Trong bài viết này, chúng tôi trình bày phương pháp tìm tất cả tiếp tuyến cố định của họ đồ thị phụ thuộc tham số.. Ngày nay ba bài toán sau đã quá đỗi quen thuộc với học sinh THPT xem [
Trang 1PHạM QUốC PHONG TIếP TUYếN Cố ĐịNH CủA Họ Đồ THị, Tr 34-38
TIếP TUYếN Cố ĐịNH CủA Họ Đồ THị
PHạM QUốC PHONG(a)
Tóm tắt Trong bài viết này, chúng tôi trình bày phương pháp tìm tất cả tiếp tuyến cố định của họ đồ thị phụ thuộc tham số
I Mở ĐầU
Tiếp tuyến là một trong những vấn đề cơ bản và là một tâm điểm trong các kì thi tốt nghiệp cũng như tuyển sinh vào Đại học Ngày nay ba bài toán sau đã quá đỗi quen thuộc với học sinh THPT (xem [1], [2], [3]):
- Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại tiếp điểm;
- Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị đi qua một điểm;
- Tìm tập hợp điểm xuất phát của tiếp tuyến thoả mãn một tính chất hình học, đại số nào đó
Nói như vậy không có nghĩa là mọi vấn đề về tiếp tuyến đã được giải quyết Lâu nay ta chỉ thường viết tiếp tuyến tại tiếp điểm “tĩnh”, nghĩa là tiếp điểm có toạ
độ cố định Vấn đề phương trình tiếp tuyến tại tiếp tuyến “động” nghĩa là tọa độ tiếp
điểm thay đổi phụ thuộc tham số hầu như chưa được chú trọng Chẳng hạn bài toán sau:
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số có phương trình
2
y
x m
=
ư tại điểm x = m ư 2 Dễ dàng thu được kết quả: phương trình tiếp tuyến là y = x + 3
Chứng minh họ đồ thị có một tiếp tuyến cố định là bài toán đã quen thuộc với nhiều người Phương pháp giải bài toán này thường là dự đoán tiếp tuyến cố định rồi chứng minh tính đúng đắn của dự đoán trên Tuy nhiên bài toán này không đòi hỏi phải tìm tất cả các tiếp tuyến cố định chứng minh theo cách này ta thường chỉ ra
được một số tiếp tuyến cố định của họ đồ thị phụ thuộc tham số (hay họ đường cong
đã cho) Trong bài báo này chúng tôi đề cập đến vấn đề: Tìm tất cả các tiếp tuyến cố
định của họ đường cong (Cm) cho trước
II TIếP TUYếN Cố ĐịNH CủA Họ Đồ THị
2.1 Bài toán Gọi Cm là đồ thị của hàm số y = f(x,m), trong đó m là tham số Tìm tất cả các tiếp tuyến cố định của họ (Cm)
y = f(m, x)
(x0,y 0) y = ax + b
Trang 2trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVIII, số 2A-2009
2.2 Cách giải Giả sử đường thẳng d có phương trình y = ax+b là một tiếp tuyến cố định của họ đồ thị (Cm) Với mỗi m, trên Cm chứa ít nhất một điểm có toạ độ (x0(m); y0(m)) sao cho tiếp tuyến của Cm tại (x0(m); y0(m)) trùng với d Vì vậy đạo hàm f x'(x0(m)) của hàm số y = f(x,m) tại x0(m) thoả mãn f x'(x0(m))= a Chú ý rằng
x0(m) nói chung phụ thuộc vào m
Để cho gọn ta gọi tiếp điểm của tiếp tuyến cố định của họ đường cong (Cm) là mắt tuyến của họ đường cong (Cm) Ta chuyển bài toán tìm tiếp tuyến cố định của họ
đồ thị về việc tìm một mắt tuyến trên tiếp tuyến đó
Thuật toán tìm tiếp tuyến cố định của họ đồ thị (Cm) như sau
Bước 1 Tìm các giá trị thuộc tập xác định của hàm số y = f(x,m) mà
))
(
( 0
'
m
x
f x là hằng số, giả sử f x'(x0(m))= a Ký hiệu y0(m) = f(x0 (m),m)
Bước 2 Tính y0(m) ư x0(m) f x'(x0(m))
Nếu giá trị này là hằng số, chẳng hạn b Khi đó (x0(m), y0(m)) là một mắt tuyến của họ đường cong (Cm) Khi đó có một tiếp tuyến cố định của (Cm) đi qua mắt tuyến này, phương trình của tiếp tuyến cố định là y = ax+b
Nếu y0(m) ư x0(m) f x'(x0(m))phụ vào m, ta bỏ qua điểm (x0(m); y0(m))
Thực hiện thuật toán trên với tất cả điểm thuộc miền xác định của hàm số mà tại đó đạo hàm của hàm số không phụ thuộc vào m
2.3 Thí dụ Tìm tất cả các tiếp tuyến của họ đồ thị (Cm) của hàm số
y = mx3 + 2(3m + 1)x2 + (12m ư 1)x + 8m + 5
Lời giải Ta có y’ = 3mx2 + 4(3m + 1)x + 12m ư 1; y' là hằng số a không phụ thuộc vào m khi và chỉ phương trình phương trình (ẩn x) 3mx2 + 4(3m + 1)x + 12m ư
1 = a có nghiệm với mọi m Tức là phương trình 3mx2 + 4(3m + 1)x + 12m ư 1 ư a = 0
có nghiệm với mọi m Điều đó xảy ra khi và chỉ khi ∆'x= 4 + 3m(a + 9 ≥ 0, ∀m ∈ Suy ra a = ư9 Khi đó y' = ư9 ⇔ x = ư2 hoặc
m
m x
3
4
ư
Tại x0 = ư2 ta có y0(m) ư x0(m) f x'(x0(m))= ư3, vậy có tiếp tuyến cố định của họ
đồ thị (Cm), phương trình của nó là y = ư9x ư 3
Tại
m
m x
3
4 6
0
+
ư
= ta có y’(x0) = ư9 , y0(m) ư x0(m) f x'(x0(m))=
=
2
1
Dễ thấy y0(m) ư x0(m) f x'(x0(m)) phụ thuộc vào
Kết luận y = 0 là tiếp tuyến cố định duy nhất của họ đồ thị (Cm)
Trang 3PHạM QUốC PHONG TIếP TUYếN Cố ĐịNH CủA Họ Đồ THị, Tr 34-38
2.4 Thí dụ Tìm tất cả các tiếp tuyến cố định của họ đồ thị (Cm) của hàm số
m x
m m x
m
y
ư
ư
ư
ư
+
Lời giải Tập xác định \{m} Ta có 2
) (
9 '
m x
y
ư
= Nếu có f x'(x0(m)) không phụ thuộc m thì x0 ư m = a, hay x0 = a + m (với a là hằng số khác 0) Với
x0 = a + m ta có:
a
a ma y a m x
f x'( 0( ))= 92 , 0 = +3 ư9; y0(m) ư x0(m) f x'(x0(m))=
] 3 18 ) 9 ( [ 1 ) ( 9 9
a a
a m a
a
ma
+
ư
ư
=
+
ư
ư
+
y0(m) ư x0(m) f x'(x0(m)) không phụ thuộc m ⇔ a2 ư 9 = 0 ⇔ a = ±3
Với a = 3 có x0 = m + 3, y'(x0) = 1, y0 = m, y0 ư x0.y'(x0) = m ư (m + 3).1 = ư3 Vậy với mỗi m ta có (m + 3; m) là một mắt tuyến của họ đồ thị (Cm) Phương trình tiếp tuyến cố định của (Cm) đi qua điểm (m + 3; m) là y = x ư 3
Với a = ư3 có x0 = m ư 3, y'(x0) = 1, y0 = m + 6, y0 ư x0.y’(x0) = m + 6 ư (m ư 3).1
= 3 Vậy với mỗi m ta có (m ư 3; m + 6) là một mắt tuyến của họ đồ thị (Cm) Phương trình tiếp tuyến cố định của (Cm) đi qua điểm (m ư 3; m + 6 ) là y = x + 9
Tóm lại, họ đồ thị của hàm số đã cho có hai tiếp tuyến cố định là y = x ư 3 và y
= x + 9
2.5 Chú ý Khi nói tới tiếp tuyến cố định người ta hay liên hệ tới điểm cố
định của họ đường cong và cho rằng tiếp tuyến cố định phải đi qua điểm cố định Vì vậy rất nhiều học sinh đã giải bài toán trong Thí dụ 3 như sau
Ta tìm điểm cố định của (Cm) Dễ thấy có duy nhất một điểm cố định là M(ư2; 15) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M, đó là đường thẳng có phương trình y =
ư9x ư 3 Vậy họ (Cm) chỉ có một tiếp tuyến cố định, có phương trình y = ư9x ư 3
Lời giải trên chưa chính xác vì chỉ có thể kết luận họ (Cm) có một tiếp tuyến cố
định chứ chưa kết luận được họ (Cm) chỉ có một tiếp tuyến cố định Mặt khác lập luận cho rằng tiếp tuyến cố định phải đi qua điểm cố định là một sai lầm
Ngoài cách giải trên, học sinh cũng thường mắc sai lầm khi giải bài toán trên bằng lập luận rằng toạ độ của tiếp điểm là các giá trị làm cho đạo hàm f m'(x0(m))
theo tham số m của hàm số y = f(x,m) triệt tiêu
Qua các thí dụ trên ta thấy việc tìm tất cả các tiếp tuyến cố định của họ đồ thị không khó khăn nếu tìm được tất cả các mắt tuyến của nó Tuy nhiên trong một
số trường hợp, việc tìm các mắt tuyến của họ đồ thị phải nhờ vào các nhận xét tinh
tế Xét các thí dụ sau
2.6 Thí dụ Cho họ đồ thị (Cm) của hàm số
2
y
x m
=
1) Tìm tất cả các mắt tuyến của họ đồ thị (Cm)
2) Tìm tất cả các tiếp tuyến cố định của họ đồ thị (Cm)
Trang 4trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVIII, số 2A-2009
Lời giải Viết lại
2
x m
+
Tập xác định \{m} Trước hết để (Cm) có tiếp tuyến thì m ≠ ư1
1) Ta có
2
'
y
=
ư
Do m ≠ -1 và m ≠ x nên nếu tồn tại tiếp cố định của họ đồ thị và (x0,y0) là mắt tuyến của họ đồ thị thì x0 = ư1 Thật vậy, giả sử x0 = a, với a ≠ ư1 Do m ≠ x0 suy ra
m≠ a Thế thì đồ thị (Ca) không tiếp xúc với tiếp tuyến nói trên, điều đó đồng nghĩa với tiếp tuyến trên không tiếp xúc với mọi (Cm), m ≠ -1
Tại x0 = ư1 ta có y’(x0) = 1, y0 = ư3; y0(m) ư x0(m) f x'(x0(m)) = - 2 Suy ra (-1; -3)
là mắt tuyến của họ đồ thị (Cm), qua điểm này có tiếp tuyến cố định của (Cm), phương trình của tiếp tuyến cố định là y = x ư 2 Đó là tiếp tuyến cố định duy nhất của họ đồ thị (Cm) đã cho
2.7 Thí dụ Tìm tất cả các tiếp tuyến cố định của họ đồ thị (Cm) của hàm số 2
2
2
y
=
Lời giải Viết lại 1 2
2
mx y
ư + Tập xác định {x ∈ | x2 ư 2x + m ≠ 0} Trước hết để Cm có tiếp tuyến thì m ≠ 0 Ta có
2 2
'
y
=
Lập luận hoàn toàn tương tự như trong thí dụ 3, từ điều kiện
⇔
ta suy ra rằng hoành độ của mắt tuyến chỉ có thể
là 0 hoặc 2
Tại x = 0 ta có y'(0) = 1, y(0) = 1; y0(m) ư x0(m).f x'(x0(m)) = 1 Vậy (0; 1) là mắt tuyến của họ đồ thị (Cm), qua điểm này có tiếp tuyến cố định của họ (Cm),
phương trình của tiếp tuyến này là y = x + 1
Tính toán tương tự ta thấy với x = 2 không có tiếp tuyến cố định của họ (Cm) Vậy y = x + 1 là tiếp tuyến cố định duy nhất của họ đồ thị (Cm) đã cho
2.8 Nhận xét Qua các thí dụ trên ta thấy mắt tuyến có thể là điểm cố định,
có thể là điểm không cố định của họ đường cong (Cm) Số lượng các mắt tuyến cũng có thể hữu hạn (trong các Thí dụ 2.3, 2.6, 2.7) cũng có thể vô hạn (trong Thí dụ 2.4) Trong trường hợp họ đường cong có vô số mắt tuyến thì mỗi "họ" mắt tuyến xác định một tiếp tuyến cố định, chẳng hạn trong Thí dụ 2.4 có hai họ mắt tuyến (m + 3; m)
và (m - 3; m + 6)
III Bài tập đề nghị
Tìm tập hợp các mắt tuyến và tiếp tuyến cố định của mỗi họ đồ thị của hàm
Trang 5PHạM QUốC PHONG TIếP TUYếN Cố ĐịNH CủA Họ Đồ THị, Tr 34-38
1) y = mx3 + 2(3m + 1)x2 + (12m ư 1)x + 8m + 5;
2) y (m 1)x m
x m
=
ư ; 3)
2
y
x m
=
4)
2
y
x m
=
ư ; 5)
2 2
2
y
=
6)
2
1
y
x
=
7) (Cm) : 2
2
x
x x
IV Kết luận
Việc gây hứng thú cho học sinh học tập luôn là một vấn đề đòi hỏi sự đầu tư công sức bằng tất cả lòng say mê và tâm huyết với nghề của mỗi thầy giáo, cô giáo Trong phong trào mỗi “Mỗi thầy cô giáo là một tấm gương đạo đức, tự học và sáng tạo” do Bộ Giáo dục và Đào tạo phát động, việc làm trên càng có ý nghĩa Tác giả bài viết này mong muốn cung cấp một tư liệu tham khảo cho các giáo viên dạy toán THPT khai nguồn hứng thú cho học sinh
Tài liệu tham khảo
[1] Phạm Quốc Phong, Các chuyên đề nâng cao Toán Trung học Phổ thông ư Đại số
và Giải tích, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2004
[2] Phạm Quốc Phong, Một số chuyên đề tuyển chọn lọc toán THPT, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2008
[3] Phạm Quốc Phong, Bồi dưỡng Giải tích 12, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2008
summary
The fixed tangents of a collection of graphs
In this paper, we present a method to find all fixed tangents of a collection of graphs depending on a parameter
(a) TRƯờNG THPT HồNG LĩNH, Hà TĩNH.