Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Về các tập ω-nửa đóng suy rộng" pot

Trong bài viết này, chúng tôi nghiên cứu một số tính chất của lớp các tập ω-nửa đóng suy rộng, các tập ω-nửa mở suy rộng, các tập ωgs-đóng, các hàm ωgs-đóng và ωgs-liên tục.. Tập A được

Về các tập ω -nửa đóng suy rộng

Trần Văn Ân (a), Nguyễn Thị Thu(b)

Tóm tắt. Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu một số tính chất của lớp các tậpω-nửa đóng suy rộng, các tậpω-nửa mở suy rộng, các tậpωgs-đóng, các hàm ωgs-đóng vàωgs-liên tục

mở đầu Năm 1970 khái niệm tập đóng suy rộng trong tôpô (generalized closed sets in topology) được N Levin giới thiệu nhằm mở rộng nhiều tính chất quan trọng của tập

đóng trong tôpô Từ đó đến nay tập đóng suy rộng đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới Việc nghiên cứu tập đóng suy rộng cho ta những kết quả thú vị, chẳng hạn từ sự nghiên cứu về tập đóng suy rộng mà khái niệm về T1

2 -không gian được đề xuất bởi W Dunham (1977), tập σ - đóng suy rộng và T3

4 -không gian được đề xuất bởi J Dontchev và M Ganster (1996), tập θ - đóng suy rộng được giới thiệu bởi J Dontchev và H Maki (1999), tập ω-đóng suy rộng (gω-đóng) được đề xuất bởi KhaLid Y Alzoubi (2005), tập ω - đóng suy rộng chính quy (rgω-đóng) được

đề xuất bởi Ahmad Al - Omari và Mohd Salmi Md Noorani (2007), tập đóng nửa suy rộng (sg-đóng) được giới thiệu bởi P Bahattacharyya và B K Lahiri (1987), tập nửa

đóng suy rộng (gs-đóng) được giới thiệu bởi S P Arya và T M Nour (1990), đồng thời người ta còn sử dụng lớp các tập trên để giới thiệu lớp các ánh xạ ω-liên tục, ω-không giải được, g-liên tục, g-không giải được, gω-liên tục , gω-không giải được, rgω-liên tục, rgω-không giải được

Trong bài viết này, chúng tôi nghiên cứu một số tính chất của lớp các tập ω-nửa

đóng suy rộng, các tập ω-nửa mở suy rộng, các tập ωgs-đóng, các hàm ωgs-đóng và ωgs-liên tục

Trước hết chúng ta nhắc lại một vài khái niệm, định nghĩa, tính chất đã biết sẽ

sử dụng trong bài

Cho (X, τ ) là một không gian tôpô và A là một tập con của X Điểm x ∈ X được

gọi là điểm cô đọng (condensation) của A nếu với mỗi U ∈ τ mà x ∈ U thì U ∩ A không

đếm được Tập A được gọi là ω-đóng nếu nó chứa tất cả các điểm cô đọng của nó Dễ

thấy rằng mọi tập đóng đều là tập ω-đóng Phần bù của tập ω-đóng được gọi là tập

ω-mở Dễ thấy rằng tập con B của không gian tôpô (X, τ ) là tập ω-mở nếu và chỉ nếu

với mỗi x ∈ B tồn tại U ∈ τ sao cho x ∈ U và U ư B đếm được và mọi tập mở đều là tập ω-mở Họ tất cả các tập con ω-mở của không gian (X, τ ) ký hiệu bởi τω ω-bao

đóng và ω-phần trong của tập A định nghĩa tương tự clA, intA và chúng được ký hiệu

1 Nhận bài ngày 31/7/2009 Sửa chữa xong 10/9/2009

là clω(A), intω(A) Tập A ⊂ X được gọi là tập đóng suy rộng (viết tắt là g-đóng) nếu clA ⊂ U với mọi tập U mở chứa A Phần bù của tập g-đóng được gọi là tập g-mở Tập con A của không gian tôpô (X, τ ) được gọi là nửa mở nếu tồn tại tập mở B sao cho

B ⊂ A ⊂ clB Không gian tôpô (H, τH) được nhắc đến trong bài này chính là không gian H với tôpô τH được cảm sinh bởi tôpô τ trên H Không gian tôpô (X, τ ) được

gọi là phản đếm được địa phương nếu mỗi tập mở khác rỗng trong X đều không đếm

được

1 Tập ω-nửa đóng

1.1 Định nghĩa Tập con A của không gian tôpô (X, τ ) được gọi là ω-nửa mở

(ω-semi open) nếu tồn tại tập mở V sao cho V ⊂ A ⊂ clω(V )

Tập tất cả các tập ω-nửa mở của X ký hiệu là ωSO(X)

1.2 Nhận xét (i) Dễ dàng kiểm tra được rằng: clω(A) là tập ω-đóng nhỏ nhất chứa A

(ii) Nếu A, B là các tập con của không gian tôpô (X, τ ) mà A ⊂ B thì clω(A) ⊂

clω(B)

không gian (X, τ ), thì clA = clω(A).

Chứng minh Ta luôn có clω(A) ⊂ clA Do đó để chứng minh định lý ta chỉ cần chứng minh clA ⊂ clω(A) Thật vậy, giả sử tồn tại x ∈ clA ư clω(A), khi đó x /∈ clω(A) nên tồn tại Wx ∈ τω sao cho x ∈ Wx và Wx∩ A = ∅ Chọn Vx ∈ τ sao cho x ∈ Vx

và Vx ư Wx = Cx đếm được Vì x ∈ clA và x ∈ Vx nên Vx ∩ A 6= ∅ Lúc đó ta có

∅ 6= Vx ∩ A ⊂ A ∩ (Wx ∪ Cx) = (A ∩ Wx) ∪ (A ∩ Cx) = A ∩ Cx ⊂ Vx ∩ A Suy ra

Vx∩ A = Cx∩ A ∈ τA Điều này chứng tỏ tồn tại trong τA một tập mở khác rỗng đếm

được Điều này mâu thuẫn với giả thiết (A, τA) phản đếm được địa phương

1.4 Mệnh đề Giả sử (X, τ ) là một không gian tôpô và A là tập con của X Khi

đó

(i) Nếu A là tập ω-nửa mở, thì A là tập nửa mở.

(ii) Nếu x ∈ X và {x} là tập ω-nửa mở, thì {x} là tập mở.

(iii) Hợp của họ tuỳ ý các tập ω-nửa mở là tập ω - nửa mở.

(iv) Giao của hai tập ω-nửa mở có thể không là tập ω-nửa mở.

Chứng minh (i) Giả sử A là tập con ω-nửa mở của không gian tôpô (X, τ ), khi đó

tồn tại tập mở V sao cho V ⊂ A ⊂ clω(V ) Mặt khác, ta lại có clω(V ) ⊂ clV nên

V ⊂ A ⊂ clV Vậy A là tập nửa mở

(ii) Giả sử x ∈ X và x là tập ω-nửa mở Khi đó tồn tại tập U ∈ τ sao cho

U ⊂ {x} ⊂ clω(U ) Bao hàm thức này chứng tỏ U = {x} Vậy {x} là tập mở

(iii) Giả sử Ai là các tập ω - nửa mở với i ∈ I, ta cần chứng minh

i∈I

Ai là tập ω-nửa mở Thật vậy do Ai là các tập ω-nửa mở nên với mỗi i ∈ I tồn tại tập mở Ui sao cho Ui ⊂ Ai ⊂ clωUi Suy ra S

i∈I

Ui ⊂ S

i∈I

Ai ⊂ S

i∈I

clωUi ⊂ clω(S

i∈I

Ui) Vậy S

i∈I

Ui là tập ω-nửa mở

(iv) Chúng ta làm rõ điều này bằng ví dụ sau: cho X = (0; 1) ⊂ R với tôpô

τ = {∅; X; (0;12); [12; 1)} là một tôpô trên X Xét A = (0;12]và B = [12; 1) Do (X, τ ) là không gian phản đếm được địa phương nên theo Định lý 1.3 ta suy ra clω(0;12) = [0;12] Vì (0;1

2) là tập mở và (0;1

2) ⊂ (0;12] ⊂ clω(0;12) = [0;12] Vậy A là tập ω-nửa mở Tương

tự [12; 1) cũng là tập mở mà [12; 1) ⊂ [12; 1) ⊂ clω(12; 1) = [12; 1] Do đó B cũng là tập ω-nửa mở, nhưng A ∩ B = {12} không là tập ω-nửa mở 

1.5 Định nghĩa Cho (X, τ ) là không gian tôpô và A là tập con của X.

Tập A được gọi là ω-nửa đóng (ω - semi closed ) nếu X ư A là tập ω-nửa mở.

Tập tất cả các tập ω-nửa đóng của X ký hiệu là ωSC(X)

Giao của tất cả các tập ω-nửa đóng chứa A được gọi là ω-nửa bao đóng (ω semi

closure) của A ký hiệu là sclω(A)

1.6 Định lý Giả sử A là tập con của không gian tôpô (X, τ ) và x ∈ X Khi đó

x ∈ sclω(A) nếu và chỉ nếu U ∩ A 6= ∅ với mọi tập ω-nửa mở U chứa x.

Chứng minh Đặt F0 = {y ∈ X| U ∩ A 6= ∅với mọi tập ω-nửa mở U chứa y} Để chứng minh định lý ta chứng minh F0 = sclω(A) Thật vậy, lấy bất kỳ x ∈ sclω(A) Giả sử

x /∈ F0, khi đó tồn tại tập ω-nửa mở V chứa x sao cho V ∩ A = ∅ Vì X ư V là tập ω-nửa đóng chứa A nên sclω(A) ⊂ X ư V Do x /∈ X ư V nên x /∈ sclω(A) Suy ra sclω(A) ⊂ F0

Bây giờ ta chứng minh F0⊂ sclω(A) Thật vậy, giả sử x /∈ sclω(A) Khi đó tồn tại tập ω - nửa đóng F chứa A sao cho x /∈ F Do đó x ∈ X ư F với X ư F là tập ω - nửa

mở mà X ư F ∩ A = ∅ Vì vậy x /∈ F0 Kéo theo F0 ⊂ sclω(A)

1.7 Mệnh đề Tập con A của không gian tôpô (X, τ ) là ω-nửa đóng nếu và chỉ

nếu tồn tại tập đóng F sao cho intω(F ) ⊂ A ⊂ F.

Chứng minh Cần Giả sử A là tập con của X Nếu A là tập ω-nửa đóng, thì X ư A là

tập ω-nửa mở Theo Định nghĩa 1.1, tồn tại tập mở U trong X sao cho U ⊂ X ư A ⊂

clω(U ) Do đó X ư clω(U ) ⊂ X ư (X ư A) = A ⊂ X ư U

Dễ thấy X ư clω(U ) = intω(X ư U ), điều này kéo theo intω(X ư U ) ⊂ A ⊂ X ư U

Đặt F = X ư U ta suy ra F đóng và intω(F ) ⊂ A ⊂ F

Đủ Giả sử A là tập con của X Nếu tồn tại tập F đóng sao cho intω(F ) ⊂ A ⊂ F, thì X ư F ⊂ X ư A ⊂ X ư intω(F ) Vì X ư F là tập mở và X ư intω(F ) = clω(X ư F ) nên X ư F ⊂ X ư A ⊂ clω(X ư F ) Do đó X ư A là tập ω-nửa mở hay A là tập ω-nửa

1.8 Mệnh đề Giả sử (X, τ ) là một không gian tôpô Khi đó sclω(A)là tập ω-nửa

đóng nhỏ nhất chứa A.

Chứng minh Từ Định nghĩa 1.5 ta chỉ cần chứng minh rằng sclω(A) là tập ω-nửa

đóng Thật vậy, ta có sclω(A) =T{G| với G là tập ω - nửa đóng chứa A} Suy ra X −

sclω(A) = X−T{G|với G là tập ω-nửa đóng chứa A} = S{(X−G)| với G là tập ω - nửa đóng chứa A}

Từ Mệnh đề 1.4 ta có S{(X − G)| với G là tập ω-nửa đóng chứa A} là tập ω-nửa mở

Do đó X − sclω(A) là tập ω-nửa mở Vậy sclω(A)là tập ω-nửa đóng 

1.9 Mệnh đề Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô và A, B là các tập con của X.

Khi đó

(i) Nếu A ⊂ B, thì sclω(A) ⊂ sclω(B).

(ii) sclω(A) ∪ sclω(B) ⊂ sclω(A ∪ B).

(iii) sclω(A ∩ B) ⊂ sclω(A) ∩ sclω(B).

(iv)A là tập ω-nửa đóng khi và chỉ khi A = sclω(A).

Chứng minh (i) Giả sử A ⊂ B Khi đó nếu F là tập ω-nửa đóng bất kì chứa B, thì F

cũng chứa A Do đó sclω(A) ⊂ sclω(B)

(ii) Vì A ⊂ A ∪ B, B ⊂ A ∪ B nên theo (i) ta có sclω(A) ⊂ sclω(A ∪ B), sclω(B)) ⊂

sclω(A ∪ B) Do đó sclω(A) ∪ sclω(B) ⊂ sclω(A ∪ B)

(iii) A ∩ B ⊂ A, A ∩ B ⊂ B nên theo (i) ta có sclω(A ∩ B) ⊂ sclω(A), sclω(A ∩ B) ⊂

sclω(B) Do đó sclω(A ∩ B) ⊂ sclω(A) ∩ sclω(B)

1.10 Định nghĩa Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô và A là tập con của X Khi

đó hợp của tất cả các tập ω-nửa mở nằm trong A đ−ợc gọi là ω-nửa phần trong (ω-semi

interior) của A kí hiệu là sintω(A)

1.11 Mệnh đề Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô và A, B là các tập con của X.

Khi đó

(i) sintω(A)là tập ω-nửa mở lớn nhất nằm trong A.

(ii) Nếu A ⊂ B, thì sintω(A) ⊂ sintω(B).

(iii) X − sclω(A) = sintω(X − A).

Chứng minh Các khẳng định (i) và (ii) suy trực tiếp từ Định nghĩa 1.10.

(iii) Ta có X − sclω(A) = X − {T G| với G là tập ω-nửa đóng chứa A} = {S(X −

G)|với G là tập ω-nửa đóng chứa A} Do G là tập ω - nửa đóng chứa A nên X − G là

tập ω-nửa mở nằm trong X − A Vậy {S(X − G)| với G là tập ω-nửa đóng chứa A} =

sintω(X − A), hay X − sclω(A) = sintω(X − A) 

1.12 Mệnh đề Giả sử A là tập con của không gian tôpô (X, τ ) Khi đó A là tập

ω - nửa mở khi và chỉ khi A ⊂ sclω(sintω(A)).

Chứng minh Cần Giả sử A là tập ω-nửa mở trong không gian tôpô (X, τ ) Nhờ Mệnh

đề 1.11 và A là tập ω-nửa mở, ta suy ra sintω(A) = A Do đó sclω(sintω(A)) = sclω(A) chứa A

Đủ Giả sử A là tập con của không gian tôpô (X, τ ) mà A ⊂ sclω(sintω(A) Vì sintω(A) là tập ω-nửa mở, nên tồn tại tập mở U sao cho U ⊂ sintω(A) ⊂ clω(U ) Mặt khác có U ⊂ sintω(A) ⊂ A, sintω(A) ⊂ clω(U ) và tập ω-đóng là tập ω-nửa đóng Do

đó sclω(sintω(A)) ⊂ sclω(clω(U )) = clω(U ) Nhờ giả thiết A ⊂ sclω(sintω(A) ta suy ra

U ⊂ A ⊂ clω(U ) Vậy A là tập ω-nửa mở 

2 Tập ω-nửa đóng suy rộng

2.1 Định nghĩa Tập con A của không gian tôpô (X, τ ) đ−ợc gọi là ω-nửa đóng

suy rộng (ω-generalized semi closed) và viết là ωgs-đóng nếu sclω(A) ⊂ U với mọi tập

mở U mà A ⊂ U

Tập tất cả các tập ωgs-đóng trong X đ−ợc kí hiệu ωGSC(X, τ ).

2.2 Mệnh đề Giả sử (X, τ ) là một không gian tôpô và A là tập con của X Khi

đó nếu A là tập ω-nửa đóng, thì A là tập ωgs-đóng.

Chứng minh Giả sử A là tập ω-nửa đóng và U là tập mở bất kì chứa A Khi đó ta

có sclω(A) = A Từ đó suy ra sclω(A) ⊂ U Vậy A là tập ωgs-đóng 

2.3 Mệnh đề Giả sử A là tập con mở và ωgs-đóng của không gian tôpô (X, τ ).

Khi đó A là tập ω-nửa đóng.

Chứng minh Giả sử A là tập ωgs-đóng Khi đó với tập mở U bất kì chứa A ta có

sclω(A) ⊂ U Vì A là tập mở và A ⊂ A nên ta có sclω(A) ⊂ A Hiển nhiên A ⊂ sclω(A)

Vậy ta có sclω(A) = A, hay A là tập ω-nửa đóng 

2.4 Định nghĩa Tập con A của không gian tôpô (X, τ ) đ−ợc gọi là ω-nửa mở

suy rộng (ω-generalized semi open) và đ−ợc viết là ωgs-mở nếu phần bù X − A của

nó là tập ωgs-đóng

Tập tất cả các tập ωgs-mở trong X đ−ợc kí hiệu ωGSO(X, τ )

2.5 Mệnh đề Giả sử (X, τ ) là một không gian tôpô và A là tập con của X A là

ωgs-mở nếu và chỉ nếu F ⊂ sintω(A) với mọi tập đóng F nằm trong A.

Chứng minh Giả sử A là tập ωgs-mở và F là tập đóng bất kì nằm trong A Ta sẽ

chứng minh F ⊂ sintω(A) Thật vậy, do F ⊂ A nên X − A ⊂ X − F Mặt khác, vì A

là tập ωgs-mở nên X − A là tập ωgs-đóng Do đó ta suy ra sclω(X − A) ⊂ X − F Theo Mệnh đề 1 11 ta có F ⊂ X − sclω(X − A) = sintω(X − (X − A)) = sintω(A)

Ngược lại giả sử F ⊂ sintω(A) với mọi tập đóng F nằm trong A Ta sẽ chứng minh X ư A là tập ωgs-đóng Thật vậy, giả sử U là tập mở bất kì chứa X ư A, khi

đó X ư U là tập đóng nằm trong A Theo giả thiết ta có X ư U ⊂ sintω(A) Suy ra

X ưsintω(A) ⊂ U Theo Mệnh đề 1.11 ta có sclω(X ưA) ⊂ U Vậy A là tập ωgs-mở 

2.6 Định nghĩa Giao của tất cả các tập ωgs-đóng chứa A trong không gian tôpô

(X, τ ) được gọi là ω-nửa bao đóng suy rộng (ω-generalized semi closure) của A và kí

hiệu là gsclω(A)

2.7 Nhận xét (i) Vì mỗi tập ω-nửa đóng là tập ωgs-đóng, nên A ⊂ gsclω(A) ⊂ sclω(A) ⊂ clA với tập con A bất kỳ

(ii) Từ định nghĩa tập ωgs-đóng ta thấy, nếu A là tập ωgs-đóng, thì gsclω(A) = A

2.8 Định nghĩa Điểm x của không gian tôpô (X, τ ) được gọi là điểm ω-nửa giới

hạn suy rộng ( ωgs-limit point) của tập A trong X và được viết là điểm ωgs-giới hạn

nếu mọi tập ωgs-mở U chứa x thì A ∩ (U ư {x}) 6= ∅

Tập tất cả các điểm ωgs-giới hạn của A được kí hiệu gsdω(A)và được gọi là ω-nửa giới hạn suy rộng của A.

2.9 Định nghĩa Hợp của tất cả các tập ωgs-mở nằm trong tập con A của không

gian tôpô (X, τ ) được gọi là ω-nửa phần trong suy rộng (ω-generalized semi interior)

của A và kí hiệu là gsintω(A).

sintω(A) ⊂ intω(A)

2.11 Định nghĩa Điểm x của không gian tôpô (X, τ ) được gọi là điểm ω-nửa

trong suy rộng (ω-generalized semi interior point ) của A nếu tồn tại tập ωgs-mở

U ⊂ A và U chứa x

2.12 Bổ đề Giả sử A là tập con của không gian tôpô (X, τ ) Khi đó gsclω(A) =

A ∪ gsdω(A).

Chứng minh Trước hết ta chứng minh A ∪ gsdω(A) ⊂ gsclω(A) Lấy x bất kì thuộc

A ∪ gsdω(A) Nếu x ∈ A, thì hiển nhiên ta có x ∈ gsclω(A) Nếu x ∈ gsdω(A), thì để chứng minh x ∈ gsclω(A)ta chứng minh rằng x ∈ G với G là tập ωgs-đóng bất kì chứa A

Thật vậy, giả sử ngược lại x /∈ G, suy ra x ∈ X ư G Do X ư G là tập ωgs-mở và

x ∈ gsdω(A), nên từ Định nghĩa 2.8 ta suy ra A ∩ ((X ư G) ư {x}) 6= ∅ Điều này mâu thuẫn với A ⊂ G Do đó x ∈ G Vậy A ∪ gsdω(A) ⊂ gsclω(A)

Ngược lại, lấy x ∈ gsclω(A) Giả sử x /∈ A Nếu x /∈ gsdω(A), thì tồn tại tập ωgs-mở U chứa x, sao cho A ∩ (U ư {x}) = ∅ Vì x /∈ A, nên A ∩ U = ∅ Suy ra

A ⊂ X ư U Chứng tỏ x /∈ gsclω(A) Vậy gsclω(A) ⊂ A ∪ gsdω(A) Như vậy ta có

2.13 Định lý Giả sử (X, τ ) là một không gian tôpô và A, B là các tập con của

X Khi đó

(i) gsdω(A) ∪ gsdω(B) ⊂ gsdω(A ∪ B).

(ii) gsclω(A) ∪ gsclω(B) ⊂ gsclω(A ∪ B).

(iii) gsclω(gsclω(A)) = gsclω(A).

Chứng minh (i) Nếu U là tập ωgs-mở chứa x mà A ∩ (U ư {x}) 6= ∅, thì (A ∪ B) ∩ (U ư

{x}) 6= ∅ Do đó gsdω(A) ⊂ gsdω(A ∪ B) Tương tự ta có gsdω(B) ⊂ gsdω(A ∪ B) Vậy gsdω(A) ∪ gsdω(B) ⊂ gsdω(A ∪ B)

(ii) Suy ra từ (i) và Bổ đề 2.12

(iii) Hiển nhiên có gsclω(A) ⊂ gsclω(gsclω(A))

Ngược lại, lấy x bất kì thuộc gsclω(gsclω(A)) Nếu x /∈ gsclω(A), suy ra tồn tại một tập ωgs-đóng F sao cho F chứa A và x /∈ F Suy ra gsclω(A) ⊂ F Điều này kéo theo gsclω(gsclω(A)) ⊂ gsclω(F ) = F Do đó x /∈ gsclω(gsclω(A)) Vậy gsclω(A) =

2.14 Định lý Giả sử F ⊂ H ⊂ X với H là một tập mở, ωgs-đóng trong không

gian (X, τ ) Khi đó F là tập con ωgs-đóng trong (H, τH) khi và chỉ khi F là tập

ωgs-đóng trong (X, τ ).

Chứng minh Cần Giả sử F là tập ωgs-đóng trong (H, τH) và U là tập mở bất kì trong X sao cho F ⊂ U , ta cần chứng minh sclω(F ) ⊂ U Thật vậy, vì U là tập mở bất kì trong X, suy ra U ∩ H mở trong H và F ⊂ U ∩ H Do đó sclω|H(F ) ⊂ U ∩ H ⊂ U (với sclω|H(F ) = sclω(F ) ∩ H) Lại do H là ωgs-đóng trong không gian (X, τ ), nên sclω(F ) ⊂ H Suy ra sclω|H(F ) = sclω(F ) ∩ H Vì thế ta có sclω(F ) = sclω|H(F ) ⊂

U ∩ H ⊂ U

Đủ Giả sử F là tập ωgs-đóng trong (X, τ ), V là tập mở trong H sao cho F ⊂ V ,

ta cần chứng minh sclω|H(F ) ⊂ V (với sclω|H(F ) = sclω(F ) ∩ H) Thật vậy, vì V mở trong H và H mở trong X, nên V mở trong X Do đó sclω(F ) ⊂ V Mặt khác, ta lại

có sclω|H(F ) ⊂ sclω(F ) ⊂ V Vậy F là tập ωgs-đóng trong (H, τH) 

3 ánh xạ ωgs-đóng và ánh xạ ωgs-liên tục

3.1 Định nghĩa ánh xạ f : (X, τ ) ư→ (Y, σ) được gọi là ánh xạ ωgs-đóng nếu

với mỗi tập đóng F trong (X, τ ) ta có f (F ) là tập ωgs-đóng trong (Y, σ)

3.2 Nhận xét Mọi ánh xạ đóng là ωgs-đóng.

3.3 Định lý ánh xạ f : (X, τ ) ư→ (Y, σ) là ánh xạ ωgs-đóng nếu và chỉ nếu với

mỗi S ⊂ Y và mỗi tập mở U chứa fư1(S)tồn tại tập ωgs-mở V trong Y sao cho S ⊂ V

và fư1(V ) ⊂ U.

Chứng minh Giả sử f : (X, τ ) ư→ (Y, σ) là ánh xạ ωgs-đóng, S là tập con của Y và

U là tập mở chứa fư1(S) Đặt V = Y ư f (X ư U ) Khi đó vì U mở và f là ánh xạ ωgs

- đóng nên V là tập ωgs-mở trong Y chứa S và fư1(V ) ⊂ U

Ngược lại, giả sử với mỗi S ⊂ Y và mỗi tập mở U chứa fư1(S)tồn tại tập ωgs-mở

V sao cho fư1(V ) ⊂ U Lấy F là tập đóng bất kì trong X và O là tập mở trong Y sao

cho f (F ) ⊂ O Khi đó fư1(Y ư f (F )) ⊂ X ư F và X ư F là tập mở Do đó tồn tại tập ωgs-mở V sao cho Y ư f (F ) ⊂ V và fư1(V ) ⊂ X ư F Suy ra F ⊂ X ư fư1(V ) Do đó

f (F ) ⊂ Y ư V

Mặt khác, vì Y ư O ⊂ Y ư f (F ) và Y ư f (F ) ⊂ V ta suy ra f (F ) ⊂ Y ư V ⊂ O

Do Y ư V là tập ωgs-đóng và sclω(F ) ⊂ sclω(Y ư V ) ⊂ O Suy ra sclω(f (F )) ⊂ O Vậy

f (F ) là tập ωgs-đóng hay f là ánh xạ ωgs-đóng 

3.4 Định lý Nếu ánh xạ f : (X, τ ) ư→ (Y, σ) là ánh xạ ωgs-đóng và (A, τA) là không gian con phản đếm được địa phương của không gian (X, τ ), thì gsclω(f (A)) ⊂

f (clω(A)) với mọi tập con A của X.

Chứng minh Giả sử A là tập con của X và f là ánh xạ ωgs-đóng Theo Định lý 1.3

do (A, τA) là không gian con phản đếm được địa phương của không gian (X, τ ), nên clA = clωA Vì clA là tập đóng trong X, suy ra clω(A) đóng trong X Do f là ánh xạ ωgs-đóng, nên f (clω(A)) là tập ωgs-đóng và f (A) ⊂ f (clω(A)) Vậy gsclω(f (A)) ⊂

3.5 Định lý Giả sử ánh xạ f : (X, τ ) ư→ (Y, σ) là ánh xạ liên tục và ωgs-đóng.

Khi đó nếu A là tập g-đóng của (X, τ ), (A, τA) là không gian con phản đếm được địa phương thì f (A) là tập ωgs-đóng.

Chứng minh Giả sử f (A) ⊂ O với O là tập mở trong Y Khi đó A ⊂ fư1(O) Vì

f là ánh xạ liên tục, O mở nên fư1(O) mở trong X Vì A là tập g-đóng của (X, τ ), nên clA ⊂ fư1(O), suy ra f (clA) ⊂ O Do (A, τA) là không gian con phản đếm

được địa phương của không gian (X, τ ), nên clA = clω(A) và f (A) ⊂ f (clA) Do đó

f (A) ⊂ f (clω(A)) Suy ra sclω(f (A)) ⊂ sclω(f (clω(A))) Mặt khác, f là ωgs-đóng, clω(A)

là tập đóng, nên f (clω(A)) là tập ωgs-đóng Vì O lại là tập mở chứa f (clω(A)), nên sclω(f (clω(A)) ⊂ O Suy ra sclω(f (A)) ⊂ O Vậy f (A) là tập ωgs-đóng 

3.6 Định lý Giả sử f : (X, τ ) ư→ (Y, σ) là ánh xạ đóng, h : (Y, σ) ư→ (Z, η) là

ánh xạ ωgs-đóng thì (h ◦ f ) : (X, τ ) ư→ (Z, η) là ánh xạ ωgs-đóng.

Chứng minh Giả sử F là tập đóng trong (X, τ ) Vì f là ánh xạ đóng, nên f (F ) là

tập đóng trong (Y, σ) Mặt khác, h : (Y, σ) ư→ (Z, η) là ánh xạ ωgs-đóng, nên h(f (F ))

là tập ωgs-đóng trong (Z, η) Vì (hof )(F ) = h(f (F )), nên hof là ánh xạ ωgs-đóng 

3.7 Định nghĩa ánh xạ f : (X, τ ) ư→ (Y, σ) được gọi là ωgs-mở nếu và chỉ nếu

mỗi tập mở U của không gian tôpô (X, τ ) thì f (U ) là tập ωgs-mở của (Y, σ)

3.8 Định lý Cho ánh xạ f : (X, τ ) ư→ (Y, σ) và các điều kiện sau

(i) f là ánh xạ ωgs-mở;

(ii) f (int(A)) ⊂ gsintω(f (A))với mọi A ⊂ X;

(iii) Với mỗi x ∈ X và mỗi tập ω-mở U chứa x, tồn tại tập ωgs-mở V chứa f (x) sao cho V ⊂ f (U );

(iv) Với mỗi tập B ⊂ Y ta có fư1(gsclω(B)) ⊂ clω(fư1(B).

Khi đó ta có (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (iv).

Chứng minh (i) ⇒ (ii) Giả sử f là ánh xạ ωgs-mở Khi đó vì intA là tập mở, nên

f (intA) là tập ωgs-mở Mặt khác vì intA ⊂ A, nên f (intA) ⊂ f (A) Từ đó ta có

f (intA) ⊂ gsintω(f (A))

(ii) ⇒ (iii) Giả sử x ∈ X và U là tập mở chứa x Khi đó ta có U = intU Do

đó f (intU ) = f (U ) ⊂ gsintω(f (U )) Mặt khác ta luôn có gsintω(f (U )) ⊂ f (U ) Vì vậy

f (U ) là tập ωgs-mở cần tìm

(iii) ⇒ (iv) Giả sử B ⊂ Y và x ∈ f−1(gsclω(B)) Nếu x /∈ clω(f−1(B)), thì x ∈

X − (clω(f−1(B)) Khi đó, vì U là ω - mở, nên từ (iii), suy ra tồn tại tập ωgs-mở

V chứa f (x) sao cho V ⊂ f (U ) Từ V ⊂ f (U ) ⊂ f (X − f−1(B)) ⊂ Y − B, ta suy ra

V ⊂ Y − B hay B ⊂ Y − V Chứng tỏ f (x) /∈ gsclω(B) Điều này mâu thuẫn với giả

3.9 Định lý Giả sử f : (X, τ ) −→ (Y, σ) là ánh xạ ωgs-mở, B ⊂ Y và F là tập

đóng chứa f−1(B) Khi đó tồn tại tập ωgs-đóng V sao cho B ⊂ V và f−1(V ) = F Chứng minh Giả sử F là tập đóng của X sao cho f−1(B) ⊂ F Vì f là ánh xạ ωgs-mở nên f (X − F ) là tập ωgs-mở Mặt khác f−1(B) ⊂ F, nên X − F ⊂ X − f−1(B) Do đó

f (X − F ) ⊂ f (X − f−1(B)) Vậy f (X − F ) ⊂ Y − B, kéo theo B ⊂ Y − f (X − F ) Chứng

tỏ Y − f (X − F ) là tập ωgs-đóng chứa B và f−1(Y − f (X − F )) = X − (X − F ) = F Lấy V = Y − f (X − F ) ta có điều phải chứng minh 

3.10 Định nghĩa ánh xạ f : (X, τ ) −→ (Y, σ) là ánh xạ ωgs-liên tục nếu f−1(V )

là tập ωgs-đóng trong (X, τ ) với mọi tập V đóng trong Y

3.11 Định lý ánh xạ f : (X, τ ) −→ (Y, σ) là ánh xạ ωgs-liên tục nếu và chỉ nếu

nghịch ảnh của tập mở là tập ωgs-mở.

Chứng minh Cần Suy từ Định nghĩa 2.4 và Định nghĩa 3.10.

Đủ Giả sử F là tập mở bất kì của (Y, σ) và f−1(U )là tập ωgs-mở Ta cần chứng minh f là ωgs-liên tục Thật vậy, vì U mở trong Y , nên Y − U là tập đóng trong Y Vì f−1(Y − U ) = X − f−1(U )và theo giả thiết điều kiện đủ f−1(U )là tập ωgs-mở, ta suy ra X − f−1(U )là ωgs-đóng Vậy f là ánh xạ ωgs-liên tục 

3.12 Định lý Cho ánh xạ f : (X, τ ) −→ (Y, σ) và các điều kiện sau

(i) f là ánh xạ ωgs-liên tục.

(ii) Với mỗi x ∈ X và mỗi tập mở V sao cho f (x) ∈ V , tồn tại tập ωgs-mở U chứa

x sao cho f (U ) ⊂ V

(iii) f (gsclω(A)) ⊂ clω(f (A)) với mỗi tập A ⊂ X.

(iv) gsclω(f−1(B)) ⊂ f−1(clω(B)) với mỗi tập B ⊂ Y

Khi đó ta có (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (iv).

3.13 Bổ đề Giả sử f : (X, τ ) ư→ (Y, σ) là ánh xạ đóng và ωgs-liên tục, B là tập

ωgs-đóng trong Y và (B, τB)là không gian con phản đếm được địa phương của (Y, σ) Khi đó fư1(B)là tập ωgs-đóng trong (X, τ ).

Chứng minh Giả sử B là tập ωgs-đóng trong Y , U là tập mở của (X, τ ) sao cho

fư1(B) ⊂ U Vì f là ánh xạ đóng nên tồn tại tập mở V sao cho B ⊂ V và fư1(V ) ⊂

U Vì B là tập ωgs-đóng, nên sclω(B) ⊂ V Do đó fư1(sclω(B)) ⊂ U Mặt khác sclω(B) ⊂ clω(B)và (B, τB) là không gian con phản đếm được địa phương của (Y, σ),

do đó clω(B) = clB Điều này chứng tỏ sclω(B) ⊂ clB Hơn nữa clB là tập đóng

và f là ánh xạ ωgs-liên tục, nên fư1(clω(B)) là tập ωgs-đóng trong (X, τ ) Do đó sclω(fư1(clω(B))) ⊂ U Kéo theo sclω(fư1(B)) ⊂ U Vậy fư1(B)là tập ωgs-đóng trong

3.14 Định lý Nếu f : (X, τ ) ư→ (Y, σ) là ánh xạ đóng và ωgs-liên tục, h :

(Y, σ) ư→ (Z, η) là ánh xạ ωgs-liên tục, thì hof : (X, τ ) ư→ (Z, η) là ánh xạ ωgs-liên tục.

Chứng minh Giả sử V là tập đóng trong (Z, η) Ta cần chứng minh (hof )ư1(V ) là tập ωgs-đóng trong (X, τ ) Thật vậy, vì h : (Y, σ) ư→ (Z, η) là ánh xạ ωgs-liên tục, nên

hư1(V ) là tập ωgs-đóng trong (Y, σ) Mặt khác, f : (X, τ ) ư→ (Y, σ) là ánh xạ đóng

và liên tục nên nhờ Bổ đề 3.13 ta suy ra (hof )ư1(V ) = fư1(hư1(V )) là tập ωgs-đóng

3.15 Định lý Nếu f : (X, τ ) ư→ (Y, σ) là ánh xạ ωgs-liên tục và h : (Y, σ) ư→

(Z, η) là ánh xạ liên tục, thì hof : (X, τ ) ư→ (Z, η)là ánh xạ ωgs-liên tục.

Chứng minh Giả sử B là tập đóng trong (Z, η) Vì h liên tục nên hư1(B)là tập đóng trong (Y, σ) Lại vì f là ánh xạ ωgs-liên tục nên fư1(hư1(B)) là tập ωgs-đóng mà (hof )ư1(B) = fư1(hư1(B)) Vậy hof là ánh xạ ωgs-liên tục 

tài liệu tham khảo

[1] J K Kelly, Tô pô đại cương, Nhà xuất bản Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà

Nội, 1973

[2] Đinh Văn Phượng , Về các tập nửa đóng suy rộng và các tập đóng nửa suy rộng, Luận

văn thạc sĩ Toán học, Trường Đại học Vinh, 2006

[3] Ah Al Omari and M S Noorani, Regular generralized closed sets, Inter J Math.

and Math Sci., Article JD 16292, 2007, 11 pages

[4] N Levin, Generralized closed sets in topology, Ren Circ Math Palermo, 19(2), 1970,

89 - 96

[5] Kh Y Zoubi, On generralizedω-closed sets, Inter J Math and Math Sci., 13(2005),

2011 - 2021

summary