Trong bài báo này chúng tôi đưa ra một số kết quả về tổng trực tiếp các CS - môđun.. Chúng tôi chứng tỏ rằng R - môđun M = ⊕i∈ IMi trong đó I không nhất thiết hữu hạn, Mi là các môđun đ
Trang 1Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 1A-2007
Một số kết quả về tổng trực tiếp các CS - môđun
Ngô Sỹ Tùng (a), Nguyễn Tiến Dũng (b)
Tóm tắt Trong bài báo này chúng tôi đưa ra một số kết quả về tổng trực tiếp các
CS - môđun Các kết quả chính của bài báo là: Nếu M = ⊕ i∈ I Mi, trong đó Mi là các môđun
đều và có độ dài lớn nhất bằng 2 với mọi i ∈ I, thì M là CS - môđun nếu và chỉ nếu mọi
môđun M i ⊕ M j , trong đó M i và M j cùng có độ dài 2 với mọi i ≠ j ∈ I là CS - môđun Ngoài
ra nếu M = M1⊕ M2 ⊕…⊕ Mn, trong đó Mi là các môđun đều với 1 ≤ i ≤ n là sự phân tích
bù hạng tử trực tiếp đều và giả thiết rằng mọi đơn cấu M i → M j là đẳng cấu với mọi 1 ≤ i
≠ j ≤ n, thì môđun M là CS - môđun nếu và chỉ nếu mọi hạng tử trực tiếp M i ⊕ M j là CS - môđun với mọi 1 ≤ i ≠ j ≤ n
I Mở đầu
Vấn đề đặc trưng CS - môđun (tương ứng (1 - C1) – môđun) qua điều kiện tổng trực tiếp các môđun đều đã được nhiều tác giả nghiên cứu (chẳng hạn xem [2], [3], [5], [6]) Trong [6, Theorem 11], Kamal và Muller đã chỉ ra rằng đối với một miền giao hoán xoắn tự do rút gọn R; R - môđun M là CS khi và chỉ khi M = M1⊕ M2 ⊕…⊕
Mn là một tổng trực tiếp hữu hạn của những môđun đều Ui (1≤ i ≤ n) sao cho Ui ⊕ Uj
là một CS - môđun với mọi 1≤ i ≤j ≤ n Tiếp đó trong [3, Theorem 3], hai tác giả Haramanci và Smith sau khi chỉ ra rằng, một R - môđun M là CS - môđun khi và chỉ khi M là một tổng trực tiếp hữu hạn của các môđun con đều và mọi hạng trực tiếp của M có chiều đều 2 là một CS - môđun, đã đặt câu hỏi “Cho M = M1⊕ M2 ⊕…⊕ Mn
là một tổng trực tiếp hữu hạn của những môđun đều Ui (1≤ i ≤ n) sao cho Ui ⊕ Uj là một CS - môđun với mọi 1≤ i ≤j ≤ n khi đó M có là CS - môđun không?” Trong bài báo này chúng tôi trả lời một phần câu hỏi đặt ra ở trên Chúng tôi chứng tỏ rằng R - môđun M = ⊕i∈ IMi trong đó I không nhất thiết hữu hạn, Mi là các môđun đều có độ dài lớn nhất bằng hai với mọi i ∈ I là CS - môđun nếu và chỉ nếu mọi môđun Mi ⊕ Mj trong đó Mi và Mj cùng có độ dài hai là CS - môđun Ngoài ra một R - môđun M = M1
⊕ M2 ⊕ …⊕ Mn trong đó Mi là môđun đều với mọi 1≤ i ≤ n và sự phân tích là bù hạng
tử trực tiếp đều là CS - môđun nếu và chỉ nếu mọi môđun Mi ⊕ Mj là CS - môđun với mọi 1≤ i≠j ≤ n
II Định nghĩa và ký hiệu
Các vành R xét trong bài này được giả thiết là vành kết hợp có đơn vị, mọi R - môđun là R - môđun phải unita Các ký hiệu K ⊂ M, K ⊂⊕ M, K M chỉ ra rằng K là môđun con, hạng tử trực tiếp và môđun con cốt yếu của môđun M tương ứng, độ dài của một môđun M được ký hiệu là l(M)
Ta xét điều kiện sau đối với một môđun M:
(C1): Mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M Nói
Nhận bài ngày 24/10/2005 Sửa chữa xong 12/9/2006
Trang 2Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 1A-2007 cách khác mọi môđun con đóng của M là một hạng tử trực tiếp của M
Một môđun M được gọi là CS - môđun nếu M thoả mãn điều kiện (C1) Môđun M
được gọi là có tính chất (U) hay (1 - C1) - môđun nếu mọi môđun con đóng đều của M
là hạng tử trực tiếp của M
Một sự phân tích M = ⊕i ∈ IMi các môđun con của môđun M được gọi là bù hạng tử trực tiếp nếu với mọi hạng tử trực tiếp U của M, tồn tại tập con J ⊆ I sao cho
M = U ⊕ (⊕j ∈ JMj)
Một sự phân tích M = ⊕i ∈ IMi các môđun con của môđun M được gọi là bù hạng tử trực tiếp đều nếu với mọi hạng tử trực tiếp đều U của M, tồn tại tập con J ⊆ I sao cho
M = U ⊕ (⊕j ∈ JMj)
Một sự phân tích bù hạng tử trực tiếp là bù hạng tử trực tiếp đều
Cho M là một môđun khác không Một tập hợp hữu hạn n+1 môđun con của M
M = M0 >M1 > > Mn = 0
được gọi là một dãy hợp thành độ dài n của M với điều kiện rằng môđun Mi-1/Mi là
đơn (i = 1, 2, , n)
Độ dài của môđun M ( l(M)) được định nghĩa:
l(M) =
III Tổng trực tiếp các CS - môđun
Bổ đề 3.1 Hạng tử trực tiếp bất kỳ của một CS ( tương ứng (1 - C1)) - môđun là một CS ( tương ứng (1 - C1)) - môđun
Chứng minh Gọi K là một hạng tử trực tiếp của một môđun M và N là một môđun con đóng (tương ứng đóng đều) trong một môđun K Theo [2, 1.10(4)] N là môđun con đóng (tương ứng đóng đều) trong M (vì K⊂⊕ M nên K đóng trong M)
Điều này dẫn đến N ⊂⊕ M (do M là CS (tương ứng (1 - C1)), nghĩa là M = N ⊕ X với X
là môđun con nào đó của M Do N ⊂ K và K⊂⊕ M nên theo luật modula ta có K = N ⊕ (K ∩ X) hay K là CS - môđun (tương ứng (1-C1))
Bổ đề 3.2 Cho R là một vành và M là một R - môđun sao cho M=M1⊕M2⊕…⊕Mn
là một tổng trực tiếp hữu hạn những môđun Mi (1≤ i ≤ n) nội xạ lẫn nhau Khi đó M
là một CS - môđun nếu và chỉ nếu Mi là một CS - môđun với mỗi 1≤ i ≤ n
Chứng minh Xem [3, Theorem 8]
Định lý 3.3 Cho R là vành và một R - môđun phải M = M1 ⊕ M2 ⊕ ⊕ Mn là một tổng trực tiếp hữu hạn những môđun nội xạ lẫn nhau có độ dài 2 Khi đó M là
CS - môđun
Chứng minh Trước hết ta sẽ chứng minh rằng môđun Mi là một CS - môđun với mọi 1≤ i ≤ n
0 nếu M =0
n nếu M có một dãy hợp thành độ dài n
Trang 3Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 1A-2007
Thật vậy, nếu Mi (1≤ i ≤ n) là môđun không phân tích được, thì lấy bất kỳ các
môđun con A ⊂ Mi và B ⊂ Mi sao cho A ∩ B = 0 Khi đó ta có dãy hợp thành:
0 ⊂ A ⊂ A ⊕ B ⊂ Mi Theo giả thiết môđun Mi có l(Mi) = 2 nên ta có A = A ⊕ B hay B = 0 Như vậy
A Mi và điều này dẫn đến Mi là môđun đều Vậy M là môđun CS - môđun
Nếu Mi là môđun phân tích được thì theo [1, The Krull - Schmit Theorem 12.9] ta
có sự phân tích môđun Mi = Mi1 ⊕ Mi2 , trong đó Mi1và Mi2 là những môđun đơn
(vì l(M) =2 dẫn đến l(Mi1 ) = l(Mi2 ) = 1) Như vậy Mi là môđun nửa đơn và dẫn đến
là CS - môđun
Theo Bổ đề 3.2 ta có M là CS - môđun
Định lý 3.4 Cho R là vành và M là một R - môđun phải sao cho M = i
I i
M
∈
⊕ là một tổng trực tiếp các môđun đều có độ dài lớn nhất bằng hai Khi đó các phát biểu
sau là tương đương:
(i) M là CS - môđun;
(ii) Mi ⊕ Mj mà l(Mi) = l(Mj) = 2 là CS - môđun, i ≠ j ∈ I
Chứng minh (i) ⇒ (ii): Là hiển nhiên theo Bổ đề 3.1
(ii) ⇒ (i): Giả sử A = Mi ⊕ Mj mà l(Mi) = l(Mj) = 2 là CS - môđun với i ≠ j ∈ I Khi
đó A là (1- C1) - môđun Do Mi, Mj là các môđun đều, có độ dài hữu hạn nên theo
[1, Lemma 12.8], ta có End(Mi) và End(Mj) là những vành địa phương Từ đó áp
dụng [1, Corollary 12.7], sự phân tích A = Mi ⊕ Mj là bù hạng tử trực tiếp và dẫn đến
là bù hạng tử trực tiếp đều Từ giả thiết l(Mi) = l(Mj) suy ra Mi không thể nhúng thực
sự trong Mj (vì nếu như vậy thì l(Mi) ≠ l(Mj)) nên áp dụng [7, Theorem 2.(ii ⇒ iii)] ta
có, Mi là Mj nội xạ Như vậy môđun Mi (i ∈ I) với l(Mi)= 2 là nội xạ lẫn nhau Theo
[2, Lemma 8.14] ta có M là CS - môđun
Mệnh đề 3.5 Cho R là vành và một R - môđun phải M = M1 ⊕ M2 là một tổng
trực tiếp của một môđun đơn và một môđun có độ dài 2 khi đó M là CS - môđun
Chứng minh Thật vậy, giả sử môđun M = M1 ⊕ M2 với M1 là môđun đơn và M2 có
độ dài 2 (khi đó M có độ dài 3) Gọi K là một môđun con đóng trong M, thì từ M1 là
môđun đơn nên hoặc K ∩ M1 = 0 hoặc K ∩ M1 = M1
Trường hợp 1 K ∩ M1 = M1, thì rõ ràng K ⊂⊕ M
Trường hợp 2 K ∩ M1 = 0 Gọi π : M1 ⊕ M2 → M2 là phép chiếu và gọi α = π|K Khi
đó với phần tử bất kỳ x ∈ K: x = x1 + x2 với x1∈ M1, x2 ∈ M2 Cho α(x) = 0 thì dẫn đến
α(x1 + x2) = α(x1) + α(x2) = x2 = 0, và bởi vì K ∩ M1 = 0 nên suy ra x1 = 0 hay x = 0
Vậy α là một đơn cấu và ta có K ≅ α(K) ⊂ M2 Do K là môđun con thực sự của M (có
l(M) = 3) nên l(K) ≤ 2
Trang 4Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 1A-2007
Nếu l(K) = l(M2) = 2 thì đơn cấu α là một đẳng cấu và như vậy ta có M = M1 ⊕ K
Nếu l(K) = 1 (K là môđun đơn) thì K ≅ α(K) là một môđun con thực sự của M2 Vì
l(M) = 3 nên nếu như K ∩ M2 = 0 thì dễ thấy M = K ⊕ M2 (vì nếu không thì từ K ⊕
M2 ⊂ M hay 3 = l(K ⊕ M2) < l(M) = 3, mâu thuẫn), hay K ⊂⊕ M Nếu K∩M2 ≠ 0 thì dễ
thấy K = α(K) ⊂ M2 Do K đóng trong M nên dẫn đến K đóng trong M2 (M2 là CS -
môđun theo chứng minh của Định lý 3.3), suy ra K ⊂⊕ M2 ⊂⊕ M
Ví dụ dưới đây chỉ ra rằng Mệnh đề 3.5 không còn đúng trong trường hợp M là
tổng trực tiếp của một môđun đơn và một môđun có độ dài lớn hơn 2
Ví dụ 3.6 Xét - môđun M = (/p3) ⊕ ((p2/p3)/( p/p3)), trong đó (/p3) là
một môđun đều (CS - môđun) có độ dài bằng 3 và (p2/p3)/(p/p3) là một môđun
đơn
Nhận xét rằng End(/p3) và End((p2/p3)/(p/p3)) là những vành tự đồng cấu
địa phương theo [1, Lemma 12.8] Giả sử M là CS - môđun Đặt
π : p2/p3 → (p2/p3)/(p/p3)
là phép chiếu tự nhiên, thì rõ ràng π không đơn cấu Từ [2, Lemma 7.3.(i)], π có thể
được mở rộng tới một đồng cấu
f : /p3 → (p2/p3)/(p/p3)
Do (p2/p3)/(p/p3) là môđun đơn nên Imf =(p2/p3)/(p/p3) hoặc Imf = 0, và điều
đó dẫn đến
(/p3)/ker(f) ≅ (p2/p3)/(p/p3) hoặc Ker(f) = /p3 Khi đó Ker(f) = (p2/p3) hoặc Ker(f) = /p3, và điều này mâu thuẫn với π và f là các
đồng cấu khác đồng cấu không
Định lý 3.7 Giả sử R là một vành và M là một R - môđun phải sao cho
M = M1⊕ M2 ⊕ ⊕ Mn là tổng trực tiếp của những môđun đều Mi và sự phân tích là
bù hạng tử trực tiếp đều Giả thiết rằng với mọi 1 ≤ i ≠ j ≤ n, mọi đơn cấu Mi → Mj là
một đẳng cấu Khi đó các phát biểu sau là tương đương :
(i) M là CS - môđun;
(ii)Mi⊕ Mj là CS - môđun với mọi 1 ≤ i ≠ j ≤ n
Chứng minh (i) ⇒ (ii) là hiển nhiên theo Bổ đề 3.1
(ii) ⇒ (i) Giả sử mọi môđun A = Mi ⊕ Mj là CS - môđun với 1 ≤ i ≠ j ≤ n Gọi
K ⊂ Mi (K là môđun đều) và f : K → Mj là một đồng cấu Đặt
U = {x - f(x) : x ∈ K} ⊆ Mi ⊕ Mj , thì U ≅ K (do phép chiếu tự nhiên π : Mi ⊕ Mj → Mi có π(U) = K) là một môđun con
đều của A Lấy y ∈ U ∩ M thì tồn tại x ∈ K sao cho y = x - f(x)
Trang 5Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 1A-2007
Suy ra .x = y + f(x) ∈ Mj ∩ K = 0 Do đó y = 0 và dẫn đến U ∩ Mj = 0 Bởi vì A là CS -
môđun (suy ra A là (1 -C1) - môđun) nên tồn tại môđun con U’ ⊂ ⊕ A sao cho U U’
Do sự phân tích là bù hạng tử trực tiếp đều nên chúng ta có:
A = U’ ⊕ Mi hoặc A = U’ ⊕ Mj Trường hợp 1 A = U’ ⊕ Mi Gọi πi là phép chiếu từ U’ ⊕ Mi đến Mi và gọi
α = πi|M j Khi đó vì U U’ nên U’ đóng đều trong A và khi đó U’ ∩ Mj = 0 Như vậy
α là một đơn cấu, và từ giả thiết suy ra α là một đẳng cấu Điều đó có nghĩa
A = U’ ⊕ Mj Khi đó với mọi x ∈ K, x = f(x) + (x - f(x)), trong đó f(x) ∈ Mj và (x - f(x)) ∈
U’ Từ đó ta có
α(x) = πi|
i
M (x) = πi|
i
M ( f(x) + (x - f(x)) = πi|
i
M (f(x)) + πi|
i
M (x - f(x)) = f(x), nghĩa là
α là một mở rộng của f, hay Mj là Mi nội xạ
Trường hợp 2 A = U’ ⊕ Mj Gọi πj: U’ ⊕ Mj → Mj là phép chiếu và gọi β = πj|
i
M Khi đó với mọi x ∈ Mi, x = (x - f(x) + f(x) trong đó f(x) ∈ Mj và x - f(x) ∈ U’ Từ đó ta
có:
β(x) = β[(x - f(x)) + f(x)] = f(x) Suy ra β là một mở rộng của f, hay Mj là Mi nội xạ
Như vậy, môđun Mi (1 ≤ i ≤ n) là nội xạ lẫn nhau và do đó áp dụng Bổ đề 3.2 thì
Hệ quả 3.8 Giả sử R là một vành và M là một R - môđun sao cho
M = M1⊕ M2 ⊕ ⊕ Mn là tổng trực tiếp hữu hạn của những môđun đều Mi có cùng
độ dài và sự phân tích là bù hạng tử trực tiếp đều Khi đó M là CS - môđun nếu và
chỉ nếu mọi hạng tử trực tiếp Mi⊕ Mj là CS - môđun với mọi 1 ≤ i ≠ j ≤ n
Chứng minh Do các môđun Mi và Mj với 1 ≤ i ≠ j ≤ n có cùng độ dài nên mọi đơn
cấu Mi → Mj luôn là một đẳng cấu (vì nếu không thì l(Mi) ≠ l(Mj)) Theo Định lý 3.6
ta có điều cần chứng minh
tài liệu tham khảo
[1] F W Anderson and K R Fuller, Rings and Categories of Modules, Springer -
Verlag, New York - Heidelberg - Berlin, 1974
[2] Ng V Dung - D V Huynh - P F Smith and R Wisbauer, Extending Modules,
Pitman, London, 1994
[3] A Harmanci and P F Smith, Finite direct sum of CS - modules, Houston J
Math 19 (1993), 523 - 532
[4] D V Huynh - S K Jain and S.R López – Permouth, Rings characterized by
direct sums of CS modules, Comm Algebra, 28 (9), (2000), 4219 - 4222
Trang 6Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 1A-2007
[5] M A Kamal and B J Muller, The structure of extending modules over
noetherian rings, Osaka J Math 25 (1988), 539 - 551
[6] M A Kamal and B J Muller, Extending modules over commutative domains,
Osaka J Math 25 (1988), 531 - 538
[7] Ngo Sy Tung, Some results on quasi - continous modules, Acta Mathematica
Vietnamica, Vol 19 N0.2 (1994), 13 - 17
[8] R Wisbauer, Foundations of Modules and Ring theory, Gordon and Breach,
Reading, 1991
Summary
Some results on direct sums of CS – modules
In this paper, we give some results on sums of CS - modules It shows that if
M = ⊕i∈IMi, where Mi is a uniform module of length at most 2 (for all i∈I), then M
is a CS - module if and only if every direct summand Mi ⊕ Mj, where the length of
both Mi and Mj are 2, is a CS - module And if M = M1 ⊕ M2 ⊕…⊕ Mn is a
decomposition such that: (i) Mi is a uniform module (1 ≤ i ≤ n); (ii) this
decomposition of M complements uniform direct summands; and (iii) every
monomorphsim Mi → Mj is a isomorphsim Then M is a CS - module if and only if
every direct summand Mi ⊕ Mj is a CS - module for all 1 ≤ i ≠ j ≤ n
(a) khoa toán, trường đại học vinh
(b) khoa giáo dục tiểu học, trường đại học vinh