trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVIII, số 2A-2009 ảnH hưởng CáC THAM số lêN GIA tăNG PHONON TRONG Hố lượng tử BáN dẫn NGUYễN TIếN DũNG a Tóm tắt.. Trong bài báo này, chúng
Trang 1trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVIII, số 2A-2009
ảnH hưởng CáC THAM số lêN GIA tăNG PHONON
TRONG Hố lượng tử BáN dẫn
NGUYễN TIếN DũNG (a)
Tóm tắt Trong bài báo này, chúng tôi thiết lập phương trình động lượng tử đối với phonon trong hố lượng tử bán dẫn Sử dụng phương trình này chúng tôi tìm được hệ số gia tăng phonon xét cho trường hợp khí electron suy biến, điều kiện gia tăng phonon và khảo sát sự ảnh hưởng của các tham số hố lượng tử lên hệ số gia tăng phonon
1 Mở đầu
Hiệu ứng gia tăng phonon do hấp thụ năng lượng của Laser đã được phát hiện
và nghiên cứu trong bán dẫn khối, dây lượng tử bán dẫn, hố lượng tử bán dẫn và siêu mạng bán dẫn Cơ chế của sự gia tăng phonon do hấp thụ năng lượng của trường Laser
là quá trình hấp thụ photon kèm theo sự hấp thụ hay phát xạ phonon Vì vậy, sự gia tăng phonon chỉ xảy ra khi thỏa mãn các điều kiện về năng lượng và xung lượng để các electron có thể chuyển từ trạng thái đầu đến trạng thái cuối kèm theo phát xạ phonon Nội dung của bài báo này là nghiên cứu ảnh hưởng của trường laser lên sự gia tăng phonon trong hố lượng tử bán dẫn (Quantum Well Semiconductor) cho trường hợp khí electron không bị suy biến bằng phương pháp phương trình động lượng tử [1]
2 Phương trình động học cho phonon trong hố lượng tử
Mô hình nghiên cứu là hố thế lượng tử bán dẫn được tạo nên từ tinh thể bị giới hạn bởi hai hàng rào thế cao vô hạn, cách nhau một khoảng L bé (không quá vài trăm
0
A ) Các hàng rào hố thế này có thể phản xạ các sóng Bloch dọc theo trục Oz vuông góc với hàng rào thế Giả sử sóng laser lan truyền dọc theo trục Oz, véctơ cường độ điện trường của sóng Laser có dạngE r = E sin r0 Ω t , E0
r
hướng vuông góc với trục Oz Giả sử
hố thế không giam giữ phonon Năng lượng của electron bị lượng tử hoá, trạng thái electron được đặc trưng bởi chỉ số lượng tử hoá n và véc tơ sóng k⊥
r
vuông góc với trục
Oz Hamiltonian của hệ electron-phonon trong hố lượng tử dưới tác dụng của trường laser trong biểu diễn lượng tử hóa thứ cấp có dạng [1]:
1 1
1 2
1 2
(n ) (n )
q
k ,n
(n ) (n )
k ,q,n ,n
e
c
+
⊥
+
⊥
+
+
ư +
∑
r
r r
h h
ở đây (n)
k
a +
⊥
r và (n)
k
a
⊥
r tương ứng là toán tử sinh và toán tử hủy của electron ở trạng thái n (n là chỉ số lượng tử hóa năng lượng theo phương trục Oz) , bq+r và bqr tương ứng là toán
tử sinh và toán tử hủy phonon, ε = ωqr h qr là năng lượng của phonon với vectơ sóng
Trang 2NGUYễN TIếN DũNG ảnH hưởng CáC THAM số lêN GIA tăNG PHONON , Tr 15-20
q
r
,εn(k )⊥
r
là phổ năng lượng của electron, có dạng [2]:
2 2
e
2m L
⊥
π
,
với n = 0,1,2 và
2 2
e
2m L
π
e và me là điện tích và khối lượng hiệu dụng của electron, c là vận tốc ánh sáng trong chân không A (t )
r
là thế vectơ liên hệ với véctơ cường độ điện trường laser :
1 2 1 2
C (q) r = C Ir (q) r
, trong đó Cqr là hằng số tương tác electron-phonon trong hố lượng
tử và có dạng cụ thể phụ thuộc vào cơ chế tương tác, còn
1 2
n n
I (q) r có dạng [2]:
1 2
L
0
2
I (q ) sin( ) sin( ) exp(iq z)dz
Sử dụng phương pháp như trong [1] chúng tôi tìm được phương trình động lượng
tử cho phonon trong hố lượng tử:
1 2
1 2
t 2
2
k,n ,n
N (t) 1
C (q) J / dt ' N (t') t
i
i
+∞
∂
∂
r
r l
r
l
r
r
r
h h
lh h
lh h
(5)
ở đây N (t)qr =<b bq+r qr >t, ký hiệu<X>t là trung bình thống kê của đại lượng vật lý X tại thời điểm t, Λ = e E q / m h r r0 ⊥ ( eΩ ), J (z)l là các hàm Bessel bậc l đối số z, f (k )n ⊥
r
là hàm phân bố của electron (ở đây ta chỉ quan tâm đến sự gia tăng phonon, vì vậy chúng
ta có thể giả thiết rằng hàm phân bố của electron không phụ thuộc thời gian)
3 Hệ số gia tăng phonon trong hố lượng tử
Để thiết lập hệ số gia tăng phonon ta đưa phương trình (5) về dạng:
q
N
N (t)
∂
= γ
r
Trang 3trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVIII, số 2A-2009
Hệ số γqr chính là hệ số gia tăng phonon: γ >qr 0 có nghĩa là số phonon tăng theo thời gian, ngược lại γ <qr 0 có nghĩa số phonon giảm theo thời gian
Hệ số gia tăng phonon tìm được có dạng [1]:
1 2 2 1
1 2
2
k ,n ,n
C (q) f (k q) f (k)
∑
r
r
h
Có thể thấy rằng hệ số gia tăng phonon gồm đóng góp của cả hai quá trình: hấp thụ photon (chứa hàm Delta thứ nhất) và phát xạ photon (chứa hàm Delta thứ hai) của trường laser Vì vậy, có thể viết γqr = γq( r + ) + γq( r ư ), trong đó:
1 2 2 1 2 1
1 2
2 ( )
k,n ,n
C (q) f (k q) f (k) (k q) (k)
r
Khí electron không suy biến có hàm phân bố Boltzmann:
f (k )⊥ = exp β ε ư ε (k )⊥
, (9) với εF là năng lượng Fermi,β =1 / (k T)B (kB là hằng số Boltzmann, T là nhiệt độ tinh thể) Khi đó biểu thức giải tích của hệ số gia tăng phonon trong trường hợp khí electron không suy biến là:
1 2
1 2
1/2
n ,n
2
2 2
e
2 2
e
m S
2m
2 q
±
⊥
⊥
⊥
π β
∑
r
r h
h
h
(10)
Từ biểu thức (10) ta thấy quá trình phát xạ photon (dấu dưới) luôn cho đóng góp
( )
γr < , còn quá trình hấp thụ photon (dấu trên) sẽ cho đóng góp ( )
γr > nếu:
0 q e
eq E m
⊥
Λ = > ω
Ω
r
r r h
h (11)
Điều này có nghĩa là chỉ có quá trình hấp thụ photon và thoả mãn điều kiện năng lượng (11) mới có quá trình gia tăng phonon
Nếu ta xét tương tác là giữa điện tử và phonon âm thì hệ số gia tăng phonon âm
có dạng:
Trang 4NGUYễN TIếN DũNG ảnH hưởng CáC THAM số lêN GIA tăNG PHONON , Tr 15-20
1 2
1 2
1/ 2 3 2
2
n ,n a
2
2 2
e
2 2
e
m
2 q L v 8
2m
2 q
+
⊥
⊥
⊥
ρ π β
∑
r
r h
h
h
(12)
trong đó ξ là thế biến dạng, ρlà khối lượng riêng của tinh thể, v alà vận tốc sóng âm
4 Khảo sát sự ảnh hưởng của các tham số đối với hệ số gia tăng phonon Chúng ta khảo sát sự ảnh hưởng của các tham số đối với hệ số gia tăng phonon
âm trong hố lượng tử với các tham số được sử dụng để tính toán như sau:
34
1, 05 10ư Js
h , me =0, 066m0, với m0là khối lượng electron, e f =0, 05eV,
5, 32.10 kg / m
ρ = , va =5370 m / s, ζ =13, 51 eV, T=400 K, n1=1, n2 =2,
14
4, 5.10 rad / s
0
E = 1, 2.10 V / m 4.1 ảnh hưởng của số sóng
Sự ảnh hưởng của số sóng q lên hệ số gia tăng phonon được biểu diễn qua Hình 1
Hình 1: Sự phụ thuộc hệ số gia tăng với số sóng
ở đây L=3.10ư8 m, q⊥=qz= q 1/s
1/m
Trang 5trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVIII, số 2A-2009 chúng ta có thể chọn được giá trị số sóng thích hợp để hệ số gia tăng phonon là lớn nhất
4.2 ảnh hưởng của chiều rộng hố lượng tử
Sự ảnh hưởng của chiều rộng hố lượng tử lên hệ số gia tăng phonon được biểu diễn qua Hình 2:
Chúng ta nhận thấy có một giá trị chiều rộng hố lượng tử L cho ta tốc độ gia tăng phonon đạt giá trị cực đại, với giá trị L cỡ 2.10-8 m
5 Kết luận
Trong bài báo này, bằng phương pháp phương trình động lượng tử, vấn đề chúng tôi nghiên cứu ảnh hưởng của các tham số lên sự gia tăng phonon trong hố lượng tử khi
có mặt trường laser đối với khí electron không bị suy biến đã được nghiên cứu
Chúng tôi đã thiết lập được phương trình động lượng tử cho phonon Phương trình này có vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các tính chất quang và các tính chất dịch chuyển, trong đó hệ phonon là không cân bằng còn khí electron là cân bằng
Từ phương trình động lượng tử chúng tôi tìm được các biểu thức giải tích xác định điều kiện gia tăng phonon và hệ số gia tăng phonon Hệ số gia tăng phonon ngoài sự phụ thuộc vào trường laser mà còn phụ thuộc vào các tham số đặc trưng cho hố lượng tử và cơ chế tương tác của từng loại phonon
Từ hệ số gia tăng phonon chúng tôi đã tiến hành sự khảo sát số sự ảnh hưởng của các thông số của hố lượng tử lên hệ số gia tăng này Từ đó chúng tôi chỉ ra được các giá trị mà tại đó hệ số gia tăng phonon là cực đại
Hình 2: Sự phụ thuộc hệ số gia tăng với chiều rộng hố lượng tử
ở đây q⊥=qz= q
2 = 5.108 (1/m) 1/s
m
Trang 6NGUYÔN TIÕN DòNG ¶nH h−ëng C¸C THAM sè lªN GIA t¨NG PHONON , Tr 15-20
TÀI LiÖU THAM Kh¶O
[1] TrÇn C«ng Phong vµ Lª §×nh, Sù gia t¨ng phonon trong hè l−îng tö cña vËt r¾n cã cùc d−íi t¸c dông cña tr−êng laser, T¹p chÝ Khoa häc, §¹i häc HuÕ, Sè 13, 2002, tr.37
[2] F Ping and C Nanxian, Amplification of the interface-phonons population under an
an intense laser field, Phys Rev B46, 1992, pp 7627
SUMMARY
THE INFLUENCE OF PARAMETERS ON THE PHONON APLIFICATION IN
SEMICONDUCTOR QUANTUM WELL
In this paper, we established the kinetic equation for phonons in semiconductor quantum well Using this equation, we find expression for the rate coefficient for the case non-degenerate electron gas, the condition of the phonon increase, and study the influence of the parameters of the semiconductor quantum well on the rate coefficient
(a) KHOA VËT LÝ, tr−êng §¹I HäC VINH
