Giáo trình các tập hợp số.pdf

Tài liệu Giáo trình các tập hợp số.

Chủ đề 3 TẬP SỐ HỮU TỈ VÀ TẬP SỐ THỰC MỤC TIÊU

A KIẾN THỨC

Cung cấp cho người học những kiến thức về:

– Xây dựng tập số hữu tỉ không âm và các phép toán trong tập số hữu tỉ không âm;

– Tập số thập phân và các phép toán trong tập số thập phân;

– Cơ sở toán học của nội dung dạy phân số và số thập phân ở Tiểu học;

– Xây dựng tập số hữu tỉ và tập số thực

B KĨ NĂNG

Hình thành và rèn cho người học các kĩ năng:

– Giải toán trong tập số hữu tỉ không âm và số thập phân không âm;

– Giải toán về phân số và số thập phân ở Tiểu học

C THÁI ĐỘ

Chủ động tìm tòi khám phá và phát hiện những cơ sở toán học của việc dạy học phân số và số

thập phân ở Tiểu học

D GIỚI THIỆU CHỦ ĐỀ 3

1 Xây dựng tập số hữu tỉ không âm 114

2 Các phép toán trong tập số hữu tỉ không âm 120

3 Quan hệ thứ tự trong tập số hữu tỉ không âm 129

4 Tập số hữu tỉ không âm và phân số trong chương trình

môn Toán ở Tiểu học 133

5 Tập số thập phân không âm 142

6 Số thập phân trong chương trình môn Toán ở Tiểu học 152

7 Tập số hữu tỉ 164

8 Tập số thực 171

114

TIỂU CHỦ ĐỀ 3.1 XÂY DỰNG TẬP SỐ HỮU TỈ KHÔNG ÂM

THÔNG TIN CƠ BẢN

Trong toán học và trong cuộc sống hàng ngày ta thường gặp các bài toán:

– Tìm thương của phép chia:

a) 25 : 6;

b) 3 : 5;

c) 17 : 7;

– Dùng đơn vị là mét để biểu diễn các số đo: 1m, 2dm, 5cm hoặc 25cm

– Dùng đơn vị là kilôgam để biểu diễn số đo: 14kg, 5g hoặc 1245g

Trong phạm vi tập các số tự nhiên, các bài toán trên đều không có lời giải Do đòi hỏi, nhu cầu của thực tiễn toán học, đời sống lao động và sản xuất, chúng ta thường xuyên phải tìm lời giải cho các bài toán trên (theo một nghĩa nào đấy)

Vì vậy, đặt ra cho chúng ta nhiệm vụ phải mở rộng tập hợp số tự nhiên thêm những số mới,

để trong tập hợp số mới nhận được này, chúng ta sẽ tìm được lời giải của các bài toán thuộc các dạng nêu trên

Khi tính toán, chúng ta thường xuyên vận dụng các tính chất của các phép toán trên phân số,

Tính rồi so sánh kết quả (xem [1], trang 65)

2,4 3,8 1,2 6,5 2,7 0,8 8,2 1,8 14,7

Từ bài toán này, giáo viên rút ra cho học sinh quy tắc: Muốn nhân một tổng với một số, ta có thể nhân từng số hạng của tổng với số đó rồi cộng kết quả lại

hay:

(a + b) × c = a × c + b × c

Bằng cách này, học sinh phải tiếp thu một cách thụ động, không nắm được cơ sở lí luận của những quy tắc đó

Tuy nhiên, với giáo sinh, những người sẽ ra giảng dạy ở phổ thông sau này, việc nắm được cơ

sở lí luận của những vấn đề nêu trên là điều thiết thực và bổ ích

Vì hai lí do nêu trên, chúng ta cần mở rộng tập số tự nhiên thêm những số mới để trong tập hợp số mới này (mà dưới đây ta sẽ gọi là tập các số hữu tỉ không âm), các phép chia số tự nhiên (cho một số tự nhiên khác 0) đều thực hiện được, số đo của các phép đo đại lượng đều biểu diễn được, các quy tắc thực hành tính toán với phân số và số thập phân đều được chứng minh chặt chẽ

Ta sẽ sử dụng kí hiệu N (hoặc N*) để chỉ tập số tự nhiên (hoặc tập số tự nhiên khác 0)

116

Ý tưởng trên đây được thể hiện bằng ngôn ngữ của toán học hiện đại như sau:

Mỗi cặp sắp thứ tự (a; b), trong đó a ∈ N và b ∈ N* ta gọi là một phân số không âm (hay để cho gọn, ta sẽ gọi là phân số)

Tập tất cả các phân số kí hiệu là P Như vậy: P = N × N *

Để cho tiện, ta sẽ sử dụng kí hiệu a

b để chỉ phân số (a; b), trong đó a là tử số, b là mẫu số của

phân số đó Như vậy: P = {a

Từ (1); (2); (3) ta suy ra e là một quan hệ tương đương xác định trên tập các phân số P

Áp dụng định lí về tập thương (xem [2]), ta có thể phân chia tập P theo quan hệ tương đương

e và nhận được tập thương P/e

Ta sẽ gọi tập thương P/e là tập các số hữu tỉ không âm và kí hiệu là Q+ Mỗi phần tử của tập

Q+ ta gọi là một số hữu tỉ không âm (để cho gọn, ta sẽ gọi là số hữu tỉ)

– Giả sử r ∈ Q+ Như vậy r xác định bởi một lớp các phân số tương đương với phân số a

bnào đó, tức là r = C(a

b) là một lớp những phân số bằng phân số a

p

qe

p'q' hay pq’ = qp’, trong đó UCLN(p, q) = UCLN(p’, q’) = 1

Vì p | pq’ nên p | qp’; mà UCLN(p, q) = 1 nên p | p’ Mặt khác, p’ | qp’ nên p’ | pq’, mà UCLN(p’, q’) = 1 nên p’ | p Từ đó, ta suy ra p = p’ và q = q’

Vậy mỗi số hữu tỉ không âm có duy nhất một phân số đại diện là phân số tối giản Khi nói đến phân số đại diện của một số hữu tỉ, ta thường hiểu là phân số tối giản nói trên

– Mỗi số tự nhiên a có thể biểu diễn dưới dạng một phân số

1

a, vì vậy, mỗi số tự nhiên a cũng

xác định duy nhất một số hữu tỉ r có phân số đại diện là

1

a

Thành thử, tập số tự nhiên N có thể coi là bộ phận của tập số hữu tỉ Q+

Ta quy ước: số hữu tỉ xác định bởi C(

1

0) là 0 và xác định bởi C(1

1) là 1

Đọc tài liệu để hiểu:

+ Khái niệm về số hữu tỉ, tập số hữu tỉ, phân số đại diện của một số hữu tỉ;

+ Bản chất của số hữu tỉ, tập số hữu tỉ và cách kí hiệu một số hữu tỉ;

+ Mối quan hệ giữa tập số tự nhiên và tập số hữu tỉ

3 Chứng minh rằng trong các phân số cùng bằng phân số a

b cho trước, chỉ có duy nhất một phân số là tối giản

120

TIỂU CHỦ ĐỀ 3.2

CÁC PHÉP TOÁN TRONG TẬP SỐ HỮU TỈ KHÔNG ÂM

THÔNG TIN CƠ BẢN

Từ đây ta đi đến bài toán: Cho hai số hữu tỉ r = C(4

7); s = C(

3

5) Ta có thể tìm tổng, hiệu, tích, thương của hai số hữu tỉ này theo một nghĩa nào đó không?

Như phần trên ta đã biết, mỗi số hữu tỉ C(4

7) (hoặc C(

3

5)) được xác định bởi một lớp các phân số bằng phân số 4

7 (hoặc

3

5) Chọn một trong các phân số trong lớp đó ta được một đại diện của số hữu tỉ đó Ngược lại, khi có một phân số đại diện của một số hữu tỉ thì số hữu tỉ

đó cũng hoàn toàn được xác định bởi phân số đại diện này

Từ phân tích trên đây, ta đi đến ý tưởng tìm tổng của hai số hữu tỉ như sau:

Tương tự, ta tìm hiệu, tích, thương của hai số hữu tỉ này

Một cách tổng quát, ta đi đến định nghĩa dưới đây

b) Tích của hai số hữu tỉ r và s là một số hữu tỉ p, kí hiệu p = r × s (hoặc r.s hoặc rs), trong đó,

số hữu tỉ p có phân số đại diện là ac

c

d và c'

d' là hai phân số đại diện của cùng một số hữu tỉ s Theo định nghĩa:

a

be

a'b' và

c

de

c'd'

Hay ab’ = a’b và cd’ = c’d

Nhân hai vế của đẳng thức thứ nhất với dd’ và đẳng thức thứ hai với bb’ ta được:

ab’dd’ = a’bdd’

c'd')

Từ các kết quả trên, ta rút ra:

– Tính chất 2.1: Tổng của hai số hữu tỉ không phụ thuộc vào việc lựa chọn phân số đại

diện của chúng

Tương tự như trên ta cũng có:

– Tính chất 2.2: Tích của hai số hữu tỉ không phụ thuộc vào việc lựa chọn phân số đại diện của chúng

Định lí 2.1: Tính chất của phép cộng và phép nhân các số hữu tỉ không âm

Phép cộng và phép nhân các số hữu tỉ không âm thoả mãn các tính chất sau:

a) Tính giao hoán:

r + s = s + r và rs = sr với mọi r, s ∈ Q + b) Tính kết hợp:

(r + s) + t = r + (s + t) và (rs)t = r(st) với mọi r, s, t ∈ Q + c) Phần tử trung lập:

Tồn tại duy nhất một số hữu tỉ 0 và một số hữu tỉ 1 sao cho r + 0 = r và r × 1 = r

Ta gọi 0 là phần tử trung hoà của phép cộng và 1 là phần tử đơn vị của phép nhân

d) Luật giản ước:

Nếu r + t = s + t thì r = s với mọi t ∈ Q + và nếu rt = st thì r = s với mọi t ∈ Q + , t ≠ 0

e) Tính chất phân phối:

r(s + t) = rs + rt với mọi r, s, t ∈ Q + f) Phần tử nghịch đảo:

nhân các số tự nhiên ta có: mn' +nm'

nn' =

+m'n n'mn'n

Mặt khác, theo định nghĩa phép cộng số hữu tỉ thì mn' +nm'

nn' là phân số đại diện của r + s và +

m''n'' theo thứ tự là phân số đại diện của các số hữu tỉ r, s và t Áp dụng

tính chất của các phép toán trên tập số tự nhiên ta có:

m(m'm'')n(n'n'')

m''n'' theo thứ tự là phân số đại diện của các số hữu tỉ r, s, t và

r + t = s + t

Theo định nghĩa phép cộng các số hữu tỉ ta có:

+mn'' m''nnn'' =

+m'n'' m''n'n'n''

hay mn''n' + m''nn'

nn'n'' =

+m'nn'' m''nn'nn'n''

Tương tự, ta chứng minh luật giản ước đối với phép nhân các số hữu tỉ không âm

e) Giả sử m

n ;

m'n' ;

m''n'' theo thứ tự là phân số đại diện của các số hữu tỉ r, s, t

+mm'n'' mm''n'n(n'n'') =

+m(m'n'' n'm'')n(n'n'')

g) Điều kiện cần: Giả sử r = m

n và s =

m'n' Trong đó rs = 0

Theo định nghĩa ta có mm'

nn' = 0 Suy ra mm’ = 0 Vậy m = 0 hoặc m’ = 0 Suy ra r = 0 hoặc s = 0

Điều kiện đủ: hiển nhiên

77 trong khi đó s – r không thực hiện được

vì 2 × 11 – 9 × 7 không phải là số tự nhiên

Nhận xét: Từ các kết quả trên ta thấy:

1 Phép cộng và phép nhân các số hữu tỉ không âm luôn thực hiện được;

2 Phép trừ các số hữu tỉ không âm không phải bao giờ cũng thực hiện được;

3 Phép chia cho một số hữu tỉ khác 0 luôn thực hiện được

HOẠT ĐỘNG 1 TÌM HIỂU PHÉP CỘNG VÀ PHÉP NHÂN CÁC SỐ HỮU TỈ

KHÔNG ÂM

NHIỆM VỤ

Sinh viên đọc thông tin cơ bản rồi thảo luận theo nhóm 3, 4 người để thực hiện các nhiệm vụ nêu trong các hoạt động dưới đây Sau đó mỗi nhóm cử đại diện trình bày Cuối cùng giáo viên tổng kết chung theo từng nội dung đã trình bày:

2 Thực hiện các phép tính sau bằng cách nhanh nhất (giải thích cách làm):

16) = C(16 + 8 + 2) c) C(11

21) = C(21 +

1 +

Phát biểu định nghĩa phép trừ, các thành phần của phép trừ và quy tắc thực hành phép trừ các

số hữu tỉ không âm

NHIỆM VỤ 2:

2 Thực hiện phép tính sau bằng cách nhanh nhất (giải thích cách làm)

4 Cho r, s, t ∈ Q+, với t ≠ 0 Chứng minh rằng:

(r + s) : t = r : t + s : t Phát biểu tính chất tương ứng của phép chia phân số ở Tiểu học

TIỂU CHỦ ĐỀ 3.3

QUAN HỆ THỨ TỰ TRONG TẬP SỐ HỮU TỈ KHÔNG ÂM

THÔNG TIN CƠ BẢN

Từ trường phổ thông ta đã biết 5

Ta có định nghĩa dưới đây:

Cho r và s là hai số hữu tỉ không âm có phân số đại diện là a

b và

c

d tương ứng Ta nói rằng r nhỏ hơn hoặc bằng s, kí hiệu là r ≤ s nếu: ad ≤ bc

Ta nói r nhỏ hơn s, kí hiệu là r < s, nếu r ≤ s và r ≠ s

Ta nói r lớn hơn hoặc bằng s (và viết r ≥ s) nếu s ≤ r; r lớn hơn s (và viết r > s) nếu s < r Các hệ thức r ≤ s hoặc r ≥ s ta gọi là bất đẳng thức, hệ thức r < s hoặc r > s ta gọi là bất đẳng thức nghiêm ngặt

Như vậy, việc so sánh các số hữu tỉ được đưa về so sánh các số tự nhiên (thông qua các phân

số đại diện của chúng)

c

d và

c'd' là hai phân số đại diện của cùng số hữu tỉ s, trong đó ad ≤ bc Ta sẽ chứng minh được a’d’ ≤ b’c’ Như vậy, việc so

130

sánh hai số hữu tỉ không phụ thuộc vào việc lựa chọn các phân số đại diện của chúng

Thật vậy, theo giả thiết ta có ab’ = a’b và cd’ = c’d Giả sử a’d’ > c’b’, áp dụng tính chất của tập số tự nhiên ta có:

a’bcd’ = ab’c’d và adc’b’ < bca’d’ (ta có thể xem c ≠ 0)

Điều này là vô lí Vậy ta có điều phải chứng minh

Từ định nghĩa ta dễ dàng chỉ ra rằng quan hệ “≤” có tính chất phản xạ và phản đối xứng Giả sử các số hữu tỉ r, s, t có các phân số đại diện là a

Nhân vế với vế của hai bất đẳng thức trên ta được adcn ≤ bcmd

Suy ra an ≤ bm hay r ≤ s Vậy quan hệ “≤” có tính chất bắc cầu

Giả sử r và s là hai số hữu tỉ có phân số đại diện là a

Từ các kết quả trên đây, ta suy ra tập Q+ cùng với quan hệ “≤” là tập sắp thứ tự toàn phần

Định lí 3.1: Quan hệ thứ tự trong tập số hữu tỉ không âm thoả mãn tính chất:

a) Tính đơn điệu: Nếu ta cộng hoặc nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số hữu tỉ không âm thì bất đẳng thức không đổi chiều

Hay r ≤ s ⇒ r + t ≤ s +t và rt ≤ st với mọi r, s, t ∈ Q +

m''n'' theo thứ tự là các phân số đại diện của các số hữu tỉ r, s và t, trong

đó r ≤ s Theo định nghĩa ta có mn’ ≤ m’n, áp dụng tính chất của tập số tự nhiên ta có:

mn’ ≤ m’n ⇒ mn’n’’ ≤ m’nn’’ ⇒ mn’n’’ + nm’’n’ ≤ m’nn’’ + nm’’n’

⇒ (mn’’ + nm’’) n’ ≤ (m’n’’ + m’’n’)n

⇒ (mn’’ + nm’’)n’n’’ ≤ (m’n’’ + m’’n’)nn’’

c) Giả sử số hữu tỉ r có phân số đại diện là m

n Theo nguyên lí Acsimet, trong tập số tự nhiên tồn tại a ∈ N sao cho m < na Từ đó suy ra r < a

HOẠT ĐỘNG TÌM HIỂU TÍNH SẮP THỨ TỰ TRÊN TẬP SỐ HỮU TỈ

NHIỆM VỤ

Sinh viên tự đọc thông tin cơ bản Bằng hệ thống câu hỏi phát vấn, giáo viên tổ chức cho sinh viên trao đổi theo từng nhiệm vụ nêu trong các hoạt động dưới đây, rồi tổng kết chung cho cả lớp: NHIỆM VỤ 1:

Phát biểu định nghĩa quan hệ thứ tự trong tập số hữu tỉ không âm Xác định quy tắc thực hành

7070) F C(

31

73)

132

c) C(123123

315315) F C(

41

105) d) C(123123

315315) F C(

43

105) e) C(343434

515151) F C(

2

3) f) C(363636

515151) F C(

2

3)

2. Khoanh tròn vào chữ đặt trước câu trả lời đúng

Cho hai số hữu tỉ r = C(5

6) và s = C(

5

7) Xen giữa hai số r và s:

A Không có số hữu tỉ nào

B Chỉ có một số hữu tỉ

C Chỉ có năm số hữu tỉ

D Có vô số số hữu tỉ

Hãy viết năm số hữu tỉ nằm giữa chúng

3. Điền chữ thích hợp vào chỗ chấm

a) Khi cộng

thì bất đẳng thức không đổi chiều b) Khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức nghiêm ngặt với cùng

thì bất đẳng thức

c) Khi cộng (hoặc nhân) hai vế của một bất đẳng thức với cùng

thì ta được

4. Cho 0 < r < s Điền dấu >; < hoặc = vào ô trống 1

r F

1

s

TIỂU CHỦ ĐỀ 3.4

TẬP SỐ HỮU TỈ KHÔNG ÂM VÀ PHÂN SỐ

TRONG CHƯƠNG TRÌNH MÔN TOÁN Ở TIỂU HỌC

THÔNG TIN CƠ BẢN

I CHƯƠNG TRÌNH MÔN TOÁN TIỂU HỌC (CTTTH) ĐƯỢC TẠO THÀNH TỪ NĂM MẠCH KIẾN THỨC

+ Số học;

+ Đại lượng và các phép đo đại lượng;

+ Một số yếu tố hình học;

+ Một số yếu tố thống kê;

+ Giải toán có lời văn

Trong đó, mạch số học là nội dung cốt lõi của chương trình Mạch số học bao gồm bốn nội dung lớn: số học các số tự nhiên, số học các phân số, số học các số thập phân và một số yếu tố đại số Như vậy, số học các phân số là một trong bốn nội dung cốt lõi của môn Toán Tiểu học,

nó được xem như chiếc cầu nối giữa kiến thức toán học trong nhà trường và ứng dụng của nó trong đời sống, lao động sản xuất và khoa học kĩ thuật

II NỘI DUNG DẠY PHÂN SỐ Ở TRƯỜNG TIỂU HỌC

Phân số được trình bày trong hai lớp cuối của bậc Tiểu học với các nội dung:

+ Hình thành khái niệm phân số;

+ So sánh các phân số;

+ Bốn phép toán về phân số: gồm hình thành ý nghĩa phép toán, giới thiệu tính chất và quy tắc thực hành bốn phép tính, rèn kĩ năng thực hành tính toán về phân số;

+ Giải toán về phân số

3.4.1 Hình thành khái niệm phân số

Thông qua thao tác chia một quả cam thành 4 phần bằng nhau, lấy đi ba phần, hình thành cho học sinh khái niệm phân số a

b, trong đó mẫu số b (là số tự nhiên khác 0) chỉ số phần đơn vị được chia ra và tử số a (là một số tự nhiên) chỉ số phần được lấy đi

Bằng con đường này, chỉ hình thành khái niệm của những phân số nhỏ hơn 1 Bằng cách bổ sung thêm bài toán: “Chia đều 5 quả cam cho 4 người Tìm phần cam của mỗi người” Hình thành cho học sinh khái niệm: phân số a

b còn được hiểu là thương của phép chia số tự nhiên a cho b

134

Cuối cùng ta cho học sinh rút ra nhận xét:

– Mỗi số tự nhiên a có thể viết thành một phân số (mà bản thân nó không phải là phân số) có mẫu số bằng 1

– Phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số thì nhỏ hơn 1

– Phân số có tử số lớn hơn mẫu số thì lớn hơn 1

3.4.2 So sánh phân số

Khi so sánh phân số ta hướng tới hai tình huống:

– Kết luận chúng bằng nhau Ở Tiểu học gọi là rút gọn phân số

– Kết luận phân số này lớn hơn hoặc nhỏ hơn phân số kia Ở Tiểu học gọi là so sánh phân số

Để đi đến kết luận trong tình huống thứ nhất, học sinh vận dụng quy tắc:

* Nếu ta nhân cả tử và mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho

* Nếu ta chia cả tử và mẫu số của một phân số cho cùng một số tự nhiên khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho

Khái niệm “hai phân số bằng nhau” được hình thành thông qua các mô hình trực quan Trong Tiểu chủ đề 3.1 ta xây dựng khái niệm hai phân số tương đương thay cho hai phân số bằng nhau (tại sao vậy?)

Để đi đến kết luận trong tình huống thứ hai, học sinh vận dụng quy tắc:

* Trong hai phân số có cùng mẫu số, phân số nào có tử số lớn hơn sẽ lớn hơn (1)

* Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu số, ta quy đồng mẫu số rồi vận dụng quy tắc (1)

3.4.3 Các phép toán về phân số

Khi dạy bốn phép toán về phân số, sách giáo khoa Toán 4 đều sử dụng cách lựa chọn thống nhất: từ một bài toán thực tế, hình thành cho học sinh ý nghĩa phép toán Qua phân tích trên các thao tác đối với bài toán nêu trên, rút ra cho học sinh quy tắc thực hành phép tính

Chẳng hạn, xuất phát từ bài toán: “Có một băng giấy màu, bạn Nam lấy 3

8 băng giấy, bạn Tùng lấy 2

8 băng giấy Hỏi cả hai bạn đã lấy bao nhiêu phần của băng giấy?”

Sách giáo khoa đã dẫn dắt học sinh đến ý nghĩa của phép cộng phân số Từ phân tích trong lời

giải bài toán, rút ra cho học sinh quy tắc: “Muốn cộng hai phân số có cùng mẫu số, ta cộng hai tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số”

Hoặc xuất phát từ bài toán: “Hình chữ nhật ABCD có diện tích 7

15m

2, chiều rộng là 2

3m Tính chiều dài hình đó”

Sách giáo khoa dẫn học sinh đến với phép chia phân số Từ phân tích trong lời giải bài toán

rút ra cho học sinh quy tắc: “Muốn chia hai phân số, ta lấy phân số thứ nhất nhân với phân

số thứ hai đảo ngược”

Vì trong tập số tự nhiên học sinh đã được học các tính chất và quy tắc thực hành 4 phép tính (giao hoán, cộng một tổng với một số, nhân một số với một tổng, ) một cách hệ thống, cho nên trong tập phân số, sách giáo khoa dành cho học sinh tự rút ra những tính chất này thông qua những ví dụ cụ thể Chẳng hạn:

– Khi nhân một tích hai phân số với phân số thứ ba, ta có thể nhân phân số thứ nhất với tích của hai phân số còn lại

– Khi nhân một tổng hai phân số với phân số thứ ba, ta có thể nhân từng phân số của tổng với phân số thứ ba rồi cộng kết quả lại

3.4.4 Giải toán về phân số

Các bài toán về phân số có thể phân ra thành mấy dạng cơ bản:

– Các bài toán về cấu tạo phân số (tìm một phân số khi biết mối quan hệ giữa tử số và mẫu số của phân số đó)

– Các bài toán về so sánh phân số (bao gồm rút gọn phân số và sắp xếp các phân số theo thứ

Sau đây, ta sẽ đề cập tới một số bài toán:

Dạng 1: Các bài toán về cấu tạo phân số

Khi giải các bài toán có dạng này, ta có thể đưa về dạng toán có văn điển hình (tìm hai số khi biết tổng và tỉ, hiệu và tỉ, tổng và hiệu) hoặc dùng phương pháp thử chọn Ngoài ra, có thể bổ sung thêm một số tính chất sau:

Tính chất 4.1: Khi cộng thêm vào cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số tự nhiên thì

hiệu giữa tử và mẫu của phân số đó không thay đổi

Tính chất 4.2: Khi bớt đi ở tử và mẫu của một phân số với cùng một số tự nhiên thì hiệu giữa

tử và mẫu của phân số đó không thay đổi

Tính chất 4.3: Khi thêm vào (hoặc bớt đi) ở tử số, đồng thời bớt đi (hoặc thêm vào) mẫu

số của một phân số cùng một số tự nhiên thì tổng của tử số và mẫu số của phân số đó không thay đổi

Ví dụ 4.1:

Giải: Ta có bảng phân tích số 315 thành tích của các cặp số sau

Các phân số lớn hơn 1 có tích của tử và mẫu bằng 315 là:

15

Ví dụ 4.3:

Tổng của tử số và mẫu số của một phân số bằng 156 Sau khi rút gọn ta được phân số 5

7 Tìm phân số đó

Giải: Theo đề bài ta có sơ đồ:

Tử số Mẫu số

Khi cộng thêm vào cả tử và mẫu của phân số 3

7 với cùng một số tự nhiên, ta được một phân

Khi bớt đi ở cả tử và mẫu của phân số 73

49 với cùng một số tự nhiên, ta nhận được một phân

Dạng 2: Các bài toán về so sánh phân số

Khi giải các bài toán dạng này, ta thường vận dụng các quy tắc rút gọn phân số và các quy tắc

so sánh phân số đã trình bày ở phần trên Ngoài ra, ta có thể bổ sung một số phương pháp khác Chẳng hạn:

Tính chất 4.4: (quy tắc so sánh hai phân số có cùng tử số) Trong hai phân số có cùng tử số,

phân số nào có mẫu số lớn hơn sẽ nhỏ hơn

Ta có quy tắc: Trong hai phân số, phân số nào có phần bù so với 1 lớn hơn sẽ nhỏ hơn

Tính chất 4.7: (quy tắc so sánh bằng phần hơn so với 1)

NHIỆM VỤ 1:

Phân tích nội dung dạy phân số trong trường Tiểu học

NHIỆM VỤ 2:

4 3

2 7 là phân số F d)

0,30,7 là phân số F e) 0

7 là phân số F f)

1

1 là phân số F g) 0 là phân số F h) 1 là phân số F

2. Tích của tử số và mẫu số của một phân số lớn hơn 1 bằng 200, nếu chia cả tử và mẫu cho 5 ta được phân số tối giản Tìm phân số đó

3. Khi nhân cả tử và mẫu của một phân số tối giản với 4 ta được một phân số có tổng của tử và mẫu bằng 12 Tìm phân số tối giản đó

4. Khi nhân cả tử và mẫu của một phân số tối giản với 5 ta được một phân số có tích của tử và mẫu bằng 100 Tìm phân số tối giản đó

5 Tìm một phân số bằng 5

3, biết rằng phân số đó có tổng của tử và mẫu bằng 184

6. Tích của tử số và mẫu số của một phân số lớn hơn 1 bằng 210 Tổng của tử số và mẫu số bằng 29 Tìm phân số đó

7 Khi cộng thêm vào cả tử và mẫu của phân số 11

5 với cùng một số tự nhiên, ta được một phân

454545 F

254

91 F

397

TIỂU CHỦ ĐỀ 3.5 TẬP SỐ THẬP PHÂN KHÔNG ÂM

THÔNG TIN CƠ BẢN

11 không biểu diễn được dưới dạng thập phân

3.5.2 Số thập phân không âm

Số hữu tỉ r gọi là số thập phân không âm, nếu nó có một đại diện là phân số thập phân (hay

nói cách khác, phân số đại diện của nó biểu diễn được dưới dạng thập phân) Tập tất cả các số

thập phân không âm ta kí hiệu là Q+10

Giả sử mẫu số phân số tối giản a

b chỉ có ước nguyên tố là 2 hoặc 5 Vậy b = 2

n5k Giả sử n ≥ k Ta có

a510

Vậy nó biểu diễn được dưới dạng thập phân

Đảo lại, giả sử phân số tối giản a

b biểu diễn được dưới dạng thập phân, tức là

Từ các kết quả trên ta có:

Phân số tối giản a

b biểu diễn được dưới dạng thập phân khi và chỉ khi mẫu số b của nó không

có ước nguyên tố khác 2 và 5

Vận dụng dấu hiệu trên, khi muốn kiểm tra một phân số a

b có phải là số thập phân hay không,

ta tiến hành như sau:

– Rút gọn phân số đó (để nhận được phân số tối giản a'

b')

– Kiểm tra mẫu số b’ có chứa ước nguyên tố khác 2 và 5 hay không, nếu có thì a

b ∉ Q+10, ngược lại a

8

21∉ Q+10 vì 21 = 3.7; 8

75∉ Q+10 vì 75 = 3.5215

3.5.3 Dạng thu gọn của phân số thập phân

Như chúng ta đã biết: mỗi số thập phân có một cách biểu diễn là phân số thập phân Cách biểu diễn này có nhược điểm là cồng kềnh, không tiện lợi trong thực hành tính toán Vì vậy, ta thường biểu diễn các số thập phân dưới dạng thu gọn:

1000 = 0,049 (đọc là không phẩy không bốn chín)

Vậy dạng thu gọn của số thập phân là dạng viết không có mẫu số của phân số thập phân theo quy tắc:

– Bỏ mẫu số đồng thời dùng dấu phẩy phân chia các chữ số của tử số thành hai nhóm: nhóm thứ nhất đứng bên phải dấu phẩy, có số chữ số bằng số chữ số 0 ở mẫu số; nhóm thứ hai gồm các chữ số còn lại của tử số, đứng bên trái dấu phẩy

– Nếu số chữ số của tử số ít hơn hay bằng số chữ số 0 ở mẫu số thì ta viết thêm những chữ số

0 vào trước tử số trước khi dùng dấu phẩy phân chia

Số đứng bên trái dấu phẩy gọi là phần nguyên, nhóm các chữ số đứng bên phải dấu phẩy gọi

là phần thập phân của số thập phân đó

Chẳng hạn, số thập phân 35,0048 có phần nguyên là số 35, phần thập phân là nhóm các chữ số 0048 Như vậy, mỗi số thập phân có hai cách biểu diễn: dạng phân số và dạng thu gọn

3.5.4 Các phép toán trên số thập phân

Mỗi số thập phân là một số hữu tỉ Vì vậy, xây dựng các phép toán về số thập phân bằng cách

ta đưa về phép toán tương ứng với số hữu tỉ Chẳng hạn:

Ví dụ 5.3:

Cho r = 1,78; s = 1,5 Tìm tổng của r + s