Báo cáo khoa học: "Một số tính chất của họ CF và cs-ánh xạ phủ compac" doc

Phần tiếp theo của bài báo này chúng tôi đã làm mạnh hơn điều kiện đủ, cụ thể chỉ ra rằng cs-ảnh phủ compac hoặc ảnh Lindelăop phủ compac của k-không gian có k-lưới compac, đếm được-comp

Một số tính chất của họCF vàCS-ánh xạ phủ compac(1)

Trần Văn Ân(a)và Nguyễn Thị Lê(b)

Tóm tắt Trong bài này chúng tôi trình bày một số mối liên hệ giữa họ bảo tồn bao

đóng di truyền yếu ( WHCP ) và họ CF Chúng tôi cũng chứng tỏ cs -ánh xạ phủ compac trên k -không gian bảo tồn k -lưới compac, đếm được-compac.

Khái niệm về họ CF các tập con của không gian tôpô được đưa ra bởi T Mizokami trong [2] và tiếp tục được nghiên cứu trong [3] Các tác giả đã tìm được một số mối liên

hệ giữa họ CF, HCF với các họ khác như HCP, CP , hữu hạn-compac, Một câu hỏi

đặt ra tự nhiên: Họ CF có mối quan hệ gì với họ W HCP và họ hữu hạn địa phương? Với những điều kiện nào thì tất cả các họ nói trên là tương đương? Phần đầu của bài báo chúng tôi tập trung trả lời câu hỏi trên Trong [5] Z Li đã chỉ ra: Không gian có

k-lưới compac, compac-đếm được khi và chỉ khi nó là cs-ảnh phủ compac của không gian metric compac địa phương Phần tiếp theo của bài báo này chúng tôi đã làm mạnh hơn điều kiện đủ, cụ thể chỉ ra rằng cs-ảnh phủ compac hoặc ảnh Lindelăop phủ compac của k-không gian có k-lưới compac, đếm được-compac là không gian có k-lưới compac, compac-đếm được

1 Mở đầu Trong bài báo này tất cả các không gian tôpô đều được giả thiết là T1, chính quy

và các ánh xạ là toàn ánh liên tục

Định nghĩa 1.1 Giả sử X là không gian tôpô và P là một phủ gồm các tập con nào đó của X

(a) P được gọi là lưới nếu với mọi x ∈ X và U là lân cận bất kỳ của x, tồn tại

P ∈ P sao cho x ∈ P ⊂ U;

(b) P được gọi là k-lưới nếu với mọi tập con compac K và với mọi lân cận Ucủa

Ktrong X, tồn tại họ con hữu hạn F ⊂ P sao cho K ⊂ ∪F ⊂ U

Định nghĩa 1.2 Giả sử X là không gian tôpô và P là họ các tập con nào đó của X

1 - Được sự tài trợ của Chương trình nghiên cứu cơ bản trong khoa học tự nhiên No 10806

2 - Nhận bài ngày 28/6/2007 Sửa chữa xong ngày 25/8/2007.

(a) P được gọi là họ đếm được-compac (hữu hạn-compac) nếu với mọi tập compac

Kcủa X thì K chỉ có giao với nhiều nhất là đếm được (hữu hạn) phần tử của họ P (b) P là họ cs-đếm được (hữu hạn) nếu với mọi dãy hội tụ A (bao gồm cả điểm hội tụ của nó) thì A chỉ có giao với nhiều nhất là đếm được phần tử của họ P

(c) P được gọi là họ CF nếu với mọi tập compac K của X thì {K ∩ P : P ∈ P} là

họ hữu hạn

(d) P = {Pα : α ∈ Λ}được gọi là họ HCF nếu với mọi tập con Γ ⊂ Λ và Aα⊂ Pα, với mọi α ∈ Γ thì họ {Aα: α ∈ Γ}là CF

Định nghĩa 1.3 Giả sử X là không gian tôpô và P = {Pα : α ∈ Λ}là họ các tập con nào đó của X

(a) P được gọi là họ bảo tồn bao đóng và viết tắt là CP nếu với mọi họ con I ⊂ Λ

ta có

[ {Pα: α ∈ I} =[{Pα: α ∈ I}

(b) P được gọi là họ bảo tồn bao đóng di truyền và viết tắt là HCP nếu với mọi

họ con I ⊂ Λ và mọi tập con Qα⊂ Pα, α ∈ I, ta có

[ {Qα: α ∈ I} =[{Qα : α ∈ I}

(c) P được gọi là họ bảo tồn bao đóng di truyền yếu và viết tắt là W HCP nếu với mọi họ con I ⊂ Λ và mọi điểm xα ∈ Pα, α ∈ I, ta có

[ {xα: α ∈ I} =[{xα: α ∈ I}

(d) P được gọi là họ đếm được (hữu hạn) địa phương nếu với mọi điểm x ∈ X tồn tại lân cận Ux của x sao cho Ux có giao với nhiều nhất là đếm được (hữu hạn) phần tử của họ P

(e) P được gọi là họ đếm được (hữu hạn) theo điểm nếu mỗi điểm x ∈ X thuộc

đếm được (hữu hạn) phần tử

Nhận xét 1.4 Dễ thấy các quan hệ sau: hữu hạn-compac (đếm được) ⇒ cs-hữu hạn (đếm được) ⇒ hữu hạn (đếm được) theo điểm, HCF ⇒ CF , compac-hữu hạn⇒

CF, hữu hạn địa phương ⇒ HCP ⇒ CP và W HCP

Định nghĩa 1.5 Giả sử X là không gian tôpô và P là phủ các tập con nào đó của

X

(a) Ta nói X được xác định bởi P nếu U ⊂ X là mở (tương ứng, đóng) trong X khi và chỉ khi U ∩ P là mở (tương ứng, đóng) trong P với mọi P ∈ P;

(b) X là không gian dãy nếu với mọi A ⊂ X, A đóng trong X khi và chỉ khi không có dãy nào trong A hội tụ đến điểm nằm ngoài A, một cách tương đương, X

được xác định bởi phủ gồm tất cả các tập compac metric;

(c) X là k-không gian nếu X được xác định bởi phủ gồm tất cả các tập compac

Định nghĩa 1.6 Cho ánh xạ f : X → Y

(a) f được gọi là ánh xạ đóng nếu f(A) là tập con đóng trong Y , với mọi tập A

đóng trong X;

(b) f được gọi là ánh xạ thương nếu U là tập con mở trong Y khi và chỉ khi

f−1(U )là tập con mở trong X;

(c) f được gọi là ánh xạ phủ compac, nếu với mọi tập compac K trong Y tồn tại tập compac L trong X sao cho f(L) = K;

(d) f được gọi là s-ánh xạ, nếu f−1(y)là tập khả li trong X, với mọi y ∈ Y ; (e) f được gọi là cs-ánh xạ, nếu f−1(K) là tập con khả li trong X với mọi tập compac K trong Y ;

(f) f được gọi là ánh xạ Lindelăop, nếu f−1(y) là tập Lindelăop trong X, với mọi

y ∈ Y;

(g) f được gọi là ánh xạ Lindelăop mạnh, nếu f−1(L)là tập con Lindelăop trong

Xvới mọi tập Lindelăop L trong Y

Nhận xét 1.7 Dễ thấy rằng cs-ánh xạ ⇒ s-ánh xạ, ánh xạ Lindelăop mạnh ⇒

ánh xạ Lindelăop, ánh xạ đóng ⇒ ánh xạ thương, ánh xạ đóng xác định trên không gian paracompac ⇒ ánh xạ phủ compac

2 họ WHCP và họ CF Trong mục này chúng ta xét một số tính chất của các họ W HCP và họ CF cùng các mối liên hệ khác

Mệnh đề 2.1 Cho X là k-không gian và P là họ CF các tập con đóng của X Khi

đó các mệnh đề sau là tương đương

(a) P là họ đếm được địa phương (hữu hạn địa phương);

(b) P là họ đếm được-compac (hữu hạn-compac);

(c) P là họ cs-đếm được (cs-hữu hạn);

(d) P là họ đếm được theo điểm (hữu hạn theo điểm)

Chứng minh a) ⇒ b) Ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp đếm được, trường hợp hữu hạn chứng minh tương tự Giả sử P là họ đếm được địa phương và K là tập compac bất kỳ của X Với mỗi x ∈ K do P là họ đếm được địa phương nên tồn tại lân cận mở Ux của x sao cho Ux có giao với nhiều nhất là đếm được phần tử của họ

P Khi đó họ {Ux : x ∈ K}là phủ mở của tập compac K nên tồn tại họ con hữu hạn {Ux1, Ux 2, , Ux n}của {Ux : x ∈ K}thoả mãn K ⊂ Sn

i=1Ux i Do mỗi Ux i có giao với nhiều nhất là đếm được phần tử của họ P, với mọi i = 1, 2, , n nên K chỉ giao với nhiều nhất là đếm được phần tử của họ P Vì vậy P là họ compac-đếm được

b) ⇒ c) ⇒ d) Hiển nhiên

d) ⇒ a) Giả sử P là họ đếm được theo điểm mà không là họ đếm được địa phương Khi đó tồn tại x ∈ X sao cho với mọi lân cận U của x thì U có giao với quá đếm được phần tử của họ P Đặt Px = {P ∈ P : x ∈ P } Do P là họ đếm được theo điểm nên Px là họ đếm được Gọi F = P\Px Khi đó x /∈ ∪F và vì U có giao với quá đếm

được phần tử của họ P nên U ∩ ∪F 6= ∅ Do đó x ∈ ∪F\∪F Vì vậy ∪F không phải

là tập đóng Từ giả thiết X là k-không gian nên tồn tại tập compac K trong X sao cho K ∩ ∪F không đóng trong K Vì P là họ CF và F ⊂ P nên ta có thể biểu diễn {K ∩ P : P ∈ F } = {F1, F2, , Fk} Cho nên K ∩ ∪F = F1∪ F2∪ ∪ Fk Mặt khác với mọi i = 1, 2, , n thì Fi = K ∩ Pi, với Pi nào đó thuộc P Vì Pi đóng trong X nên Fi

đóng trong X Do vậy K ∩ ∪F đóng trong X Từ điều này suy ra K ∩ ∪F đóng trong

K Mâu thuẫn này chứng tỏ P phải là họ đếm được địa phương 

Hệ quả 2.2 Cho X là k-không gian và P là họ các tập con đóng của X Khi đó P

là họ hữu hạn địa phương khi và chỉ khi P là họ hữu hạn-compac

Chứng minh Giả sử P là họ hữu hạn địa phương, theo cách chứng minh từ a) ⇒ b) trong Mệnh đề 2.1 ta suy ra P là họ hữu hạn-compac

Bây giờ giả sử P là họ hữu hạn-compac Vì mọi họ hữu hạn-compac đều là họ

CF nên ta suy ra P là họ CF Vì P là họ CF các tập con đóng của k-không gian X

và P là họ hữu hạn-compac, nên theo Mệnh đề 2.1 ta suy ra P là họ họ hữu hạn địa

Bổ đề 2.3 Giả sử P là họ các tập con đóng của không gian tôpô X Khi đó hai mệnh đề sau tương đương

(a) P là họ hữu hạn địa phương;

(b) P là họ CP và hữu hạn theo điểm

Chứng minh a)⇒ b) Hiển nhiên

b) ⇒ a) Giả sử P là họ CP và hữu hạn theo điểm nhưng P không phải là họ hữu hạn địa phương Khi đó tồn tại x ∈ X sao cho với mọi lân cận U của x đều có giao với vô hạn phần tử của họ P Đặt Px = {P ∈ P : x ∈ P } Do P là họ hữu hạn theo điểm nên Px là họ hữu hạn Gọi F = P\Px Khi đó x /∈ ∪F và vì U có giao với vô hạn phần

tử của họ P nên U ∩ ∪F 6= ∅ Do đó x ∈ ∪F\∪F Vì vậy ∪F không phải là tập đóng Mặt khác từ giả thiết P là họ CP các tập đóng và F ⊂ P nên SP ∈FP =S

P ∈FP Như vậy ∪F là tập đóng Điều này mâu thuẫn với lập luận nói trên Do đó P là họ hữu

Bổ đề 2.4 ([6]) Giả sử P là họ các tập con đóng của không gian dãy X Khi đó P

là họ WHCP khi và chỉ khi P là họ HCP

Bổ đề 2.5 ([3]) Giả sử P là họ các tập con đóng của k-không gian X Khi đó P là

họ HCP và chỉ khi P là họ HCF

Mệnh đề 2.6 Giả sử P là họ các tập con đóng của không gian dãy X Khi đó các mệnh đề sau là tương đương

(a) P là họ hữu hạn địa phương;

(b) P là họ HCP và hữu hạn theo điểm;

(c) P là họ CP và hữu hạn theo điểm;

(d) P là họ WHCP và hữu hạn theo điểm;

(e) P là họ HCF và hữu hạn theo điểm;

(f) P là họ CF và hữu hạn theo điểm;

(g) P là họ hữu hạn-compac

Chứng minh a) ⇒ b)⇒ c) Hiển nhiên

c) ⇒ a) Suy trực tiếp từ Bổ đề 2.3

b) ⇔ d) Suy trực tiếp từ Bổ đề 2.4

b) ⇔ e) Suy trực tiếp từ Bổ đề 2.5 và nhận xét rằng mọi không gian dãy là k-không gian

e) ⇒ f) Hiển nhiên

f) ⇒ a) Suy trực tiếp từ Mệnh đề 2.1 và nhận xét rằng mọi không gian dãy là

k-không gian

g) ⇔ a) Suy trực tiếp từ Bổ đề 2.2 và nhận xét rằng mọi không gian dãy là k-không

Nhận xét 2.7 Giả sử P là họ hữu hạn theo điểm các tập con đóng của không gian dãy X Khi đó các khái niệm CP , W HCP , HCP , HCF , CF , hữu hạn địa phương, compac-hữu hạn trên P là tương đương

Mệnh đề 2.8 Cho P là họ WHCP các tập con của không gian tôpô X Khi đó các mệnh đề sau là tương đương

(a) P là k-lưới;

(b) P là lưới

Chứng minh a)⇒b) Hiển nhiên

b)⇒a) Giả sử P là lưới, K là tập compac bất kỳ trong X và U là lân cận tuỳ ý của K Đặt P0

= {P ∈ P : P ⊂ U } Do P là lưới nên với mỗi x ∈ K tồn tại P ∈ P sao cho x ∈ P ⊂ U Suy ra P ∈ P0

Vì x lấy bất kỳ thuộc K nên ta suy ra K ⊂ ∪P0

, nghĩa là P0

phủ K Ta sẽ chỉ ra rằng tồn tại họ con hữu hạn của P0

phủ K Giả sử ngược lại, mọi họ con hữu hạn của P0

đều không phủ K Lấy P0 ∈ P0 Do {P0}không phủ K nên tồn tại x1 ∈ K\P0 Mà P0

phủ K nên tồn tại P1 ∈ P0 sao cho x1 ∈ P1 Do {P0, P1}không phủ K nên tồn tại x2 ∈ K\(P0∪ P1) Cứ lập luận tương tự ta thu được

dãy {xn : n ∈ N}thoả mãn xn ∈ K\ n−1i=1 Pi, xn ∈ Pn và xn 6= xm, với mọi n 6= m Do

xn ∈ Pn và P là họ W HCP nên tập {xn : k ∈ N}là đóng và rời rạc Vì K compac và dãy {xn}đóng và rời rạc trong K nên tập {xn: n ∈ N}hữu hạn Điều này mâu thuẫn với cách xây dựng dãy {xn} nói trên Vậy phải tồn tại họ hữu hạn F ⊂ P0

sao cho

K ⊂ ∪F Do F ⊂ P0

⊂ Pnên ta có K ⊂ ∪F ⊂ U, với F là họ hữu hạn của P Như vậy

3 CS-ánh xạ phủ compac Trong phần này chúng ta xét một số tính chất của không gian Lindelăop và tính chất của các cs-ánh xạ, ánh xạ Lindelăop mạnh

Mệnh đề 3.1 Mọi không gian Lindelăop với lưới σ-WHCP đều có một lưới đếm

được phần tử, vì vậy nó là không gian khả li

Chứng minh Giả sử X là không gian Lindelăop với lưới σ-WHCP Giả sử P = S{Pn:

n ∈ N}trong đó Pn⊂ Pn+1và Pnlà họ WHCP, với mọi số tự nhiên n Với mỗi n ∈ N,

đặt

An= {x ∈ X : Pnkhông đếm được theo điểm tại x}

Khi đó {P \An : P ∈ Pn}là đếm được và An là không gian con đóng rời rạc đếm được của X Thật vậy, giả sử ngược lại họ {P \An : P ∈ Pn} là quá đếm được Khi đó tồn tại họ quá đếm được {Pα : α ∈ Λ} ⊂ Pnsao cho các P \Anlà khác rỗng và khác nhau Với β ∈ Λ lấy xβ ∈ Pβ\An Do xβ ∈ A/ n nên Pn là phủ đếm được theo điểm tại xβ

Từ tính quá đếm được của {Pα : α ∈ Λ} ta có thể chọn được Pγ ∈ {Pα : α ∈ Λ}\{Pβ}

và xγ ∈ Pγ\An Hoàn toàn tương tự ta chọn được Pη ∈ {Pα : α ∈ Λ}\{Pγ, Pβ} và

xη ∈ Pη\An Như vậy ta có tập {xα : α ∈ Λ}với xα ∈ Pα\An Vì các Pα\Ankhác nhau

và Pn là họ WHCP nên ta suy ra tập {xα : α ∈ Λ} là đóng và rời rạc Mặt khác X

là không gian Lindelăop, mọi tập đóng rời rạc đều đếm được nên {xα : α ∈ Λ}là đếm

được Do đó tồn tại tập con quá đếm được I ⊂ Λ và phần tử x /∈ An sao cho xα = x với mọi α ∈ I Khi đó Pnkhông phủ điểm đếm được tại x Điều này mâu thuẫn với việc x /∈ An Vì vậy {P \An: P ∈ Pn}là đếm được Bây giờ để chứng minh Anđóng và rời rạc ta chứng minh mọi tập con vô hạn của An đều đóng Giả sử {zh ∈ An: h ∈ Γ}

là tập con vô hạn tuỳ ý của An Từ việc Pnkhông đếm được theo điểm tại zh, với mọi

h ∈ Γ nên ta có thể chọn được họ {Ph : h ∈ Γ} của Pn sao cho các Ph phân biệt và

zh ∈ Ph, với mọi h ∈ Γ} Từ Pnlà họ W HCP ta suy ra {zh ∈ An : h ∈ Γ}là tập đóng

Do đó Anđóng và rời rạc Vì X là không gian Lindelăop, nên Anđếm được Bây giờ ta

đặt

Pn0 = {P \An: P ∈ Pn} ∪ {{x} : x ∈ An}

và P0

=S{Pn0 : n ∈ N} Khi đó mỗi Pn

0

là đếm được phần tử nên P0

là đếm được phần

tử Để chứng minh P0

là lưới của X ta lấy bất kỳ x ∈ X với U là lân cận nào đó của

x Nếu tồn tại n ∈ N sao cho x ∈ An khi đó ta có x ∈ {x} ⊂ U Nếu ngược lại với mọi

số tự nhiên n đều có x /∈ An, từ giả thiết P là lưới ta suy ra tồn tại k ∈ N và P ∈ Pk

sao cho x ∈ P ⊂ U Vì x /∈ An nên P \An ∈ Pk0 và x ∈ P \An ⊂ U Vì vậy P0

là lưới

đếm được phần tử Ta có thể viết P0

= {F1, F2, , Fn, } Với mỗi n ∈ N, lấy yn∈ Fn

và đặt D = {yn: n ∈ N} Khi đó D đếm được và với mọi điểm x ∈ X và mọi tập mở V chứa x luôn tồn tại k ∈ N sao cho x ∈ Fk ⊂ V Do đó V ∩ D = {yk}nên x ∈ D Vì x lấy bất kỳ nên D ⊂ X Vậy D = X nên D là tập đếm được trù mật Do đó X khả li 

Hệ quả 3.2 Giả sử f : X → Y là ánh xạ Lindelăop và X có lưới σ-WHCP Khi đó

f là s-ánh xạ

Chứng minh Giả sử f : X → Y là ánh xạ Lindelăop và P là lưới σ-W HCP trong X Vì

f là ánh xạ Lindelăop nên với bất kỳ y ∈ Y thì f−1(y)là tập con Lindelăop của X Đặt

P0 = {P ∩ f−1(y) : P ∈ P} Khi đó P0

là lưới σ-W HCP của không gian con Lindelăop

f−1(y) Theo Mệnh đề 3.1 ta suy ra f−1(y)là tập khả li trong X Do đó f là s-ánh xạ

Bổ đề 3.3 ([4]) Nếu không gian X được xác định bởi phủ sao đếm được P thì P

là họ đếm được địa phương

Bổ đề 3.4 Giả sử X là k-không gian và P là k-lưới compac Khi đó các mệnh đề sau là tương đương

(a) P là họ đếm được-compac;

(b) P là họ sao đếm được;

(c) P là họ đếm được địa phương

Chứng minh a) ⇒ b) Giả sử P là họ đếm được-compac Với bất kỳ P ∈ P, do P compac nên P chỉ có giao với nhiều nhất là đếm được phần tử của họ P Do đó P là

họ sao đếm được

b) ⇒ c) Giả sử P là họ sao đếm được Trước hết ta sẽ chứng tỏ rằng không gian

X được xác định bởi P Giả sử ngược lại P không xác định X Khi đó tồn tại tập

F ⊂ X sao cho F ∩ P đóng trong P với mọi P ∈ P mà F không đóng trong X Từ

X là k-không gian nên tồn tại tập compac K trong X để F ∩ K không đóng trong

X Do P là k-lưới nên tồn tại họ hữu hạn F ⊂ P sao cho K ⊂ ∪F ⊂ X Vì thế

F ∩ K = ∪{(F ∩ P ) ∩ K : P ∈ F } Vì F ⊂ P nên F ∩ P đóng trong P với mọi P ∈ F Mặt khác K compac và với mọi P ∈ P, P là tập compac nên từ X là T2-không gian mọi tập compac đều đóng suy ra K và P đóng trong X Vì vậy (F ∩ P ) ∩ K đóng trong

Xnên ∪{(F ∩ P ) ∩ K : P ∈ F} đóng trong X Do đó F ∩ K đóng trong X Mâu thuẫn này chứng tỏ không gian X được xác định bởi phủ sao đếm được P Vì thế áp dụng Bổ

đề 3.3 ta có P là họ đếm được địa phương

c) ⇒ a) Giả sử P là họ đếm được địa phương Với bất kỳ tập compac K ta sẽ chỉ ra K có giao với nhiều nhất là đếm được phần tử của họ P Với mỗi x ∈ K do P

là họ đếm được địa phương nên tồn tại lân cận mở Ux của x sao cho Ux có giao với nhiều nhất là đếm được phần tử của họ P Khi đó họ {Ux: x ∈ K}là phủ mở của tập compac K nên tồn tại họ con hữu hạn {Ux 1, Ux 2, , Ux n}của {Ux : x ∈ K}thoả mãn

K ⊂Sn

i=1Ux i Do mỗi Ux i có giao với nhiều nhất là đếm được phần tử của họ P, với mọi i = 1, 2, , n nên K chỉ giao với nhiều nhất là đếm được phần tử của họ P Vì

Bổ đề 3.5 Mọi họ đếm được địa phương của không gian Lindelăop là họ đếm được phần tử

Chứng minh Giả sử không gian X là Lindelăop và P là họ đếm được địa phương các tập con của X Khi đó với mỗi x ∈ X tồn tại lân cận mở Ux của x sao cho Ux có giao với nhiều nhất là đếm được phần tử của họ P Khi đó họ {Ux : x ∈ X} là phủ mở của không gian Lindelăop X nên tồn tại họ con đếm được {Ux 1, Ux 2, , Ux n, }của {Ux : x ∈ X}thoả mãn X = S∞

n=1Uxn Do mỗi Ux n có giao với nhiều nhất là đếm được phần tử của họ P, với mọi n = 1, 2, nên X chỉ giao với nhiều nhất là đếm được phần

tử của họ P Mà họ P phủ X nên ta có P chỉ gồm đếm được phần tử Ta có điều cần

Bổ đề 3.6 ([1]) Mọi k-không gian với k-lưới sao đếm được là không gian para-compac

Mệnh đề 3.7 Giả sử X là k-không gian với k-lưới compac, đếm được-compac và

f : X → Y là ánh xạ phủ compac Khi đó nếu một trong hai điều kiện sau thoả mãn thì Y có k-lưới compac, đếm được-compac

(a) f là ánh xạ Lindelăop mạnh

(b) f là cs-ánh xạ

Chứng minh a) Giả sử f là ánh xạ Lindelăop mạnh và P là k-lưới compac, đếm compac của k-không gian X Ta sẽ chứng tỏ rằng f(P) là k-lưới compac, đếm được-compac của Y Rõ ràng f(P) là họ các tập được-compac trong Y Với bất kỳ tập được-compac K trong Y và U là lân cận tuỳ ý của K, do f là ánh xạ phủ compac nên tồn tại tập compac

Lcủa X sao cho f(L) = K Vì f là ánh xạ liên tục nên f−1(U )là lân cận của L trong

X Từ P là k-lưới trong X nên tồn tại họ hữu hạn F ⊂ P sao cho L ⊂ ∪F ⊂ f−1(U ) Do

đó K ⊂ ∪f(F) ⊂ U và f(F) là họ hữu hạn của f(P) Vì thế f(P) là k-lưới compac của

Y Bây giờ ta chỉ ra rằng f(P) là họ đếm được-compac trong Y Với bất kỳ tập compac

Ktrong Y thì K cũng là tập con Lindelăop của Y Vì f là ánh xạ Lindelăop mạnh nên

f−1(K)là tập con Lindelăop trong X Do P là lưới compac, đếm được-compac của k-không gian X nên theo Bổ đề 3.4 ta suy ra P cũng là họ đếm được địa phương Do vậy

P0 = {P ∩ f−1(K) : P ∈ P}là họ đếm được địa phương của không gian con Lindelăop

f−1(K) Theo Bổ đề 3.5 ta suy ra họ P0

= {P ∩ f−1(K) : P ∈ P}là họ đếm được Do

đó {f(P ) : f(P ) ∩ K 6= ∅ : P ∈ P} là họ đếm được Từ đó suy ra mọi tập compac K bất kỳ chỉ giao với nhiều nhất là đếm được phần tử của họ f(P) Vì thế f(P) là k-lưới compac, đếm được-compac của Y

b) Giả sử f là cs-ánh xạ và P là k-lưới compac, đếm được-compac của k-không gian X Nhờ chứng minh câu a) ta đã có f(P) là k-lưới compac của Y nên để hoàn tất chứng minh ta chỉ cần chỉ ra rằng với tập compac K bất kỳ của Y chỉ giao với nhiều nhất là đếm được phần tử của họ f(P) Từ P là k-lưới compac, đếm được-compac của

k-không gian X nên theo Bổ đề 3.4 ta suy ra P cũng là họ đếm được địa phương và sao đếm được Vì k-không gian X có k-lưới sao đếm được nên theo Bổ đề 3.6 ta suy

ra X là không gian paracompac Từ giả thiết Y là T2-không gian và K compac ta có

K đóng Lại do f liên tục nên f−1(K) đóng trong X Vì thế f−1(K)là không gian con paracompac của X Mặt khác f là cs-ánh xạ nên f−1(K)khả li Vì không gian paracompac khả li là Lindelăop nên ta suy ra f−1(K)là tập Lindelăop Do P là họ đếm

được địa phương nên họ P0

= {P ∩ f−1(K) : P ∈ P}là họ đếm được địa phương của không gian con Lindelăop f−1(K) Theo Bổ đề 3,5 ta có họ {P ∩ f−1(K) : P ∈ P}là họ

đếm được Do đó {f(P ) : f(P ) ∩ K 6= ∅ : P ∈ P} là họ đếm được Vì thế, tập compac K bất kỳ của Y chỉ giao với nhiều nhất là đếm được phần tử của họ f(P) nên ta có điều

Hệ quả 3.8 cs-ánh xạ đóng hoặc ánh xạ Lindelăop mạnh, đóng bảo tồn

(a) k-không gian với k-lưới compac, đếm được-compac;

(b) k-không gian với k-lưới compac, sao đếm được;

(c) k-không gian với k-lưới compac, đếm được địa phương

Chứng minh (a) Giả sử X là k-không gian với k-lưới compac, compac-đếm được và

f : X → Y là cs-ánh xạ đóng hoặc ánh xạ Lindelăop mạnh, đóng Vì mọi ánh xạ đóng

là ánh xạ thương và ánh xạ thương biến k-không gian thành k-không gian nên Y là

k-không gian Do X là k-không gian với k-lưới compac, đếm được-compac nên theo

Bổ đề 3.4 ta suy ra X là k-không gian với k-lưới compac, sao đếm được Vì thế từ

Bổ đề 3.6 ta suy ra X là không gian paracompac Mặt khác ánh xạ đóng trên không gian paracompac là ánh xạ phủ compac nên f là cs-ánh xạ phủ compac hoặc ánh xạ Lindelăop mạnh, phủ compac Nhờ Mệnh đề 3.7 ta suy ra Y có k-lưới compac, đếm

được-compac Vì vậy Y là k-không gian có k-lưới compac, đếm được-compac

(b) và (c) được suy từ chứng minh của câu (a), Bổ đề 3.6, Mệnh đề 3.7 và Bổ đề

Tài liệu tham khảo

[1] M Skai, On spaces with a star-countable k-networks, Houston J Math., 23 (1) (2003), 45-56

[2] T Mikozami, On CF families and hyperspaces of compac subsets, Top Appl 35 (1990), 75-92

[3] Y Ge and J-H Shen, Some questions on metrizability, Nouvelle série, 76 (90) (2004), 143-147

[4] Y Ikeda and Y Tanaka, Spaces having star-countablek-networks, Topology Proc.,

18(1993), 107-132

[5] Zaowen Li, Images of locally compac metric spaces, Acta Math Hugar., 99 (1-2) (2003), 81-88

[6] Tran Van An and Nguyen Thi Le, Spaces with σ-hereditarily closure-preserving k-networks, pseudobases, Tạp chí Khoa học, Trường Đại học Vinh, 35 (2A) (2005), 5 - 15

summary

In this paper we present some relations between familiesWHCPandCF We also show that compact-coveringcs-maps onk-spaces preserve compact-countable, compac

k-networks

(a) Khoa Toán, trường Đại học Vinh

(b) Cao học 13 Toán, trường Đại học Vinh.