trang 3Các giá trị bằng số nói trên là tương thích với nhau bởi vì theo lý thuyết đã học, ta có :
0
n n
ν = ν hay : n 0
n
ν =ν
tức là : 2 3
0
ν
ν = = =ν
Như vậy : 2 3
ν ν
b) Các tần số cộng hưởng kế tiếp :
4 4 0 4.9, 4 37, 6Hz
ν = ν = = ; νn =nν0 =9, 4.n
Câu 2 :
ắ Chiều dài dây : L = 117cm
Mà :
2
n
c n
L
ν = ⇒ Vận tốc truyền sóng dây : 2L n 2.117.9, 4 2200 /
ν
22 /
(Ghi chú : Có thể tính theo cách khác như sau :
Ta có :
2
n
L=nλ
⇒ λn =n L2 ⇒ λ0 =1.2.1,17m ⇒ λ0 =2,34m
Mặt khác : c=λ ν0 0 =λ νn n ⇒ c=λ ν0 0 =λ νn n =2, 34.9, 4⇒ c=22 /m s
Câu 3 :
a) Sức căng trên dây : T0 = Mg
Với : M = 25g ⇒ T0 = 25.10-3.10N ⇒ T0 = 0,25N
b) Vận tốc truyền sóng c bằng : T0
c
à
= ⇒ Khối lượng một đơn vị chiều dài của
dây : 0
0, 25 (22)
T
c
à = = ⇒ à ≈5, 2.10ư4Kgmư1 =0, 52 /g m (với độ chính xác của phép đo tần số)
@ Bài 2, trang 57, ảnh huởng của độ cứng của một sợi dây đến tần số dao động của nó :
Một sợi dây, khối lượng trên một đơn vị chiều dài là à,
chiều dài L, được cố định ở hai đầu, chịu một lực căng dây
T0, dao động ở dạng dao động riêng thứ n theo quy luật:
y
x
α
dx
x
( , )x t Acos n tsinn x
L
π
Với các tần số cao, phải kể đến ảnh hưởng của độ cứng của
dây Trong biểu thức cân bằng lực tác dụng lên một phân tố
dây có chiều dài dx, cần đưa thêm một lực bổ sung dRG
có
xu hướng chống lại sự uốn cong của dây Hình chiếu của lực
này lên trục (Oy) được viết thành :
3
3
y
x
α
γ ∂
= ư
Trong đó γ là một hằng số phụ thuộc vào vật liệu sợi dây
1) Hãy tính tỉ số ε giữa mođun của và mođun của thành
phần trên trục (Oy) của hợp lực căng dây tác dụng lên phân tố dây có chiều dài dx
y dR
2) áp dụng hệ thức cơ bản của động lực học cho phân tố dây có chiều dài dx
Từ đó suy ra tần số dao động ωn của sợi dây theo T0
c , L, ε và n
à
=
3) Tính độ hiệu chỉnh tương đối của tần số gắn với dạng dao động riêng n, xuất hiện do kể
đến ảnh hưởng của độ cứng của dây (giả sử ε <<1) áp dụng bằng số cho n = 1; n = 2 và
n = 10
Cho biết: L = 0,5m; T = 387 N; γ = 10-2 N.m2
Trang 4Bài giải : Câu 1 :
Khi dây không có độ cứng, thành phần trên trục Oy của hợp lực căng dây tác dụng lên phân
tố dây dx (xem lại phần lý thuyết) : F y T0[ (x dx t, ) ( , )x t ] T0 dx T 22 dx
Suy ra :
2 0
y y
ψ
⇒
4 4 2 0 2
x T x
ψ γ ε
ψ
∂
∂
=
∂
∂
(1)
(Lưu ý rằng :
2 2
;
ψ α ψ
α =∂ ∂ =∂
Câu 2 :
ắ áp dụng hệ thức cơ bản của động lực học (định luật II Newton) cho phân tố dây dx và chiếu lên trục Oy, ta có :
2
t
ψ
à ∂ = ư
0
3
3
x
à∂ = ∂ ưγ ∂
0
4
4
x
à∂ = ∂ ưγ ∂
∂ ∂ ∂ (2)
ắ Sợi dây dao động ở dạng dao động riêng bậc n theo dạng (theo đề bài) :
( )
( , )x t Acos n t sin n x
L
π
( )
2 2
⎞
⎟
⎠ ⇒ 44 A n 4cos( )n t sin n x
⎞
⎟
⎠
Thay vào (1) :
4
2 0
n L
T n L
π γ ε
π
=
⇒
2
0
n
γ π
ε = ⎛⎜ ⎞⎟
Thay vào (2) :
2 0
n
T
2
0
1
n
T
à
⇒
0
1
n
ω
à
Từ (3) và (4) suy ra : 2 0[ ] 2
1
n
L
π
à
= + ⎜⎝ ⎟⎠ Với T0
c
à
1
n
n c L
π
ω = ⎛⎜ ⎞⎟ +ε
Câu 3 : Khi không kể đến độ cứng của dây :
2
0n
n c L
π
ω = ⎜⎛ ⎞⎟
⇒ Độ hiệu chỉnh tương đối của tần số gắn với dạng dao động riêng n, xuất hiện do kể đến
ảnh hưởng của độ cứng của dây: 0
n n n
= = + ư ≈ + ư = (giả thiết ε << 1)
⇒
2
n
n
n
ω ε γ π
ω
⎝ ⎠ Với n = 1 : 4
0
5,1.10
n n
ω
ω
ư
∆
0
2, 0.10
n n
ω ω
ư
∆
0
5,1.10
n n
ω ω
ư
∆
=
Trang 5Ghi chú : Độ chênh lệch tương đối
0
n n
ω ω
∆ càng lớn, khi tần số góc của dao động riêng càng lớn (n tăng) Điều này là dĩ nhiên, bởi vì ứng với một dạng dao động riêng có tần số cao, biên
độ sin n x
L
π
⎜
⎝ ⎠⎟ thay đổi rất nhanh, hình dạng của sợi dây bị thay đổi mạnh hơn và ảnh hưởng
của độ cứng của dây lớn lên rõ rệt