Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Không gian với sn-lưới sao-đếm được và sn-lưới sao-điểm" potx

Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra một số đặc trưng của không gian với sn-lưới sao-đếm được, không gian sn-lưới đếm được theo điểmσ-HCP và không gian sn khả môtric.. Dựa vào tính chất c

không gian với sn -lưới sao-đếm được và sn -lưới sao-điểm

Đinh Huy Hoàng(a)Đoàn Thị Hồng Nguyên(b)

Tóm tắt Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra một số đặc trưng của không gian với sn-lưới sao-đếm được, không gian sn-lưới đếm được theo điểmσ-HCP và không gian sn khả môtric.

Khái niệm sn-lưới được đưa ra và nghiên cứu bởi S Lin [2] Dựa vào tính chất của sn-lưới người ta đưa ra các khái niệm về không gian snf-đếm được, sn-mêtric hoá và nghiên cứu đặc trưng của các không gian này Hướng nghiên cứu này đã thu hút sự quan tâm của nhiều tác giả, những người đạt những kết quả đáng kể trong lĩnh vực này phải kể đến là S Lin, Y Ge, Y Tanaka, Zh Lou ([1], [2], [3], [4], [5]) Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra một số đặc trưng của không gian với sn-lưới sao-đếm được

và đếm được theo điểm σ-HCP, sn-lưới sao-điểm.

Đầu tiên, chúng ta trình bày một số khái niệm cơ bản cần dùng trong bài báo Các

là đếm được

(2) Họ P được gọi là hữu hạn địa phương (tương ứng rời rạc) nếu với mỗi a ∈ X, tồn

không quá một phần tử)

là đếm được

}) = ∪{clB α : α ∈ Λ 0

,

trong đó clB là kí hiệu bao đóng của tập B.

(5) Họ P được gọi là bảo tồn bao đóng di truyền yếu hay đơn giản là WHCP nếu họ bất kỳ {x(P ) ∈ P : P ∈ P} là HCP.

n ∈ N.

1 Nhận bài ngày 11/12/2009 Sửa chữa xong 02/02/2010.

1.3Định nghĩa (1) Giả sử P =S{P x : x ∈ X} là phủ của X, P được gọi là một sn-lưới của X nếu

P ∈ P x sao cho P ⊂ U, trong đó ta viết ∩P x thay cho ∩{P : P ∈ P x };

x ∈ X} sao cho mỗi P x là tập đếm được

(3) Không gian X được gọi là không gian sn-khả mêtric nếu X có sn-lưới σ-hữu hạn

địa phương

st(x, P n ) = ∪{P ∈ P n : x ∈ P }.

(1) P được gọi là k-lưới của X nếu mỗi tập compact K và mỗi lân cận V của K tồn tại họ con hữu hạn F của P sao cho K ⊂ ∪F ⊂ V , trong đó ∪F = ∪{P : P ∈ F}.

của P, ta kí hiệu

hữu hạn F của P sao cho

(ii) x ∈ ∩F.

1.8 Định nghĩa Giả sử X là không gian tôpô và P ⊂ X.

m ∈ N sao cho {x n : n > m} ∪ {x} ⊂ P.

nằm trong P từ một lúc nào đó.

(1) X có sn-lưới sao-đếm được.

(2) X là không gian snf-đếm được có cs-lưới sao đếm được.

(3) X là không gian snf-đếm được có phủ sao-đếm được có tính chất (B).

x ∈ Int s (P ) ⊂ P ⊂ U.

mỗi x ∈ X, tức là X là không gian snf-đếm được.

và tính chất (B) Với mỗi x ∈ X đặt

x ∈ X Giả sử {x n } là dãy trong X, {x n } hội tụ tới x ∈ X và U là tập mở trong X sao cho x ∈ U Khi đó, vì P có tính chất (B) nên tồn tại họ con hữu hạn L của P sao cho

x ∈ Int s (∪L) ⊂ ∪L ⊂ U và x ∈ ∩L.

Bây giờ ta chứng tỏ G có tính sao-đếm được Giả sử G ∈ G Khi đó tồn tại x ∈ X và

P1, P2, , P n ∈ P x sao cho G = [

i6n

i6m

P i 0 với P 0

1, P20 , , P m 0 ∈

j 6= ∅

Vì P có tính sao-đếm được nên P i chỉ có thể giao với không quá đếm được phần tử

P 0

này lại chỉ có thể giao với không quá đếm được các phần tử

∈ Gvà

và có thể giả thiết B(x, n + 1) ⊂ B(x, n) với mọi n Đặt

P x = {P1, P2, , P n , } Đặt

x 2,2 , x4 = x 3,1 , x5 = x 3,2 , x6 = x 3,3 , x7 = x 4,1 , Như vậy ta có k = m + n(n − 1)/2 Với mỗi tập mở U chứa x, vì {B(x, n) : n ∈ N} là lưới tại x nên tồn tại n ∈ N sao cho

B(x, n) ⊂ U Từ B(x, n + 1) ⊂ B(x, n) với mọi n suy ra với mỗi n ∈ N tồn tại k o ∈ Nsao

x ∈ X Đặt

L = ∪{L x : x ∈ X}.

Giả sử U là tập mở trong X sao cho x ∈ U Vì P là cs-lưới, tương tự như chứng minh

n 00

được

gồm tất cả các giao hữu hạn của các tập thuộc P cũng có tính chất HCP (tương ứng

WHCP)

2.3 Bổ đề [2] Không gian tôpô X là sn-khả mêtric khi và chỉ khi X là không gian

(1) X có sn-lưới đếm được theo điểm, σ-HCP (tương ứng σ-W HCP ).

(2) X là không gian snf-đếm được, có cs-lưới đếm được theo điểm, σ-HCP (tương ứng σ-W HCP ).

Chứng minh Từ (1) suy ra (2) là hiển nhiên Bây giờ ta chứng minh (2) suy ra (1)

đó, ta có thể viết

B x = {B x,1 , B x,2 , , B x,n , }

chứng tỏ (2) suy ra (1) ta đã chỉ ra rằng với mỗi x ∈ X họ

{P ∈ P x : ∃B(x, n) sao cho B(x, n) ⊂ P } 6= ∅,

L = ∪{L x : x ∈ X}.

L = ∪{L n : n = 1, 2, } ⊂ P.

σ − HCP Để hoàn thành chứng minh ta chỉ cần chứng tỏ L là sn-lưới Từ cách xác

B x,m ⊂ B x,n ∩ B x,n 0 ⊂ P ∩ P 0 ∈ P m

∈ L m,x ⊂ L x

sn-lưới trong X.

Trường hợp P có tính chất σ-W HCP được chứng minh tương tự.

2.5 Bổ đề Nếu X là không gian Fréchet, thì mọi lân cận dãy của x ∈ X đều là lân cận của x.

Chứng minh Giả sử U là lân cận dãy của x ∈ X nhưng U không là lân cận của x.

điều mâu thuẫn Vậy U là lân cận của x.

Chứng minh Giả sử P là họ các tập con của X có tính hữu hạn địa phương và

hữu hạn địa phương Ta sẽ chứng tỏ cl(∪A) = ∪{clA : A ∈ A} Thật vậy, ta chỉ cần chứng minh cl(∪A) ⊂ ∪{clA : A ∈ A} Giả sử x ∈ cl(∪A) Từ tính hữu hạn địa phương

x ∈ cl(∪A) = cl(∪(A \ A x )) ∪ cl(∪A x) nên x ∈ cl(∪A x ) = ∪{clA : A ∈ A x }. Do đó

cl(∪A) ⊂ ∪{clA : A ∈ A} Vậy P có tính chất HCP.

một lúc nào đó Khi đó, tồn tại P ∈ P sao cho L thường xuyên gặp P , nghĩa là L có một dãy con vô hạn ở trong P

(1) X là không gian sn-khả mêtric.

Chứng minh (1) =⇒ (2) Vì X là sn-khả mêtric nên theo Bổ đề 2.2 trong [3] , X có

đặt

và

Ta sẽ chứng minh {G n } là sn-lưới sao-điểm thoả mãn (i), (ii) Rõ ràng mỗi G n là một

st(x, G n ) ⊂ P ⊂ U, trong đó st(x, G n ) = ∪{G ∈ G n : x ∈ G} Do đó {st(x, G n ) : n ∈ N}là

U = X \ ∪{P ∈ J n : x / ∈ P }.

sao-điểm hữu hạn địa phương thoả mãn (i)

x ∈ C , tồn tại lân cận V x của x sao cho V x chỉ có giao với nhiều nhất một phần tử của J n

C j = F j ∩ C, j = 1, 2, , k

và

K = C \ (∪{int C C j : j = 1, 2, , k}),

điểm σ-HCP Theo Bổ đề 2.7, B là k-lưới đếm được theo điểm Vì C compact nên theo

Ta có C = (

k

[

j=1

được nên X là snf-đếm được Do đó để chứng tỏ X là sn-khả mêtric, theo Bổ đề 2.3 ta

x ∈ st(x, G n ) ⊂ U Mà st(x, G n)là lân cận dãy của x nên {x n } nằm trong st(x, G n)từ một

Tài liệu tham khảo

[1] Y Ge, Characterizations of sn-metrizable spaces, Publication De L'institut Mathé-matique, 74 (2003), 121-128

[2] S Lin, A note on the Arens' spaces and sequential fan, Topology Appl, 81 (1997), 185-196

[3] Zh Luo, sn-metrizable spaces and related matters, International Journal of Math-ematical Siciences, 16 (2005), 2523-2531

[4] Y Tanaka, Theory of k-networks II, Questions and Answers in General Topology, Vol 19 (2001), 27-46

[5] Y Tanaka and Y Ge, Around quotient compact images of metric spaces and sym-metric spaces, Houston Journal of Mathematics, 32(1), (2006), 99-117

Summary

Spaces with star-countable sn-networks and point-star

sn-networks

In this paper, we give some characterizations of spaces with star-countable

sn-networks, speces with σ-HCP point-countable sn-networks and sn-metrizable spaces.

(a)Khoa Toán, Trường Đại học Vinh

(b)Cao học khoá 15, Chuyên ngành Giải tích Trường Đại học Vinh.