Trong bài báo này chúng tôi trình bày những cơ sở của phương pháp số để giải gần đúng phương trình lan truyền xung.. Phương pháp giả phổ dựa vào phép biến đổi Fourier để tính gần đúng c
Trang 1trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVII, số 3A-2008
các phương pháp số
để giải phương trình lan truyền xung
Đinh Xuân Khoa (a), Nguyễn Việt Hưng (b),
Bùi Đình Thuận (a), Hoàng Thị Hồng Thanh (c)
Tóm tắt Trong bài báo này chúng tôi trình bày những cơ sở của phương pháp số
để giải gần đúng phương trình lan truyền xung Bằng cách sử dụng phương pháp số, chúng tôi khảo sát sự tương tác giữa các soliton
I Mở đầu
Xuất phát từ phương trình Schrodinger phi tuyến suy rộng [1]:
2
2 2
2 2 3
3 3 2
2
∂
∂
ư
∂
∂ + +
∂
∂ +
∂
∂
=
∂
∂
τ
τ τ
τ
δ τ ξ
U U U
U iS U U iN U U
i U
R (1)
trong đó U ( ξ , τ ) là hàm bao phức của xung, các tham số đặc trưng cho các hiện tượng tán sắc bậc ba, tự dựng xung và tự dịch chuyển tần số tương ứng là δ3, S và
R
τ Trong trường hợp tổng quát, việc tìm lời giải giải tích cho phương trình (1) là rất khó và đến nay vẫn chưa thực hiện được Chỉ với một vài trường hợp riêng người ta mới tìm được các nghiệm soliton của nó mà thôi Mặt khác, cần lưu ý rằng phương trình (1) chỉ là một trong số rất nhiều các dạng gần đúng của phương trình lan truyền xung [1,2] Khi tính đến các số hạng tán sắc và phi tuyến bậc cao hơn, phương trình lan truyền xung sẽ trở nên rất phức tạp và việc tìm các phương pháp giải tích chung cho các phương trình này là không thể thực hiện được
Do những khó khăn đó, người ta đã áp dụng nhiều phương pháp khác nhau để tìm các lời giải gần đúng của phương trình lan truyền xung Phương pháp số đã được
sử dụng rất hiệu quả cho mục đích này Nhiều tác giả đã đưa ra các thuật toán khác nhau [4, 5, 6] nhưng về nguyên tắc chung có thể phân ra hai loại, đó là các phương pháp sai phân hữu hạn và các phương pháp giả phổ [7] Phương pháp giả phổ dựa vào phép biến đổi Fourier để tính gần đúng các đạo hàm riêng, do đó đã chuyển bài toán giải phương trình đạo hàm riêng về bài toán giải phương trình vi phân thường Trong bài này chúng tôi nghiên cứu hai thuật toán quan trọng để giải gần đúng phương trình lan truyền xung theo phương pháp giả phổ, đó là thuật toán split - step
và Runge - Kutta bậc bốn Các phần còn lại của bài được bố cục như sau: Phần II trình bày nguyên tắc của việc rời rạc hoá bài toán lan truyền xung theo các thuật toán trên, Phần III thực hiện một số tính toán để kiểm chứng độ chính xác của các phương pháp đối với vài trường hợp đặc biệt, Phần IV là các kết luận
Trang 2Đ X Khoa, N V Hưng, B Đ Thuận, H T H Thanh lan truyền xung, Tr 47-53
II Các phương pháp số
1 Thuật toán split - step bậc hai
Đầu tiên, chúng tôi trình bày thuật toán split - step để giải gần đúng phương trình lan truyền xung Phương trình (1) có thể biểu diễn ở dạng:
U =(Lˆ+Nˆ( )U )U,
∂
∂
ξ (2)
trong đó Lˆ và Nˆ tương ứng là các toán tử tuyến tính và phi tuyến tác dụng lên hàm bao:
ˆ 2 ˆ
2 2
2 2
3
3 3 2 2
∂
∂
ư
∂
∂ +
=
∂
∂ +
∂
∂
=
τ
τ τ
τ
δ τ
U U U U U iS U iN U N
i L
R
(3)
Lấy tích phân phương trình (2) theo biến ξ trong khoảng ξ → ξ + ∆ξ , ta được [9]:
( ξ ξ , τ ) exp ( A B ) ( U ξ , τ )
U + ∆ = + (4) với:
∫
∫
∫
∆
∆
∆
∆
≈
=
∆
=
=
=
ξ ξ ξ
ξ ξ ξ
ξ ξ ξ
τ ξ ξ ξ τ ξ
ξ ξ ξ
, ˆ ' , ' ˆ
ˆ ' ˆ ' ˆ
U N d
U N B
L d
L d L A
(5)
Khi khoảng chia ∆ξ của quãng đường lan truyền là đủ nhỏ, sử dụng công thức Baker
- Campbell - Hausdorff cho toán tử hàm mũ trong (4) chúng ta có thể biểu diễn dạng gần đúng của nó như sau [2, 3, 6]:
2 exp exp
2 exp
≈
A (6) Trong phép gần đúng này, chúng ta đã xem rằng các toán tử A và B là giao hoán khi
∆ξ nhỏ Sai số của công thức (6) vào bậc (∆ξ)2
Thay các biểu thức trên vào (4) ta có biểu thức mô tả thuật toán split - step bậc hai cho bài toán (2) như sau:
2 exp ,
ˆ exp ˆ 2 exp
ξ
∆
∆
∆
≈
∆
Biểu thức này cho phép xác định giá trị gần đúng của hàm bao tại vị trí ξ + ∆ξ khi
đã biết hàm bao tại vị trí ξ
2 Biến đổi Fourier rời rạc
Trang 3trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVII, số 3A-2008
Để tính được giá trị hàm bao theo (7) chúng ta cần biết cách tính tác dụng của các toán tử tuyến tính và phi tuyến lên hàm bao Chúng ta sẽ giới hạn biến thời gian trong khoảng hữu hạn [a, b] đủ lớn để các biên không ảnh hưởng đến kết quả tính toán Giả thiết rằng hàm bao U ( ξ , τ ) thoả mãn điều kiện biên tuần hoàn
U ξ , = ξ , với ξ∈[0,ξ0] Để tiện lợi, chúng ta đổi biến số để chuẩn hoá khoảng [a, b] về khoảng [0, 2π] và chia khoảng này thành N điểm với khoảng cách giữa các điểm bằng nhau và bằng ∆τ = 2π/N Kí hiệu các biến thời gian là:
N
j
j
π
τ = 2 , j
= 0, 1, 2, , N Ta có biến đổi Fourier rời rạc của dãy U( ξ,τj) là:
2 2
, exp
,
1 ,
,
1 0
ư
≤
≤
ư
ư
=
=
N N
i U
N U
F
N j
j k j
j
ω
Biến đổi Fourier ngược được xác định như sau:
1 2 / 2 /
1
N j
i U
U F U
N N k
j k k
k j
ư
ư
τ ω ω
ξ ω
ξ τ
ở đây F là ký hiệu biến đổi Fourier và F-1 là biến đổi ngược của nó Các tính toán trong (8) và (9) được thực hiện rất hiệu quả nhờ sử dụng thuật toán tính nhanh FFT [8] Các đạo hàm riêng theo thời gian của hàm bao trong cả toán tử tuyến tính và phi tuyến (3) đều có thể tính được dễ dàng bằng cách nhân vào phía trước các hệ số Fourier U( ξ,ωk) các luỹ thừa của lượng (ưiωk) tương ứng với cấp của đạo hàm và sau đó áp dụng biến đổi Fourier ngược Chẳng hạn, đạo hàm cấp hai của hàm bao ở
( ξ,τj)được tính theo công thức: Fjư1 [ ư ωk2Fk[ U ( ξ , τj) ] ]
3 Thuật toán Runge - Kutta bậc bốn
Phương trình (1) cũng có thể được tính gần đúng nhờ thuật toán Runge – Kutta
ở đây, chúng tôi sử dụng thuật toán Runge – Kutta bậc bốn, là thuật toán thường dùng để giải các phương trình vi phân [4,5,8]
Sau khi sử dụng phép biến đổi Fourier để tính các đạo hàm riêng theo thời gian như phần trên thì phương trình (1) trở thành:
[ ]
[ ] [ [ ( ) [ ] ] ]
ư
ư
ư + +
+
ư +
ư
=
2 2
3 3 2
1
2
U F i UF F U
U F i iS iN
U F i
i i U
F
d
d
τ ω
δ ω ω
Đặt:
[ ],
3 2
U F i
i exxp
ư
= ω ω δ ξ (11) chúng ta có thể viết lại (1) như sau:
Trang 4Đ X Khoa, N V Hưng, B Đ Thuận, H T H Thanh lan truyền xung, Tr 47-53
( ,U),
f d
dV
ξ
ξ = , (12)
trong đó:
+
+
ư
3 3 2 2
1 2
exp
Sử dụng thuật toán Runge - Kutta bậc bốn cho phương trình (12), giá trị của hàm V tại vị trí (ξ + ∆ξ) được tính như sau [8]:
6
1
4 3 2
K V
V ξ +∆ξ = ξ + + + + (14)
ở đây các hệ số K
i được xác định theo:
, 2
1 , , 2
, 2
1 , , 2
, , ,
3 4
2 3
1 2
1
K U
f K
K U
f K
K U
f K
U f K
+
∆ +
∆
=
+
∆ +
∆
=
+
∆ +
∆
=
∆
=
τ ξ ξ ξ ξ
τ ξ
ξ ξ ξ
τ ξ
ξ ξ
τ ξ ξ ξ
(15)
Từ (14) và (11) chúng ta tính được giá trị hàm bao tại vị trí ξ +∆ξ :
2
2 1
∆ +
+
ư
∆ +
=
∆
ξ ξ δ ω
ω ξ
ξ ξ
Sai số khi tính theo (16) sẽ có bậc vào cỡ ( )5
ξ
∆ So với cách tính theo (7) thì (16) có
độ chính xác cao hơn, tuy nhiên thời gian tính sẽ dài hơn vì số lượng các phép tính theo (13) và (15) là rất lớn
III Các kết quả tính toán bằng số
1 Các soliton quang học
Để khẳng định tính chính xác của các tính toán theo các phương pháp số trình bày ở trên, đầu tiên chúng tôi tiến hành so sánh với một số trường hợp riêng đã được thực hiện theo phương pháp giải tích Theo phương pháp tán xạ ngược, khi các tham số bậc caoδ3, S và τR trong phương trình (1) bằng không thì với điều kiện các xung vào
là hàm dạng secant hyperbolic, phương trình sẽ có các nghiệm soliton Các soliton có tính tuần hoàn theo chu kỳ trong quá trình lan truyền Bậc của soliton được xác
định qua tham số N trong (1), với các giá trị N càng lớn, tức là soliton bậc càng cao, thì khi lan truyền trong mỗi chu kỳ, hàm bao càng biến đổi phức tạp Chúng tôi tính toán cho các trường hợp lan truyền của soliton khi mà N = 1 và 10 với xung vào dạng secant hyperbolic [7]:
( τ ) ( ) τ (17)
Trang 5trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVII, số 3A-2008 Kết quả được trình bày trên hình 1
Hình 1 Biến đổi của cường độ trong quá trình lan truyền của soliton cơ bản (a) và
soliton bậc 10 (b) trong một chu kỳ
2
π
ξ =
ở hình 1(a), hàm bao của xung không thay đổi dạng trong quá trình lan truyền, nó vẫn giữ dạng (17) của xung vào ban đầu Trong hình 1(b), tuy hàm bao có những biến đổi phức tạp khi lan truyền nhưng đến cuối chu kỳ thì nó lại trở về dạng ban
đầu và quá trình lại lặp lại trong các chu kỳ tiếp theo Các kết quả này phù hợp rất tốt với kết quả giải tích về tính chất biến đổi tuần hoàn theo chu kỳ của hàm bao Với các soliton bậc cao thì biểu thức giải tích của chúng vô cùng phức tạp nên chỉ soliton bậc hai và ba thì mới viết được ở dạng tường minh [10] còn như soliton bậc 10
ở trên thì thường chỉ có thể được biểu diễn bằng các kết quả tính toán bằng số mà thôi
2 Va chạm giữa các soliton
Tiếp theo, chúng tôi xét trường hợp lan truyền của nhiều soliton Hệ các soliton
đi vào môi trường có thể biểu diễn như sau:
U 0 , = sec ư 1 + sec + 2 exp , (18) với r là liên hệ về biên độ còn θ là liên hệ về pha của chúng [4, 7] Các kết quả giải tích [10] đã chỉ ra rằng do các hiện tượng phi tuyến nên trong quá trình lan truyền các soliton sẽ có tương tác với nhau Các tính toán sau đây của chúng tôi tiến hành cho quá trình va chạm của các soliton cơ bản và các soliton bậc cao Các tham số trong (18) được chọn là, r=1,θ =0 và τ1 = τ2 Kết quả tính toán biểu diễn ở hình 2
Hình 2(a) mô tả quá trình va chạm giữa hai soliton cơ bản Trong khi lan truyền, mới đầu hai soliton này hút nhau và tiến lại gần trong khi cường độ tăng dần lên, ở vị trí hai soliton gần nhau nhất, cường độ gấp 4 lần giá trị ban đầu, sau đó chúng lại đẩy nhau ra xa và cường độ giảm dần về các giá trị ban đầu Quá trình hút
và đẩy giữa các soliton do ảnh hưởng của các hiện tượng tán sắc và phi tuyến được lặp đi lặp lại theo chu kỳ, sau mỗi lần va chạm như vậy dạng của hàm bao xung vẫn
Trang 6Đ X Khoa, N V Hưng, B Đ Thuận, H T H Thanh lan truyền xung, Tr 47-53
Hình 2 Va chạm của hai soliton cơ bản trên quãng đường lan truyền ξ=90 (a)
và giữa hai soliton bậc 2 trên quãng đường lan truyền ξ =10 (b)
chúng tôi xét va chạm của hai soliton bậc hai Do khoảng cách giữa hai soliton gần hơn trường hợp trước nên quá trình va chạm diễn ra nhanh hơn Các soliton hút và
đẩy nhau vẫn theo chu kỳ nhưng biến đổi của hàm bao là khá phức tạp Chúng tôi cũng tiến hành các tính toán tương tự cho các soliton bậc cao hơn và nhận thấy rằng biến đổi của hàm bao trong mỗi chu kỳ của va chạm càng phức tạp với các soliton bậc càng cao Các kết quả thu được phù hợp rất tốt với các tính toán trong [9]
IV Kết luận
Trong bài này chúng tôi nghiên cứu các thuật toán split – step và Runge – Kutta bậc bốn để giải phương trình lan truyền xung Qua một số tính toán có tính chất kiểm tra đối với một số trường hợp riêng, độ chính xác của các phương pháp này đã
được khẳng định Trong bài tiếp theo chúng tôi sẽ áp dụng để tính toán cho quá trình lan truyền của các xung femtô giây
Tài liệu tham khảo
[1] Cao Long Vân, Nguyễn Việt Hưng, Marek Trippenbach, Đinh Xuân Khoa, Propagation technique for ultrashort pulses I Tạp chí khoa học, Trường Đại học Vinh, 3A, Tập 36, 2007, trang 47-54
[2] Cao Long Vân, Đinh Xuân Khoa, Marek Trippenbach, Nhập môn Quang học phi tuyến, Vinh - 2003
[3] Cao Long Vân, Marek Trippenbach, Đinh Xuân Khoa, Nguyễn Việt Hưng, Phan Xuân Anh, National Conference on Theoretical Physics, Sam son, Vietnam, 12 -
14 August 2003; Journal of Science, Vinh University 1A, 50, 2003
[4] G M Muslu, H A Erbay, Mathematics and Computers in Simulation, 67, 2005,
pp 581 - 595
Trang 7tr−êng §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVII, sè 3A-2008 [5] J D Hoffman, Numerical Methods for Engineers and Scientists, Marcel Dekker -
2001
[6] T Hohage, F Schmidt, On the Numerical Solution of Nonlinear Schrodinger Type Equations in Fiber Optics, Berlin, 2002
[7] G P Agrawal, Nonlinear Fiber Optics, Academic, San Diego, 2003
[8] W H Press, S A Teukolsky, W T Vetterling, B P Flannery, Numerical Recipes in Fortran 77 - The Art of Scientific Computing, Cambridge University Press, 1992
[9] U Bandelow, A Demircan and M Kesting, Simulation of Pulse Propagation in Nonlinear Optical Fibers, WIAS, 2003
[10] A L Maimistov, A M Basharov, Nonlinear optical waves, Kluwer Academic,
1999
summary
Numerical methods to solve the pulse propagation equation
In this paper, we presented numerical techniques to solve approximately the pulse propagation equation By them we also investigate interactions of solitons
(a) Tr−êng §¹i Häc Vinh
(b) Nghiªn cøu sinh ViÖn hµn l©m khoa häc Ba Lan
(c) Häc viªn cao häc 14- Quang häc, Tr−êng §¹i häc Vinh
