Mở rộng một số định lí giới hạn cho các biếnngẫu nhiên phụ thuộc âm và phụ thuộc âm tuyến tính nguyễn văn quảng a, đào thị hồng thuỷ b Tóm tắt.. Trong bài viết này chúng tôi sẽ thiết lập
Trang 1Mở rộng một số định lí giới hạn cho các biến
ngẫu nhiên phụ thuộc âm và phụ thuộc âm tuyến tính
nguyễn văn quảng (a), đào thị hồng thuỷ (b)
Tóm tắt Trong bài viết này chúng tôi sẽ thiết lập một số luật yếu số lớn và định
lí giới hạn trung tâm cho các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm và phụ thuộc âm tuyến tính.
Độc lập là một khái niệm cơ bản của lí thuyết xác suất Các công trình nghiên cứu trên các biến ngẫu nhiên độc lập rất phong phú và có nhiều kết quả quan trọng như các luật số lớn, các định lí giới hạn trung tâm Do yêu cầu của thực tế và từ sự phát triển của lí thuyết xác suất, gần đây xuất hiện nhiều công trình nghiên cứu trên các
đối tượng tổng quát hơn như các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm, liên kết âm, và cũng thu được nhiều kết quả thú vị (xem [2], [3], [6], ) Trong bài viết này chúng tôi sẽ thiết lập một số luật yếu số lớn và định lí giới hạn trung tâm cho các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm và phụ thuộc âm tuyến tính
Định nghĩa 1 Các biến ngẫu nhiên X1, , Xnđược gọi là phụ thuộc âm nếu thoả mãn
P (
n
\
i=1 [Xi 6 xi]) 6
n Y
i=1
P (Xi6 xi), ∀x1, , xn∈ R (1)
và P (
n
\
i=1 [Xi > xi]) 6
n Y
i=1
P (Xi> xi), ∀x1, , xn∈ R (2)
Dãy các biến ngẫu nhiên X1, , Xn, được gọi là phụ thuộc âm nếu mọi tập con hữu hạn của nó phụ thuộc âm
Dãy các biến ngẫu nhiên X1, , Xn, được gọi là phụ thuộc âm đôi một nếu với mọi
i 6= jthì Xi, Xj là phụ thuộc âm
Từ định nghĩa ta thấy các biến ngẫu nhiên độc lập (độc lập đôi một) là các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm (phụ thuộc âm đôi một) Tuy nhiên ví dụ sau chứng tỏ rằng tồn tại các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm nhưng không độc lập
Xét không gian xác suất (Ω, F, P ) với Ω = {1, 2, 3, 4}, F = {∀A : A ⊂ Ω} và P (A) =
|A|
4 Lấy A = {1, 2}, B = {2, 3, 4} Khi đó, dễ dàng kiểm tra trực tiếp được rằng IA, IB
là các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm nhưng không độc lập
1 Nhận bài ngày 21/9/2007 Sửa chữa xong ngày 19/12/2007.
Trang 2Định nghĩa 2 Dãy các biến ngẫu nhiên X1, , Xn, được gọi là phụ thuộc âm tuyến tính nếu với các tập các số nguyên dương rời nhau A, B và các tập hằng số dương (λk, k ∈ A), (λl, l ∈ B)thì P
k∈A
λkXk,P l∈B
λlXl phụ thuộc âm
Rõ ràng các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm tuyến tính thì phụ thuộc âm đôi một
Trước hết, chúng ta cần một số bổ đề
Bổ đề 1 ([4]) Nếu X1, , Xnlà các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm và f1, , fnlà các hàm Borel cùng tăng hoặc cùng giảm thì f(X1), , f (Xn)là các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm
Bổ đề 2 ([4]) Nếu X1, X2 là các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm thì
EX1X26 EX1EX2 và cov(X1, X2) 6 0
Hệ quả 1 Nếu X1, , Xnlà các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một thì
D(X1+ + Xn) 6 DX1+ + DXn Chứng minh Vì X1, , Xnphụ thuộc âm nên với mọi i 6= j có cov(Xi, Xj) 6 0.Suy ra
D(
n X
k=1
Xk) =
n X
k=1
D(Xk) +X
i<j cov(Xi, Xj) 6
n X
k=1 D(Xk)
Định lí sau đây mở rộng luật yếu số lớn Markov cho dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một
Định lí 1 Giả sử {Xn, n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một Khi đó nếu
1
n 2
n
P
i=1
DXi→ 0 khi n → ∞thì dãy {Xn}tuân theo luật yếu số lớn, tức là
1 n
n X
i=1
Xi−
n X
i=1
EXi P
−→ 0 khi n → ∞
Chứng minh Với mỗi ε > 0 tuỳ ý, áp dụng bất đẳng thức Chebyshev và Hệ quả 1
ta có
P |1
n
n X
i=1
Xi− 1 n
n X
i=1
EXi| ≥ ε 6
D(n1
n P
i=1
Xi)
D(
n P
i=1
Xi)
n2ε2 6
n P
i=1
DXi
n2ε2 Vì 1
n 2
n
P
i=1
DXi → 0 khi n → ∞ nên lim
n→∞P |n1
n P
i=1
Xi − 1 n
n P
i=1
EXi| ≥ ε
= 0 Suy ra 1
n
n
P
i=1
Xi−
n
P
i=1
EXi
P
−→ 0 khi n → ∞
Từ định lí ta có các hệ quả sau
Trang 3Hệ quả 2 Giả sử {Xn, n ≥ 1}là dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một Khi
đó nếu tồn tại số C > 0 sao cho DXn 6 C với mọi n ≥ 1, thì dãy {Xn} tuân theo luật yếu số lớn
Hệ quả 3 Giả sử {Xn, n ≥ 1}là dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một, cùng phân phối, EX1 = a, DX1= σ2 Khi đó Pn
i=1
Xi P
−→ a khi n → ∞
Trong phần tới chúng ta sẽ trình bày luật số lớn và định lí giới hạn trung tâm cho mảng các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm tuyến tính Trước hết ta có các bổ đề sau
Bổ đề 3 ([5]) Giả sử X1, , Xn là các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm tuyến tính Khi
đó
|Φ(r1, , rm) −
m Q
j=1
Φj(rj)| 6
m P
k,l=1
|rkrlcov(Xk, Xl)|, với Φ(r1, , rm) = E(exp[(i
m P
j=1
rjXj]), Φj(rj) = E(exp[irjXj])
Bổ đề 4 ([1]) Giả sử (Fn) là dãy hàm phân phối xác suất với (ϕn) là dãy hàm đặc trưng tương ứng Khi đó Fn
w
−→ F khi và chỉ khi ϕn→ ϕ, với ϕ là hàm đặc trưng của F
Bổ đề 5 ([1]) Nếu Xn
w
−→ C = constthì Xn
P
−→ C Ngoài ra trong các phần tới chúng ta thường xuyên sử dụng các bất đẳng thức sau, chúng được trình bày trong [1]
|a1a2 an− b1b2 bn| 6
n X
k=1
|ak− bk|,với mọi|ak| 6 1, |bk| 6 1; (3)
|eitx− 1 − itx + t
2x2
trong đó h1(t) = max(|t|, t2), g1(x) = min(|x|, x2), h2(t) = max(t2, |t|3), g2(x) = min(x2, |x|3), với mọi x, t ∈ R
Định lí sau đây là một mở rộng của định lí 7.3.1 trong [1]
Định lí 2 Giả sử {Xni, 1 6 i 6 n, n ≥ 1} là mảng các biến ngẫu nhiên phụ thuộc
âm tuyến tính theo hàng, EXni = 0,P
i<j cov(Xni, Xnj) −−−→ 0n→∞ Khi đó nếu Mn = n
P
i=1
E min(|Xni|, |Xni|r)−−−→ 0n→∞ với r ∈ (1; 2) thì Sn=
n P
i=1
Xni−→ 0P Chứng minh Từ (3), (4) ta có
|
n Y
k=1
EeitXnk− 1| = |
n Y
k=1
EeitXnk−
n Y
k=1 1| 6
n X
k=1
|EeitXnk− 1| =
Trang 4n
X
k=1
|E(eitXnk− 1 − itXnk)| 6
n X
k=1 2h1(t)Eg1(Xnk) = 2h1(t)
n X
k=1
E min(|Xnk|, Xnk2 ) (6)
Để ý rằng với 1 < r 6 2 thì min(|x|, x2) 6 min(|x|, |x|r), do đó
0 6
n X
k=1
E min(|Xnk|, Xnk2 ) 6
n X
k=1 min(|Xnk|, |Xnk|r)−−−→ 0.n→∞
Suy ra
n X
k=1
Từ (6), (7) suy ra
n Y
k=1
EeitXnk n→∞
Theo bổ đề 3 ta có
|E exp(i
n X
k=1
Xnk) −
n Y
k=1
E exp(iXnk)| 6X
k6l cov(Xnk, Xnl)−−−→ 0.n→∞ (9)
Từ (8), (9) suy ra E exp(i
n X
k=1
Vì 1 = eit0 là hàm đặc trưng của X = 0 nên từ (10) và bổ đề 4 có Sn
w
−→ 0 (11)
Từ (11) và bổ đề 5 suy ra Sn
P
−→ 0
Từ định lí 2 ta có các hệ quả sau
Hệ quả 4 Giả sử mảng {Xnk, k = 1, , n, n ≥ 1}phụ thuộc âm tuyến tính theo hàng,
EXnk = 0, P
i<j
cov(Xni, Xnj) −−−→ 0n→∞ Khi đó nếu Pn
k=1 E|Xnk| 6 C < ∞ và L1
n(ε) = n
P
k=1
E(|Xnk|I(|Xnk| > ε))−−−→ 0n→∞ , với mọi ε > 0 thì Sn
P
−→ 0
Chứng minh Với 0 < ε < 1 tuỳ ý có
Mn6
n
X
k=1
E(|Xnk|I(|Xnk| > ε)) +
n X
k=1
E(|Xnk|rI(|Xnk| 6 ε)) 6 L1
n(ε) + εr−1C
Suy ra Mn
n→∞
−−−→ 0 Theo định lí 2 ta suy ra đ.p.c.m
Hệ quả 5 Giả sử (Xk) phụ thuộc âm tuyến tính cùng phân phối, EX1 = a, EX2
1 =
C < ∞, E(|X1− a|I(|X1− a| > εn))−−−→ 0n→∞ , với mọi ε > 0 Khi đó X 1 + +X n
n P
−→ a
Trang 5Chứng minh Đặt Xnk = Xk −a
n , k 6 n Rõ ràng {Xnk, 1 6 k 6 n, n ≥ 1}mảng các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm tuyến tính theo hàng, EXnk = 0,P
i<j cov(Xni, Xnj) < C
n
n→∞
−−−→ 0 Ngoài ra
n X
k=1 E|Xkn| =
n X
k=1
E|Xk− a
n | = E|X1− a| < ∞.
L1n(ε) =
n X
k=1 E(|Xnk|I(|Xnk| > ε)) =
n X
k=1
E(|Xk− a
n |I(|
Xk− a
n | > ε)) =
= E(|X1− a|I(|X1− a| > εn))−−−→ 0.n→∞
Theo hệ quả 4 suy ra điều cần chứng minh
Hệ quả 6 (Luật số lớn Liapunov) Giả sử {Xnk, k = 1, , n, n ≥ 1}mảng các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm tuyến tính theo hàng, EXnk = 0, P
i<j cov(Xni, Xnj) → 0 Khi đó nếu n
P
k=1
E|Xnk|r→ 0, với r ∈ [1; 2], thì Sn−P→ 0
Định lí sau là một mở rộng của định lí 7.4.1 trong [1]
Định lí 3 Giả sử {Xnk, 1 6 k 6 n, n ≥ 1}là mảng các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm tuyến tính theo hàng thoả mãn
EXnk = 0, k = 1, , n n
P
k=1
DXnk = 1, P
i<j cov(Xni, Xnj)−−−→ 0 i, j = 1, , n.n→∞
(12)
Đặt Sn=
n
P
k=1
Xnk, σnk2 = DXnk Khi đó nếu
Mn2 =
n X
k=1
E min(|Xnk|2, |Xnk|s)−−−→ 0,n→∞ (13)
với s ∈ [2; 3] nào đó thì (Sn) hội tụ theo phân phối tới biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N(0, 1)
Chứng minh Ta cần chứng tỏ rằng ϕS n(t) → e−t22 , ∀t ∈ R Mặt khác áp dụng bổ đề
3 có |ϕSn(t) −
n Q
k=1
ϕXnk(t)| 6 P
i<j cov(Xni, Xnj)−−−→ 0n→∞
Trang 6Suy ra ϕS n(t)−−−→n→∞
n Q
k=1
ϕX nk(t)
Do đó ta chỉ cần chứng tỏ Qn
k=1
ϕXnk(t)−−−→ en→∞ −t22 , t ∈ R Ta có
|
n
Y
k=1
ϕX nk(t) − e−t22 | = |
n Y
k=1
ϕX nk(t) −
n Y
k=1
e−
t2σ2nk
2 | 6
n X
k=1
|ϕXnk(t) − e−
t2σ2nk
2 | 6
6
n X
k=1
|E(eitXnk− 1 − itXnk+t
2Xnk2
2 ) +
n X
k=1
|e−
t2σ2 nk
2 − 1 + t
2σnk2
2 | 6
6 h2(t)
n X
k=1 min(Xnk2 , |Xnk|3) +t
4 8
n X
k=1
σnk2 6
6 h2(t)
n X
k=1 min(Xnk2 , |Xnk|s) +t
4
Với 0 < ε < 1 ta có
σ2nk = E(Xnk2 I(|Xnk| 6 ε)) + E(Xnk2 I(|Xnk| > ε)
6 ε2+ E(Xnk2 I(|Xnk| > 1)) + E(Xnk2 I(ε < |Xnk| 6 1))
6 ε2+ E(Xnk2 I(|Xnk| > 1)) + 1
εs−2E(Xnks I(1 ≥ |Xnk| > ε))
6 ε2+ 1
Từ (13), (14), (15) suy ra điều cần chứng minh
Từ định lí 3, ta rút ra hệ quả sau
Hệ quả 7 Giả sử {Xnk, 1 6 k 6 n, n ≥ 1}là mảng các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm tuyến tính theo hàng, EXni= 0 Khi đó nếu
S‘2n= D(
n P
i=1
Xni)−−−→ ∞,n→∞ 1
S‘ 2 n
P
i<j cov(Xni, Xnj)−−−→ 0n→∞ ,
và Pn
i=1
E(Xni2 I(|Xni| ≥ εS‘2
n)) = 0(S‘2n)thì S‘−1
n =
n P
i=1
Xni hội tụ theo phân phối tới biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N(0, 1)
Chứng minh Đặt S2
n =
n P
i=1
DXnk, vì {Xnk, 1 6 k 6 n, n ≥ 1}phụ thuộc âm tuyến tính nên
Sn2 = D(
n X
k=1
Xnk) =
n X
k=1
D(Xnk) +X
i<j cov(Xni, Xnj) 6
n X
k=1 D(Xnk) = Sn2
Trang 7Do đó từ giả thiết ta có
1
S2 n X
i<j
n X
i=1
E(Xni2 I(|Xni| > εpS2
Suy ra
lim
n→∞
S‘2n
S2
n
= lim
n→∞(S
2 n
S2 n
+ 1
S2 n X
i<j
cov(Xni, Xnj)) = 1 + lim
n→∞
1
S2 n X
i<j cov(Xni, Xnj) = 1
Vậy ta chỉ cần chứng tỏ rằng pS2
n
−1 nP i=1
Xni−→ Xd , với X có phân phối chuẩn N(0, 1)
Đặt Znk = √Xnk
S 2
n
dễ kiểm tra được {Znk, 1 6 k 6 n, n ≥ 1}là mảng các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm tuyến tính theo hàng thoả mãn các điều kiện (12) Hơn nữa với ε > 0 ta có
n X
k=1
EXnk2 =
n X
k=1 E(Znk2 I(|Znk| 6 ε)) +
n X
k=1 E(Znk2 I(|Znk| > ε))
6 ε2+
n X
k=1
1
S2 n
EXnk2 I(|Xnk| > εpS2
Từ (17), (18) suy ra Pn
k=1
EZnk2 −−−→ 0n→∞ Vậy {Znk, 1 6 k 6 n, n ≥ 1}thoả mãn các điều kiện của hệ quả 1 Do đó Pn
k=1
Znk −→ Xd , với X có phân phối chuẩn N(0.1) Từ đó suy ra
điều cần chứng minh
Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Việt Yên, Lí thuyết xác suất, Nhà xuất bản Giáo dục, 2000 [2] M H Ko, D H Ryu, and T S Kym, The almost sure convergence of AANA sequences
in double arrays, Bul Korean Math Soc., 43 (1), 2006, 169-178
[3] M H Ko, D H Ryu, and T S Kym, Strong laws of large numbers for weighted sums of negatively dependent random variables, J Korean Math Soc., 43 (6), 2006, 1325-1338
[4] E Lehmann, Some concepts of dependence, Ann Math Statist, 37, 1966, 1137-1153
[5] C M Newman, Normal fluctuations and the FKG inequalities, Comm Mart Physl., 91, 1980, 75-90
Trang 8[6] C M Ronald, Patterson, D Wendy, L Smith Robert, Taylor Abolghassem Bozorg-nia, Limit theorems for negatively dependent random variables, Nonlinear Analysis,
47, 2001, 1283-1295
Summary
extension some limit theorems to negatively dependent
and linearly negatively dependent random variables
In this paper, we establish some weak laws of larger numbers and center limit the-orems for negatively dependent and linearly negatively dependent random variables (a)Khoa toán, Trường Đại học Vinh
(b)Cao học 13 Xác suất, Trường Đại học Vinh.