Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Tính rốn của mặt đối chiều hai spacelike trong Ln+1." ppt

Trong bài bào này chúng tôi giới thiệu phương pháp sử dụng công cụ n ± r-ánh xạ Gauss để khảo sát tính rốn của mặt đối chiều hai spacelike trong không gian Lorent-MinkowskiLn+1.. Mở đầu

Tính rốn của mặt đối chiều hai spacelike trongLn+1

Đặng Văn Cường(a)

Tóm tắt Trong bài bào này chúng tôi giới thiệu phương pháp sử dụng công cụ

n ±

r-ánh xạ Gauss để khảo sát tính rốn của mặt đối chiều hai spacelike trong không gian Lorent-MinkowskiLn+1.

I Mở đầu

Bằng cách đặt tương ứng một điểm trên một mặt đối chiều hai spacelike chính quy trong không gian Lorentz-Minkoski Ln+1 với một cặp vectơ chỉ phương của

2-phẳng pháp trong n-không gian hyperbolic tâm v bán kính 1, trong đó v = (0, 0, , 0, 1) ∈

Ln+1 , ta có khái niệm n ±

r-ánh xạ Gauss Từ khái niệm này chúng ta có các khái niệm:

n ±

r -ánh xạ Weigarten, n ±

r -độ cong chính, n ±

r -độ cong Gauss-Kronecker, điểm n ±

r-rốn,

mặt n ±

r-rốn và thông qua các khái niệm này chúng tôi tiến hành khảo sát tính rốn của mặt

II Kiến thức cơ sở

2.1 Không gian Lorentz-Minkowski

Không gian Lorentz-Minkowski n-chiều L n+1 là không gian vectơ Rn+1 cùng với một dạng song tuyến tính được xác định bởi

hx, yi =

n

X

k=1

x k y k − x n+1 y n+1 ,

với x = (x1, x2, , x n+1 ), y = (y1, y2, , y n+1 ) ∈ R n+1 Dạng song tuyến tính trên được gọi là giả tích vô hướng trên Ln+1

Với x ∈ L n+1 , độ dài của vectơ x được xác định theo (giả) tích vô hướng

||x|| =p|hx, xi|.

2.2 Các loại vectơ

Cho x ∈ L n+1 , x 6= 0 Khi đó x được gọi là spacelike nếu hx, xi > 0, timelike nếu

hx, xi < 0 và lightlike nếu hx, xi = 0.

Hai vectơ x, y ∈ L n+1 được gọi là trực giao với nhau nếu hx, yi = 0.

2.3 Nhận xét

(i) Hai vectơ lightlike phụ thuộc tuyến tính thì trực giao với nhau

(ii) Hệ vectơ gồm hai vectơ khác loại thì độc lập tuyến tính

1 Nhận bài ngày 30/7/2009 Sửa chữa xong 10/9/2009.

2.4 Các loại phẳng

Cho Π là m-phẳng trong L n+1

(+) Π được gọi là m-phẳng spacelike nếu không gian chỉ phương của Π chỉ chứa các

vectơ spacelike hoặc vectơ 0;

(+) Π được gọi là m-phẳng timelike nếu không gian chỉ phương của Π có chứa ít

nhất một vectơ timelike ;

(+) Π được gọi là m-phẳng lightlike nếu không gian chỉ phương của Π chứa ít nhất

một vectơ lightlike và không chứa vectơ timelike nào

2.5 Nhận xét

(1) Cho Π là một m-phẳng trong L n+1 Khi đó Π chỉ có thể là m-phẳng spacelike, hoặc m-phẳng timelike, hoặc là m-phẳng lightlike.

(2) Cho HP (q, c) = {x ∈ L n+1 | hx, qi = c} (với q là vector cố định và c là hằng số)

là một siêu phẳng trong Ln+1 Khi đó HP (q, c) lần lượt là siêu phẳng spacelike, siêu phẳng timelike, siêu phẳng lightlike nếu và chỉ nếu q tương ứng lần lượt là

vectơ timelike, vectơ spacelike, vectơ lightlike

2.6 n-không gian hyperbolic

(i) Siêu mặt hyperbolic n-chiều, ký hiệu H n (−1), được xác định như sau

Hn (−1) = {x ∈ L n+1 | hx, xi = −1}.

(ii) n-không gian hyperbolic, ký hiệu H n

+(−1), được xác định như sau

H+n (−1) = {x ∈ L n+1 | hx, xi = −1, x n+1 > 0}.

(iii) n-không gian hyperbolic tâm a ∈ L n+1 , bán kính r ∈ R+, ký hiệu H n

+(a, r), được xác định như sau

H+n (a, r) = {x ∈ L n+1 | hx − a, x − ai = −r, x n+1 ≥ 0}.

2.7 Các loại siêu mặt trong n-không gian hyperbolic

Lấy siêu phẳng HP (q, c) giao với n-không gian hyperbolic H n

+(−1)(nếu khác rỗng

và khác một điểm) ta nhận được các loại siêu mặt trong n-không gian hyperbolic.

HP (q, c) ∩ H n

+(−1) lần lượt được gọi là siêu cầu (hypersphere), siêu mặt cách đều (equidistant hypersurface), siêu cực hạn (hyperhorosphere) trong hyperbolic nếu tương

ứng HP (q, c) là siêu mặt spacelike, siêu mặt timelike, siêu mặt lightlike.

Tương tự, lấy siêu phẳng HP (q, c) giao với n-không gian hyperbolic H n−1

+ (a, r)tâm

a bán kính r ta cũng nhận được các loại siêu mặt trong H n−1

+ (a, r) Trường hợp đặc biệt

siêu phẳng là {x n+1 = c} với c là một hằng số, cắt một hyperbolic H(a, r) ta ký hiệu SH(a, r, c) = H(a, r) ∩ {x n+1 = c}, và được gọi là siêu cầu đặc biệt

Dễ dàng kiểm tra được, các siêu mặt trong n-không gian hyperbolic là các đa tạp

trơn (n − 1)-chiều Trong phần nghiên cứu tính rốn (umbilic) của mặt đối chiều hai

chúng ta sẽ quan tâm nhiều đến các loại siêu mặt này

2.8 n ±

r- ánh xạ Gauss

Trong mục này, chúng tôi giới thiệu khái niệm mặt đối chiều hai spacelike trong

Ln+1 , giới thiệu cách xây dựng n ±

r-ánh xạ Gauss và các khái niệm liên quan Cuối cùng

chúng tôi giới thiệu một tính chất của n ±

r-ánh xạ Gauss tương tự như ánh xạ Gauss trong hình học vi phân cổ điển Các kết quả này đã được chứng minh chi tiết trong [5]

Cho M = X(U) là một mặt tham số hóa đối chiều hai trong L n+1 M được gọi là

mặt spacelike (spacelike surface) nếu tích vô hướng trên Ln+1 cảm sinh một metric

Riemann g trên M, xác định như sau

g p (w1, w2) = hw1, w2i, ∀w1, w2∈ T p M, ∀p ∈ M.

Nói cách khác, M được gọi là mặt spacelike nếu mọi vectơ trên T p M đều là vectơ

spacelike Với mỗi p ∈ M, không gian pháp của M tại p, ký hiệu là N p M, được xác định như sau

N p M =âN ∈ L n+1 | hN, X u i (p)i = 0, i = 1, 2, , n − 1ê Nếu M là một mặt spacelike thì với mỗi p ∈ M không gian tiếp xúc T p M là (n − 1)-phẳng spacelike và không gian pháp N p M là 2-phẳng timelike

Để xây dựng n ±

r -ánh xạ Gauss đối với mặt đối chiều hai spacelike M ta quan tâm

đến n-không gian Hyperbolic tâm v, bán kính 1 được xác định

H+n (v, 1) = {x ∈ R n+1 | hx − v, x − vi = −1, x n+1 ≥ 0}, với v = (0, 0, , 0, −1) ∈ L n+1 H n

+(v, 1) nhận được bằng cách tịnh tiến n-không gian hyperbolic dọc theo trục x n+1 đến vị trí có đỉnh nằm ở gốc toạ độ

2.9 Bổ đề ([5])

Cho Π là 2-phẳng timelike đi qua gốc toạ độ Khi đó, với mỗi r > 0 cho trước, tập

hợp

{x = (x1, x2, , x n+1 ) ∈ Π ∩ H+n (v, 1) | x n+1 = r}

chứa đúng hai vectơ Cho M là mặt đối chiều hai spacelike trong L n+1, khi đó với

mỗi p ∈ M siêu phẳng {x n+1 = r}, (r > 0) cắt hyperbola N p M ∩ H n

+(v, 1)tại hai điểm

n ±

r (p) , ta quy ước chọn các vectơ n ±

r (p)sao cho

det(X u1, X u2, , X u n−1 , n+r (p), n − r (p)) > 0.

Ký hiệu HS r

+(v, 1) = H n

+(v, 1) ∩ {x n+1 = r}, r > 0 2.10 Định nghĩa ([5])

Với các ký hiệu trên, ánh xạ

n ± r : M → HS+r (v, 1)

p 7→ n ± r (p)

được gọi là n ±

r -ánh xạ Gauss của mặt tham số hóa đối chiều hai spacelike M trong

Ln+1 Cho p = X(u1, u2, , u n−1)là một điểm của M, khi đó n ±

r (p)được xác định từ hệ





hX u i , ni = 0, i = 1, 2, , n − 1,

hn − v, n − vi = −1,

n n+1 = r > 0.

(0.1)

Đặt N n ±

r

p M = N p M ∩ T n ±

r (p) H+n (v, 1), ta có ánh xạ tuyến tính

dn ± r¯¯p : T p M → T n ±

r (p) H+n (v, 1) = T p M ⊕ N n ± r

p M.

Xét các phép chiếu trực giao

π n ± r (p)

T : T p M ⊕ N n ± r

p M → T p M, π n ± r (p)

N : T p M ⊕ N n ± r

p M → N n ± r

p M ⊂ N p M,

ta có tự đồng cấu tuyến tính

A n ± r

p : T p M → T p M với A n ± r

p = −π n ± r (p)

T ◦ dn ±

r

¯

¯

p Khi đó:

(i) ánh xạ A n ±

r

p được gọi là n ±

r -ánh xạ Weingarten của M tại điểm p;

(ii) các giá trị riêng k n ± r

1 (p), k n ± r

2 (p), , k n ± r

n−1 (p) của A n ± r

p (nếu tồn tại) được gọi là các

n ±

r -độ cong chính của M tại p;

(iii) n ±

r -độ cong Gauss - Kronecker của M tại p, ký hiệu K n ± r

p , được định nghĩa từ

n ±

r-ánh xạ Weingarten như sau

K n ± r

p = det(A n ± r

p ).

(iv) n ±

r -ánh xạ Gauss được gọi là song song nếu π n ± r (p)

N = 0, ∀p, khi đó ta có

dn ± r¯¯p ≡ A n ± r

p Các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất của M được xác định như sau

g ij = hX u i , X u j i, i = 1, 2, , n − 1.

Các hệ số của dạng cơ bản thứ hai của M tại p ∈ M được xác định như sau

b n ± r

ij (p) = h ∂2X

∂u i ∂u j (p), n

±

r (p)i, i, j = 1, 2, , n − 1.

2.11 Mệnh đề ([5])

Cho p là một điểm tuỳ ý của mặt đối chiều hai spacelike M trong L n+1, khi đó ta có

(1) n ±

r - ánh xạ Weingarten là một toán tử tự liên hợp của T p M;

(2) các n ±

r -độ cong chính k n ± r

i (p), i = 1, 2, , n − 1 của M tại p là các nghiệm của phương trình (ẩn k)

det(b n ± r

(3) n ±

r -độ cong Gauss-Kronecker K n ± r

p được xác định

K n ± r

p = k n ± r

1 (p).k n ± r

2 (p) k n ± r

n−1 (p) = det(b

n ± r

ij (p)) det(g ij (p)) .

III Tính rốn của mặt đối chiều hai spacelike

Trong mục này chúng tôi đưa ra các khái niệm rốn, từ đó tìm cách phân biệt các khái niệm và chỉ ra khi nào thì các khái niệm đó trùng nhau Chúng tôi chứng minh

được các siêu mặt trong các hyperbolic là các mặt rốn và một mặt n+

r -rốn có n+

r-ánh xạ Gauss song song thỏa mãn điều kiện (0.3) khi và chỉ khi nó chứa trong một siêu cầu

đặc biệt (SH(a, r, c)).

3.1 Định nghĩa

Cho M là một mặt tham số hóa đối chiều hai spacelike.

1 p ∈ M được gọi là điểm n+

r -rốn (n+

r -umbilic) nếu A n+

r

p = k n+r

p id T p M , trong đó k n+

r

p =

k n+r

1 (p) = k n+r

2 (p) = ã ã ã = k n+r

n−1 (p) là các n+

r -độ cong chính của M tại p (r cố định) Tương tự với khái niệm điểm n −

r-rốn

2 M được gọi là mặt n+

r -rốn (n −

r -rốn) nếu mọi điểm thuộc M đều n+

r -rốn (n −

r-rốn)

(r cố định) M được gọi là mặt n ±

r -rốn nếu M vừa n+

r -rốn vừa n −

r-rốn

3 M được gọi là mặt H+-rốn (H − -rốn), nếu với mọi p ∈ M tồn tại r p sao cho p là

điểm n+

r p -rốn (n −

r p -rốn) M được gọi là mặt H ± -rốn nếu M vừa H+-rốn vừa là

H − -rốn Khi không cần phân biệt rõ, một trong các trường hợp này ta sẽ gọi M

là mặt H-rốn.

4 M được gọi là mặt hoàn toàn rốn nếu nó là mặt n+

r -rốn (n −

r -rốn) với mọi r.

3.2 Nhận xét

Nếu M là mặt n+

r -rốn hoặc n −

r -rốn thì suy ra M là mặt H-rốn.

Điều ngược lại nói chung không đúng, ví dụ sau sẽ làm rõ khẳng định này

3.3 Ví dụ

Xét mặt tham số hóa

X : (0, π

2) ì (−

π

2, 0) → L

4; (u, v) 7→ (u, sin v, v, cos u).

Dễ dàng chỉ ra được M là một mặt đối chiều hai spacelike Thông qua việc tìm các giá trị riêng của A n+r ta có các độ cong chính của M là

k n+r

cos u ; k

n+r

2 = sin v

s

r2cos2u + 2r

(1 + cos2v)3 Vậy, với mỗi p = X(u, v) ∈ M tồn tại duy nhất một giá trị

2v

(1 + cos2v)3− cos2u sin2v

để p là điểm n+

r p -rốn Giá trị r p hoàn toàn phụ thuộc vào điểm p và nó không chung cho tất cả các điểm p ∈ M nên M là mặt H-rốn mà không là mặt n ±

r-rốn

Ví dụ trên cho thấy, M là mặt H-rốn không suy ra được M là mặt n ±

r-rốn

Định lí sau cho ta một điều kiện để mặt n+

r-rốn có độ cong chính là một hàm hằng 3.4 Định lý

Cho U ⊂ R n−1 là một tập liên thông M = X(U) là một mặt tham số hóa đối chiều hai spacelike Khi đó nếu tồn tại r > 0 sao cho M là n+

r-rốn và

[(n+r)T u i]u j = [(n+r)T u j]u i (0.3)

thì các n+

r -độ cong chính k n+

r

1 = k n+r

2 = ã ã ã = k n+r

n−1 = k n+r là một hàm hằng Tương tự đối

với n −

r-ánh xạ Gauss

Chứng minh Theo giả thiết M là n+

r -rốn, với p ∈ M ta có

−(n+r)T ◦ dn+r | p = k n+r (p)id T p M , suy ra −(n+

r)T ◦ dn+

r | p (X u i (p)) = k n+r (p)X u i (p), i = 1, 2, , n − 1, hay

−(n+r)T u i (u1, u2, , u n+1 ) = k n+r (p).X u i (p), i = 1, 2, , n − 1.

Lấy đạo hàm theo biến u j đẳng thức −(n+

r)T

u i = k n+r X u i với chú ý (n+

r)T là ánh xạ tuyến tính ta nhận được

[−(n+r)T u i]u j = k n+r

u j X u i + k n+r X u i u j

Tương tự ta có

−[(n+r)T u j]u i = k n+r

u i X u i + k n+r X u j u i Mặt khác −[(n+

r)T

u j]u i = −[(n+

r)T

u i]u j và X u i u j = X u j u i nên

k n+r

u i X u j − k n+r

u j X u i = 0.

Hơn thế, hệ {X u i , X u j } độc lập tuyến tính nên k n+r

u i = k n+r

u j = 0, với mọi p ∈ M Từ giả thiết U là một tập liên thông suy ra k n+r là một hàm hằng trên U.

3.5 Nhận xét

Nếu M là mặt n+

r -rốn thì hàm n+

r -độ cong chính k n+r nói chung phụ thuộc vào các

điểm trên M và không là một hàm hằng Điều kiện (0.3) là không thể bỏ qua.

3.6 Ví dụ

Trong L4cho mặt tham số hóa M = X(R2)với

X(u, v) = (0, u, v,pu2+ v2+ 1 − 1); (u, v) ∈ R2.

Đây chính là siêu mặt trong H3

+(v, 1) với siêu phẳng cắt là {x1 = 0}nên nó là một mặt

đối chiều hai spacelike Thông qua việc tìm các giá trị riêng của A n ± r ta có hàm độ cong

chính của M là

k n+r

u2+ v2+ 1

và rõ ràng nó không là một hàm hằng

3.7 Hệ quả

Cho M là mặt đối chiều hai spacelike Nếu M là mặt n+

r -rốn và M có n+

r-ánh xạ

Gauss song song thì n+

r -ánh xạ Gauss thỏa mãn điều kiện (0.3), từ đó suy ra hàm n+

r-độ

cong chính của M là một hàm hằng.

Chứng minh Theo giả thiết M là mặt n+

r -rốn và có n+

r-ánh xạ Gauss song song nên

(n+r)u i = kX u i , i = 1, 2, , n Suy ra (n+

r)T

u i = (n+

r)u i , i = 1, 2, , n Vậy nên điều kiện (0.3) thỏa mãn Từ Định lí

0.7 suy ra k là một hàm hằng.

Tiếp theo chúng ta xét tính rốn của các siêu mặt trong hyperbolic

3.8 Mệnh đề

Các siêu mặt dạng M = HP (q, c) ∩ H n

+(v, 1)là các mặt hoàn toàn rốn

Chứng minh Giả sử M là một siêu mặt trong n-không gian hyperbolic tâm v bán kính

1, M = HP (q, c) ∩ H n

+(v, 1) Với p ∈ M, giả sử M có tham số hóa địa phương tại p là

X : U → L n+1, khi đó

hX − v, X − vi = −1 ⇒ hX u i , X − vi = 0, i = 1, 2, , n − 1 nên X u i , i = 1, 2, , n − 1 là các vectơ spacelike, hay M là một mặt đối chiều hai

spacelike

Đặt Y = X − v, ta sẽ chứng minh hệ {Y, q} độc lập tuyến tính Thật vậy, từ giả thiết ta có ngay Y là vectơ timelike vậy nên, nếu q là spacelike hoặc lightlike thì hệ {Y, q} độc lập tuyến tính Nếu q là vectơ timelike, giả sử {Y, q} phụ thuộc tuyến tính, khi đó tồn tại m ∈ R sao cho Y = mq Ta có

hX, qi = c ⇒ hY + v, qi = c ⇒ mhq, qi = c − q n+1

Vì q là vector timelike nên hq, qi 6= 0 suy ra m là một hằng số, khi đó M là một điểm, vô lý hay {Y, q} luôn độc lập tuyến tính.

Từ giả thiết của mặt M ta có

hX u i , Y i = 0, hX u i , qi = 0, i = 1, 2, , n − 1, nên Y, q ∈ N p M Vậy {Y, q} là một cơ sở của N p M Gọi n là ảnh của n ±

r-ánh xạ Gauss,

n ∈ N p M nên n = λY + àq Với r > 0, n thỏa mãn hệ phương trình

(

hn − v, n − vi = −1,

n n+1 = r, ⇔







− λ2+ 2λà(c − q n+1 ) + à2hq, qi − 2r = 0,

λ = − q n+1

y n+1 à +

r

y n+1 .

(0.4)

Từ hệ phương trình (0.4) suy ra λ, à chỉ phụ thuộc vào y n+1 , và theo giả thiết hY, Y i = −1 nên y n+1 6= 0 Theo Bổ đề 2.9, tồn tại các hàm ϕ1, ϕ2, ψ1, ψ2: U → Rsao cho bộ nghiệm của hệ phương trình (0.4) được xác định

(λ1, à1) = (ϕ1(u1, u2, , u n−1 ), ψ1(u1, u2, , u n−1 )), (λ2, à2) = (ϕ2(u1, u2, , u n−1 ), ψ2(u1, u2, , u n−1 )).

Ta viết

n ± r = ϕY + ψq, với p = X(u1, u2, , u n−1 ) ∈ M, ϕ, ψ : U → R Khi đó

(n ± r)u i = ϕ u i Y + ϕY u i + ψ u i q = ϕ u i Y + ϕX u i + ψ u i q, , i = 1, 2, , n (0.5) nên các hệ số của dạng cơ bản thứ hai được xác định

b ij (n ± r ) = hn ± r , X u i u j i = −h(n ± r)u j , X u i i = −ϕhX u i , X u j i = −ϕg ij

với i, j = 1, 2, , n − 1 Vậy A n ± r

p = ϕid T p M , hay M là mặt hoàn toàn rốn.

3.9 Nhận xét

Các kết quả trên không thay đổi khi thay H n

+(v, 1) bởi H n

+(a, r) với a ∈ R n+1 , r ∈ R+

Hay nói cách khác, nếu giao của một n-không gian hyperbolic tâm a bán kính r với một

siêu phẳng mà khác rỗng và khác một điểm thì nó là một mặt đối chiều hai spacelike rốn

3.10 Mệnh đề

Cho M = HP (q, c) ∩ H n

+(v, 1)là một siêu mặt trong một hyperbolic Khi đó các phát biểu sau là tương đương

(i) n+

r-ánh xạ Gauss song song;

(ii) n+

r -độ cong Gauss-Kronecker của M là một hàm hằng khác không;

(iii) M là một siêu cầu đặc biệt SH(a, r, c).

Chứng minh.

(i) ⇒ (ii) : Từ công thức (0.5) ta thấy, nếu n+

r -ánh xạ Gauss song song thì ϕ u i Y +ψ u i q =

0, i = 1, 2, , n , mà {Y, q} độc lập tuyến tính nên ϕ u i = ψ u i = 0, i = 1, 2, , n Suy ra

ϕ là một hàm hằng Từ nhận xét 3.9 ta có n+

r-độ cong Gauss-Kronecker là một hàm hằng

(ii) ⇒ (iii) ϕ là một hàm hằng, với ϕ được xác định trong chứng minh Mệnh đề 3.8.

(

− ϕ2+ 2ϕψ(c − q n+1 ) + ψ2hq, qi − 2r = 0

Từ phương trình thứ nhất của hệ (0.6) ta có, nếu ϕ là hàm hằng thì ψ cũng là một hàm hằng Thế vào phương trình thứ hai của hệ (0.6) suy ra y n+1 là một hàm hằng Vậy

tọa độ thứ n + 1, x n+1 của tham số hóa của mặt là một hàm hằng Từ đó suy ra M là

một siêu cầu đặc biệt

(iii) ⇒ (i) Nếu cắt n-không gian hyperbolic bởi một siêu phẳng vuông góc với trục

x n+1 , ta luôn giả sử pháp vectơ của siêu phẳng là q = (0, , 0, 1) Khi đó theo chứng minh trên ta có hX, qi = c ⇒ x n+1 = c ⇒ y n+1 = c − 1 = const , mặt khác hàm ϕ chỉ phụ thuộc vào y n+1 nên nó là một hàm hằng ϕ hằng thì suy ra ψ hằng, từ công thức (0.5) suy ra mặt M có n+

r-ánh xạ Gauss song song

3.11 Định lý

Cho M là mặt đối chiều hai spacelike, khi đó ta có các phát biểu sau tương đương (i) M là mặt n+

r -rốn, có n+

r-ánh xạ Gauss song song;

(ii) M chứa trong một siêu cầu đặc biệt SH(a, r, c).

Chứng minh

((i) =⇒ (ii)) : M là mặt n+

r -rốn và có n+

r-ánh xạ Gauss song song nên từ Hệ quả 3.7

tồn tại λ ∈ R, λ 6= 0 sao cho π n+r (p)

T ◦ dn+

r | p = λdX| p , ∀p ∈ M Vậy

dn+r = λdX ⇔ d(λX − n+r ) = 0 ⇒ ∃X0 ∈ L n+1 :

Hay

X − 1

λ (X

0+ v) = 1

λ (n

+

r − v) ⇒ hX − 1

λ (X

0+ v), X − 1

λ (X

0+ v)i = − 1

λ2 Nói cách khác, M chứa trong một hyperboloid tâm 1

λ (X0+ v), bán kính 1

λ2.

Từ (0.7) suy ra

x n+1 (u1, , u n−1) = 1

λ (x

0

n+1 + r) = c = const.

Vậy M chứa trong SH(X0+ v, λ12, c)

((i) ⇐= (ii)) : Nếu M chứa trong một SH(a, r, c) thì theo Mệnh đề 3.8 suy ra M là một mặt rốn, hiển nhiên nó là n ±

r -rốn, với mọi r Từ Mệnh đề 3.10 ta suy ra n ±

r-ánh xạ Gauss của nó là song song

3.12 Nhận xét

Một mặt H-rốn không suy ra được nó chứa trong một hyperbolic Thật vậy xét mặt trong Ví dụ 3.3 ta có M là một mặt H-rốn và M không chứa trong một hyperbolic nào.

Tài liệu tham khảo [1] S Izumiya, D-H Pei and T Sano, The lightcone Gauss map and the lightcone developable of a spacelike curve in Minkowski 3-space, Glasgow Math J., (42), 2000, 75-89

[2] S Izumiya, D-H Pei and T Sano, Singularities of hyperbolic Gauss maps Pro-ceedings of the London Mathematical Society (86), 2003, 485-512

[3] S Izumiya, D Pei and M.C Romero-Fuster, Umbilicity of spacelike submanifolds

of Minkowski space, Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, (134A), 2004, 375-387

[4] S Izumiya, D-H Pei and T Sano, Horospherical surface of curve in Hyperbolic space, Publictiones Mathematicae (Debrecen) (64), 2004, 1-13

[5] Đặng Văn Cường, Tính dẹt của mặt đối chiều hai Spacelike trong Ln+1, Tạp chí khoa học, Trường Đại Học Vinh, Tập XXXVII, số 2A, 2008, 11-20

summary

The Umbilicity of spacelike surfaces of codimension two inLn+1

In this paper we use the notion of n ±

r-Gauss map for a spacelike surfaces of

codi-mension two in the Lorentz-Minkowski space L n+1 in order to study the umbicity of such surfaces

(a)Khoa KH-TN, trường đại học duy tân, K7/25 Quang Trung, đà nẵng.