BàI tập Chương III : Sóng âm trong chất lỏng @ áp dụng 3: Cân bằng năng lượng cục bộ đối với một sóng phẳng Trang 107 Hãy viết biểu thức của mật độ động năng, mật độ thế năng và mật độ
Trang 1BàI tập Chương III : Sóng âm trong chất lỏng
@ áp dụng 3: Cân bằng năng lượng cục bộ đối với một sóng phẳng (Trang 107)
Hãy viết biểu thức của mật độ động năng, mật độ thế năng và mật độ năng lượng sóng, cũng
như vectơ mật độ dòng năng lượng (vectơ mật độ năng thông ΠG
), đối với một sóng phẳng lan truyền theo phương song song với trục Ox Kiểm nghiệm biểu thức cân bằng năng lượng cục bộ
trong trường hợp đặc biệt này
Bài giải :
Đối với một sóng phẳng lan truyền theo phương song song với trục Ox, vận tốc v và áp suất dư
p có dạng :
0
v( , )
( , )
x
p x t c f t g t e
ρ
⎨
⎩
G
Mật độ khối của động năng : 2 2
K
e = ρ = ρ f + g) ⇒ 1 0( 2 2 2)
2
K
e = ρ f + fg+g
Mật độ khối của thế năng :
e = χ p = χ ρ c f ưg = χ ρ c f ư fg+ 2
)
g
Mà : 2
0
1
S
S
c
ρ χ
2
P
e = ρ f ư fg+g )
Mật độ khối của năng lượng sóng âm : 2 2
e =e +e =ρ f +g
Vectơ mật độ năng thông : Π =G pvG=ρ0c S(f ưg)(f +g )eGx⇒ 2 2
0c S(f g e) x ρ
Biểu thức cân bằng năng lượng cục bộ : e S 0
div
t
∂
∂
G
Trường hợp sóng âm lan truyền
theo phương Ox (một chiều), ta có: e S 0
x t
∂
Dễ dàng kiểm tra lại biểu thức cân bằng năng lượng cục bộ :
Và : e S 2 0( ' ' ) 2 ( )
0
f f g g f g
Từ (1) và (2) suy ra : e S 0
x t
∂
@ áp dụng 4 : Phản xạ và truyền qua các sóng âm trên bề mặt tiếp giáp giữa hai ống
dẫn: (Trang 112)
Khảo sát sự phản xạ và sự truyền qua của các sóng âm phẳng trên bề mặt tiếp giáp của hai ống
dẫn có tiết diện S1 và S2 (hình a và hình b)
1) Chứng minh rằng có sự liên tục của áp suất tại x = x0 :
1( , )0 2( , )0
p x t = p x t
2) Chứng minh rằng có sự liên tục của lưu lượng khối (lưu lượng thể tích) trên bề mặt tiếp giáp:
v1( , )0 1 1v ( , )0 v2( , )0 2v ( , )2 0
Cho biết trở kháng âm của một ống dẫn có tiết diện S được xác định bởi tỷ số : 0 S c
Z S
ρ
=
Trang 2Bài tập Cơ học đại cương (Mé canique Générale) PFIEV Đà nẵng
3) ViÕt biÓu thøc cña c¸c hÖ sỉ ph¶n x¹ vµ hÖ sỉ truyÒn qua vÒ biªn ®ĩ ®ỉi víi lưu lưîng khỉi
vµ ¸p suÍt dư theo c¸c trị kh¸ng ©m cña c¸c ỉng dĨn
4) Tõ ®ê rót ra hÖ sỉ ph¶n x¹ R vµ hÖ sỉ truyÒn qua T vÒ n¨ng lưîng
5) §¬n gi¶n c¸c biÓu thøc thu ®ưîc khi c¸c ỉng dĨn chøa cïng mĩt chÍt lưu vµ cê diÖn tÝch kh¸c nhau X¸c ®Þnh T vµ R khi S2 → ∞ B×nh luỊn kÕt qu¶ nhỊn ®ưîc
@ Bµi gi¶i :
C©u 1 :
XÐt mĩt “pÝtt«ng” (mĩt líp chÍt lưu) cê khỉi lưîng M, bÒ dµy kh«ng ®¸ng kÓ, n»m trªn bÒ mƯt tiÕp gi¸p cña hai ỉng dĨn Dưíi t¸c dông cña ¸p suÍt dư p1(x0,t) vµ p2(x0,t), phư¬ng tr×nh chuyÓn
®ĩng cña pÝtt«ng cê d¹ng : Ma t( ) [= S p x t1( , ) 0 - ( , )]p x t2 0 trong ®ê a(t) lµ gia tỉc cña pÝtt«ng Khi M → 0, do gia tỉc a(t) lµ h÷u h¹n, nªn : p x t1( , ) = 0 p x t 2( , )0
Như vỊy, cê sù liªn tôc cña ¸p suÍt t¹i x = x0 (trªn bÒ mƯt tiÕp gi¸p gi÷a hai ỉng)
C©u 2 :
H×nh 5:
( )1 (ρ1, )c1
Sêng tíi
Sêng ph¶n x¹
Sêng truyÒn qua
( )2 (ρ2,c2)
x
0
x
x’
ChiÒu dµi L cña rỉi lo¹n nhâ cña chÍt lưu khi cê
sêng ©m truyÒn qua lµ bÐ h¬n nhiÒu so víi bưíc
sêng λ cña sêng ©m : L << λ, do ®ê cê thÓ bâ qua
sù biÕn thiªn cña thÓ tÝch cña mĩt líp chÍt lưu
®ang chuyÓn ®ĩng do nh÷ng rỉi lo¹n nhâ nêi trªn
g©y ra
Khi ®ê, ta thÍy lưu lưîng khỉi trªn bÒ mƯt tiÕp
gi¸p cña hai ỉng dĨn lµ liªn tôc:
v1( , )0 1 1v ( , )0 v2( , )0 2v ( , )2 0
C©u 3 :
§iÒu kiÖn biªn : 1 0 2 0
( , ) = ( , ) ( , ) ( , )
⎧
( , ) ( , ) = ( , ) (1) ( , ) ( , ) = ( , ) (2)
⎪
⎨
+
⎪⎩
HÖ sỉ ph¶n x¹ vÒ biªn ®ĩ ®ỉi víi lưu lưîng khỉi :
12
v ( )
v
V phanxa phanxa
V
r D
1
f
Tõ (1) vµ (2), suy ra :
1
f
ρ
1
2
f
Trang 3Và : 2 1 1 2 1 2 2
1
1 1 1
-2
g
c S
ρ
1
2
g
12
( V) Z Z
r D
Z Z
ư
= +
Tương tự, hệ số phản xạ về biên độ đối với áp suất dư :
toi
ρ ρ
+ (Lưu ý dấu (-) trong biểu thức của áp suất dư phản xạ)
Hệ số truyền qua về lưu lượng khối :
12
v ( )
v
V truyenqua truyenqua
V
D
1
f f
Từ (3) suy ra : 2 1
2
f = Z Z S
1 12
2 (D V) Z
Z Z
+
Tương tự, hệ số truyền qua về biên độ đối với áp suất dư :
c f c Z Z S Z Z Z Z
o Hệ số phản xạ và hệ số truyền qua về năng lượng :
1
1
phanxa x
toi x
S e
R
S e
Π
=
Π
1
phanxa x
toi x
S e T
S e
Π
= Π
Với : Π =toi p toi.vtoi =ρ1 1 1c f2
2
1 1 1
.v
phanxa p phanxa phanxa ρc g
2
2 2 2
.v
truyenqua p truyenqua truyenqua ρ c f
Suy ra :
2
1 1 1 2
1 1 1
c g R
c f
ρ
ρ
2
Z Z R
Z Z
2
2
T
⎛ ⎞
4Z Z
Z Z
= +
T
Ta thấy : R + T = 1
Câu 5 :
Khi ống dẫn chứa cùng một chất lưu thì : ρ1 = ρ2
Ta có : 2 1 1 1
/ /
2 1
ρ ρ
S S
ư
2
S S S
2
S S
R
S S
4S S T
S S
= +
Khi S2 → ∞ thì R → 1, T → 0 Năng lượng sóng âm bị phản xạ hoàn toàn và gần như không truyền được qua bề mặt tiếp giáp giữa hai ống
Trang 4Bài tập Cơ học đại cương (Mé canique Générale) PFIEV Đà nẵng
Khi S2 >> S1 th×
( 2 1)2
4
1
S S T
S S
+ < (v× R≈1) ⇒ Khi ®ê, n¨ng lưîng sêng ©m truyÒn qua bÒ mƯt tiÕp gi¸p rÍt bÐ V× vỊy, khi nêi trưíc ®¸m ®«ng, ta ph¶i dïng tay lµm loa hoƯc dïng loa th× n¨ng lưîng sêng ©m truyÒn tõ miÖng truyÒn ra bªn ngoµi míi lín ®ưîc
@ Bµi tỊp 1: Giê mang ©m thanh (Trang 129)
Nghiªn cøu mĩt dßng kh«ng khÝ cê vỊn tỉc kh«ng ®ưi u0 (theo phư¬ng chiÒu trôc Ox víi u0 > 0 t¹i môi ®iÓm Trong dßng ch¶y ®ê, cê mĩt sêng ©m ph¼ng ch¹y truyÒn theo phư¬ng cña trôc
Ox
1) H·y dïng c¸c ký hiÖu ®· hôc, h·y viÕt phư¬ng tr×nh lan truyÒn ¸p suÍt dư p(x,t) trong ph¹m
vi phÐp gÌn ®óng ©m hôc
2) Mĩt sêng ph¼ng ch¹y ®¬n s¾c, lan truyÒn trong dßng ch¶y Dưíi d¹ng phøc, p ®ưîc viÕt như sau: p= p e0 i(ωt kxư )
H·y t×m hÖ thøc t¸n x¹ cho mỉi liªn hÖ gi÷a k vµ ω, vµ gi¶i thÝch kÕt qu¶ nhỊn ®ưîc C©u “giê mang ©m thanh” nêi lªn ®iÒu g×?
Bµi gi¶i : C©u 1 :
VỊn tỉc cña mĩt phÌn tö chÍt lưu khi giê chuyÓn ®ĩng víi vỊn tỉc u0 :
víi
0 v( , )
u + x t v( , )x t << u0
Tõ phư¬ng tr×nh b¶o toµn khỉi lưîng : div( (u0 v))
∂
, suy ra : ( 0 v) ( 0 v)
div u u grad
∂
∂
JJJJJG
= Lưu ý r»ng : ρ = ρ0 + µ víi ρ0 = h»ng sỉ; uG0
b»ng h»ng sỉ, ta cê : divv (u0 v)grad
∂
∂
JJJJJG
Do ρ ρ= 0+ nªn : µ
( ) ( )
0div v div v u grad0 vgrad
JJJJJG JJJJJG
MƯt kh¸c, doµ<<ρ0 vµ v << nªn : u0
0
v<< v
µ G ρ G vµ vGJJJJJGgradµ<<u gradG0JJJJJGµ =0
Do ®ê : 0divv u grad0 0
t
∂
JJJJJG
Trưíng hîp truyÒn sêng mĩt chiÒu, ta cê : 0 v u0 0
(1)
v
vgrad v gradP f t
ρ⎛⎜∂ + ⎞⎟= ư
∂
+ G
trị thµnh :
0
u
u grad u grad t
ρ⎛⎜∂ + ⎞ +⎟ ρ + + = ư
∂
P
(Ghi chó :
v
vgrad v gradP f t
ρ⎛⎜∂ + ⎞⎟= ư
∂
+ G
víi vG
ị ®©y b»ng uG0+vG
Bâ qua lùc thÓ tÝch fGv
)
Lưu ý r»ng : P = P0 + p vµ P0 = h»ng sỉ; uG0
lµ h»ng sỉ, suy ra :
Trang 5( 0 )
v
(u v)grad v grad p t
ρ⎛⎜∂ ⎞ +⎟ ρ + = ư
∂
JJJJJG JJJJJG
⇒ v (u grad0 )v+ (vgrad)v grad p
t
∂
Trong phép gần đúng âm học, ta có : (vgrad)v<< v
t
∂
∂
G JJJJJG
; đồng thời lưu ý rằng v 0 v
ρ∂ ≈ρ ∂
⇒ 0 v 0(u grad0 )v grad p
t
∂
Trường hợp lan truyền theo một chiều Ox, ta có :
u
ρ ∂ +ρ ∂ = ư
∂
∂ (2)
(Ghi chú :
( grad)v
v
x
y
z
⎪
⎪
⎪
⎩
JJJJG
∂
)v
, do đó nếu lan truyền theo một chiều thì
trở thành
0
(u gradG JJJJJG G
0
v
u x
∂
∂ )
Với giả thiết NĐH: 0 S p 12
c
à ρ χ= = p trong đó : 12 0 S
c =ρ χ , biểu thức (1) trở thành:
0 0
0
u
c ∂t +ρ ∂x+c ∂x =
(3)
0
0
u
c ∂t +ρ ∂x t+c ∂x t
(4)
Từ biểu thức (2) suy ra :
2
p u
∂ (5)
Từ biểu thức (3) suy ra :
0 0
0
u
c ∂x t+ρ ∂x +c ∂x
(6)
Từ (6) rút ra :
0
2
∂
∂
Từ (4) rút ra :
0
∂ Thay tất cả vào (5), suy ra :
Trang 6Bài tập Cơ học đại cương (Mé canique Générale) PFIEV Đà nẵng
0
u
p
§©y chÝnh lµ ph−¬ng tr×nh lan truyÒn ¸p suÍt d− p(x,t) trong dßng ch¶y
C©u 2 :
Víi sêng ph¼ng ch¹y ®¬n s¾c p(x,t) cê d¹ng : p= p e0 i(ωt kx− )
⇒
2
p
x
∂
2
∂
2
( )( )
p
∂
∂ ∂ Ph−¬ng tr×nh lan truyÒn ¸p suÍt d− p trị thµnh :
0
(c u k) ω 2u0ωk
(ω 2ωu k u k ) c k2
0
0
(ω−u k) =(kc)
2
2
( u k)
k
c
ω−
⇒ ω−u k0 = ± kc ⇒ ω =k u( 0 ± c)
§©y chÝnh lµ hÖ thøc t¸n x¹ cÌn t×m
NÕu ®Ưt c'=u0±c ⇒ ω=kc', ta l¹i t×m thÍy mĩt hÖ thøc quan hÖ cê d¹ng :
'
k c
ω
= Nh− vỊy, vỊn tỉc truyÒn ©m khi cê giê chÝnh b»ng c'=u0± NÕu sêng truyÒn theo chiÒu dßng c
ch¶y th× ⇒ sêng ©m lan truyÒn trong dßng kh«ng khÝ sÏ nhanh h¬n lan truyÒn trong kh«ng khÝ yªn tÜnh, do ®ê cê thÓ nêi r»ng “giê mang ©m thanh”
0
'
c =u + >c c
Tµi liÖu tham kh¶o :
[1] Sêng, N¨m thø hai, PC-PC* PSI-PSI*, Hachette SupÐrieure, Nxb Gi¸o dôc Hµ Nĩi 2002 [2] Ondes, DeuxiÌme annÐe, PC-PC* PSI-PSI*, Hachette SupÐrieure, 2000
[3] L−¬ng Duyªn B×nh, Ng« C«ng TrÝ, NguyÔn H÷u Hơ, VỊt lý ®¹i c−¬ng, TỊp II : Dao ®ĩng
vµ sêng c¬, Nxb Gi¸o dôc Hµ Nĩi 1998