Tính hệ số tăng cường và tốc độ hủy positron trong Titan dioxit (TiO2)

Tính hệ số tăng cường và tốc độ hủy positron trong Titan dioxit (TiO2)

LỜI CÁM ƠN

Sau một thời gian thực hiện nghiên cứu đề tài này, đến nay tôi đã thực hiệnxong Trong quá trình thực hiện đề tài tôi đã gặp không ít vấn đề khó khăn Nhưngnhờ sự giúp đỡ tận tình của các thầy cô, bạn bè nên tôi cũng đã khắc phục được Tôixin có lời cám ơn chân thành đến những người đã hỗ trợ tôi thực hiện đề tài:

1 Xin cám ơn các thầy cô trong bộ môn Vật lý hạt nhân-Khoa vật lý-TrườngĐại học khoa học tự nhiên đã cung cấp cho em những kiến thức chuyênmôn bổ ích trong suốt thời gian học cao học

2 Xin cám ơn đến PGS.TS Châu Văn Tạo, thầy là người định hướng tôi thực

hiện đề tài, thầy luôn luôn theo dõi quá trình thực hiện đề tài của tôi và cónhững ý kiến hết sức bổ ích và rất kịp thời để tôi có thể thực hiện thànhcông đề tài

3 Xin cám ơn đến ThS Trịnh Hoa Lăng, người hướng dẫn trực tiếp đề tài

cho tôi, người đã cung cấp cho tôi những tài liệu bổ ích liên quan đến đề tài,người luôn luôn hỗ trợ tôi trong những lúc đề tài gặp khó khăn nhất

4 Xin cám ơn đến bạn Lê Hoàng Chiến, người đã hết sức nhiệt tình hỗ trợ tôi

trong việc viết chương trình tính toán

5 Xin cám ơn đến các thầy cô trong Hội đồng chấm luận văn đã đọc và cónhững những ý kiến đóng góp bổ ích để luận văn được hoàn thiện hơn

6 Xin cám ơn chân thành đến gia đình và bạn bè đã động viên giúp đỡ tôitrong suốt thời gian thực hiện đề tài

MỤC L

LỜI CÁM ƠN 1

MỤC LỤC 2

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC ĐƠN VỊ 5

DANH MỤC CÁC BẢNG 7

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, CÁC ĐỒ THỊ 8

LỜI MỞ ĐẦU 10 CHƯƠNG 1 - TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT 12

1.1 Tính chất cơ bản của positron 12

1.2 Hàm sóng của hệ 14

1.2.1 Orbital nguyên tử loại hidro [2][3] 14

1.2.1.1 Mô hình về các hạt độc lập hay mô hình trường xuyên tâm 17

1.2.1.2 Thuyết orbital phân tử (MO-molecular orbital) 17

1.2.2 Gần đúng các orbital nguyên tử 18

1.2.2.1 Hàm sóng Slater 18

1.2.2.2 Hàm sóng Gauss [14] 20

1.3 Phương trình Schrodinger 20

1.3.1 Gần đúng Oppenheimer 21

1.3.2 Gần đúng Hartree-Fock 22

1.3.3 Lý thuyết hàm mật độ (LTHMĐ) 24

1.3.4 Lý thuyết hàm mật độ hai thành phần electron-positron 27

1.4 Nguyên lý biến phân [4] 29

1.5 Phương pháp Monte Carlo lượng tử 30

CHƯƠNG 2 - LÝ THUYẾT TĂNG CƯỜNG HỦY VÀ TỐC ĐỘ HỦY POSITRON 34

2.1 Các mô hình tính toán 34

2.3 Làm khớp để tìm hàm số tăng cường 37

CHƯƠNG 3 - HÀM SÓNG VÀ MÔ HÌNH TÍNH TOÁN MONTE CARLO CHO TiO 2 40

3.1 Hàm sóng cho hệ electron-positron trong phân tử TiO2 40

3.1.1 Mô tả cấu hình phân tử TiO2 40

3.1.2 Mô tả cấu hình phân tử TiO2 khi có positron 41

3.1.3 Hàm sóng cơ sở của electron trong nguyên tử titan và nguyên tử oxy 42

3.1.4 Hàm sóng của hệ electron và positron trong phân tử TiO2 44

3.1.4.1 Hàm sóng của hệ electron trong phân tử TiO2 44

3.1.4.2 Hàm sóng của positron trong phân tử TiO2 45

3.2 Xây dựng hàm Hamilton 47

3.3 Năng lượng của hệ electron và positron [11] 49

3.3.1 Biểu thức động năng 50

3.3.2 Biểu thức thế năng 52

3.3.3 Năng lượng tổng của hệ electron và positron 53

CHƯƠNG 4 - KẾT QUẢ TÍNH TOÁN 54

4.1 Biến phân Monte Carlo để tìm bộ tham số tối ưu trong hàm sóng 54

4.1.1 Biến phân theo λO 54

4.1.2 Biến phân theo λTi 55

4.1.3 Biến phân theo β 56

4.1.4 Biến phân theo α 57

4.1.5 Biến phân theo λpTi 58

4.1.6 Biến phân theo λpO 59

4.1.7 Biến phân theo β’ 60

4.1.8 Biến phân theo α’ 61

4.2 Các giá trị hàm tương quan g(r) 62

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 66

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH 68

TÀI LIỆU THAM KHẢO 69

PHỤ LỤC A- Chương trình tính toán biẾn phân Monte Carlo 71

PHỤ LỤC B - BẢng số liệu hàm g(r) theo r 86

PHỤ LỤC C - Bảng tóm tắt các công trình 89 Y

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC ĐƠN VỊ Các kí hiệu

Ve: thế năng của hệ electron

Vee: thế tương tác electron – electron

Vp: thế năng của positron

Ve-p: thế tương tác electron – positron

VNN: thế năng tương tác giữa các hạt

nhân

λO: điện tích hiệu dụng của hạt nhân

oxy đối với electron

λpO: điện tích hiệu dụng của hạt nhân

oxi đối với positron

λTi : điện tích hiệu dụng của hạt nhân

titan đối với electron

λpTi: điện tích hiệu dụng của hạt nhân

titan đối với positronij

i

ψ : hàm sóng của electron thứ iiO

ψ : hàm sóng electron thứ i của oxiiTi

ψ : hàm sóng electron thứ i của kẽmp

ψ : hàm sóng của positrone-e

J

ψ : hệ số Jastrow electron – electron

e-p J

ψ : hệ số Jastrow electron – positron

e-e J

ψ :hàm sóng tương quan

electron-electrone-p

 : toán tử Laplacian

Các đơn vị

Đại lượng Kí hiệu Trong hệ SI Trong hệ nguyên tử

(a.u)Hằng số Plank

me

a0

EH

1,0545710810-34 (Js)1,6021765310-19 (C)9,109382610-31 (kg)5,29177210810-11

(m)4,3597441710-18 (J)(27,2113845 (eV))

11111

DANH MỤC CÁC BẢNG

Trang

Bảng 1.1: Hàm sóng trực chuẩn của electron trong các phân lớp 19

Bảng 4.1: Giá trị năng lượng theo tham số λO 54

Bảng 4.2: Giá trị năng lượng theo tham số λTi 55

Bảng 4.3: Giá trị năng lượng theo tham số β 56

Bảng 4.4: Giá trị năng lượng theo tham số α 57

Bảng 4.5: Giá trị năng lượng theo tham số λpTi 58

Bảng 4.6: Giá trị năng lượng theo tham số λpO 59

Bảng 4.7: Giá trị năng lượng theo tham số β’ 60

Bảng 4.8: Giá trị năng lượng theo tham số α’ 61

Bảng 4.9: Giá trị các tham số tối ưu 62

Bảng 4.10: Các hệ số trong hàm được làm khớp 64

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, CÁC ĐỒ THỊ

Trang

Các hình vẽ

Hình 1.1: Giản đồ Feynman đối với sự hủy positron-electron 12

Hình 1.2: Sơ đồ thuật toán biến phân Monte Carlo lượng tử 33

Hình 3.1: Mô hình phân tử TiO2 40

Hình 3.2: Sự phân bố electron trong nguyên tử titan 41

Hình 3.3: Sự phân bố electron trong nguyên tử oxy 41

Hình 3.4: Positron trong mô hình phân tử TiO2 42

Các đồ thị Hình 4.1: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng <E> của hệ electron và positron trong phân tử TiO2 theo tham số λO 55

Hình 4.2: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng <E> của hệ electron và positron trong phân tử TiO2 theo tham số λTi 56

Hình 4.3: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng <E> của hệ electron và positron trong phân tử TiO2 theo tham số β 57

Hình 4.4: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng <E> của hệ electron và positron trong phân tử TiO2 theo tham số α 58

Hình 4.5: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng <E> của hệ electron và positron trong phân tử TiO2 theo tham số λpTi 59

Hình 4.6: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng <E> của hệ electron và positron trong phân tử TiO2 theo tham số λpO 60

Hình 4.7: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng <E> của hệ electron và positron trong phân tử TiO2 theo tham số β’ 61

Hình 4.8: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng <E> của hệ electron và positron trong phân tử TiO2 theo tham số α’ 62

Hình 4.9: Đồ thị biễu diễn hàm tương quan cặp g(n) theo n 63

Hình 4.10: Đồ thị biễu diễn hàm tương quan cặp g(r) theo r 63 Hình 4.11: Đồ thị hàm tương quan cặp g(r) 64

LỜI MỞ ĐẦU

Vật lý positron là một lĩnh vực khá mới mẻ trong ngành vật lý hạt nhân vàđang được các nhà khoa học chú tâm nghiên cứu Cho đến nay phạm vi ứng dụngcủa nó rất rộng lớn như: phát hiện chỗ khuyết tật trong vật liệu bằng phương pháp

đo phổ thời gian sống, CT (Computed Tomography) trong công nghiệp để phát hiện

lỗ hỏng vật liệu Trong y khoa, positron được ứng dụng vào công nghệ máy PET(Positron Emission Tomography) dùng cắt lớp và tái tạo hình ảnh…

Các phương pháp thí nghiệm dựa trên phổ hủy positron cho ta những thông tinrất có giá trị trong nghiên cứu về cấu trúc của vật liệu, đặc biệt là những khuyết tậttrong vật rắn Chính vì vậy chúng ta cần xây dựng một mô hình tổng quát của hệpositron-electron trong vật liệu chứa thế tương tác hấp dẫn giữa positron-electron

Sự tương tác hấp dẫn giữa positron và electron dẫn đến hệ số tăng cường trong quátrình hủy sẽ được xác định thông qua hàm tương quan cặp hay hàm mật độ tươngtác Từ hệ số tăng cường ta sẽ thu được thời gian sống của positron trong vật liệu

Từ thời gian sống tính toán được có thể so sánh với các kết quả thực nghiệm để từ

đó có thể xây dựng mô hình bán thực nghiệm nhằm nghiên cứu tính chất cấu trúccủa vật liệu ở cấp độ cao hơn

Titan dioxit (TiO2) là một hợp chất có ứng dụng rất rộng rãi trong nhiều lĩnh

vực (thuốc nhuộm trắng trong sơn, giấy, kem đánh răng và nhựa Sơn được làm từTitan diôxit phản chiếu tốt bức xạ hồng ngoại nên được dùng rộng rãi trongngành thiên văn học và các loại sơn bên ngoài Nó cũng được dùng trong ximăng, đá quí…), từ những lý do trên chúng tôi đã thực hiện luận văn với đề tài:

“Tính hệ số tăng cường và tốc độ hủy positron trong Titan dioxit (TiO 2 )”.

Trong đề tài này, phương pháp biến phân Monte Carlo lượng tử sẽ được áp dụng đểtìm ra một hàm sóng tối ưu cho hệ electron-positron trong phân tử Titan dioxit, từ

đó mật độ cùng với hệ số tăng cường và tốc độ hủy positron trong phân tử Titandioxit được xác định

Nội dung đề tài gồm 4 chương:

Chương 1: Lý thuyết tổng quan

Chương 2: Phương pháp biến phân Monte Carlo lượng tử

Chương 3: Hàm sóng và mô hình tính toán Monte Carlo cho TiO2

Chương 4: Kết quả tính toán

CHƯƠNG 1

TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT 1.1 Tính chất cơ bản của positron

Positron là phản hạt của electron có spin nội tại là ½ nên nó là một fermion, nó

có cùng độ lớn điện tích của electron nhưng trái dấu

Poitron tồn tại trong một trường vật chất sau khoảng thời gian (thời gian sống)

nó sẽ bị hủy với một electron để phát ra gamma Thời gian sống càng ngắn khi mật

độ electron trong vật chất càng lớn (trong vật chất đậm đặc thì thời gian sống của nónhỏ hơn 500 ps [6])

Sự hủy cặp positron-electron có thể phát ra một, hai hay ba tia gamma

Hình (1.1a) biểu diễn sự hủy nhưng không bức xạ kết quả là năng lượng giảiphóng làm kích thích hạt nhân Hình (1.1b), (1.1c), (1.1d) biểu diễn sự hủy poitron-electron sinh ra một gamma, hai gamma và ba gamma

Tuy nhiên khả năng hủy cặp sinh ra 2 gamma là lớn nhất và tiết diện phản ứngđược dẫn ra bởi Dirac (1930) [12]:

Hình 1.1: Giản đồ Feynman đối với sự hủy positron - electron

  với v làtốc độ tương đối của positron đối với electron, c là vận tốc ánh sáng Tuy nhiênpoitron hủy với năng lượng thấp nên v ≪ c phương trình trên có thể viết lại:

2 o 2y

4 r cv



 

(1.2)Hai gamma phát ra hầu như là cộng tuyến với nhau và mỗi gamma có nănglượng cỡ 511 keV

Các positron từ các nguồn phát ra có năng lượng từ vài keV đến vài MeV khi

đi vào môi trường vật chất thì chúng va chạm với các electron tự do, các nút mạngtinh thể, các phonon dao động mạng làm cho các positron mất dần năng lượng vàtrở thành positron nhiệt, quá trình này được gọi là quá trình nhiệt hóa positron Khipositron nhiệt gặp một electron thì chúng hủy cặp và quá trình hủy sẽ giải phóngnăng lượng khoảng 2moc2 hoặc chúng kết hợp với nhau để tạo nên một trạng tháigiả bền được gọi là positronium (Ps) mà sự hủy của positron khi đó tùy thuộc vàonhững trạng thái của positronium và sự tương tác của positronium với môi trườngxung quanh

Positronium là trạng thái giả bền trung hòa của electron-positron Nó giốngnhư hyđrô nhưng có khối lượng rút gọn là m/2 khối lượng của chúng, năng lượngliên kết của positronium ở trạng thái cơ bản xấp xỉ 6.8 eV

Trạng thái lượng tử thường được kí hiệu đầy đủ là 2S+1Lm, trong đó:

|−s|≤ ≤|+s|, m 0; ; j,   0; ;n 1Positronium có thể tồn tại hai trạng thái spin, S = 0, 1 Trạng thái singlet (S =0), electron và positron có spin phản song và được gọi là para-positronium (para-Ps) Trạng thái triplet (S = 1), electron và positron có spin song song và được gọi là

ortho- positronium (ortho-Ps) Trạng thái spin ảnh hưởng quan trọng đến cấu trúcmức năng lượng của positronium

Như vậy:

Para-Ps chỉ có một trạng thái: 1So

Ortho-Ps có ba trạng thái: 3S-1, 3So, 3S1

Do đó xác suất hình thành ortho và para lần lượt là ¾ và ¼

Trạng thái của hệ electron-positron được mô tả bởi hàm sóng  và hàm sóngnày thỏa mãn phương trình Schrodinger:

H  E Trong đó H là Hamilton của hệ, E là năng lượng của hệ

1.2 Hàm sóng của hệ

1.2.1 Orbital nguyên tử loại hidro [2][3].

Nguyên tử hidro (và những ion loại hidro như He , Li , Be ,  2 3 ) có mộtelectron duy nhất chuyển động trong trường lực của hạt nhân với một điện tíchdương +e (hay Ze)

Hàm sóng r, ,  mô tả trạng thái của electron trong nguyên tử được gọi làorbital nguyên tử hay AO (Atomic Orbital) Các AO này là nghiệm mà ta có thể thuđược chính xác từ việc giải phương trình Schrodinger trong tọa độ cầu:

Trong trường xuyên tâm, hàm sóng mô tả trạng thái của hạt là tích của hàmcầu Y ,  chứa các biến tọa độ góc  ,  và hàm R r  phụ thuộc vào bán kính r:

mô tả trạng thái của hệ

Đối với các nguyên tử loại hidro, thế năng của electron có dạng

Z U r



,nghiệm của phương trình xuyên tâm thu được:

2 2 n 0

  với  có hai giá trị:  1/ 2 Orbital toàn phần này thường được gọi là

orbital-spin nguyên tử (ASO: atomic spin orbital) r, , ,   Nếu bỏ qua tươngtác spin-orbital ta có thể viết

  được gọi là các hàm spin nhưng thực ra chỉ là những kí hiệu sử dụng để phânbiệt các orbital toàn phần

Các orbital phân bố theo quy tắc Hund: trong cùng một phân lớp, ứng vớicùng một mức năng lượng xác định, các electron sẽ được phân bố thế nào để tổngspin của chúng là cực đại [2]

Vì mỗi khi hai electron được ghép vào một orbital không gian thì spin củachúng phải ngược dấu nhau (ms 1/ 2) và triệt tiêu lẫn nhau nên quy tắc Hundcũng có nghĩa là trong cùng một phân lớp, các electron sẽ phân bố thế nào để sốelectron độc thân là tối đa (các electron độc thân phải có spin cùng dấu) và ưu tiênphân bố các electron trên các AO có số lượng tử từ m lớn trước.Chẳng hạn như:

bền) nên các electron trong phân lớp d cũng có khả năng tham gia hình thành cácliên kết hóa học Do đó chúng cũng được coi là các electron hóa trị

Ta biết rằng, trong nguyên tử nhiều electron, ngoài những tương tác giữa cácelectron và hạt nhân còn có những tương tác giữa các electron với nhau Toàn bộ hệelectron như vậy tạo thành một cấu trúc thống nhất Do đó về nguyên tắc, trongnguyên tử không có trạng thái cá thể của từng electron mà có những trạng tháichung của toàn bộ nguyên tử Những trạng thái này được mô tả bởi những hàmsóng phụ thuộc vào tọa độ của tất cả các electron Tuy nhiên việc giải phương trìnhSchrodinger với rất nhiều biến số như vậy hầu như không thể thực hiện được vàchính vì vậy người ta phải sử dụng các phương pháp gần đúng hàm sóng dựa trênnhững mô hình gần đúng thích hợp

1.2.1.1 Mô hình về các hạt độc lập hay mô hình trường xuyên tâm

Mỗi electron chuyển động độc lập với các electron khác Điều này cho phép tanói đến trạng thái riêng của từng electron, nghĩa là nói đến những trạng thái haynhững hàm đơn electron (các AO)

Trường thế tác dụng lên electron cần xét, tạo bởi hạt nhân và các electron khác

là trường xuyên tâm

Ta thấy rằng, phương pháp gần đúng này cho phép đưa việc giải phương trìnhSchrodinger cho hệ N electron về việc giải N phương trình Schrodinger cho hệ đơnelectron giống như trường hợp nguyên tử hidro

Hàm sóng của hệ là tích của các hàm đơn electron

1.2.1.2 Thuyết orbital phân tử (MO-molecular orbital)

Thuyết MO dựa trên luận điểm cho rằng trong phân tử tính cá thể (độc lập)của các nguyên tử không còn tồn tại Phân tử gồm một số có giới hạn các hạt nhânnguyên tử và các electron Các electron mà chủ yếu là các electron hóa trị phân bốtrên các orbital chung của phân tử (các MO)

Đối với phân tử, trên cơ sở của nguyên lý chồng chất sóng, các MO thườngđược thành lập từ sự tổ hợp tuyến tính các AO và được gọi là phương pháp LCAO

(Linear Combination of Atomic Orbitals) Như vậy hàm sóng của đơn electrontrong một nguyên tử trong mạng tinh thể sẽ có dạng:

i ki i k

Vì các electron hóa trị đóng góp phần căn bản vào sự hình thành liên kết nêntrong trường hợp chung người ta chỉ xét các electron hóa trị của các nguyên tử.Như vậy, đối với phân tử TiO2, ta chỉ cần xét các hàm sóng của các electron ởphân lớp 3d2, 4s2 của nguyên tử titan và hai electron hóa trị trong phân lớp 2p4 củahai nguyên tử oxy rồi sau đó tổ hợp tuyến tính các hàm sóng này lại ta sẽ được hàmsóng của hệ

1.2.2 Gần đúng các orbital nguyên tử.

1.2.2.1 Hàm sóng Slater.

Hàm sóng Slater được Slater (1930) và Zener (1930) [14] xây dựng cho hệnhiều electron có tính đến hiệu ứng màn chắn điện tích hạt nhân Dạng của hàmsóng:

Tuy nhiên hàm Slater là hàm không trực giao nên ta có thể dùng phương phápGram-Schmidt để tạo ra bộ hàm sóng trực giao với nhau:

Thực hiện phương pháp này ta có các hàm sóng trực chuẩn cho trong bảng 1.1 [9]:

Bảng 1.1: Hàm sóng trực chuẩn của electron trong các phân lớp.

2 2cN

 là toán tử động năng của hạt nhân A.

rij là khoảng cách giữa electron thứ i và electron thứ j

riA là khoảng cách giữa electron thứ i và hạt nhân A

RAB là khoảng cách giữa hai hạt nhân thứ A và B

A, B

λ λ là điện tích hiệu dụng của hạt nhân nguyên tử thứ A và B

Trong (1.17), hai số hạng đầu tiên mô tả động năng của electron và hạt nhân,

ba số hạng còn lại biểu diễn tương tác giữa hạt nhân và electron và thế đẩy giữaelectron-electron và hạt nhân-hạt nhân

Tuy nhiên việc giải phương trình Schrodinger đối với hệ nhiều hạt vô cùngphức tạp Do đó các nhà vật lý đã đưa ra nhiều mô hình xấp xỉ Hamilton nhằm tìmlời giải tương đối chính xác

1.3.1 Gần đúng Oppenheimer

Bởi vì khối lượng của hạt nhân rất lớn so với khối lượng electron nên có thểxem hạt nhân đứng yên và electron di chuyển trong trường hạt nhân cố định, điềunày dẫn tới động năng của hạt nhân bằng không và thế năng giữa chúng được xemnhư là một hằng số Vì vậy phương trình (1.17) có thể được viết lại

Đối với electron:

Nghiệm của phương trình Schrodinger với toán tử H là hàm sóng elec Ψelec và nănglượng Eelec.Năng lượng tổng Etot là tổng của Eelecvà năng lượng đẩy hạt nhân-hạtnhân Enuc.

elec elec elec elec

Ψ H Ψ = Ψ*HΨdrHΨdr  ⃗

1.3.2 Gần đúng Hartree-Fock

Gần đúng Hartree-Fock cũng là một phương pháp giải gần đúng phương trìnhSchrodinger đối với các nguyên tử có nhiều electron mà Hartree (1928) và Fock(1930) đã đưa ra để có thể giải thích được các số liệu thực nghiệm của quang phổnguyên tử Trong phép gần đúng này thì hàm sóng thử được thiết lập nhờ các hàmsóng cơ sở của các electron riêng biệt phụ thuộc cả vào các biến số không gian lẫncác biến số spin Hàm sóng hệ N-electron là phản đối xứng và tập hợp các hàm sóngnày là hệ các hàm trực chuẩn Khi đó hàm sóng phản đối xứng được chọn dưới dạngđịnh thức Slater

N!

N N

 , 

i i i

x  r  là tọa độ không gian và spin của electron

Giá trị trung bình của toán tử Hamilton với hàm sóng HF được cho bởi:

Với hệ số nhân Lagrangian εi là trị riêng của toán tử f Toán tử Fock f là một toán

tử đối với một electron được định nghĩa

là thế Hartree-Fock (HF), chính là thế đẩy trung bình giữa electron thứ ivới N-1 electron còn lại, và nó được cho bởi:

 1 N j 1 j 1 HF

 chỉ thế năng đối với một electron ở vị trí x⃗1 do các electroncòn lại gây ra

Số hạng thứ hai trong phương trình (1.30) không giống như cổ điển nữa mà nó cóđược do ảnh hưởng của spin:

độ thì mật độ electron đóng vai trò then chốt

Nội năng của một hệ có thể được xác định hoàn toàn bởi mật độ electron vớimột hằng số sai số nào đó, có nghĩa rằng có sự tương ứng một-một giữa mật độelectron và năng lượng của hệ, vì thế năng lượng electron ở trạng thái cơ bản có thểđược xác định hoàn toàn bởi mật độ electron ở trạng thái cơ bản Theo LTHMĐ,mật độ electron được sử dụng để mô tả trạng thái của hệ thay vì sử dụng hàm sóng.Một hàm sóng mô tả hệ N electron sẽ phải chứa 3N biến toạ độ (không kể trạng tháispin của electron) Trong khi đó, mật độ electron chỉ phụ thuộc vào ba biến toạ độ,độc lập với số electron Vì thế khi gia tăng số electron của hệ, hàm sóng sẽ trở nênphức tạp nhưng mật độ electron không thay đổi số biến.

Năng lượng của hệ là một hàm theo mật độ electron:

E  là năng lượng tương quan giữa electron-electron

Hàm sóng mô tả trạng thái của hệ nhiều hạt là tích của các hàm sóng đơn hạt:

Gọi T nS  là động năng của hệ không tương tác và

xc xc

Một điều quan trọng là nếu ta biết dạng chính xác của Exc và Vxc thì phương trìnhKohn-Sham sẽ dẫn đến năng lượng chính xác.

Phương trình (1.42) có thể được viết gọn dưới dạng như sau:

(1.45)Và

Bước 3: Xác định thế năng tương quan trao đổi theo (1.43)

Bước 4: Xác định Fμiμνiν1iνiν1KS

theo (1.49)

Bước 5: Giải phương trình (1.50) để tìm C

Bước 6: Xác định lại các giá trị hàm sóng ψi

và mật độ n Quay lại bước 3

1.3.4 Lý thuyết hàm mật độ hai thành phần electron-positron

Để xác định trạng thái của electron-positron trong vật liệu ta dựa trên lý thuyếthàm mật độ hai thành phần electron-positron Mật độ electron và positron ở trạngthái cơ bản có thể được tìm thấy khi ta giải bộ phương trình Kohn-Sham đối vớielectron và positron

Ta có năng lượng trạng thái cơ bản của hệ electron-positron trong một trường thếngoài được viết như một hàm của mật độ electron n  và mật độ positron n+.Khi đó năng lượng tổng cộng của hệ được viết như sau [7]:

là hàm mật độ một thành phần đối với electron hoặc positron

n r n r' 1

là năng lượng tương quan trao đổi giữa electron-positron

Để tìm mật độ electron và positron ở trạng thái cơ bản, năng lượng cực tiểu

 +

E n , n

có thể được tính toán thông qua phương pháp Kohn-Sham Do đó cầnphải giải hệ phương trình Schrodinger một hạt đối với electron và positron [7]:

Với n r'o là mật độ điện tích tạo bởi thế hạt nhân VNe

Mật độ electron và positron được tính bằng tổng các trạng thái xảy ra:

1.3.5 Mô hình gần đúng mật độ cục bộ LDA (Local Density Approximation)

Phương pháp trên sẽ được giải một cách chính xác nếu năng lượng tương quantrao đổi Exc n

Năng lượng tương quan trao đổi εxc n có thể được tính nhờ vào phương phápbiến phân Monte Carlo lượng tử e-p 

E n , n dễ dàng được biết nếu chỉ xét sự tồntại của một positron trong một khí electron đồng nhất Đối với mật độ positron hữuhạn, thì năng lượng này được tính bởi Lantto (1987)

Theo LTHMĐ thì năng lượng của hệ electron-positron hoàn toàn có thể tínhtoán thông qua mật độ electron và positron Như vậy nếu ta có hàm sóng của hệ thì

ta sẽ xác định được mật độ và từ đó tính năng lượng Tuy nhiên hàm sóng trạng tháicủa hệ electron-positron không thể xác định một cách trực tiếp mà ta chỉ có thể xácđịnh một cách gần đúng thông qua các mô hình xấp xỉ chẳng hạn như hàm sóngdạng hidro, dạng Slater, dạng Gauss…Các hàm sóng này đều chứa các tham số nào

đó Tiếp theo ta sử dụng nguyên lý biến phân để tìm hàm sóng trạng thái cơ bản của

hệ electron-positron

1.4 Nguyên lý biến phân [4].

Năng lượng cơ bản Eo của hệ lượng tử luôn thỏa bất đẳng thức sau đây:

J α ψ*HΨdr R,α Hψ R,α dR (1.62)

Ta sẽ thu được kết quả là một hàm J α .Tiếp theo ta phải cực tiểu hóa hàm này

J 0 α

1.5 Phương pháp Monte Carlo lượng tử.

Phương pháp biến phân Monte Carlo đã và đang được ứng dụng rộng rãi đểnghiên cứu các hệ lượng tử Phương pháp này sử dụng thuật toán Metropolis [15]

để thu được hàm sóng và năng lượng ở trạng thái cơ bản của hệ lượng tử

Để có thể sử dụng phương pháp này thì cần phải đơn giản các phân bố xácsuất trong không gian Thông thường thì các phân bố này ta không thể biết và chúngquá phức tạp đến nổi chúng ta không thể giải chúng một cách trực tiếp Thuật toánMetropolis có bước tiến đáng kể cho phép ta có thể đơn giản các phân bố phức tạpnày

Thuật toán Metropolis cho ra kết quả đến điểm cân bằng Rm của hệ lượng tửbằng việc thực hiện bước dịch chuyển (walker) theo quy luật sau :

(1) Bắt đầu từ một vị trí R ngẫu nhiên của hệ lượng tử

(2) Thực hiện một bước dịch chuyển tới một vị trí mới R’ mà được lựa chọn từhàm mật độ xác suất T(R’←R) Chấp nhận bước dịch chuyển thử tới R’ vớixác suất

Tuy nhiên, trong các phép tính toán thì hoàn toàn có thể xem

,,

,

T T

Tuy nhiên hàm sóng thử của chúng ta phải được chuẩn hóa để thỏa mãn xác

suất tìm thấy hạt trong toàn miền không gian là 1 Có nghĩa là  

2 T

   

   

ψ*HΨdr R Hψ R dRE

chính là hàm gần đúng nhất với hàm chính xác ở trạng thái cơ bản Từ đó tính đượcgiá trị năng lượng từ phương trình (1.69).

Vậy ta có thể tóm tắt phương pháp biến phân Monte Carlo như sau [13]:

- Ban đầu ta gieo một bộ ngẫu nhiên vị trí của các lượng tử cần xét và ta gọi nó là R

- Khởi tạo hàm sóng thử ψ R,αT 

cho hệ lượng tử với các tham số biến phân α nàođó

- Thực hiện bước dịch chuyển từ vị trí R sang vị trí R’

- Thực hiện việc kiểm tra tỉ số xác suất

ρR' R',α ρR' R,α Gồm hai bước:

thì bước dịch chuyển cũng được chấp nhận và R’ trở thành vị trí mới

Nếu không chấp nhận R thì quay trở lại tìm Rkhác cho đến khi thỏa mãn điềukiện chấp nhận Sau mỗi bước lặp, giá trị năng lượng ELluôn được cập nhật cho dùgiá trị R có được chấp nhận hay không Khi kết thúc N vòng lặp Monte Carlo tatính được năng lượng trung bình E

Ta có thể khái quát qui trình thuật toán Monte Carlo lượng tử bởi sơ đồ tronghình 1.2 sau đây:

Thiết lập các thông số ban đầu cho hệ

Thiết lập các thông số ban đầu cho hệ

Thực hiện bước dịch chuyển

Kiểm tra thuật toán Metropolis

Tốc độ hủy electron-positron được tính như sau [8]:

Ψ r ,r , ,r ,r là hàm sóng tổng của hệ electron-positron, và positron có tọa

độ trùng với tọa độ của electron thứ N

Biểu thức (2.1) thường được tính tốc độ hủy positron-electron cho ra 2γ Trong lýthuyết hàm mật độ hai thành phần, tốc độ hủy thường được viết dưới dạng ma trậnbao gồm các yếu tố mật độ electron, mật độ positron và hệ số tăng cường như sau:

+ Theo mô hình hạt độc lập IPM (Independent Particle Model) thì sự tương quanelectron-positron không ảnh hưởng đến tốc độ hủy [8], vì vậy gIPM 1

+ Tuy nhiên trong mô hình gần đúng mật độ cục bộ (LDA) thì hệ số tăng cường làmột hàm theo mật độ electron, hệ số này được dẫn ra từ việc tính toán với chỉ mộtpositron n+  0 trong một thể tích khí electron đồng nhất

*HΨdr Với mô hình LDA, Arponen và Pajanne [8] đã dẫn ra biểu thức tính hệ số tăngcường như sau:

3r

2.2 Khoảng cách trung bình của mỗi lớp electron đến positron.

Để tìm hệ số tăng cường tại vị trí positron và electron trùng nhau, điều cầnthiết ta phải tích lũy hàm tương quan cặp trong suốt quá trình mô phỏng Monte-Carlo Chúng ta hình dung rằng khi positron vào trong vật liệu thì mật độ electronxung quanh tăng lên tạo nhiều lớp hình cầu có tâm đặt tại vị trí positron và mỗi lớpcầu cách nhau một khoảng dr như nhau [5], [11] Với thể tích của lớp cầu thứ n là:

Để tìm giá trị r từ positron tới mỗi lớp, ta có thể giả sử rằng khoảng cách từpositron đến mỗi lớp là hàm gần đúng theo một đường thẳng cắt ngang lớp Vì thếhàm này sẽ có dạng:

 

Với lớp có bán kính trong và bán kính ngoài lần lượt là ra, rb thì giá trị hàm củalớp này là:

a br 4πrr dr

4πr

r r3

3 r r a+b

Để thực hiện việc làm khớp hàm tăng cường, ta viết hàm tăng cường là tổ hợptuyến tính của các đa thức Chebyshev, Ti(x) [11]

  Cheb

N

i i i=0

mô phỏng Bởi vì các đa thức Chebyshev có dạng

+ Điều kiện biên

g(r) có thể được xem như là thể tích ô mô phỏng nhân với mật độ xác suất tìm thấyelectron ở khoảng cách r từ positron Bên trong ô mô phỏng, số electron được bảotoàn vì thế g(r) chỉ phân bố lại các electron xung quanh positron Do đó

 

2 Ω

2 2

i i i=0 -1

Cheb

N

i i i=0

c Y K



(2.20)Trong đó

Cheb

N

i i i=0

c X 0



(2.25)

1 i i 1 i

0 1 1 0

X Y X Yα

0 1 1 0

X Y Y Xβ

0 1 1 0

Xα

0 1 1 0

Xα