Báo cáo nghiên cứu khoa học: " Liên hệ giữa không gian metric mờ với không gian Menger và không gian metric xác suất" pptx

liên hệ giữa không gian metric mờ với không gian Menger và không gian metric xác suất Nguyễn Chí Thắnga Tóm tắt.. Trong bài báo này, chúng tôi trình bày một số tính chất của số mờ, tậpα-

liên hệ giữa không gian metric mờ với không gian Menger và không gian metric xác suất

Nguyễn Chí Thắng(a) Tóm tắt Trong bài báo này, chúng tôi trình bày một số tính chất của số mờ, tậpα-mức, mối liên hệ giữa chúng và đưa ra các điều kiện để không gian mêtric mờ là không gian mêtric xác suất, hoặc là không gian Menger và ngược lại.

Khái niệm số mờ, tậpα-mức và các tính chất của nó đã được các tác giả O Kaleva và

S Seikkala giới thiệu trong [3] Dựa vào các khái niệm này, các tác giả đã đưa ra khái niệm và các tính chất của không gian mêtric mờ Trong [2] các tác giả đã đưa ra khái niệm không gian mêtric xác suất và không gian Menger Một vấn đề được đặt ra là các không gian mêtric mờ có mối liên hệ gì với không gian mêtric xác suất và không gian Menger? Giải quyết câu hỏi này trong phần đầu của bài báo chúng tôi chứng minh một số liên hệ giữa số mờ và tậpα-mức Phần tiếp theo của bài báo chúng tôi nêu ra các điều kiện để một không gian mêtric mờ trở thành một trong các không gian nêu trên và ngược lại

1 Mở đầu

Định nghĩa 1.1 ([1]) Cho tập hợpX Một tập mờAtrênXlà một ánh xạàA: X → [0, 1]từX vào đoạn [0, 1]và ký hiệu làA = {(a, àA(a))|a ∈ X} HàmàAđược gọi là hàm liên thuộc, giá trịàA(a) ∈ [0, 1]chỉ mức độ liên thuộc của phần tửavào tập mờ

A Miền giá trị của hàmàAchứa trong đoạn[0, 1], trong đó giá trị0được gọi là mức

độ không liên thuộc hoàn toàn, còn giá trị1chỉ mức độ liên thuộc hoàn toàn

Ta cũng ký hiệu tập mờA = {(a, àA(a))|a ∈ X}đơn giản lààA

Định nghĩa 1.2 ([1]) Tập mờAđược gọi là rỗng nếu hàm liên thuộcàA(a) = 0, với mọia ∈ X.Tập mờA được gọi là toàn phần nếu hàm liên thuộcàA(a) = 1,với mọi

a ∈ X

Định nghĩa 1.3 ([1]) Giả sửàvà ν là các tập mờ trênX Ta định nghĩa à 6 ν,

à > ν vàà = ν như sau

à 6 ν khi và chỉ khi à(x) 6 ν(x), với mọix ∈ X, (1.0.1)

à > ν khi và chỉ khi à(x) > ν(x), với mọix ∈ X, (1.0.2)

à = ν khi và chỉ khi à(x) = ν(x), với mọix ∈ X

(1.0.3)

1 - Nhận bài ngày 29/02/2008 Sửa chữa xong ngày 09/04/2008.

Định nghĩa 1.4 ([3]) Một số mờ là tập mờ trên trục số thực Nói cách khác, số mờ là một ánh xạx : R−→[0, 1]đặt tương ứng mỗi số thựct∈Rvới phần tửx(t)thuộc đoạn [0,1]

Ta nói số mờxlà nửa liên tục trên tạit0nếu ánh xạx : R → [0, 1],nửa liên tục trên tạit0

Số mờxđược gọi là lồi nếu với bất kỳs 6 t 6 r, thì ta có

x(t) > min{x(s), x(r)}

(1.0.4)

Nếu tồn tạit0 ∈ Rsao cho số mờxthỏa mãn điều kiệnx(t0) = 1, thì xđược gọi là

số mờ chuẩn tắc

Số mờxđược gọi là không âm nếux(t) = 0, với mọit < 0

Nhận xét 1.5 1 Ký hiệu E là tập hợp các số mờ lồi, chuẩn tắc và nửa liên tục trên,Glà tập hợp các số mờ lồi, chuẩn tắc, nửa liên tục trên và không âm Khi đó ta

cóG ⊆ E

2 Với bất kỳx ∈ R, số mờxđược xác định như saux(t) =

(

1 nếut = x,

0 nếut 6= x Khi đó mỗi số thực có thể xem như một số mờ đặc biệt

Định nghĩa 1.6 ([3]) Các phép toán số học+, −, ã, /trên E ì E được định nghĩa như sau

(x + y)(t) = sup

s∈Rmin{x(s), y(t − s)}, ∀x, y ∈ E, ∀t ∈ R, (1.0.5)

(x − y)(t) = sup

s∈Rmin{x(s), y(s − t)}, ∀x, y ∈ E, ∀t ∈ R, (1.0.6)

(x ã y)(t) = sup

s∈R

minnx(s), yt

s

o , ∀x, y ∈ E, ∀t ∈ R, (1.0.7)

(x/y)(t) = sup

s∈Rmin{x(ts), y(s)}, ∀x, y ∈ E, ∀t ∈ R

(1.0.8)

Định nghĩa 1.7 Vì mỗi x ∈ Rlà một số mờ xác định như Nhận xét 1.5, ta định nghĩa các phần tử0,1trongEnhư sau

0(t) =

(

1 nếut = 0,

0 nếut 6= 0.,1(t) =

(

1 nếut = 1,

0 nếut 6= 1

Mệnh đề 1.8 Với mỗix ∈ Rta cóx(t) = 0(t − x), với mọit ∈ R

Chứng minh Thật vậy, giả sửx ∈ R Khi đó với bất kỳt ∈ R, ta có

0(t − x) = 1 nếut − x = 0,

0 nếut − x 6= 0 =

 1 nếux = t,

Định nghĩa 1.9 ([3]) Giả sửxlà số mờ Khi đó, ta nói giá trị tuyệt đối của x, ký hiệu là|x|được định nghĩa như sau

|x|(t) =

( max{x(t), x(−t))} nếut > 0,

(1.0.9)

Định nghĩa 1.10 ([3]) Giả sửy ∈ E, ta ký hiệu phần tử0 − y ∈ Elà−y

Định nghĩa 1.11 ([3]) Giả sửxlà số mờ Với mỗiα ∈ (0, 1], tậpα-mức (α-level set) củax, ký hiệu là[x]αđược xác định như sau

[x]α = {t ∈ R|x(t) > α}

(1.0.10)

Nhận xét 1.12 Tập α-mức của số mờ lồi, chuẩn tắc và nửa liên tục trên là đoạn

aα, bα, nghĩa là[x]α = aα, bα, trong đóaα có thể là -∞vàbα có thể là +∞ Khi đó

ta ký hiệu − ∞, bα

hoặc làaα, +∞

Định nghĩa 1.13 ([3]) Cho tập hợpXkhác∅ Các hàmλα : X ì X → RtừX ì X

vàoRđược gọi là không giảm theoα ∈ (0, 1], nếu với mọiα1, α2 ∈ (0, 1],α1 < α2 thì

ta cóλα1(x, y) 6 λα 2(x, y), với mọi(x, y) ∈ X ì X

Định nghĩa 1.14 ([3]) Cho tập hợpXkhác∅ Các hàmρα : X ì X → RtừX ì X

vàoRđược gọi là không tăng theoα ∈ (0, 1], nếu với mọiα1, α2 ∈ (0, 1],α1 < α2 thì ta

cóρα1(x, y) > ρα 2(x, y), với mọi(x, y) ∈ X ì X

Định nghĩa 1.15 ([3]) Cho tập hợpX khác∅, hàmd : X ì X → GtừX ì X vào

Gvà các hàm L, R : [0, 1] ì [0, 1] → [0, 1]là đối xứng, không giảm theo cả hai biếnx

vày, đồng thời thoả mãnL(0, 0) = 0,R(1, 1) = 1 Giả sử rằng

d(x, y)α =hλα(x, y), ρα(x, y)i, (1.0.11)

vớix, y ∈ X;λvàρnói trong các định nghĩa 1.14 và 1.15 Khi đó ta nói bộ(X, d, L, R)

là không gian mêtric mờ (fuzzy metric space) và d là mêtric mờ (fuzzy metric ), nếu thỏa mãn các điều kiện sau đây

(i.) d(x, y) = 0khi và chỉ khix = y,

(ii.) d(x, y) = d(y, x), với mọix, y ∈ X,

(iii.) Với mọix, y, z ∈ X, thì

(1.) d(x, y)(s + t) > L d(x, z)(s), d(z, y)(t)

vớis 6 λ1(x, z),t 6 λ1(z, y)vàs + t 6 λ1(x, y),

(2.) d(x, y)(s + t) 6 Rd(x, z)(s), d(z, y)(t)

vớis > λ1(x, z),t > λ1(z, y)vàs + t > λ1(x, y)

Nhận xét 1.16 a Trong Định nghĩa 1.15 các hàmλα, ραcó các tính chất làλαkhông giảm theoα,ρα không tăng theoα

b Không gian mêtric thông thường là một trường hợp đặc biệt của không gian mêtric mờ Thật vậy, vì các số thực được xem là các số mờ và mêtric dtrong không gian mêtric(X, d)thoả mãn các điều kiện của không gian mêtric mờ vớiLvà Rcho bởiL(a, b) = 0với mọia, b ∈ [0, 1]vàR(a, b) =

(

0 nếu a = b = 0,

1 trong các trường hợp còn lại

Định nghĩa 1.17 ([2]) Một hàm∆:[0, 1] ì [0, 1] → [0, 1]được gọi là t-chuẩn, nếu∆

thỏa mãn các điều kiện sau đây

(T-1)∆(a, 1) = a,với mọia ∈ [0, 1];

(T-2)∆(a, b) = ∆(b, a),với mọia, b ∈ [0, 1];

(T-3)∆(c, d) > ∆(a, b),khic > avàd > b, với mọia, b, c, d ∈ [0, 1];

(T-4)∆(a, ∆(b, c)) = ∆(∆(a, b), c), với mọia, b, c ∈ [0, 1]

Định nghĩa 1.18 ([2]) HàmF : R −→ R+được gọi là hàm phân phối nếuF là hàm không giảm, nửa liên tục trên,inf

t∈RF (t) = 0vàsup

t∈R

F (t) = 1

Ký hiệuDlà tập hợp tất cả các hàm phân phối

Định nghĩa 1.19 ([2]) Giả sử X là một tập hợp khác ∅ và F : X ì X → D là

ánh xạ từX ì X vào tập tất cả các hàm phân phốiD Với mỗix, y ∈ X ta ký hiệu

Fxy = F (x, y) Khi đó, bộ(X, F )được gọi là không gian mêtric xác suất (hay còn được gọi là PM-không gian) nếu hàmFxy thỏa mãn các điều kiện sau đây

(1)'Fxy(t) = 1, với mọit > 0khi và chỉ khix = y,

(2)'Fxy(0) = 0, với mọix, y ∈ X,

(3)'Fxy(t) = Fyx(t), với mọit ∈ Rvà với mọix, y ∈ X,

(4)' NếuFxz(t) = 1vàFzy(s) = 1, thìFxy(s + t) = 1, với mọix, y, z ∈ X

Định nghĩa 1.20 ([2]) Giả sửX là một tập hợp khác∅ Khi đó,(X, F, ∆)được gọi

là không gian Menger, trong đó(X, F ) là không gian mêtric xác suất và∆ : [0, 1] ì [0, 1] −→ [0, 1]là mộtt-chuẩn, nếu với mỗi (x, y) ∈ X ì X, hàm phân phối Fxy nửa liên tục trên, thỏa mãn điều kiệnFxy(0) = 0và đồng thời thỏa mãn các điều kiện sau

đây

(i)0 Với mọit > 0,Fxy(t) = 1khi và chỉ khix = y,

(ii)0 Fxy = Fyx,với mọix, y ∈ X,

(iii)0 Fxy(s + r) > ∆ Fxz(s), Fzy(r)
,với mọix, y, z ∈ X,với mọis, r > 0

Nhận xét 1.21 Khi nghiên cứu không gian mêtric mờ hoặc không gian Menger, chúng ta thường chọn các hàmL,R,∆là một trong các hàm sau đây

T1(a, b) = max(a + b − 1, 0) (max(tổng− 1, 0))

Các hàmTi, i = 1, 2, , 6tăng dần theo chỉ số i, nghĩa là, nếui > jthìTi(a, b) >

Tj(a, b), với mọia, b ∈ [0, 1]

2 số mờ và tậpα-mức Trong mục này chúng tôi trình bày một số tính chất về số mờ, tậpα-mức và mối liên

hệ giữa chúng

Định lý 2.1 Rlà tập các số mờ lồi, chuẩn tắc và nửa liên tục trên

Chứng minh Thật vậy, với mỗix ∈ R,ta cóx(t) = 1khi và chỉ khit = xvàx(t) = 0

khit 6= x Do đóxlà số mờ chuẩn tắc và nửa liên tục trên Bây giờ ta chứng minhxlà

số mờ lồi Thật vậy, với mỗi t sao chos 6 t 6 r,trong đós, r ∈ R.Khi đó xẩy ra một trong các trường hợp sau đây

1 Nếux = t, thìx(t) = 1 Lúc đó ta có ngay

x(t) > min{x(s), x(r)}

2 Nếux 6= t,thìx(t) = 0 Khi đó ta có các trường hợp sau: hoặc làx = svàx 6= r, hoặc làx = rvàx 6= s, hoặc làx 6= svàx 6= r Trong các trường hợp đó ta đều có

x(t) > min{x(s), x(r)} = 0

Vậyxlà số mờ lồi, hayRlà tập các số mờ lồi, chuẩn tắc và nửa liên tục trên 

Định lý 2.2 ([3]) Giả sửx, y ∈ E Khi đó, ta có kết quả sau đây (−y)(t) = y(−t), với mọit ∈ Rvàx − y = x + (−y)

Định lý 2.3 ([3]) Số mờxlà lồi nếu và chỉ nếu, với mỗiα ∈ (0, 1]tậpα- mức[x]α

là một tập lồi trongR

Bổ đề 2.4 ([3]) Giả sửx, y ∈ E, với[x]α= aα

1, bα

1 ,[y]α= aα

2, bα

2 Khi đó, ta có các kết quả sau đây

[x + y]α =haα1 + aα2, bα1 + bα2i, (2.0.12)

[x.y]α =haα1.aα2, bα1.bα2i,vớix, y ∈ G, (2.0.13)

[x − y]α =haα1 − bα2, bα1 − aα2i, (2.0.14)

[1/x]α =h 1

bα 1

, 1

aα 1

i

, nếuaα1 > 0, (2.0.15)

h

|x|i

α =hmax{0, aα1, −bα1}, max{|aα

1|, |bα

1|}i (2.0.16)

Định lý 2.5 Giả sử(X, d, L, R) là không gian mêtric mờ Khi đó các khẳng định sau đây là đúng

(1) Với mỗi t ∈ R+ và với mỗi α ∈ (0, 1], ta có d(x, y)(t) > α khi và chỉ khi

λα(x, y) 6 t 6 ρα(x, y)

(2) Với mỗi t ∈ R+ và với mỗi α ∈ (0, 1], ta có d(x, y)(t) < α khi và chỉ khi

λα(x, y) > t, hoặc làρα(x, y) < t

Chứng minh (1)Giả sử t ∈ R+ vàα ∈ (0, 1] Khi đó ta có d(x, y)(t) > αkhi và chỉ khit ∈ [d(x, y)]α Khi đó dựa vào (1.0.11) ta có kết quả tương đương λα(x, y) 6 t 6

ρα(x, y)

(2)Bây giờ với bất kỳt ∈ R+vàα ∈ (0, 1], giả sử ngược lạid(x, y)(t) < α.Điều này tương đương vớit 6∈ [d(x, y)]α, tức làt 6∈ [λα(x, y), ρα(x, y)], khi và chỉ khiλα(x, y) > t,

Nhận xét 2.6 Dựa vào định nghĩa không gian mêtric mờ, ta cód(x, y) ∈ Gvới mọi

x, y ∈ X VìGlà tập các số mờ lồi, chuẩn tắc, nửa liên tục trên và không âm, nên ta

có0 6 d(x, y)(t) 6 1, với mọix, y ∈ Xvà với mọit > 0

3 liên hệ giữa không gian metric mờ với không gian metric xác suất và không gian menger

Trong mục này chúng tôi xét mối liên hệ giữa không gian mêtric mờ với không gian mêtric xác suất và không gian Menger

Định lý 3.1 Giả sử(X, d, L, R)là không gian mêtric mờ, trong đó các hàmL,Rlà một trong các hàmTi, i = 1, 2, , 6 Ta đặt hàmF : X ì X → Gxác định như sau

1 − d(x, y)(t) nếu t6=0

Khi đó,(X, F )là không gian mêtric xác suất

Chứng minh Ta sẽ chứng minhF thỏa mãn 4 điều kiện của không gian mêtric xác suất

(1)' Ta cóFxy(t) = 1,với mọit > 0khi và chỉ khid(x, y)(t) = 0, với mọit > 0 Nhờ

định nghĩa không gian mêtric mờ điều này có được khi và chỉ khid(x, y) = 0, tương

đương vớix = y.Như vậy ta cóFxy(t) = 1với mọit > 0khi và chỉ khi x = y

(2)' Hiển nhiên ta cóFxy(0) = 0,với mọix, y ∈ X

(3)' Với mọix, y ∈ X, với mọit ∈ R, ta có

Fxy(t) = 1 − d(x, y)(t) = 1 − d(y, x)(t) = Fyx(t)

Do đó ta có

Fxy(t) = Fyx(t), với mọit ∈ R và với mọix, y ∈ X

(4)' Giả sử vớit, s ∈ R, x, y, z ∈ X thoả mãnFxz(t) = 1vàFzy(s) = 1 Khi đó ta có

d(x, z)(t) = 0vàd(z, y)(s) = 0

Từ đó suy ra

d(x, y)(t + s) > Ld(x, z)(t), d(z, y)(t)= L(0, 0) = 0,

với mọit 6 λ1(x, z), s 6 λ1(z, y)vàt + s 6 λ1(x, y)

Đồng thời

d(x, y)(t + s) 6 Rd(x, z)(t), d(z, y)(t)= R(0, 0) = 0,

với mọit > λ1(x, z), s > λ1(z, y)vàt + s > λ1(x, y)

Dod(x, y) ∈ G, từ đó suy rad(x, y)(t + s) = 0,với mọit, s ∈ R, tức làFxy(t + s) = 1

Điều này chứng tỏ nếuFxy(t) = 1vàFyz(t) = 1, thì Fxz(t + s) = 1với mọi t, s ∈ R

Định lý 3.2 Giả sử(X, F ) là không gian mêtric xác suất và d : X ì X → Gtừ

X ì X vàoGđược xác định như sau

d(x, y)(t) = 1 − Fxy(t), với mọit ≥ 0vàd(x, y)(t) = 0với mọit < 0

Khi đó,(X, d, L, R)là không gian mêtric mờ, với các hàmL,Rxác định như sau

L(a, b) = 0với mọia, b ∈ [0, 1] vàR(a, b) =

(

0 nếu a = b = 0

1 các trường hợp còn lại

Chứng minh Ta chứng minh ánh xạdthỏa mãn các điều kiện trong định nghĩa không gian mêtric mờ Thật vậy,

(i) Giả sử ta cód(x, y) = 0 Khi đó d(x, y)(t) = 0,với mọi t > 0 Điều này suy ra

Fxy(t) = 1,với mọit > 0 Vì thế ta cóx = y.Ngược lại, nếux = y, thìFxy(t) = 1với mọit > 0 Khi đó d(x, y)(t) = 0với mọit > 0 VìFxy(0) = 0, nênd(x, y)(0) = 1 Từ cách đặtdta suy rad(x, y) = 0.Vậy,d(x, y) = 0khi và chỉ khix = y

(ii) Hiển nhiên ta cód(x, y) = d(y, x),với mọix, y ∈ X

(iii) Với mọix, y, z ∈ X, vìL(a, b) = 0với mọia, b ∈ [0, 1], nên ta có ngay

d(x, y)(t + s) > 0 = L(d(x, z)(t), d(z, y)(s)),với mọis, t.Suy ra

d(x, y)(t + s) > L(d(x, z)(t), d(z, y)(s)),

với mọi s 6 λ1(z, y), t 6 λ1(x, z)vàs + t 6 λ1(x, y)

Mặt khác với mọis > λ1(z, y), t > λ1(x, z)vàs + t > λ1(x, y)ta cód(x, z)(t) > 0,

d(z, y)(s) > 0vàd(x, y)(t + s) > 0, hơn nữa R(a, b) =

(

0 nếu a = b = 0

1 các trường hợp còn lại, nên ta có

d(x, y)(t + s) 6 R(d(x, z)(t), d(z, y)(s)),

với mọi s > λ1(z, y), t > λ1(x, z)vàs + t > λ1(x, y)

Định lý 3.3 Giả sử(X, F, ∆)là không gian Menger, vàd : X ì X → GtừX ì X

vàoGđược xác định như sau

d(x, y)(t) =  0 nếut < txy,

1 − Fxy(t) nếut > txy, trong đótxy = sup{t|Fxy(t) = 0} Khi đó,(X, d, L, R)là không gian mêtric mờ, với các hàmL, Rcho bởiL(a, b) = 0vàR(a, b) = 1 − ∆(1 − a, 1 − b),với mọia, b ∈ [0, 1]

Chứng minh Ta chứng minh (X, d, L, R) thỏa mãn các điều kiện trong định nghĩa không gian mêtric mờ

Trước hết dễ thấy rằng từ các điều kiện của các hàm phân phốiFxyta cód(x, y) ∈ G

với mọix, y ∈ Xvà từ cách đặtL, Rta suy ra các hàmL, R : [0, 1]ì[0, 1] → [0, 1]là đối xứng, không giảm theo cả hai biếnxvày, đồng thời thoả mãnL(0, 0) = 0,R(1, 1) = 1 Bây giờ ta kiểm tra các điều kiện (i), (ii) và (iii)

(i) Giả sửd(x, y) = 0, khi đó ta cód(x, y)(t) = 0,với mọit 6= 0và d(x, y)(0) = 1

Điều này kéo theoFxy(t) = 1,với mọi t > 0 Suy ra0 = txy vàx = y Ngược lại, nếu

x = y, thìFxy(t) = 1 với mọit > 0 Với t = 0ta cóFxy(0) = 0 Điều này kéo theo

txy = 0vàd(x, y)(t) = 0với mọit 6= 0vàd(x, y)(0) = 1 Do đód(x, y) = 0 khi và chỉ

khix = y.

(ii) Với mọix, y ∈ Xvàt ∈ R, vìF là ánh xạ phân phối nênFxy(t) = Fyx(t) Do đó

d(x, y) = d(y, x),với mọix, y ∈ X

(iii)(1) Hiển nhiên với mọix, y ∈ X ta có

d(x, y)(t + s) > 0 = Ld(x, z)(t), d(z, y)(t), với mọit, s ∈ R

(iii)(2) Với mọix, y, z ∈ X và với mọit, s > txy ≥ 0ta có

∆(1 − d(x, z)(t), 1 − d(z, y)(s)) = ∆(Fxz(t), Fzy(s)) 6 Fxy(t + s)

⇐⇒ 1 − ∆(1 − d(x, z)(t), 1 − d(z, y)(s)) > 1 − Fxy(t + s)

⇐⇒ d(x, y)(t + s) 6 R(d(x, z)(t), d(z, y)(s)), với mọix, y ∈ X

Vì thế với mọis > λ1(z, y), t > λ1(x, z)vàs + t > λ1(x, y) > txy ta có

d(x, y)(t + s) 6 R(d(x, z)(t), d(z, y)(s))

Định lý 3.4 Giả sử (X, d, L, R) là không gian mêtric mờ thỏa mãn điều kiện

lim

t→+∞d(x, y)(t) = 0, với mọix, y ∈ X và R(1, a) = R(a, 1) = 1, với mọia ∈ [0, 1] Giả sử hàmF được xác định như sau

Fxy(t) = 0 nếut < λ1(x, y),

1 − d(x, y)(t) nếut > λ1(x, y)

và hàm∆cho bởi∆(a, b) = 1 − R(1 − a, 1 − b), với mọia, b ∈ [0, 1] Khi đó,(X, F, ∆)

là không gian Menger

Chứng minh Dễ dàng kiểm tra rằng ∆ cho bởi công thức trên là một t-chuẩn Vì

d(x, y) ∈ G,d(x, y)(t)là hàm nửa liên tục trên, không âm Điều này kéo theoFxy cũng

là ánh xạ nửa liên tục trên vàFxy là hàm phân phối Bây giờ ta chứng minhFxy thỏa mãn các điều kiện của không gian Menger

(i)' Ta cóFxy(t) = 1với mọit > 0khi và chỉ khi d(x, y)(t) = 0 với mọit > 0 Vì

d(x, y)(0) = 1vàd(x, y)(t) = 0với mọit < 0, nên điều này tương đương vớid(x, y) = 0, nghĩa là khi và chỉ khix = y Như vậy, ta có

Fxy(t) = 1với mọit > 0khi và chỉ khix = y

(ii)' Hiển nhiên ta cóFxy(t) = Fyx(t)với mọit ∈ R

(iii)' Với mọix, y, z ∈ X và với mọis, t > 0, nhờ các tính chất của các hàmd, Rvà

cách đặt∆ta có

Fxy(t + s) = 1 − d(x, y)(t + s) > 1 − Rd(x, z)(t), d(z, y)(s)

= 1 − R1 − (1 − d(x, z)(t)), 1 − (1 − d(z, y)(s))

= 1 − R1 − Fxz(t), 1 − Fzy(s)

= ∆Fxz(t), Fzy(s)

Do đóFxy(t + s) > ∆Fxz(t), Fzy(s), với mọix, y, z ∈ X và với mọis, t > 0

tài liệu tham khảo

[1] S Carlson, Fuzzy Topological Spaces, part I, Preprint

[2] S S Chang, B S Lee, Y J Cho, Y Q Chen, S M Kang, J S Jung, Generalized contraction mapping principle and differential equations in probabilistic metric spaces,

124(8), 1996, pp 2367-2376

[3] O Kaleva, S Seikkala, On fuzzy metric spaces, Fuzzy sets and systems,12, 1984,

pp 215-229

summary

some relations between fuzzy metric spaces and probabilistic

metric spaces and Menger spaces

In this paper, we present some properties of fuzzy numbers, α-level sets and re-lationships between them, and give conditions such that a fuzzy metric space is a probabilistic metric space or a Menger space and vice versa

(a) Cao học 13 Toán, Đại học Vinh.