Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Về đối khối lượng của tích các dạng phức." ppsx

Trong bài báo này chúng tôi chứng minh rằng đẳng thức về đối khối lượng của tích hai dạng phức là đúng trong trường hợp khi một trong các nhân tử là phức hóa của một dạng tách được hoặc

Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 4A-2007

Về đối khối lượng của tích các dạng phức

Nguyễn Duy Bình (a),

Thái Thị Bích Hường (b)

Tóm tắt Trong bài báo này chúng tôi chứng minh rằng đẳng thức về đối khối lượng của tích hai dạng phức là đúng trong trường hợp khi một trong các nhân tử là phức hóa của một dạng tách được hoặc hai nhân tử là các 3-dạng phức Một ứng dụng của đẳng thức trên đã được chỉ ra

1 Lời giới thiệu

Bài toán xác định hướng cực đại của một dạng vi phân và đồng thời với nó là bài toán tính đối khối lượng của một dạng vi phân có vai trò quan trọng trong việc tìm đa tạp con cực tiểu trong lớp các đa tạp cùng biên hoặc cùng lớp đồng điều trong một đa tạp Riemann theo nguyên lý dạng cỡ (xem [1]) Với việc phức hóa một dạng thực chúng ta nhận được dạng trên không gian có số chiều gấp đôi Câu hỏi về đối khối lượng của dạng phức hóa có bằng đối khối lượng của dạng thực ban đầu hay không, tập các hướng cực đại của phần thực dạng phức hóa quan hệ với tập các hướng cực đại của dạng thực ban đầu như thế nào vẫn còn là một bài toán mở Trong [4] đã cho một số kết quả về vấn đề trên trong trường hợp phức hóa của các dạng tách được Trong việc khảo sát đối khối lượng của các dạng phức hóa, tổng quát hơn

là của các dạng phức, bài toán về đối khối lượng của tích các dạng được đặt ra: liệu

đối khối lượng của tích có thể tính qua đối khối lượng của các nhân tử hay không? Trên các dạng thực, đẳng thức về đối khối lượng của tích các dạng có ý nghĩa quan trọng trong việc chứng tỏ tích Đề Các của hai đa tạp con cực tiểu là cực tiểu trong đa tạp tích và đã được chứng minh trong một số trường hợp Đối khối lượng của tích hai dạng bằng tích các đối khối lượng của các nhân tử trong các trường hợp sau: một trong hai nhân tử có bậc 2 hoặc đối bậc 2; cả hai nhân tử đều có bậc là 3; một trong hai nhân tử là dạng xuyến; một trong hai nhân tử là dạng E-tách được; cả hai nhân

tử đều có bậc là 3; một nhân tử là dạng bậc 3 trên không gian 6 chiều (xem [5]) Mục

đích của bài báo này là khảo sát đối khối lượng của một số tích hai dạng phức, đặc biệt khi chúng là các dạng phức hóa Kết quả chính thu được ở đây là đối khối lượng tích các dạng phức hóa bằng tích các đối khối lượng của các nhân tử khi một trong hai dạng là phức hóa của một dạng E- tách được (Định lý 3.1, Định lý 3.2) hoặc hai nhân tử là các 3-dạng phức trên các không gian phức trực giao (Định lý 4.2) và áp dụng các đẳng thức tích này chúng ta nhận được tính chất của đối khối lượng và tập các hướng cực đại của một lớp các 6-dạng thực (Hệ quả 4.3)

Nhận bài ngày 18/9/2007 Sửa chữa xong 07/12/2007.

Nguyễn D Bình, Thái T B Hường của tích các dạng phức, tr 5-14

2 Dạng thực tách được và phức hóa một dạng thực

Trong mục này chúng ta nhắc lại một số khái niệm và kết quả cần thiết cho các phần sau

Cho ω là một k-dạng (k-côvectơ) trên không gian vectơ Ơclit ằn với tích vô hướng tiêu chuẩn <a, b> = ∑ aibi , ở đây a = (ai), b = (bi) Chuẩn đối khối lượng của

ω, ký hiệu ω *, xác định bởi

*

ω =max{ω(ξ), ξ ∈ G(k, ằn)},

ở đây G(k, ằn

) là tập tất cả các không gian con định hướng k chiều trong ằn và có thể

đồng nhất với tập tất cả các k-vectơ đơn, đơn vị trong ằn

Tập G(ω) các hướng cực đại của ωđược cho bởi

G(ω)= {ξ∈ G(k, ằn ), ω(ξ)= ω *}

Trên không gian ằn xét tích vô hướng Hecmit <z, w>=∑z i w i , ở đây z=(zi), w=(wi) Khi đó ằn là không gian Ơclit 2n chiều với tích vô hướng thực <z, w>R = Re<z, w>=Re∑z i w i và không gian ằn ={(wi) ∈Cn, wi ∈ằ} với tích vô hướng tiêu chuẩn là không gian con của không gian Ơclit ằn Hệ vectơ trực chuẩn đối với tích vô hướng thực và đối với tích vô hướng Hecmit trên ằn được gọi gọn là trực chuẩn thực

và trực chuẩn phức tương ứng Trên không gian vectơ Ơclit ằn, không gian con thực

V⊂ ằn được gọi là không gian con đẳng hướng nếu iu⊥V với mọi u∈V Một k- vectơ

đơn, đơn vị ξ trên không gian vectơ thực ằn được gọi là k-vectơ đẳng hướng nếu không gian con liên kết với nó, spanRξ, là không gian con đẳng hướng Để ý rằng một hệ vectơ u1, u2, ,uk∈ằn là trực chuẩn phức nếu và chỉ nếu hệ u1, u2, ,uk là trực chuẩn thực và spanR{ u1, u2, ,uk} là không gian con đẳng hướng của ằn

Với một k-dạng trên ằn, dạng phức hóa của nó trên ằn (xem [4]) được xây dựng như sau:

Giả sử e1, e2, en là một cơ sở trực chuẩn của ằn Khi đó e1, e2, en, ie1, ie2, ,

ien là cơ sở trực chuẩn thực của ằn = ằn + iằn Ký hiệu dx1, dx2, , dxn, dy1, dy2, ,dyn

là cơ sở đối ngẫu của cơ sở e1, e2, en, ie1, ie2, , ien Cho ω là một k-dạng trên ằn, khi đó

ω = ∑ aJdxJ ,

J = (i1, i2, ,ik), 1≤ i1< i2< <ik≤n, dxJ = dxi Λdxi Λ Λdxi , aJ∈ằ

Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 4A-2007

Xét k-dạng phức

ωc = ∑ aJdzJ ,

ở đây dzα= dxα+idyα và dzJ= dzi1Λdzi2Λ Λdz

k

i ωc

được gọi là phức hóa của dạng

ω Đối với một k-dạng phức ϕbất kỳ trên không gian ằn, đối khối lượng và tập các hướng cực đại của nó được định nghĩa như sau:

*

ϕ = max{ϕ ( ξ ) , ξ∈G(k, ằn≅ằ2n ) }, G(ϕ)= {ξ∈G(k, ằn≅ằ2n ): *

)

}

Dưới đây là khái niệm các dạng tách được, được định nghĩa bởi Hoàng Xuân Huấn (xem [3])

Dạng ω = dxVΛω1+ω2 trên ằn, trong đó dxV là dạng thể tích đơn vị trên một không gian con định hướng p chiều V ⊂ ằn (p ≥2) và ω1, ω2là các dạng trên

V⊥được gọi là các dạng tách được đối với V Tổng quát, giả sử ằn= V1⊕V2⊕ ⊕Vp+1, k-dạng ω trên ằn được gọi là tách được đối với (V1, , Vp) nếu tồn tại các dạng ω1, .,ωp+1với ωi là dạng trên Wi (Wi = t

i

t V

>

⊕ với i≤ p và Wp+1 = Vp+1) sao cho

ω=ω1+dx

1

V Λω2+ + dx

1

V Λ Λdx

p

V Λωp+1 Bây giờ giả sử ằn có sự phân tích thành tổng trực tiếp

ằn = V1⊕V2⊕ ⊕Vp Với mọi đa chỉ số I = (i1, , iq), 1≤i1< <iq sao cho k = I =∑dimV i j , ta ký hiệu

dxI = dx

1

i

V Λ Λdx

q i

V k-dạng ωđược gọi là tách được đơn giản đối với (V1, , Vp) nếu ωcó thể biểu diễn dưới dạng

=k

I

I

Idx

a , dimV ≥ 2

j

i với mọi ij≤ p

Một k-dạng ω tách được đối với (V1, , Vm)

ω=ω1+dx

1

V Λω2+ + dx

1

V Λ Λdx

m

V Λωm+1

được gọi là E-tách được đối với (V1, , Vm) nếu mỗi ωitách được đơn giản đối với một phân tích trực giao thích hợp của Wi = { t

i

t V

>

⊕ }⊥

Tiếp theo, chúng ta nhắc lại một số kết quả về dạng chính tắc của k-vectơ

đẳng hướng, tính chất của hướng cực đại của một dạng phức và mối liên hệ giữa đối khối lượng của một k-dạng và đối khối lượng của dạng phức hoá của nó (chi tiết xem [4])

Nguyễn D Bình, Thái T B Hường của tích các dạng phức, tr 5-14

2.1 Bổ đề ([4, Lemma 2.1]) Giả sử ξ∈GR(k, ằn) là một k-vectơ đẳng hướng,

V là một không gian con phức của ằn và V⊥là phần bù trực giao của v đối với tích vô hướng Hecmit trong ằn Khi đó tồn tại hai hệ trực chuẩn phức e1, , er ∈V và

f1, ,fs∈V⊥ và các số 0≠a ,α bα ∈ằ thỏa mãn aα 2 + bα 2 =1, α=1, , p, sao cho

ξ=(a1e1 + b1f1) Λ Λ(apep + bpfp) Λep+1Λ ΛerΛfp+1Λ Λfs, ở đây p ≤r, s≤k và r+s-p = k

Chú ý: Đối với trường hợp dimV = q≤k, ta có thể lấy r = q, s = k sao cho

ξ = (a1e1 + b1f1) Λ Λ(aqeq + bqfq)Λfq+1Λ Λfk

(nếu ai = 0 (hoặc bi = 0) thì fi (hoặc ei) chỉ là ký hiệu hình thức)

2.2 Bổ đề ([4, Lemma 2.2]) Cho ωclà k-dạng phức trên ằn được sinh ra bởi một k-dạngω trên ằn và giả sử ξ ∈G( c

ω ) Khi đó ξ là một k-vectơ đẳng hướng trên ằn

Chú ý: Bổ đề 2.2 vẫn đúng cho k- dạng phức bất kỳ trên ằn, phép chứng minh không thay đổi

2.3 Mệnh đề ([4, Proposition 2.3]) Giả sử ωclà k-dạng phức trên ằn được sinh ra bởi một k-dạng ω trên ằn Khi đó

(i) Reωc * = ωc *;

(ii) (Re c) ( c)

G

G ω ⊂ ω

Nhận xét Từ mệnh đề trên, ta có nếu ξ∈G(Reωc)thì Imωc(ξ)=0

) ( ))

( (Im )) ( (Re )

( Re

Reωc = ωc ξ ≤ ωc ξ + ωc ξ =ωc ξ ≤ ωc , vì

*

*

Reωc = ωc nên các dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra, do đó Imωc(ξ)=0

Khi ω là k-dạng tách được đơn giản trên ằn, ta có k-dạng Re c

ω trên ằn≅ằ2n

Reωc = ω ([4,Theorem 2.5])

2.4 Mệnh đề ([4, Proposition 2.4]) Giả sử ωc=dzV c Λ c +

1

2

ω là dạng phức hóa được cảm sinh bởi dạng tách được ω=dxV Λω1+ ω2trên ằn Khi đó

=

*

c

Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 4A-2007

Đẳng thức về đối khối khối lượng của tích hai dạng thực trên hai không gian trực giao: ϕΛψ * = ϕ *.ψ *, đã được chứng minh trong một số trường hợp (xem [2],[5]) Dưới đây chúng ta khảo sát đẳng thức này đối với các dạng phức hóa

3 Đối khối lượng của tích hai dạng phức hóa khi một nhân

tử là phức hóa của dạng tách được

Đẳng thức về đối khối khối lượng của tích hai dạng thực trên hai không gian trực giao khi một nhân tử là dạng tách được đã được chứng minh trong [3] Mục này chúng ta chứng minh đẳng thức trên các dạng phức hoá khi một nhân tử là phức hóa một dạng tách được

Cho V là một không gian con của ằn, ký hiệu Vc=V+iV⊂ằn = ằn +iằn Khi đó nếu ằn =V1⊕V2⊕ ⊕Vq thì ằn =Vc

q Xét hai không gian vectơ Ơclit trực giao ằn , ằm và các không gian phức hóa tương ứng ằn, ằm

3.1 Định lý Giả sử c

ω là k-dạng phức trên ằn được cảm sinh từ k-dạng ω

trên ằn tách được đơn giản đối với (V1, V2, ,Vq) và ϕclà một p-dạng phức hóa bất kỳ trên ằm Khi đó đối khối lượng của dạng phức ωcΛϕctrên ằn⊕ ằm≡ ằm+n thỏa mãn

*

*

c

c

ϕ ω

ϕ

Chứng minh Ta chứng minh định lý bằng phương pháp qui nạp theo q

Với q=1 Khi đó c

ω =λdz1Λ Λdzk, λ∈ằ, ta chứng minh

*

c c

ϕ

Giả sử η∈G(ωcΛϕc), từ chú ý sau Bổ đề 2.1 ta có thể biểu thị η dưới dạng

η =(a1ε1+b1f1)Λ Λ (akεk+bkfk)Λfk+1Λ Λfk+p, trong đó ai, bi∈ằ, a i 2 + b i 2 =1, ε1, ,εk là cơ sở trực chuẩn phức của ằk và f1, , fk+p

là hệ trực chuẩn phức của ằm Ta có

(ωcΛϕc)(η)=λa1 akdz1Λ Λdzk(ε1Λ Λεk).ϕc(fk+1Λ Λfk+p),

do đó

*

c

Λ =λ 1 c( k 1 k p)

a

a ϕ +Λ Λ +

≤ λ ϕc(f k+1Λ Λf k+p) ≤ λ ϕc *

Từ đó ωcΛϕc *=λ ϕc *và (ωc ϕc)(η)

Λ =λ ϕc *nếu và chỉ nếu ai = 1với i = 1, ,k (từ

đó bi = 0) và fk+1Λ Λfk+p∈ G(ϕc) Định lý đúng với q = 1

Nguyễn D Bình, Thái T B Hường của tích các dạng phức, tr 5-14

Giả sử định lý đúng với q = t-1 Ta chứng minh định lý đúng đối với q = t Vì ωc tách được đơn giản trên ằn = Vc

t nên ωc có thể biểu diễn

c

∈I

I

I dz a

1

'

∉I

I

I dz a

1

, trong đó I' = (i2, ,ik) khi I = (1, i2, ,ik)

Đặt c

1

∈I

I

I dz

a

1

' ' và c

2

∉I

I

I dz a

1

, thế thì c

1

2

ω là tách được đơn giản đối với (Vc

2, ,Vc

t) Theo giả thiết qui nạp ta có

* 1

c c

ϕ

ω Λ = ω1c *.ϕc *, ω2cΛϕc *= ω2c *.ϕc *

Từ Mệnh đề 2.4 ta có

*

c c

ϕ

* 2 1

1

c c c c

V c

dz Λω Λϕ +ω Λϕ

= max{ ω1cΛϕc *, ω2cΛϕc *}

= max{ ω1c *, ω2c *} ϕc * = ωc *.ϕc *

Định lý được chứng minh với q = t

Tiếp theo, khi một nhân tử của tích các dạng phức trên hai không gian trực giao là phức hóa của một dạng E- tách được, đẳng thức như trong định lý trên cũng

đúng

3.2 Định lý Giả sử c

ω là phức hóa của k-dạng E- tách được đối với (V1, Vq) trong ằn và ϕclà phức hóa của một p-dạng tùy ý trên không gian ằm trực giao với

ằn Khi đó ωcΛϕc * = ωc * ϕc *

Chứng minh Ta chứng minh bằng phương pháp qui nạp theo q

Với q =1 Ta có

c

ω = ω1c + dzV1c

c

2 ω

Λ , trong đó c

1

2

ω là phức hóa của các dạng tách được đơn giản trên V⊥

1 Sử dụng Mệnh đề 2.4 và Định lý 3.1 ta có

*

c c

ϕ

ω Λ = max{ ω1cΛϕc *, ω2cΛϕc *

= max{ ω1c *, ω2c *} ϕc * = ωc *.ϕc * Vậy định lý đúng với q = 1

Giả sử định lý đúng đối với q = t-1, ta chứng minh đúng với q = t Ta có

c

ω Λ =ω1cΛϕc+dzV1c

c

Λ 2 + dz Λ Λ

1c

t

V t cΛω +1Λϕ

=ω1cΛϕc+dz c c

cΛϕ1Λϕ ,

Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 4A-2007

trong đó c

1

2

ω + +dz Λ Λ

2

c

t

V c

t 1+

Λω Theo giả thiết qui nạp ϕ1cΛϕc * = ϕ1c *.ϕc *, ω1cΛϕc * = ω1c *.ϕc *

Từ Mệnh đề 2.4 ta có

=

Λ c *

ω max{ ω1cΛϕc *, ϕ1cΛϕc *= max{ ω1c *.ϕc *, ϕ1c *.ϕc *}

= max{ ω1c *, ϕ1c *} ϕc *= ωc *.ϕc *

Định lý được chứng minh

4 Đối khối lượng của tích khi hai nhân tử là các 3-dạng phức trên hai không gian trực giao

Đẳng thức về đối khối lượng của tích các 3-dạng thực trên hai không gian trực giao đã được khảo sát trong [2] Sử dụng một tính chất của hai k- vectơ đẳng hướng có quan hệ đặc biệt khi xét các dạng phức, với phép chứng minh tương tự như trong trường thực chúng ta cũng nhận được đẳng thức về đối khối lượng của tích cho các 3-dạng phức

4.1 Bổ đề Giả sử ξ0, ξ1 là các k-vectơ đẳng hướng trong ằn thỏa mãn dim(spanRξ0∩spanRξ1) = k-1, và ϕlà k-dạng phức trên ằn sao cho *

0) (ξ ϕ

ϕ = Khi

đó ϕ ( ξ1)=0

Chứng minh Giả sử ngược lại: ϕ ( ξ1)=b≠0

Trong ằn có hệ trực chuẩn phức ε1, ,εkư1,εk,εk+1sao cho

0

ξ =ε1Λ Λεkư1Λεk,

1

ξ =ε1Λ Λεkư1Λεk+1 Với η= 1Λ Λ ư1Λ(cos i k+sin k+1)

ε

i

eθε θ ε θ ε

sin

cos +

= , 0≤θ ≤2π, 0

2

π

≤

≤ t , ta có

) ( η

ϕ =cos i ( 1Λ Λ kư1Λ k).+sin ( 1Λ Λ kư1Λ k+1)

t e

t θϕ ε ε ε ϕ ε ε ε

≤cos t ϕ ( ε1Λ Λ εkư1Λ εk)+sin t ϕ ( ε1Λ Λ εkư1Λ εk+1)

=cost.ϕ *+sint.b 2

1 2

*

) (

2

b

+

Chọnθ sao cho e iθ.ϕ(ε1Λ Λεkư1Λεk)và ϕ(ε1Λ Λεkư1Λεk+1) có cùng acgumen, và chọn t sao cho *

cos

sin

ϕ

b t t

= , khi đó các bất đẳng thức trên dấu bằng xảy ra và ta có

Nguyễn D Bình, Thái T B Hường của tích các dạng phức, tr 5-14

)

( η

1 2

*

) (

2

b

+

ϕ > *

ϕ , điều này mâu thuẫn Vậy ϕ ( ξ1) = 0

4.2 Định lý Giả sử ằm+n là tổng trực giao của ằn và ằm ϕ và ψ là các 3-dạng phức trên các không gian ằn và ằm tương ứng Khi đó

*

*

*

.ψ ϕ ψ

Chứng minh Giả sử ξ∈G(ϕΛψ), theo Bổ đề 2.2 ta có ξ là 6-vectơ đẳng hướng Ký hiệu spanCξ=spanRξ+ispanRξ Giả sử σ là 3-vectơ đẳng hướng sao cho

C

span Lấy vectơ đơn vị ε1 trong không gian spanCσ và hệ trực chuẩn phức {ε5,ε6} trong không gian {spanCσ }⊥ (bù vuông góc trong spanCξ) để

)

( ε1 ε5 ε6

ϕ Λ Λ đạt cực đại Tiếp theo lấy ε2,ε3 trong spanCσ sao cho {ε1,ε2,ε3} là cơ

sở trực chuẩn phức của spanCσ và ε4trong {spanCσ }⊥ sao cho {ε4,ε5,ε6} là cơ sở trực chuẩn phức của {spanCσ }⊥ Khi đó {ε1,ε2,ε3,ε4,ε5,ε6} là cơ sở trực chuẩn phức của spanCξ và ξ=detA.ε1Λ Λε6, với A là phép biến đối unita trên spanCξ Theo Bổ đề 4.1 ta có ϕ(ε1,ε2,εi)=ϕ(εi,ε2,ε3)=ϕ(ε1,εi,ε3)= 0, với mọi i = 1, , 6 Với phép chứng minh như trong Bổ đề 4.1, ta cũng có

) , , ( ) , , ( ) , , ( )

,

,

(ε2 ε5 ε6 ϕ ε3 ε5 ε6 ϕ ε1 ε4 ε5 ϕ ε1 ε4 ε6

ϕ = = = = 0 Do đó trên spanCξ, ϕ có thể biểu thị dưới dạng ϕ=∑ aIdz1+αΛ dz2+βΛ dz3+γ , trong đó dz1, ,dz6 là các dạng phức đối ngẫu với cơ sở phức {ε1, ,ε6}của spanCξ và tổng được lấy với mọi tập chỉ

số {α,β,γ }⊂{0,3}, (ở đây a126 = a153 =0) Từ đó

*

ψ

ϕΛ =( ϕ Λ ψ )( ξ ) =det A ( ϕ Λ ψ )( ε1Λ Λ ε6) = ( ϕ Λ ψ )( ε1Λ Λ ε6)

+ +

Λ Λ Λ

Λ

( α β γϕ ε1α ε2 β ε3 γ ψ ε4 α ε5 β ε6 γ

+ +

Λ Λ

Λ Λ

( α β γϕ Pε1α Pε2 β Pε3 γ ψ Qε4 α Qε5 β Qε6 γ

≤∑ ϕ(Pε1+αΛPε2+βΛPε3+γ).ψ(Qε4ưαΛQε5ưβΛQε6ưγ)

= ϕ ψ ∑ ε1+α ε2+β ε3+γ ε4ưα ε5ưβ ε6ưγ

*

*

.

.

.

= ϕ *.ψ *.∏

=

+

3

1

3

(

i

i i i

Pε ε ε ε

=

+

+

3

1

2 3 2

3 2

2

*

*

) ).(

(

i

i i

i

Pε ε ε ε ψ

(P, Qtương ứng là các phép chiếu ằn+m lên các thành phần trực giao ằn, ằm)

Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 4A-2007

Bất đẳng thức ngược lại đúng vì với υ ∈G(ϕ) và ζ ∈G(ψ), ta có

*

*

.ψ

ϕ =ϕ ( υ ) ψ ( ζ )=ϕ ( υ ) ψ ( ζ )=( ϕ Λ ψ )( υ Λ ζ ) ≤ ϕΛψ *

Đẳng thức được chứng minh

Nhận xét Từ định lý trên chúng ta nhận được đẳng thức về đối khối lượng khi ϕ,ψ là các dạng phức hóa của các 3-dạng thực trên hai không gian trực giao

4.3 Hệ quả Giả sử ϕ, ψ là các 3-dạng trên hai không gian trực giao ằn, ằm

và ϕc,ψclà các dạng phức hóa tương ứng Khi đó 6-dạng Re(ϕcΛψc) trên

ằn+m≅ ằ2(n+m) có

i) Re(ϕcΛψc)* = Reϕc *.Reψc * = (Reϕc)Λ(Reψc) *,

ii) (Re c) (Re c) (Im c) (Im c)

G G

G

G ϕ Λ ψ ∪ư ϕ Λ ψ ⊂ (Re( c c))

G ϕ Λψ Chứng minh i) Sử dụng Mệnh đề 2.3 và Định lý 4.2 ta có

*

*

*

*

) ( )

Re(

) Re(ϕcΛψc = ϕΛψ c = ϕΛψ c = ϕcΛψc

= ϕc *.ψc *= Reϕc *.Reψc *

= (Reϕc)Λ(Reψc) * (đẳng thức sau cùng đúng vì các nhân tử là 3-dạng thực trên hai không gian trực giao, xem [1])

ii) Giả sử (Re c)

G ϕ

ξ∈ và (Re c)

G ψ

η∈ , theo nhận xét sau Mệnh đề 2.3 0

) ( Im

)

(

Imϕc ξ = ψc η = Suy ra

) )(

Re(ϕcΛψc ξΛη =(ReϕcΛReψc)(ξΛη)ư(ImϕcΛImψc)(ξΛη)

=Reϕc(ξ).Reψc(η) Imϕc(ξ).Imψc(η)

ư

= Reϕc *.Reψc *

= Re(ϕcΛψc)* Vậy ξΛη∈G(Re(ϕcΛψc)), do đó G(Reϕc)ΛG(Reψc)⊂G(Re(ϕcΛψc))

Như đối với phần thực của một dạng phức hóa, đối với mọi dạng ϕ xảy ra

*

*

Imϕc = ϕc và nếu ξ∈G(Imϕc) thì Reϕc(ξ)=0

Lý luận tương tự như trên ta có nếu ξ∈G(Imϕc) và η∈G(Imψc) thì

)) (Re( c c

G ϕ ψ

η

ư , tức là ưG(Imϕc)ΛG(Imψc)⊂G(Re(ϕcΛψc)) Từ đó có

điều phải chứng minh

NguyÔn D B×nh, Th¸i T B H−êng cña tÝch c¸c d¹ng phøc, tr 5-14

Tµi liÖu tham kh¶o

[1] R Harvey and H B Lawson, Calibrated geometries, Acta Math., 148, 1982, 47-157

[2] F Morgan, The exterior algebra k n

R

Λ and area minimization, Linear Algebra Appl., 66, 1985, 1-28

[3] Hoang Xuan Huan, Separable calibrations and minimal surfaces, Acta Math., Vietnam, 19, 1994, 77-96

[4] Dao Trong Thi and Nguyen Duy Binh, On an expansion of the special Lagrangian form, Acta Math., Vietnam, 22, 1997, 527-540

[5] Dao Trong Thi and Doan The Hieu, Some recent Trends in Calibrated Geometries, Vietnam J Math., 31 (1), 2003, 1-25

Summary

On the comass of complex forms-products

In this paper we prove that the equality on the comass of complex forms-products holds when one of factors is the complexification of a separable form or both factors are complex 3-forms An application of the above equality is given