Trong bài báo này chúng tôi phát triển hướng nghiên cứu các toán tử boson q-biến dạng trong hình thức luận mô hình tổng quát các hệ thức giao hoán biến dạng.. Trạng thái kết hợp với nhữn
Trang 1Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 1A-2007
Trạng thái nén biến dạng với các dao động tử biến dạng
Võ Thanh Cương (a), Ngũ Văn Dũng (b)
Tóm tắt Trong bài báo này chúng tôi phát triển hướng nghiên cứu các toán tử boson q-biến dạng trong hình thức luận mô hình tổng quát các hệ thức giao hoán biến dạng Trạng thái kết hợp với những toán tử này đã bộc lộ một số tính chất thú vị kể cả trường hợp cả hai thành phần của hàm trường cùng đồng thời bị nén Các kết quả thu
được có thể giúp ích cho các thí nghiệm đang nghiên cứu về hiệu ứng q-biến dạng
1 Trạng thái kết hợp lần đầu tiên được Schrodinger và Glauber đề xướng Xét về một mặt nào đó, các trạng thái kết hợp có một số tính chất cơ bản giống các dao động
tử điều hoà như: các trạng thái này đều là hàm riêng của toán tử huỷ, đều có trạng thái chân không vv Do đó khi nghiên cứu các trạng thái kết hợp, nhiều tác giả đã
sử dụng các kết quả nghiên cứu về dao động tử điều hoà cho các trạng thái kết hợp[1] Trong giải pháp này, các trạng thái kết hợp và trạng thái nén được xây dựng trên các hàm riêng của toán tử huỷ Trong những năm gần đây, hướng nghiên cứu này đã trở nên hấp dẫn và được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu [6, 7, 8]
Trong những năm gần đây, các nhà vật lý lý thuyết đã đề xướng một giải pháp gọi là phương pháp đại số dao động tử biến dạng [2, 3, 4, 5] để nghiên cứu các trạng thái kết hợp và các trạng thái nén Theo lý thuyết này, người ta thay thế đạo hàm thông thường bằng đạo hàm biến dạng phụ thuộc vào một thông số biến dạng q Mặt khác, các các toán tử trong vật lý lượng tử thường là các toán tử vi phân Ví dụ như theo [6] dao động tử điều hoà Hamiltonian biến dạng sẽ là:
H =
-m
2
2
η
2 2
x
q
∂
∂
+
2
1
m ω x2. (1) Nghiệm của phương trình này (1) khác với nghiệm dao động tử điều hoà thông thường ở các điểm sau:
a, Lực tác động trong dao động tử biến dạng khác cùng đại lượng đó trong dao
động tử điều hòa thông thường:
Fq =
-x
V
q
∂
∂
2
] 2 [ ω
Hệ số
2
]
2
[
là hàm của thông số biến dạng q Khi q > 1, theo công thức (5) ở phần sau
2
]
2
[
≥ 0, nguyên nhân gây ra chuyển động là lực đàn hồi (ngược chiều với chuyển
động) Khi q < 1,
2
] 2 [
< 0, lực gây ra chuyển động lại cùng chiều với chuyển động (trái với cơ học cổ điển)
Trang 2Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 1A-2007
b, Năng lượng của các trạng trạng thái dao động tử cũng khác trường hợp thông thường, bởi vì lúc đó các toán tử sinh a+ và huỷ a được định nghĩa lại:
a =
η 2
ω
m
x +
ω
m
2
η
x
q
∂
∂
, a+ =
η 2
ω
m
x -
ω
m
2
η
x
q
∂
∂
(2)
Với các giá trị thông số biến dạng q khác nhau, giá trị năng lượng của các trạng thái dao động tử có giá trị khác nhau Ta so sánh với thực nghiệm và sử dụng giá trị của q trong trường hợp phù hợp để nghiên cứu trạng thái đó trong các bài toán khác
2 Đại số dao động tử biến dạng và trạng thái nén biến dạng Có nhiều mô hình
về đại số dao động tử biến dạng Các mô hình này khác nhau về số lượng thông số biến dạng và hệ thức giao hoán giữa các toán tử sinh và huỷ, đã được nhiều tác giả
đề xướng, ví dụ như: mô hình tổng quát về đại số dao động tử biến dạng một thông
số được Solomon và Dermot trình bày trong [10] Trong mô hình này các toán tử huỷ
và sinh a, a+ và toán tử số N = a+ a là các vi tử của đại số dao động tử biến dạng với mối quan hệ giữa chúng:
và aa+
a = 1. (3) Khi f(N) =1 hệ thức (3) là hệ thức giao hoán của đại số Heisenberg-Weyl mô tả các boson trong dao động tử thông thường Khi f(N) =q ta có đại số dao động tử biến dạng do Arik và Coon đề xướng [8] Mô hình này đã được rất nhiều tác giả áp dụng nghiên cứu lý thuyết cho các trạng thái kết hợp biến dạng, trạng thái nén biến dạng Ví dụ như các công trình của Kulish và Damaskinsky [9], của Jagannathan [10]
Trong mô hình tổng quát đại số dao động tử biến dạng, hàm riêng của toán tử N trong Fock biểu diễn sẽ là [4]:| n >q =
! [
1
trong đó [n+1] = 1+ f(n)[n] và [n] = ‡”
1 n
1
k (k)!
)!
1 n (
Với các hàm f(n) khác nhau các biểu thức (3), (4), (5) sẽ khác nhau Ví dụ: ta xét trường hợp f(N) = q -2
Biểu thức (3) trở thành: a+a = q-(N-1)[N] ; aa+ = q-N[N+1] (6)
a| n >qq -(n-1)/2[n]1/2 |n-1>
a+ | n >q q-n/2[n+1]1/2 |n+1> (7) Trạng thái |n >q là hàm riêng của toán tử N thoả mãn N|n >q = n| n >q, với q<n| m>q= δnm và trạng thái chân không biến dạng|0>q thỏa mãn a|0>q = 0 Trong các công thức trên ta sử dụng ký hiệu [n] = 2
2
1
1
ư
ư
ư
ư
q
q n
được tính ra từ công thức (5) Trạng thái kết hợp|α >q được định nghĩa như là hàm riêng của toán tử huỷ a,
Trang 3Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 1A-2007 a|α >q =α|α >q với giá trị riêng α là một số phức [1] Sau một số phép biến đổi, trạng thái kết hợp biến dạng được biểu diễn dưới dạng[6]:
| α >q = Nα{| 0 > + ∑∞
=
ư
0
4 / ) 1 (
]!
[
n
n n
n
q α | n>q} = Nαeq( α a+)| 0 >q. (8)
Từ công thức (8) ta có hệ số chuẩn hoá Nα = [eq(α2
)]1/2
Hàm số eq(x) gọi là e mũ biến dạng và được định nghĩa:
eq(x) = 1+ ∑∞
=
ư
0
4 / ) 1 (
]!
[
n
n n
n
x
q (9) Khi q→ 1, eq(x) → exp(x), hàm e mũ biến dạng trở thành hàm e mũ thông thường
Để xây dựng trạng thái nén biến dạng, ta lấy ví dụ trường điện từ của trạng thái đơn mode với tần số ω Trong trường hợp đó hàm trường có thể biểu diễn dưới dạng E(t)=E0[aei ω t
+ a+
e-i ω t ] trong đó a, a+ là các toán tử sinh và huỷ photon biến dạng Ta định nghĩa các trạng thái:
|α, ± >q = c± (|α >q± |-α >q) (10)
Từ điều kiện chuẩn hoá của |α, + >q ta xác định hệ số chuẩn hoá
c+=
)]
( ) ( [ 2
) (
2 2
2
α α
α
ư
q
q
e e
e
. (11) Trong hai trạng thái trên, trạng thái |α,+>q là trạng thái nén
Để chứng minh, ta biểu diễn toán tử a dưới dạng phức a = a1 + i a2 Lúc đó:
a1 = (a+a+)/2 ; a2 = (a - a+)/2i (12)
[a1, a2]=
2
i
(13) Theo hệ thức bất định của Heisenberg:
[(∆a1)2 , (∆a2)2] ≥
16
1
Mặt khác ta có:
(∆a1)2= q< α,+|
4
) (a + a+ 2
| α, + >q –{ q< α,+|
2
) (a + a+
| α, + >}2
Kết hợp với các kết quả rút ra từ (10) và (11):
a |α, + >q=α
ư
+
c
c
| α, + >q; a2|α, + >q=α2| α, + >q
ta có kết quả:
(∆a1)2=
4
1
+
4
2
α
[2 +(1+q-2)
) ( ) (
) ( ) (
2 2
2 2
α α
α α
ư +
ư
ư
q q
q q
e e
e e
] (14) Tương tự:
Trang 4Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 1A-2007
(∆a2)2=
4
1
-4
2
α
[2 -(1+q-2)
) ( ) (
) ( ) (
2 2
2 2
α α
α α
ư +
ư
ư
q q
q q
e e
e e
] (15) Như vậy, trạng thái | α, + >q là trạng thái nén vì (∆a2)2
<
4
1
Trường hợp không biến dạng (q=1), ta có:
(∆a2)2=
4
1
2 2
α
e
+ (16) (∆a2)2 luôn nhỏ hơn 1/4 có giá trị cực tiểu khi α2=0.64, lúc đó (∆a2)2 = 0.111 < 1/4 (H.1)
H.1 H.2
Để xét trường hợp trạng thái nén biến dạng, ta cần khảo sát sự phụ thuộc đại lượng (∆a2)2 vào q Để có ý nghĩa vật lý, thông số biến dạng q cần phải lớn hơn 1 hay:
q = ef →1+
(f→ 0+) Chúng tôi lần lượt cho f bằng 0.0001, 0.01 và 0.1 và sử dụng phần mềm Mathematica 4.0 vẽ sự phụ thuộc (∆a2)2 vào α2 Kết quả được trình bày ở H.2
3 Từ đồ thị ta nhận thấy, với các giá trị α2
< 0.64; (∆a2)2 gần như không phụ thuộc vào giá trị thông số biến dạng Trong trường hợp f ≤ 0.1, với các giá trị của 1.35< α2
<1.9; (∆a2)2 không phụ thuộc vào giá trị thông số biến dạng và (∆a2)2<1/4 các trạng thái nén xuất hiện rõ ràng Với q=1 (trường hợp không biến dạng), (∆a2)2 có giá trị gần như không thay đổi và gần bằng 0.25 với các giá trị α2> 3.5 Tuy nhiên nếu q >1, khi α2 tăng (∆a2)2 lại giảm dần, trạng thái nén biến dạng rõ nét hơn đối với trường hợp không biến dạng
Trang 5
§¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 1A-2007
Tµi liÖu tham kh¶o
[1] D F Walls, G J Milburn, Quantum optics, Australia, 1995
[2] Steven Wesingberg, The General theory of Relativity, Cambridge, 1971
[3] L C Biederhanrn, The quantum group SUq(2) and a q-analogue of the boson operators, Phys A : Math Gen 22, (1989), 873-878
[4] T Brezinski, I L Egusquiza, A J Macfarlane, Generalized harmonic oscillator systems and their Fock space description, Phys Lett B 311, (1993), 202-206 [5] S Chaturvedi, R Simon, Generalized commutation relation for a single mode oscillator, Phys Review A 43, (1990), 4545-4559
[6] Yaping Yang, Zorong Yu, On q- coherent state of q-deformed oscillator, Modern Physics lethers, Vol 9, No 36, (1994), 3367-3372
[7] P Shanta, S Chaturvedi, V Srinivasan and R Jagannathan, Unifield approach
to the analogue of single-photon and multiphoton coherent state , J.Phys A Math Gen 27 (1994), 6433-6442
[8] P P Kulish and E V Dmanskinsky, The quantum group, Phys A: Math Gen
23, (1990), 415
[9] Roger J Mc Dermot and A Solomon, Double squezing in generalized q-coherent state, J Phys A Math Gen 27 (1994), L15-L19
Summary
On q-squeezing state of q-deformed oscillators
Using a generalization of the q-commutation relation, in this paper we develop
a formalism in which we define q-bosonic operators The coherent state of these operators show interesting properties including simultaneous squeezing in both field components The qualitative character expose by this q-squeezed state may provide some evidence about q-deformed effect in current experiment
(a) Khoa VËt Lý, tr−êng §¹i Häc Vinh
(b) Cao Häc 12 quang häc, tr−êng §¹i häc Vinh