Thiết kế bài giảng Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao tập 1 part 4 pot

se Nêu định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình bậc hai đối với t, dạng: at’ + bt +c = 0, trong do t la mét trong cdc biéu thitc sinx, cosx, tanx ho

se Nêu định nghĩa:

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình bậc hai đối với t, dạng:

at’ + bt +c = 0,

trong do t la mét trong cdc biéu thitc sinx, cosx, tanx hodc cotx

Phuong trinh cos“x —5cosx + 6 = Ô có nghiệm, đúng hay sa1?

Phương trình sin’x —5sinx + 4 = 0 có nghiém sinx = 4, ding hay sai?

e Thực hiện ví dụ 2 trong 5”

_ 5 2sin“x + 5sinx - 3 = 0 © sinx= —

Hãy chuyển phương trình

Goi y trả lời câu hoi 2

Vậy phương trình có nghiệm là :

13

Hoạt động của GV Hoạt động cua HS

T COSX = —— < cosx = cos—

Tìm điều kiện của phương | ĐKXĐ : sinx # Ö và cosx # 0

trình

Câu hỏi 2

Giải phương trình đã cho

Goi y trả lời câu hoi 2

asinx + bcosx = ¢,

trong đó a, b và c là những số đã cho với a khác 0 hoặc b khác 0 Chúng được gọi là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

e GV đưa ra các câu hỏi sau:

hãy nhắc lại các công thức cộng

e GV hướng dẫn HS chứng minh công thức sau:

asin x +bcos x = Va" +b? sin(x +a),

Chứng minh asin x + bcos x= V a’ +b? sin(x+q@)

e Thuc hién |H3| trong 5

Mục đích Chuẩn bị cho trình bày cách giải phương trình

Giải phương trình six + cosx= l | sinx +cosx = Ì

15

| x — 1 TT,

> Tq

X=—+ T

| 2

e Thuc hién vi du 4 trong 3’

Theo em, ta chia cả hai vế | Chia cả hai vế cho 2

cos B = ————-_ thi ta co

a” +b?

f6

asinx + bcosx =Naˆ + bỂ cos(x —ÿ)

e Thuc hién |H4| trong 3’

Mục đích Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm

Hoạt động của GV Hoạt động cua HS

2710} Phương trình 2sinx = l © sinx =

211} Phuong trinh 2cosxsinx = 1 © sin2x =l

215] Phương trình cos2x —-sinx —l = Ö tương đương với phương trình

2sin“x + sinx +2 = 0

iCATECAG 3

3 Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx

e® 7V nêu dạng phương trình:

Phương trình dạng

2 2 aSIH“X + ĐbSIHX COSX + CCcOS“x = 0,

18

trong đó a, b và c là những số đã cho, với a <0 hoặc b <0 hoặc c <0 Chúng được gọi là phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx

va COSX

Để giải phương trình dạng này, ta chia hai vế cho cos” x (voi diéu

kiéncosx # 0) dé dua về phuong trinh doi véitan x , hodc chia hai vé cho sinˆx (với điều kiện sìinx z 0) để đưa về phương trình đối với cotx

cosx = Ö có phải là nghiệm | Không phải là nghiệm vì cosx = 0 ©

của P phương 6 trình ha y sin’x = 1 Thay vào hai vế thấy không Do

= X = arctan tan Ì+ +7

`) Vậy các nghiệm của phương trình (3) là

Mục đích Luyện kí năng giải

sinx = 0 c6é phai la nghiém

của phương trình hay

e GV nêu các nhận xét trong SGK, mỗi nhận xét nên đưa ra một ví dụ

x+bsinxcosx+ “=0 khi a= 0O hoặc c=Ô có thể được giải gọn hơn bằng cách đưa về phương trình tích

2) Đối với phương trình

asin'x + bsinx cosx + ccos'x =d(a,b,c,d € R,a@ +b" +c 40)

ta có thể quy về giải phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx bằng cách viết d dưới dạng d =d(sin”x + cos”x)

e Thực hiện trong 5’

Mục đích Luyện kí năng giải phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx

Và COSX

ö0

Hoạt động của GV Hoạt động cua HS

Cau hoi 1

Coi 1 = sin’x + cos” x hay

dua phuong trinh vé dang

Gợi ý trả lời câu hoi 1

sin? x — v3 sinx cosx + 2 COS”x =]

& -A/3 sinx COSx + cos^x = 0

<> COSsx (COSX — V3 sinx) = 0

Cau hoi 2 Gợi ý trả lời câu hỏi 2

Hãy giải phương trình đã | nghiêm của phương trình đã cho là

Sử dụng công thức biến đối

tích thành tổng hãy biến đổi

hai vế của phương trình

Sử dụng công thức hạ bậc l-cos2x 1-—cos6x

- 2 + |VT= +

hãy biến đổi hai vế của 2 2

phương trình

VP=1l_- cos4x

Hãy giải phương trình đã

Gợi ý trả lời câu hỏi 2

T tan3x = tanx <> 3x =x +k > x=k

82

cos2x + cos6x = 2cos4x <— 2cos4x cos2x

So sánh điều kiện ta có nghiệm phương trình

Cau hoi 1 Gợi ý trả lời câu hỏi 1

Tìm điều kiện xác định | Điều kiện của phương trình là sin 2x z 0

TOM TAT BAI HOC

1 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng

trong đó a, b là các hằng số (ø # 0) và f là một trong các hàm số lượng giác

Chuyển vế rồi chia hai vế của phương trình (1) cho a, ta đưa phương trình (1) về phương trình lượng giác cơ bản

2 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng

83

at’ + bt+c=0,

trong đó z, b, c là các hằng số (ø # 0) và ¢ 14 mét trong cdc hàm số lượng giác

Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình theo ẩn phụ này Cuối cùng, ta đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản

asin x + bcos x = Va? +b’ sin(x +a), (1)

Xét phuong trinh asin x + bcos x = c với ø, b,c c R; a, b không đồng thời bằng 0 (a7 +

bˆ z 0)

VỚI COS Z = va sin a=

Nếu a = 0, b # 0 hoac a + 0, b = 0, phương trình (2) có thể đưa ngay về phương trình

luong gidc co ban Néu a # 0, b z 0, ta áp dụng công thức (1)

Điều kiện để phương trình có nghiệm là : a” + b > c”

Phương trình dạng

asin x + bsinx cosx + ccos x = 0,

trong đó z, b và c là những số đã cho, với ¿ z 0Ö hoac b # 0 hoặc c z 0 Chúng được gọi

là phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx

Để giải phương trình dạng này, ta chia hai vế cho cos” x (với điều kiéncosx # 0)

để đưa về phuong trinh déi véitanx , hodc chia hai vé cho sin?x (với điêu kiện

sinx # 0) để đưa về phương trình đối với cot x

lCATECAG 6 MOT SO CAU HOI TRAC NGHIEM KHACH QUAN Hãy điền đúng sai vào ô trống sau

Câu I “Cho phương trình asinx +b = 0

84

(a) Phương trình luôn có nghiệm với mọi a và b | |

(b) Phương trình luôn có nghiệm với mọi a < b a

Cau 2

Cau 3

(c) Phương trình luôn có nghiệm với mọi a > —b

(d) Phương trình luôn có nghiệm với mọi lai > Ib!

Cho phương trình cos2x + cosx — 2 = Ô

(a) Phương trình có nghiệm

Cho phuong trinh tanx = 2cotx

(a) Phương trình có nghiệm

Cau 4 Cho phuong trinh 2sinx + 3 cosx = a

(a) Điều kiện xác định của phương trình là : với mọi x [|

(b) Điều kiện xác định của phương trình là: với mọia<Al32 | |

(c) Điều kiện xác định của phương trình là : với mọia>-13 | |

(d) Phương trình luôn có nghiệm với mọi laÌ < V13 | | Tra loi

Hãy chọn khẳng định đúng trong các câu sau

Cáu 5 Cho phương trình lượng giác :- ZS1nx= Ì,

Trong các số sau đây số nào là nghiệm của phương trình:

Hướng dân Sử dụng các công thức nghiệm cơ bản

B7

Hướng dân Sử dụng các công thức nghiệm cơ bản và giải các phương trình đưa về bậc hai

| tan x= |

L

Bai 29

Hướng dân Sử dụng các công thức nghiệm cơ bản và giải các phương trình đưa về bậc hai

a) 3cos2x + 10sinx + 1 = 0 © -6sinˆx + 10sinx + 4 = 0 © sinx = =

Phương trình này có nghiệm gần đúng là x x -0,34

4cos2x + 3 = 0 = cosdx = —7 SAX= ASX,

trong d6, @ 1a số thực thuộc khoảng (0; Z) thoả mãn cosa@ = = Dùng bảng

số hoặc máy tính, ta tìm được ø ~ 2,42

88

c) 5sin2x — 6cos*x = 13 © 5sin2x - 3(1 + cos2x) = 13

& 5sin2x — 3cos2x = 16

Chia hai vế cho A52 +32 = A34 ta được

( | 434

ö9

[|

k2

90

Vay Asin’x + Bsinx cosx + Ccosx đạt giá trị lớn nhất là

Hướng dân Sử dụng các công thức nghiệm cơ bản và giải các phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx Đây là dạng toán phải biến đổi mới đưa được về phương trình cơ

Phương trình này vô nghiệm nên phương trình đã cho vô nghiệm

b) Các giá trị của x mà cosx = 0 đều không nghiệm đúng phương trình Do đó

3sin“x + 4sin2x + (8/3 — 9)cos“x = 0

Hướng dẫn Sử dụng các công thức nghiệm cơ bản và dạng toán tổng hợp

a) cosx cos5x = cos2x cos4x <> cos6x + cos4x = cos6x + cos2x

a) sin“4x + sin“3x = sin“2x + sIin“x

= 2q — cos8x) + 2ú — cos6x) = 2 — cos4x) + 2ú — cos2x)

92

<©> coss8x + cos6x = cos4x + cos2x <> coS/x COSX = cos3x cosx

Hướng dẫn Sử dụng các công thức nghiệm co ban va dang toán tổng hợp

a) DKXD : cos # Ova cosx 4 0 Nghiém cua phuong trinh 1a x = —k2z

b) DKXD : cos(2x + 10°) z 0 và sinx z 0 Phương trình đã cho có các nghiệm là x = 80° + k180”

c) Đặt / = tanx, với điều kiện cosx z 0

Phuong trinh co cac nghiém x = ke vax = kz

e) ĐKXĐ : cosx # 0, sin2x z 0 và sin4x z 0 Nghiệm của phương trình là x = ke với k nguyên và không chia hết cho 3

Luyện tập (tiết 14, 15)

93

‹ Cách giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

‹ Cách giải một vài dạng phương trình khác

2 Kĩ năng

Học sinh rèn luyện thêm Kĩ năng

- Sau khi học xong bài này Hồ cần giải thành thạo các phương trình lượng giác khác ngoài phương trình cơ bản

° - Giải được phương trình lượng giác dạng bậc nhất, bậc haI đối với một hàm số lượng giác

‹ - Giải và biến dối thành thạo phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

3 Thái độ

- Tu giác, tích cực trong học tập

‹ - Biết phân biệt rõ các khái niệm cơ bản và vận dụng trong từng trường hop cu thé

- - Tư duy các vấn đề của toán học một cách lôgic và hệ thống

‹ Cần ôn lại một số kiến thức đã học về lượng giác ở lớp 10 về công thức lượng giác

- On tap lai bai 3

Ill PHAN PHOI THOI LƯỢNG

Bài này chia làm 2 tiết :

IV TIẾN TRÌNH DẠY HỌC

94