sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ của bài toán xác định nguồnLê Văn Hiểna Tóm tắt.. mở đầu Bài toán xác định nguồn là một bài toán có nhiều ý nghĩa lý thuyết cũng như ý nghĩa thực tiễn, nên ng
Trang 1sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ của bài toán xác định nguồn
Lê Văn Hiển(a) Tóm tắt Trong bài báo này, chúng tôi chứng minh sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ của bài toán xác định nguồn dạng
ut − Lu = f (x, t); (x, t) ∈ Ω ì (0, T ), u|∂Ωì(0,T ] = 0,
u|t=0 = ϕ.
bởi giá trị của u tại t = T.
1. mở đầu Bài toán xác định nguồn là một bài toán có nhiều ý nghĩa lý thuyết cũng như ý nghĩa thực tiễn, nên ngoài những nghiên cứu định tính, người ta còn quan tâm đến các nghiên cứu định lượng, tức là phương pháp số để giải chúng, cũng như so sánh lời giải xấp xỉ với lời giải thực tế Trong bài báo này, chúng tôi trình bày phương pháp Galerkin để rời rạc và chứng minh sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ của bài toán xác định
ut − Lu = f (x, t); (x, t) ∈ Ω ì (0, T ), u| ∂Ωì(0,T ] = 0,
u|t=0 = ϕ.
(1.1)
Với điều kiện bổ sung
(ở đây u(x, T ; f, ϕ) là nghiệm của bài toán (1.1) ứng với các dữ kiệnf,ϕ, tại thời điểm T), trong đó
Lu =
n
X
i,j=1
(a ij (x, t)u x j + a i (x, t)u) x i+
n
X
i=1
bi (x, t)u x i + a(x, t)u.
Xét bài toán xác địnhf khi giá trị củauđược cho bổ sung tại T: tức là, tìmuvàf, khiuthỏa mãn hệ (1.1) và điều kiện (1.2) Nói chung bài toán này có thể không tồn tại duy nhất nghiệm, và nếu nghiệm tồn tại duy nhất thì nó có thể không phụ thuộc liên tục vào dữ kiệnψT (x), tức nó là một bài toán đặt không chỉnh
Chúng tôi nghiên cứu bài toán này bằng phương pháp biến phân như sau: Tìm
f ∈ L2(Q T)sao cho
J(f ) = 1
2ku(., T ; f, ϕ) − ψT (x)k
2
đạt giá trị nhỏ nhất
1 Nhận bài ngày 11/11/2009 Sửa chữa xong 22/2/2010.
Trang 2Để giải bài toán này, hoặc là dùng phương pháp gradient liên hợp (xem [1]), hoặc
ta áp dụng phương pháp chỉnh Tikhonov cho phiếm hàm
J(f ) + αkf k2
với α > 0chọn thích hợp (phụ thuộc vào sai số của ψT) Để giải số bài toán (1.3),(1.1) hoặc (1.4),(1.1) ta phải rời rạc hóa, sau đó dùng các phương pháp số để giải chúng Một câu hỏi đặt ra là nghiệm của bài toán rời rạc có hội tụ đến nghiệm chính xác của bài toán ngược hay không? Câu hỏi này chưa được trả lời trong các nghiên cứu trước đây, mặc dù đã có nhiều công trình đề cập đến bài toán ngược (1.1)-(1.2) ([1]) Trong bài viết này, chúng tôi sẽ nghiên cứu bài toán trên và chỉ ra sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ bằng phương pháp Galerkin tới nghiệm chính xác của bài toán ngược ở đây chúng tôi chỉ xét trường hợpf (x, t) = f (x) ∈ L2 (Ω)
2. Một số kiến thức bổ trợ 2.1 Các giả thiết cho bài toán (1.1)-(1.2)
Trong bài báo này chúng ta giả thiếtΩlà miền giới nội trong Rn , n ≥ 2; T > 0cho trước.QT = Ω ì (0, T )
Ký hiệuL2 (Ω)là không gian tất cả các hàm bình phương khả tích trênΩ, với tích vô huớng(u, v) L2 (Ω) =
Z
Ω
u(x)v(x)dxvà chuẩnkukL2 (Ω) = (u, u) L2 (Ω); ∀u, v ∈ L2 (Ω).H 1,0 (Q T) =
L2((0, T ); H1 (Ω)) là không gian tất cả các hàmu(x, t) trongL2(Q T)có các đạo hàm yếu
∂u/∂xi, i = 1, , nkhả tích trênQT với tích vô hướng và chuẩn được định nghĩa
(u, v) H 1,0 (Q T) =
Z
Q T
(uv + u xvx )dxdt; kuk H 1,0 (Q T)= (u, u) H 1,0 (Q T); ∀u, v ∈ H 1,0 (Q T ).
H01,0 (Q T ) = L2((0, T ); H1(Q T))là không gian con củaH 1,0 (Q T)gồm các hàm trơn vô hạn và bằng không ở gần biên∂QT củaQT Không gianL∞ (Q T)là không gian các hàm
đo được, bị chặn hầu khắp nơi trênQT
Các hệ sốaij (x, t), i, j = 1, 2, n; a i (x, t), b i (x, t), i = 1, 2, , n; a(x, t)của hệ phương trình (1.1) thỏa mãn các điều kiện sau:
aij, ai, bi ∈ L∞ (Q T ); a ij = a ji,với mọii, j = 1, 2, , n.
Tồn tại các hằng số dươngν, àthoả mãn:
νξ2≤
n
X
i,j=1
(a ij (x, t)ξ iξj ≤ àξ2.
Trang 3u Xn i=1
a2
i ,
v
u Xn i=1
b2
i , |a| ≤ à.
Do tính đặt không chỉnh nên không phải lúc nào bài toán (1.1) cũng tồn tại nghiệm theo nghĩa cổ điển Do đó để hạn chế điều này người ta đưa ra khái niệm nghiệm yếu như sau:
2.2 Định nghĩa ([2]) Nghiệm yếuu(x, t)của bài toán (1.1) trongH01,0 (Q T)là phần
tửu ∈ H01,0 (Q T)thỏa mãn đồng nhất thức
Z
Q T
(−uη t+
n
X
i,j=1
aij ux j ηx i+
n
X
i=1 aiuηx i+
n
X
i=1 biux i η + auη)dxdt =
Z
Ω
ϕη(x, 0)dx +
Z
Q T
f ηdxdt,
∀η ∈ H 1,0 (Q T ).
Với khái niệm nghiệm yếu như trên ta có kết quả sau:
2.3 Định lý ([2]) Nếuϕ ∈ L2(Ω), f ∈ L2(Q T), thì bài toán (1.1) có duy nhất nghiệm yếuu(x, t)trongC([0, T ]; L2(Ω)) ∩ H 1,0 (Q T ).Ngoài ra ta có bất đẳng thức
kukH 1,0 (Q T)≤ C(kϕkL2 (Ω)+ kf k L2(Q T)),
ở đâyClà hằng số xác định bởi các hệ số của phương trình trong (1.1),Ωvà T
2.4 Xấp xỉ bằng phương pháp Galerkin
Giả sửψk (x)là hệ cơ sở trongH1 (Ω) Để đơn giản ta giả thiết nó trực chuẩn trongL2 (Ω)
Ta sẽ tìm nghiệm của bài toán (1.1) dưới dạng
u N (x, t) =
N
X
k=1
u N
từ hệ
(u N
t , ψl) +
n
X
i=1
(
n
X
j=1
aiju N
x j + a iu N , ψlx i) +
n
X
i=1
(b iu N
x i + au N , ψl ) = (f N , ψl ); l = 1, 2, , N. (2.2)
u N l (0) = (ϕ, ψ l ); l = 1, 2, , N, (2.3)
ở đây (.,.) là tích vô hướng trongL2 (Ω) Để ý rằng phương trình (2.2) xấp xỉ vế phảif
bởi
f N =
N
X
k=1
nên do tính trực giao củaψk, vế phải của (2.2) có dạng
Trang 4Theo [2] (trang 119) nghiệm u N của hệ (2.2)-(2.3) bị chặn: ku N k L2(Q T)≤ C, với hằng số
C không phụ thuộcN Suy ra tồn tại dãy con{u N k } của{u N } sao cho u N k hội tụ yếu trongL2(Q T)cùng với các đạo hàm yếuu N k
x ,tới phần tửu ∈ H01,0 (Q T ),khik → ∞.Phần
tửu ∈ H01,0 (Q T)là nghiệm yếu của bài toán (1.1)-(1.2) (Xem [2], trang 119)
Ta thấy rằng hệ (2.2)-(2.3) là phương trình vi phân thường, và khiai = b i = 0; i =
1, 2, n, nó là một hệ đối xứng nên rất dễ giải bằng số Trong trường hợp rời rạc này phiếm hàm (1.3) có dạng
J(f N) = 1
2k
N
X
k=1
u N
k (T )ψ k − ψ δ
(ψ δ
T là một đại lượng gần đúng củaψT) Giả sử rằng bằng một phương pháp gần đúng nào đó ta tìm đượcf N
∗ sao cho
J ∗
N ≤ J(f N
∗ ) ≤ J ∗
(vớiεN > 0vàεN → 0khiN → ∞)
ở đây
J ∗
N = inf
f N ∈H N
J(f N)
HN là không gian sinh bởi(ψ1, ψ2, , ψN ).
Giả thiết (2.7) là hợp lý, vì ta có thể xấp xỉ bài toán (2.6) bằng phương pháp gradient liên hợp với một cách dừng thích hợp để có được sai số như trong (2.7) (xem [3])
3. Kết quả chính 3.1 Bổ đề Chof ∈ L2 (Ω)vàf N =
N
X
k=1 fkψk → f trongL2 (Ω)khiN → ∞.
Khi đó
|J(f ) − J(f N )| → 0,khiN → ∞.
Chứng minh
Ta có
J(f ) − J(f N) = ku(., T ; f, ϕ) − ψ δ
T k2
L2 (Ω)− ku(., T ; f N , ϕ) − ψ δ
T k2
L2 (Ω)
= ku(., T ; f, ϕ) − u(., T ; f N , ϕ) + u(., T ; f N , ϕ) − ψ δ
T k2
L2 (Ω)− ku(., T ; f N , ϕ) − ψ δ
T k2
L2 (Ω)
= ku(., T ; f, ϕ) − u(., T ; f N , ϕ)k2
L2 (Ω)+ 2(u(., T ; f, ϕ) − u(., T ; f N , ϕ), u(., T ; f N , ϕ) − ψ δ
T)
= ku(., T ; f − f N , 0)k2
L2 (Ω)+ 2(u(., T ; f − f N , 0), u(., T ; f N , ϕ) − ψ δ
T)
Dof N → f trongL2(Ω),nên theo định lý (2.3) ta cóku(., T ; f − f N , 0)k2
L2 (Ω)→ 0,ngoài ra
doku(., T ; f N , ϕ) − ψ δ
T k ≤k u(., T ; f N , ϕ) k + k ψ δ
T kgiới nội , nên ta có vế phải của biểu thức trên tiến tới 0 Từ đó suy ra|J(f ) − J(f N )| → 0khiN → ∞.
Trang 5Sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ của bài toán ngược (1.1)-(1.2) được cho bởi định lý sau: 3.2 Định lý Giả sửf N
∗ thỏa mãn (2.7),(u ∗, f∗)là nghiệm của bài toán ngược (1.1)-(1.2) Khi đóf N
∗ hội tụ đếnf∗ trongL2 (Ω) vàu(., t; f N
∗ , ϕ)hội tụ đếnu∗ trongL2(Q T ).
Chứng minh Với mọiε > 0tồn tạif ε ∈ H1 (Ω)sao cho
J ∗ ≤ J(f ε ) ≤ J ∗+ε
2.
(với J ∗ = inf
f ∈L2 (Ω)J(f )) Hơn nữa, theo bổ đề (3.1) tồn tại số tự nhiên N ∗ sao cho khi
N ≥ N ∗ ta có
|J(f ε ) − J(f εN )| < ε
2.
Bất đẳng thức này kéo theo
− ε
2 < J(f ε ) − J(f εN ) < ε
2 hay
J(f εN ) < J(f ε) +ε
2.
Vì vậy
J ∗
N ≤ J(f εN ) < J(f ε) +ε
2 ≤ J ∗ + ε.
Điều này kéo theo
lim sup
N →∞ J ∗
N ≤ J ∗
Mặt khác, vì
J ∗ ≤ J ∗
N ,
nên
lim inf
N →∞ J ∗
N ≥ J ∗
Như vậy lim
N →∞ J N ∗ tồn tại, và
lim
N →∞ J ∗
Do vậy ta có
0 ≤ J(f N
∗ ) − J ∗ ≤ |J(f N
∗ ) − J ∗
N | + |J ∗
N − J ∗ |.
Vì|J ∗
N − J ∗ |tiến đến 0 do điều kiện (3.1), và|J(f N
∗ ) − J ∗
N |tiến đến 0 do (2.7), nên từ bất
đẳng thức trên ta suy ra
J(f N
∗ ) → J ∗ khiN → ∞,
hayf N
∗ ∈ HN là dãy cực tiểu của phiếm hàmJ(f ).Mặt khác vìJ(f )là nửa liên tục dưới yếu nênf N
∗ hội tụ yếu đếnf∗,nhưng doH1
0 (Ω)nhúng compact trongL2(Ω),nênf N
∗ hội
tụ mạnh đếnf∗ trongL2(Ω).Từ đây ta suy rau(x, t; f N
∗ , ϕ)hội tụ mạnh đếnu(x, t; f N
∗ , ϕ)
trongL2(Q T ).
Trang 6Ô tài liệu tham khảo
[1] Johansson and Lesnic, A variational method for identifying a spacewise-dependent heat source, IMA journal of Applied Mathematics, 72(6), 2007, 748 - 760
[2] O A Ladyzhenskaya, The Boundary Value Problems of Mathematical Physics, Springer - Verlag, Berlin Heidelberg New York,1984
[3] Nemirovskii, A S The regularizing properties of the adjoint gradient method in ill-posed problems, Numer Funct Anal Optim, 11, 1986, 111-118
summary
on convergence of approximate solutions to an inverse
problem of determining the source
In this paper, we proved the convergence of approximate solutions to an inverse problem of determining the source
ut − Lu = f (x, t); (x, t) ∈ Ω ì (0, T ), u|∂Ωì(0,T ] = 0,
u|t=0 = ϕ.
by the value of u in t = T
(a) Cao học 15, chuyên ngành Giải tích, trường Đại Học Vinh.