Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Định lý Hopkins về căn Jacobson cho các nữa vành cộng giản ước" pptx

Đặc biệt chúng tôi chứng minh Định lý Hopkins về căn Jacobson trong lý thuyết vành cho trường hợp nửa vành cộng giản ước.. Trong bài viết này chúng tôi dùng khái niệm căn Bourne tính toá

TẠP CHÍ KHOA HỌC, Đại học Huế, Số 59, 2010

ĐỊNH LÝ HOPKINS VỀ CĂN JACOBSON CHO CÁC NỬA

VÀNH CỘNG GIẢN ƯỚC

Nguyễn Xuân Tuyến, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế

Lê Hoàng Mai, Trường Đại học Đồng Tháp

Tóm tắt Trong bài viết này chúng tôi tính một số kết quả liên quan đến căn của nửa vành theo quan điểm của Bourne Đặc biệt chúng tôi chứng minh Định lý Hopkins về căn Jacobson trong lý thuyết vành cho trường hợp nửa vành cộng giản ước

1 Giới thiệu

Căn của nửa vành tổng quát được Bourne định nghĩa vào năm 1950, sau

đó căn Bourne được Zassenhaus, Iizuka, tiếp tục xem xét Thời gian gần đây được tiếp tục nghiên cứu bởi các tác giả H.M.AL-Thani, N.X Tuyen và T.G Nam, Ngoài ra, căn của nửa vành theo quan điểm của Kurosh-Amitsur cũng được nghiên cứu bởi U Hebisch và H J Weinert Trong bài viết này chúng tôi dùng khái niệm căn Bourne tính toán trên các nửa vành cộng giản ước; nửa vành lũy đẳng và thu được kết quả là các Mệnh đề 2.3; Mệnh đề 2.5 và Mệnh đề 2.6 Đặc biệt, chúng tôi dùng căn Bourne của nửa vành để xem xét lại một định lý quan trọng trong lý thuyết vành đó là Định lý Hopkins về căn Jacobson, chúng tôi thu được kết quả Định lý Hopkins về căn Jacobson cho các nửa vành cộng giản ước đó là Định lý 3.2

Trong suốt bài viết này, chúng tôi quy ước tập S khác rỗng cùng với hai phép toán hai ngôi cộng và nhân được gọi là một nửa vành nếu thỏa mãn các điều kiện sau: (i) (S, +) là một vị nhóm giao hoán với phần tử không là 0; (ii) (S, ) là một nửa nhóm; (iii) Phép nhân phân phối hai phía đối với phép cộng Nếu phép nhân có tính chất giao hoán thì S được gọi là nửa vành giao hoán, nếu nửa nhóm nhân có phần tử đơn vị thì S được gọi là nửa vành có đơn vị Nửa vành S được gọi là cộng (nhân) lũy đẳng nếu a + a = a(a.a = a), ∀a ∈ S; nửa vành S được gọi là lũy đẳng nếu S vừa là cộng lũy đẳng vừa là nhân lũy đẳng Nửa vành S được gọi là cộng giản ước nếu a + b = a + c thì b = c, ∀a, b, c ∈ S Một tập con I khác rỗng của S được gọi là một ideal trái (phải) của S nếu thoả mãn các điều kiện sau: (i) a + b ∈ I với mọi a, b ∈ I; (ii) ra ∈ I(ar ∈ I) với mọi a ∈ I và mọi r ∈ S I được gọi là ideal của nửa vành S nếu I vừa là

ideal trái vừa là ideal phải của nửa vành S Ideal I của nửa vành S được gọi

là cô lập nếu thỏa mãn điều kiện: với a ∈ I, x ∈ S nếu a + x ∈ I thì x ∈ I Ideal I của nửa vành S được gọi là lũy linh nếu tồn tại số tự nhiên n sao cho

In= {0}

Giả sử S là một nửa vành có đơn vị 1 Vị nhóm cộng giao hoán M cùng với ánh xạ: M × S → M sao cho (m, s) 7→ ms được gọi là một nửa môđun phải trên nửa vành cơ sở S (hay S−nửa môđun phải, kí hiệu: MS) nếu: với mọi a, b ∈ S; x, y ∈ M , (i) x(a + b) = xa + xb; (ii) (x + y)a = xa + ya; (iii) x(ab) = (xa)b và x.1 = x Tương tự, ta có S−nửa môđun trái SM

Cho S là một nửa vành có đơn vị và M là một S−nửa môđun trái (phải)

M được gọi là nửa môđun Artin (Noether) nếu tập các nửa môđun con của M thỏa mãn điều kiện DCC (ACC, tương ứng) Nửa vành S được gọi là nửa vành Artin (Noether) trái nếu S là một S−nửa môđun trái và S là Artin (Noether, tương ứng) Tương tự, ta có khái niệm nửa vành Artin (Noether) phải

2 Căn của nửa vành và các ví dụ

Trước khi đi đến định nghĩa căn Jacobson phải của nửa vành S theo Bourne

ta nhắc lại 2 khái niệm sau đây: phần tử r của nửa vành S được gọi là nửa chính quy phải nếu tồn tại phần tử r0, r00 ∈ S sao cho

r + r0+ rr0 = r00+ rr00 Điều kiện cần và đủ để phần tử r ∈ S nửa chính quy phải là với mọi phần tử

s ∈ S luôn tồn tại phần tử s0, s00 ∈ S sao cho

s + s0+ rs0 = s00+ rs00 Ideal phải I của nửa vành S được gọi là ideal nửa chính quy phải nếu với mọi cặp phần tử i1, i2 ∈ I luôn tồn tại các phần tử j1, j2 ∈ I sao cho

i1+ j1+ i1j1+ i2j2 = i2+ j2+ i1j2+ i2j1 Định nghĩa 2.1.[1] Căn Jacobson phải của nửa vành S là tổng của tất cả các ideal nửa chính quy phải của S

Tương tự, ta có định nghĩa căn Jacobson trái của nửa vành S Bourne cũng

đã chứng minh rằng căn Jacobson phải và trái là trùng nhau, và gọi chung là căn Jacobson của S, kí hiệu R(S)

Sau đó, Bourne và Zassenhaus đã đưa ra khái niệm nửa căn của nửa vành

S và xét quan hệ tương đương tuyến tính i1 ∼ i2 nếu và chỉ nếu phương trình

i1+ x = i2+ x giải được trong S với i1, i2 ∈ S Đặt

S∗ = S/∼ = {i∗ | i ∈ S} với i∗ = {j ∈ S | i ∼ j}

Định nghĩa 2.2.[2] Nửa căn của nửa vành S, kí hiệu σ(S), là tập hợp tất cả các phần tử i của S sao cho i∗ thuộc vào căn Jacobson R(S∗) của S∗ Nửa căn σ(S) chứa căn Jacobson R(S) của S Iizuka và Nakahara chứng minh được căn Jacobson và nửa căn của nửa vành S trùng nhau

Sau đây ta xét một vài ví dụ về việc tính căn của các nửa vành cụ thể:

Ví dụ 1 Ta có R(N) = {0} với N là nửa vành các số tự nhiên với 2 phép toán cộng và nhân thông thường Thật vậy, gọi I là một ideal nửa chính quy bất kỳ của N, với mọi x ∈ I ta xét cặp x, 0 ∈ I, vì I là nửa chính quy nên tồn tại j1, j2 ∈ I sao cho

x + j1+ xj1 = j2+ xj2 Nếu j1 > j2 thì j1+ xj1 > j2+ xj2 suy ra x + j1+ xj1 > j2+ xj2 (vô lý) Nếu

j1 < j2 thì j1+ 1 ≤ j2 Khi đó j2 + xj2 ≥ j2+ x(j1+ 1) ≥ j1 + 1 + xj1+ x >

x + j1 + xj1 (vô lý) Vậy j1 = j2, thay vào x + j1 + xj1 = j2+ xj2, do N cộng giản ước nên x = 0 Vậy, I = {0} hay N chỉ có duy nhất ideal nửa chính quy

đó là {0} Do đó, R(N) = {0}

Ví dụ 2 Tập hợp R3 = {0, 1, a} cùng với hai phép toán được cho bởi bảng sau:

Ta dễ dàng kiểm chứng được R3 là ideal nửa chính quy phải của chính nó, nghĩa là R(R3) = R3

Cho I là ideal nửa chính quy phải của nửa vành S Khi đó, ∀i ∈ I ta dễ dàng chứng minh được i là phần tử nửa chính quy phải của S Tuy nhiên, tập hợp J tất cả các phần tử nửa chính quy phải của S chưa chắc là ideal nửa chính quy phải của S Vậy, khi nào tập J là ideal nửa chính quy phải của S? Mệnh đề 2.3 Cho S là nửa vành giao hoán, lũy đẳng Khi đó R(S) = J , với J là tập hợp tất cả các phần tử nửa chính quy phải của S

Chứng minh Trước tiên ta chứng minh J là ideal nửa chính quy phải của S Ta có 0 ∈ J , vì 0 là phần tử nửa chính quy phải Với mọi j1, j2 ∈ J, ta có

(j1+ j2) + (j1+ j2) + (j1+ j2)(j1+ j2) = (j1+ j2) + (j1+ j2)(j1+ j2)

vì thế j1 + j2 là phần tử nửa chính quy phải của S nên j1+ j2 ∈ J Với mọi

j ∈ J, s ∈ S, tồn tại s0, s00 ∈ S sao cho

j + s0+ js0 = s00+ js00

=⇒ sj + ss0+ sjs0 = ss00+ sjs00

=⇒ sj + ss0+ (sj)(ss0) = ss00+ (sj)(ss00)

hay sj là phần tử nửa chính quy phải của S nên sj ∈ J Với mọi j1, j2 ∈ J, ta

có j1+ j2 = (j1+ j2)(j1+ j2), cho nên j1+ j2+ j1j1+ j2j2 = j1+ j2+ j1j2+ j2j1, suy ra J là ideal nửa chính quy phải của S Vì J là ideal nửa chính quy phải của S nên J ⊆ R(S) Mặt khác, vì R(S) cũng là một ideal nửa chính quy phải của S nên mỗi phần tử của R(S) đều là phần tử nửa chính quy phải, do đó

Iizuka đã sử dụng lý thuyết biểu diễn để đặc trưng căn của nửa vành Một S−nửa môđun phải giản ước M 6= {0} được gọi là bất khả quy nếu với mỗi cặp cố định tùy ý u1, u2 ∈ M thỏa u1 6= u2 và với bất kỳ x ∈ M luôn tồn tại

a1, a2 ∈ S sao cho

x + u1a1+ u2a2 = u1a2+ u2a1 Khi đó, ta nói M là nửa môđun biểu diễn bất khả quy của nửa vành S Kí hiệu

I là tập hợp tất cả các nửa môđun biểu diễn bất khả quy của một nửa vành S

Định lý 2.4.[5] Cho S là một nửa vành có đơn vị Khi đó

R(S) = \

M ∈I (0 : M )

trong đó (0 : M ) = {b ∈ S | M b = {0}} Nếu I = ∅ thì R(S) = S và S được gọi là nửa vành căn

Mệnh đề 2.5 Cho S là nửa vành cộng lũy đẳng Khi đó R(S) = S hay S

là nửa vành căn

Chứng minh Gọi M 6= {0} là một nửa môđun biểu diễn bất khả quy của nửa vành S Với m(6= 0) ∈ M , ta chọn u1 = m, u2 = 0, x = m, khi đó luôn tồn tại a1, a2 ∈ S sao cho

x + u1a1+ u2a2 = u1a2+ u2a1

=⇒ m + ma1 = ma2

=⇒ m + ma1+ ma2 = ma2+ ma2 = m(a2+ a2) = ma2

=⇒ m + ma1+ ma2+ ma1 = ma1+ ma2

=⇒ m + m(a1 + a2) = m(a1+ a2)

Vì M cộng giản ước nên m = 0 (vô lý) Vậy S không có các S−nửa môđun

Chú ý Ta có thể chứng minh Mệnh đề 2.5 bằng cách sử dụng Định lý

4 trong [5] Dễ dàng chứng minh được R3 là nửa vành cộng lũy đẳng nên R(R3) = R3

Nhận xét Như ta đã biết, căn của vành có đơn vị là giao của tất cả các ideal trái (phải) tối đại Do đó, nếu S là một vành có đơn vị thì căn của S

là một ideal con thực sự của S, vì phần tử đơn vị không thuộc vào căn của

S Tuy nhiên, trên nửa vành cộng lũy đẳng có đơn vị thì theo Mệnh đề 2.5 ta luôn có R(S) = S và đây có thể xem là một sự khác biệt giữa căn của vành

và căn của nửa vành

Cho R là nửa vành (không có đơn vị) Khi đó dễ dàng kiểm chứng được tập S = R × N cùng với hai phép toán cộng (r, n) + (r0, n0) = (r + r0, n + n0) và nhân (r, n)(r0, n0) = (nr0+ n0r + rr0, nn0) với mọi (r, n), (r0, n0) ∈ S, là một nửa vành có đơn vị với phần tử không 0S = (0, 0) và phần tử đơn vị 1S = (0, 1) Nửa vành này được gọi là mở rộng Dorroh của R nhờ N (xem [3])

Mệnh đề 2.6 Cho R là một nửa vành (không có đơn vị) và S là mở rộng Dorroh của R nhờ N Khi đó R(R) = R(S)

Chứng minh Ta thấy ánh xạ f : R → S sao cho r 7→ (r, 0) là một đơn cấu nửa vành Vì thế, mọi phần tử r ∈ R ta có thể đồng nhất với phần tử (r, 0) ∈ S Khi đó, ta có R là một nửa vành con của S và ta cũng chứng minh được R là một ideal của S Theo Định lý 2 trong [5], ta có R(R) = R(S) ∩ R,

vì thế để chứng minh R(S) = R(R), ta cần chứng minh R(S) ⊆ R Ta

có ánh xạ p : S → S/R sao cho (r, n) 7→ (r, n) là một toàn cấu nửa vành nên suy ra p(R(S)) ⊆ R(S/R) Mặt khác, xét ánh xạ θ : S/R → N sao cho (r, n) 7→ n, ta dễ dàng chứng minh được θ là một đẳng cấu nửa vành nên R(S/R) = R(N) = {0} Vì thế p(R(S)) ⊆ R(S/R) = {0} Với mọi

x = (r, n) ∈ R(S), p(r, n) = (r, n) = (0, 0) hay (r, n) + (r1, 0) = (r2, 0) Do đó,

n = 0 và x = (r, 0) ∈ R Vậy R(S) ⊆ R Suy ra R(R) = R(S) 

3 Định lý Hopkins về căn Jacobson cho các nửa vành cộng giản ước

Ta có Định lý Hopkins về căn Jacobson trong vành Artin như sau: Cho S

là vành Artin trái Khi đó, căn Jacobson R(S) vừa là ideal trái lũy linh lớn nhất vừa là ideal phải lũy linh lớn nhất của S (xem [6]) Tuy nhiên, theo Mệnh

đề 2.5 thì R3 là nửa vành cộng lũy đẳng nên R(R3) = R3 Mặt khác, R3 là hữu hạn nên R3 là nửa vành Artin nhưng R(R3) = R3 không lũy linh Do đó, Định lý Hopkins về căn Jacobson trong vành Artin không còn đúng trong nửa vành Artin Vậy, với điều kiện nào thì nửa vành có căn là lũy linh?

Để trả lời câu hỏi này, trước hết ta nhắc lại việc xây dựng vành sai phân eS như sau: Cho S là một nửa vành Khi đó nửa vành S∗ = S/[≡]{0} là cộng giản ước (trong đó [≡]{0} là tương đẳng Iizuka) Trong trường hợp nửa vành S là cộng giản ước thì S∗ = S Từ nửa vành S∗ cộng giản ước ta xây dựng được vành sai phân eS chứa S∗ như một nửa vành con Cụ thể như sau:

Cho S là nửa vành cộng giản ước (tức là S∗ = S) Khi đó S × S = {(x, y) |

x, y ∈ S} cùng với 2 phép toán cộng (x, y) + (x0, y0) = (x + x0, y + y0) và nhân (x, y)(x0, y0) = (xx0 + yy0, xy0+ x0y) là một nửa vành cộng giản ước với phần

tử không là (0, 0) Xét tập ∆ = {(a, a) | a ∈ S}, ta dễ dàng chứng minh được

∆ là một ideal của S × S Xét quan hệ tương đẳng Bourne trên S × S như sau: (x, y) ≡∆ (x0, y0) ⇔ ∃(a, a), (b, b) ∈ ∆ : (x, y) + (a, a) = (x0, y0) + (b, b) ⇔

∃(a, a), (b, b) ∈ ∆ : x + a = x0 + b, y + a = y0 + b Khi đó, eS = (S × S)/∆

là một vành với hai phép toán cộng (x, y) + (x0, y0) = (x + x0, y + y0) và nhân (x, y).(x0, y0) = (xx0+ yy0, xy0+ x0y) với phần tử không 0

e

S = (0, 0), và phần tử (x, y) có phần tử đối là (y, x) Bây giờ, xét ánh xạ ϕ : S → eS sao cho x 7→ (x, 0),

ta thấy ϕ là một đơn cấu nửa vành vì ϕ(x) = ϕ(y), tức là (x, 0) = (y, 0), suy

ra x + a = y + b, a = b hay x = y Do đó, ta có thể đồng nhất x ∈ S với (x, 0) ∈ eS, vì thế S là một nửa vành con của eS Mặt khác, với mọi (x, y) ∈ eS

ta có (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) − (y, 0) = x − y Vậy, mọi phần tử trong e

S luôn viết được dưới dạng hiệu của hai phần tử trong S

Bổ đề 3.1 Cho S là một nửa vành cộng giản ước Nếu S−nửa môđun phải S2 là Artin thì S− nửa môđun phải eS là Artin

Chứng minh S−nửa môđun phải S2 với phép nhân ngoài ((x, y), z) 7→ (xz, yz) và S− nửa môđun phải eS với phép nhân ngoài ((x, y), r) 7→ (xr, yr) Bây giờ ta xét ánh xạ ϕ : S2

S → eSS sao cho (x, y) 7→ (x, y) Ta dễ dàng kiểm chứng được ϕ là một S−toàn cấu giữa các S−nửa môđun phải Xét dãy

I1 ⊇ I2 ⊇ ⊇ In⊇

các S− nửa môđun con của S− nửa môđun phải eS Khi đó,

ϕ−1(I1) ⊇ ϕ−1(I2) ⊇ ⊇ ϕ−1(In) ⊇

là dãy giảm các S−nửa môđun con của S−nửa môđun phải S2, mà S2

S là Artin nên tồn tại n ∈ N sao cho ϕ−1(In) = ϕ−1(In+i), ∀i = 1, 2, Vì ϕ là toàn cấu nên In = ϕ(ϕ−1(In)) = ϕ(ϕ−1(In+i)) = In+i, ∀i = 1, 2, Do đó,

Định lý 3.2 Cho S là nửa vành cộng giản ước sao cho S2là S−nửa môđun phải Artin Khi đó, căn R(S) của S là lũy linh và S thỏa mãn điều kiện ACC trên các ideal phải cô lập

Chứng minh Vì S là nửa vành cộng giản uớc nên S = S∗ là một nửa vành con của eS Khi đó R(S) = R(S∗) = R( eS) ∩ S∗ = R( eS) ∩ S (xem [5]) Suy ra R(S) ⊆ R( eS) Vì vậy, để chứng minh R(S) lũy linh, ta chỉ cần chứng minh R( eS) lũy linh Nhưng eS là một vành nên theo Định lý Hopkins về căn Jacobson trong lý thuyết vành (xem [6]) ta cần chứng minh eS−môđun phải eS

là Artin Xét dãy

J1 ⊇ J2 ⊇ ⊇ Jn⊇

các môđun con trong eS−môđun phải eS Ta đã biết ánh xạ θ : S → eS sao cho s 7→(s, 0) là một đơn cấu nửa vành Vì thế, mỗi phần tử s ∈ S ta có thể đồng nhất với phần tử (s, 0) ∈ eS, do đó các Ji cũng là các nửa môđun con của

S−nửa môđun phải eS nên dãy J1 ⊇ J2 ⊇ ⊇ Jn⊇ là dãy giảm các môđun con trong S−nửa môđun phải eS Theo Bổ đề 3.1 ta có S−nửa môđun phải eS

là Artin nên suy ra dãy trên phải dừng Vì vậy, eS−môđun phải eS là Artin, do

đó ∃n ∈ N : R( eS)n = {0} mà R(S) ⊆ R( eS) suy ra R(S)n = {0} hay R(S) là lũy linh

Bây giờ ta chứng minh S thỏa mãn điều kiện ACC trên các ideal phải cô lập Do eS là một vành Artin phải nên eS cũng là vành Noether phải (xem [6]) Xét dãy

I1 ≤ I2 ≤ ≤ In≤

các ideal phải cô lập của S Đặt K(Ii) = {a − b | a, b ∈ Ii}, ∀i = 1, n Ta dễ dàng chứng minh được K(Ii) là các ideal phải của eS và K(I1) ≤ K(I2) ≤ ≤ K(In) ≤ Do eS là Noether phải nên ∃n ∈ N : K(In) = K(In+i), ∀i ∈ N Ta

sẽ chứng minh In= In+i, ∀i ∈ N Với mọi x ∈ In+i, ta có x ∈ K(In+i) = K(In),

do đó x viết được dưới dạng x = a − b, với a, b ∈ In Khi đó, a = x + b Vì

a, b ∈ In, In là cô lập nên x ∈ In Suy ra In+i⊆ In, hay In = In+i Vậy, S thỏa mãn điều kiện ACC trên các ideal phải cô lập  Chú ý Cho S là nửa vành cộng giản ước Nếu Sn+k(k ≥ 0) là S−nửa môđun phải Artin thì Sn cũng là S−nửa môđun phải Artin Thật vậy, vì ánh

xạ ϕ : SSn+k → Sn

S sao cho (x1, x2, , xn+k) 7→ (x1, x2, , xn) là một toàn cấu nửa môđun Do SSn+k là Artin nên SSn là Artin Vậy, nếu SS2 là Artin thì SS là Artin Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng Thật vậy, cho S = R+ (tập các

số thực không âm) khi đó S là một nửa trường với hai phép toán cộng và nhân thông thường Đặt T =Y

i∈N

Si với Si = S, khi đó T là nửa vành giao hoán cộng giản ước với phép toán cộng (xi)+(yi) = (xi+yi) và nhân (xi)(yi) = (xiyi) Xét tập R = {(0, 0, , 0, )}S{(xi) ∈ T | xi 6= 0, ∀i ∈ N} Ta có R là nửa trường con cộng giản ước của T ; suy ra R chỉ có hai ideal là {0} và R; do đó R là Artin Trên R2R xét tập In = {(x, y) ∈ R2R | x = (xi), y = (yi), xi = yi, ∀i = 1, n},

ta dễ dàng kiểm chứng được In là nửa môđun con của R2R Từ định nghĩa In

ta có I1 ⊃ I2 ⊃ I3 ⊇ ⊇ In ⊇ là một dãy không dừng; vì thế R2

R không Artin

TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] S BOURNE, The Jacobson radical of a semiring, Proc Nat Acad Sci., 37(1951), 163 − 170

[2] S BOURNE and H ZASSENHAUS, On the semiradical of a semiring, Proc Nat Acad Sci., 44(1958), 907 − 914

[3] J S GOLAN, The theory of semirings with applications in mathematics and theoretical computer science, Longman scientific and Technical, London,

1992, 318pp

[4] U HEBISCH and H J WEINERT, Radical theory for semirings, Quaes-tiones Mathematicae, 20(1997), 647-661

[5] K IIZUKA, On the Jacobson radical of a semiring, Tohoku Math J., 2(1959), 409 − 421

[6] T Y LAM, A First Course in Noncommutative Rings, Grad Texts in Math no 131, Springer-Verlag, Berlin, Heildeberg, New York, 2001

[7] H.M.AL-THANI, The Jacobson radical of type (3,1), International Jour-nal of Modern Mathematies, 2(2007), 27-33

[8] H.M.AL-THANI, Characterizations of the Jacobson radical of type (3,1), International Journal of Modern Mathematies, 2(2007), 53-61

[9] N X TUYEN and T G NAM, On radicals of Semirings, Southeast Asian Bulletin of Mathematics, 31(2007), 131 − 140

HOPKINS THEOREM ABOUT JACOBSON RADICAL FOR

ADDITIVELY CANCELLATIVE SEMIRINGS

Nguyen Xuan Tuyen, College of Pedagogy, Hue University

Le Hoang Mai, Dong Thap University

Summary: In this paper, we compute some results about radicals of semir-ings Especially, we prove Hopkins Theorem about Jacobson radical in Ring Theory for the case of additevely cancellative semirings