TẠP CHÍ KHOA HỌC, Đại học Huế, Số 59, 2010MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ CẤU TRÚC ĐỐI XỨNG CỦA TÍCH DESCARTES CÁC NỬA KHÔNG GIAN TRÊN Trần Đạo Dõng, Đại học Huế Hoàng Thái Vũ, Sở GD-ĐT Thừa Thiên Huế
Trang 1TẠP CHÍ KHOA HỌC, Đại học Huế, Số 59, 2010
MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ CẤU TRÚC ĐỐI XỨNG CỦA TÍCH DESCARTES CÁC NỬA KHÔNG GIAN TRÊN
Trần Đạo Dõng, Đại học Huế Hoàng Thái Vũ, Sở GD-ĐT Thừa Thiên Huế
Tóm tắt Một trong các bài toán cơ bản trong hình học vi phân và lý thuyết Lie là khảo sát không gian đối xứng địa phương dưới dạng không gian thương của không gian đối xứng cảm sinh qua tác động của các nhóm (con) số học, đặc biệt là các nhóm rời rạc Trong [6], chúng tôi đã khảo sát cấu trúc không gian đối xứng của nửa không gian trên
H3 được thể hiện như không gian đối xứng SL(2, C)/SU (2) qua tác động của SL(2, C)
Từ đó, ứng dụng khảo sát một số tính chất của không gian đối xứng địa phương SL(2, Z + iZ)\SL(2, C)/SU (2) cảm sinh qua tác động của nhóm rời rạc SL(2, Z + iZ) trên H3 Trong bài viết này, chúng tôi mở rộng các kết quả trên cho trường hợp tích Descartes
Hn
3 := H3× × H3 của các nửa không gian trên được thể hiện như không gian đối xứng
SLn(2, C)/SUn(2) cảm sinh qua tác động của nhóm (con) rời rạc SLn(2, Z + iZ) trên
Hn3
1 Cấu trúc đối xứng của tích Descartes các nửa không gian trên
Định nghĩa 1.1 Cho H = {s + tj|s, t ∈ C} là đại số quaternion (chuẩn tắc) Tập hợp
H3 := {z = s + tj ∈ H | s ∈ C; t ∈ R; t > 0}
= {z = x + yi + tj ∈ H | x, y, t ∈ R; t > 0}
≡ {(x, y, t) | x, y, t ∈ R; t > 0}, được gọi là nửa không gian trên
Khi đó H3 là một đa tạp 3 chiều với cấu trúc Riemann
ds2 := |dz|2
t2 = dx
2+ dy2+ dt2
Hơn nữa, ta có:
Mệnh đề 1.2 Cho đa tạp H3 và điểm cố định z0 = (x0, y0, t0) ∈ H3
Khi đó, ánh xạ
(x, y, t) 7−→ (2x0− x, 2y0− y, t),
là một vi phôi đẳng cự và đối hợp Suy ra H3 là một không gian đối xứng
Chứng minh
i) fz0 song ánh là rõ
Trang 2ii) Do các ánh xạ thành phần khả vi nên fz0 khả vi.
iii) Ta có, (fz0)2(x, y, t) = fz0(fz0(x, y, t)) = fz0(2x0− x, 2y0− y, t) = (x, y, t), ∀(x, y, t) ∈
H3
Vậy (fz0)2 = IdH3 Suy ra, fz0 là một phép biến đổi đối hợp
Hơn nữa, do (fz 0)2 = IdH 3 nên (fz 0)−1 = fz 0 Suy ra, (fz 0)−1 cũng khả vi
iv) Mặt khác, fz0 được biểu diễn dưới dạng:
x + yi + tj 7−→ (−x − yi + tj) + (2x0+ 2y0i)
Suy ra fz0 là một phép biến đổi đẳng cự của H3
Từ đó fz 0 là một vi phôi đẳng cự và đối hợp của H3
Chứng minh tương tự Mệnh đề (1.2), chúng ta có hai mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.3.Cho đa tạp H3, xét k ∈ S1 ⊂ C và z0 = s0+ t0j ∈ H3 Khi đó, ánh xạ
z = s + tj 7−→ −[t0]2[k(s − s0) + tj]−1+ s0,
là một vi phôi đẳng cự và đối hợp của H3
Mệnh đề 1.4 Cho đa tạp H3, xét k ∈ S0 = {−1, 1} và z0 = s0 + t0j ∈ H3 Khi đó, ánh xạ
z = s + tj 7−→ −[t0]2[k(s − s0) + tj]−1+ s0,
là một vi phôi đẳng cự và đối hợp của H3
Kết quả dưới đây thể hiện mối liên hệ giữa H3 với không gian đối xứng SL(2, C)/SU (2) qua tác động của nhóm Lie SL(2, C) trên H3
Mệnh đề 1.5.([6, Mệnh đề 1.5]) Cho nhóm Lie G = SL(2, C) và nửa không gian trên
H3 = {z = s + tj ∈ H | s ∈ C; t ∈ R, t > 0}
Khi đó, ánh xạ
( a b
c d
, z) 7−→ a b
c d
z := [az + b][cz + d]−1,
là một tác động (trái) đẳng cự và bắc cầu của nhóm Lie G = SL(2, C) trên tập hợp (đa tạp) H3 Hơn nữa, ta có
H3 ∼= SL(2, C)/SU (2)
Bây giờ chúng ta xác định cấu trúc không gian đối xứng của tích Descartes các nửa không gian trên Hn:= H × × H
Trang 3Xét đa tạp tích Hn3 Gọi dH3 là mêtric trên nửa không gian trên H3 Khi đó, mêtric
dH n
3 trên Hn3 được xác định bởi
dHn
3(z; w) = dHn
3((z1, , zn); (w1, , wn)) := dH3(z1; w1) + + dH3(zn; wn);
với mọi z = (z1, , zn), w = (w1, , wn) ∈ Hn3
Mệnh đề 1.6 Cho đa tạp Hn
3 và phần tử cố định z0 = (z0
1, , z0
n) ∈ Hn
3 Khi đó, ánh xạ
fz0 : Hn3 −→ Hn3 (z1, , zn) 7−→ (f1(z1), , fn(zn)),
là một vi phôi đẳng cự và đối hợp của Hn
3, trong đó,
(xi, yi, ti) 7−→ (2Re(z0
i) − xi, 2Imi(z0
i) − yi, ti); i = 1, n
Suy ra Hn3 là một không gian đối xứng
Chứng minh
i) fz0 song ánh là rõ
ii) Do các ánh xạ thành phần khả vi nên fz0 khả vi
iii) Ta có, (fi)2 = IdH3, ∀i = 1, n
Do đó, (fz0)2((z1, , zn)) = fz0((f1(z1), , fn(zn))) = (f1(f1(z1)), , fn(fn(zn)))
= ((f1)2(z1), , (fn)2(zn)) = (z1, , zn); ∀(z1, , zn) ∈ Hn3
Vậy (fz0)2 = IdHn
3 Suy ra, fz0 là một phép biến đổi đối hợp
Hơn nữa, do (fz0)2 = IdHn
3 nên (fz0)−1 = fz0 Suy ra, (fz0)−1 cũng khả vi
iv) Ta có, mỗi fi là phép biến đổi đẳng cự của H3
Do đó, dHn
3(fz0(z1, , zn); fz0(w1, , wn)) = dHn
3((f1(z1), , fn(zn)); (f1(w1), ,
fn(wn))) = dH3(f1(z1); f1(w1))+ +dH3(fn(zn); fn(wn)) = dH3(z1; w1)+ +dH3(zn; wn) =
dHn
3((z1, , zn); (w1, , wn)); ∀(z1, , zn), (w1, , wn) ∈ Hn3
Vậy fz0 là một phép biến đổi đẳng cự của Hn3
Tóm lại, fz0 là một vi phôi đẳng cự và đối hợp của Hn
3 Chứng minh tương tự Mệnh đề (??), chúng ta có hai mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.7 Cho đa tạp Hn3; xét k1, k2, , kn ∈ S1
⊂ C và phần tử cố định z0 = (s01+ t01j, , s0n+ t0nj) ∈ Hn3
Khi đó, ánh xạ
fz0 : Hn
3 (z1, , zn) 7−→ (f1(z1), , fn(zn)),
là một vi phôi đẳng cự và đối hợp của Hn3, trong đó
zi = si+ tij 7−→ −[t0
i]2[ki(si− s0
i) + tij]−1+ s0i; i = 1, n
Trang 4Mệnh đề 1.8.Cho đa tạp Hn3; xét k1, k2, , kn ∈ S0 = {−1, 1} và phần tử cố định
z0 = (s01+ t01j, , s0n+ t0nj) ∈ Hn3 Khi đó, ánh xạ
fz0 : Hn3 −→ Hn3 (z1, , zn) 7−→ (f1(z1), , fn(zn)),
là một vi phôi đẳng cự và đối hợp của Hn
3, trong đó
zi = si+ tij 7−→ −[t0
i]2[ki(si− s0
i) + tij]−1+ s0i; i = 1, n
Xét nhóm Lie SLn(2, C) := SL(2, C) × × SL(2, C) Theo Mệnh đề ((1.5), chúng ta xác định được tác động của SL(2, C) lên Hn
3 và mối liên hệ giữa Hn
3 với không gian đối xứng SLn(2, C)/SUn(2) thể hiện trong mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.9.Cho nhóm Lie G = SLn(2, C) và đa tạp Hn
3 Khi đó, ánh xạ
3 (( a1 b1
c1 d1
, , an bn
cn dn
); (z1, , zn)) 7−→ V ;
trong đó, V := ([a1z1+ b1][c1z1+ d1]−1, , [anzn+ bn][cnzn+ dn]−1); là một tác động (trái), đẳng cự và bắc cầu của nhóm Lie G = SLn(2, C) trên đa tạp Hn3 Hơn nữa,
Hn3 ∼= SLn
(2, C)/SUn(2)
2 Không gian đối xứng địa phương SLn(2, Z + iZ)\Hn
3
Xét không gian đối xứng H3 ∼= SL(2, C)/SU (2) Qua tác động của nhóm (con) rời rạc SL(2, Z + iZ) trên H3 chúng ta xác định được không gian đối xứng địa phương
SL(2, Z + iZ)\H3 ∼= SL(2, Z + iZ)\SL(2, C)/SU (2)
Trong mục này, tương tự như trường hợp không gian đối xứng địa phương SL(2, Z)\H2 cảm sinh từ nửa mặt phẳng trên H2 được xét trong [5], chúng tôi mở rộng khái niệm miền cơ bản của một nhóm rời rạc Γ tác động trên H2 cho trường hợp H3 và ứng dụng
để khảo sát một số tính chất của không gian đối xứng địa phương SL(2, Z + iZ)\H3 Kết quả sau đây cho thấy có thể xác định miền cơ bản của nhóm rời rạc SL(2, Z + iZ) tác động trên H3
Mệnh đề 2.1.([6, Mệnh đề 2.1]) Một miền cơ bản Ω của Γ := SL(2, Z + iZ) trên H3 được xác định bởi miền sau:
Ω = {z = x + yi + tj ∈ H3 | −1
2 < x <
1
2; 0 < y <
1
2; |z| =
p
x2+ y2+ t2 > 1}
Một tính chất quan trọng của SL(2, Z + iZ)\H3 là không compact Cụ thể, chúng ta
có mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.2 ([6, Mệnh đề 2.3]) Không gian thương SL(2, Z + iZ)\H3 là không compact
Trang 5Chứng minh Gọi (tn)n là dãy các số thực dương tiến đến +∞ và xét tập con rời rạc
Γ = SL(2, Z + iZ)
Với mỗi n ∈ N, đặt zn = tnj Khi đó, (zn)n⊂ H3; (Γ.zn)n ⊂ SL(2, Z + iZ)\H3
Mặt khác, ∀γ = a b
c d
∈ Γ = SL(2, Z + iZ), ta có:
γzn = bd + act
2 n
|d|2+ |c|2t2
n
|d|2 + |c|2t2
n j
Hơn nữa,
∗ Nếu c = 0 thì ad = 1 Lúc đó, |d|2 = 1 và Imj(γzn) = tn;
∗ Nếu c 6= 0 thì 0 ≤ Imj(γzn) ≤ tn
|c| 2 t 2
t n Suy ra
Imj(γzn) −−−−−−−−→n→∞
+∞
0 , ∀γ ∈ Γ = SL(2, Z + iZ)
Như vậy, mọi (γznk)nk không thể hội tụ đến một phần tử trong H3, với mọi γ ∈ Γ = SL(2, Z + iZ)
Suy ra, mọi (Γ.znk)nk không thể hội tụ đến một phần tử trong SL(2, Z + iZ)\H3
Vậy SL(2, Z + iZ)\H3 là không compact
Mệnh đề 2.3.([6, Mệnh đề 2.4]) Cho F = Ω ∪ {∂Ω ∩ {z ∈ H3 | Re(z) ≥ 0}} Khi đó,
F là một tập cơ bản khớp của Γ = SL(2, Z + iZ) (trên H3) và ta xác định được một song ánh giữa các tập hợp SL(2, Z + iZ)\H3 và F
Chứng minh Do T = 1 1
0 1
, U = 1 i
0 1
∈ Γ = SL(2, Z + iZ) nên cảm sinh các phép tịnh tiến z 7−→ z + 1; z 7−→ z + i
Hơn nữa, do W =
i 0
0 −i
∈ Γ = SL(2, Z + iZ) nên cảm sinh phép đối xứng z =
s + tj 7−→ −s + tj
Ngoài ra, do S =
0 1
−1 0
∈ Γ = SL(2, Z + iZ) nên cảm sinh phép biến đổi z =
x + yi + tj 7−→ −|z|x2 +|z|y2i +|z|t2j
Do đó, mệnh đề trên được suy ra từ Mệnh đề (2.1)
Nhận xét 2.4 Cho F = Ω ∪ {∂Ω ∩ {z ∈ H3 | Re(z) ≤ 0}} Khi đó, F cũng là một tập cơ bản khớp của Γ = SL(2, Z + iZ) (trên H3)
Bây giờ xét không gian đối xứng Hn
3 ∼= SLn(2, C)/SUn(2) Qua tác động của nhóm (con) rời rạc SLn(2, Z + iZ) lên Hn
3, tương tự như trường hợp không gian đối xứng H3 chúng ta xác định được không gian đối xứng địa phương
SLn(2, Z + iZ)\Hn3 ∼= SLn
(2, Z + iZ)\SLn(2, C)/SUn(2)
Trang 6Trong mục này, chúng tôi mở rộng khái niệm miền cơ bản của một nhóm rời rạc Γ trên H3 cho trường hợp Hn3 và ứng dụng để khảo sát một số tính chất của không gian đối xứng địa phương SLn(2, Z + iZ)\Hn
3 Kết quả dưới đây cho thấy có thể xác định miền cơ bản cửa nhóm rời rạc SLn(2, Z+iZ) trên Hn
3 cảm sinh từ miền cơ bản của SL(2, Z + iZ) trên H3
Mệnh đề 2.5 Một miền cơ bản Ωn của Γn := SLn(2, Z + iZ) trên Hn
3 được xác định bởi miền sau:
Ωn := Ω × × Ω;
trong đó,
Ω = {z = x + yi + tj ∈ H3 | −1
2 < x <
1
2; 0 < y <
1
2; |z| =
p
x2+ y2+ t2 > 1}
Chứng minh
i) Với z = (z1, , zn) ∈ Hn3; xét Γn−quỹ đạo
Γn.z = {γz = (γ1z1, , γnzn) | γ = (γ1, , γn) ∈ Γn = SLn(2, Z + iZ)}
Với mỗi i, ta có zi ∈ H3 nên ∃γi ∈ SLn(2, Z + iZ) sao cho γizi ∈ Ω
Xét γ = (γ1, , γn) ∈ Γn= SLn(2, Z + iZ
Khi đó,
γz = (γ1z1, , γnzn) ∈ Ω × × Ω = Ωn
Vậy mọi Γn−quỹ đạo chứa ít nhất một điểm trong Ωn
ii) Mặt khác, giả sử z = (z1, , zn), γz = (γ1z1, , γnzn) ∈ Ωn; trong đó, γ = (γ1, , γn) ∈
Γn= SLn(2, Z + iZ
Với mỗi i, ta có zi, γizi ∈ Ω nên zi = γizi
Suy ra, γz = z
Vậy không có hai điểm nào của Ωn nằm trong cùng một Γn−quỹ đạo
Vậy mệnh đề được chứng minh
Từ Mệnh đề (2.5) và phép chứng minh Mệnh đề (2.2), chúng ta suy ra mệnh đề sau: Mệnh đề 2.6 Không gian SLn(2, Z + iZ)\Hn
3 là không compact
Chứng minh tương tự phép chứng minh Mệnh đề (2.3), chúng ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 2.7 Cho Fn:= F × × F, trong đó F = Ω ∪ {∂Ω ∩ {z ∈ H3 | Re(z) ≥ 0}} Khi đó, Fn là một tập cơ bản khớp của Γn = SLn(2, Z + iZ) (trên Hn3) và ta xác định được một song ánh giữa các tập hợp SLn(2, Z + iZ)\Hn
3 và Fn
Trang 7TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] E.P Van den Ban, Lie groups, Lecture Notes in Mathematics, MRI, University of Utrecht, Holland, 2003
[2] E.P Van den Ban - H Schlichtkrull, Harmonic analysis on reductive symmetric spaces, Progress in Math., 201, Birkhauser Verlag, Basel, 2001, 565-582
[3] B.Conrad, K.Rubin, Arithmetic algebraic geometry, IAS/Park City Math Series, vol
9, AMS, 2001
[4] L.Ji, An introduction to symmetric spaces and their compactifications, University of Michigan, Ann Arbor, MI 48109, 2001
[5] L.Ji, Lectures on locally symmetric spaces and arithmetic groups, University of Michi-gan, Ann Arbor, MI 48109, 2004
[6] Trần Đạo Dõng-Hoàng Thái Vũ, Về không gian đối xứng địa phương của nửa không gian trên, Tạp chí khoa học Đại học Huế, Số 53(2009), 15-25
SOME RESULTS ON THE SYMMETRIC STRUCTURE
OF THE CARTESIAN PRODUCT OF HALF UPPER SPACES
Tran Dao Dong, Hue University Hoang Thai Vu, Department of Education and Training, Thua Thien Hue Province
Summary Locally symmetric spaces play an important part in differential geometry and Lie theory The typical important class consists of quotients of symmetric spaces by arithmetic groups,especially discretely groups
In [6], we studied the symmetric structure of the upper half space H3 and the relation with the symmetric space SL(2, C)/SU (2) Then we studied the locally symmetric space SL(2, Z + iZ)\SL(2, C)/SU (2) based on the action of SL(2, Z + iZ) on H3
In this note, firstly, we study the symmetric structure of the Cartesian product Hn3 of upper half spaces and the relation with the symmetric space SLn(2, C)/SUn(2) Then we study the locally symmetric space SLn(2, Z+iZ)\Hn
3 based on the action of SLn(2, Z+iZ)
on Hn
3