TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC HUẾ, Số 48, 2008VỀ CẤU TRÚC VÀ BIỂU DIỄN XẠ ẢNH CỦA NHÓM LIE POINCARÉ Trần Đạo Dõng, Đại học Huế Lưu Thị Khánh Giang, Sở GD-ĐT Quảng Bình Nguyễn Tân Quang, học v
Trang 1TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC HUẾ, Số 48, 2008
VỀ CẤU TRÚC VÀ BIỂU DIỄN
XẠ ẢNH CỦA NHÓM LIE POINCARÉ
Trần Đạo Dõng, Đại học Huế Lưu Thị Khánh Giang, Sở GD-ĐT Quảng Bình Nguyễn Tân Quang, học viên cao học trường ĐHSP, Đại học Huế
TÓM TẮT Một trong các bài toán cơ bản của lý thuyết biểu diễn nhóm Lie là mô tả và phân lớp các biểu diễn unita bất khả qui của các nhóm Lie nửa đơn, đặc biệt là các biểu diễn xạ ảnh bất khả qui cảm sinh từ biểu diễn unita bất khả qui của phủ phổ dụng đơn liên tương ứng Trong bài viết này, trước hết chúng tôi khảo sát cấu trúc của nhóm Poincaré xét như tích nửa trực tiếp của các nhóm Lie Tiếp đó, chúng tôi khảo sát biểu diễn xạ ảnh của nhóm Lie Poincaré liên thông SO(3, 1)◦n R4 cảm sinh từ các biểu diễn unita bất khả quy của tích nửa trực tiếp SL(2, C) n R4, phủ phổ dụng đơn liên 2-lá của SO(3, 1)◦n R4
§1 Nhóm poincaré và phủ đơn liên tương ứng
1.1 Định nghĩa: Cho nhóm Lorentz H = O(3, 1) tác động một cách tự nhiên lên R4 qua ánh xạ τ : O(3, 1) × R4 → R4, (g, x) 7→ τ (g, x) = gx Khi đó, ánh xạ
α : g 7→ τ (g, ) là một đồng cấu nhóm từ nhóm Lorentz H = O(3, 1) vào nhóm các tự đẳng cấu trơn của R4 Ta định nghĩa nhóm Poincaré là tích nửa trực tiếp O(3, 1) ×τR4
của các nhóm Lie O(3, 1) và R4 Để đơn giản, nhóm Poincaré thường được ký hiệu là G = O(3, 1)nR4 Phép toán nhân và nghịch đảo trên nhóm Poincaré cho bởi
(g, x)(g0, x0) = (gg0, τ (g0−1, x) + x0) = (gg0, g0−1x + x0)
(g, x)−1 = (g−1, τ (g, −x)) = (g−1, −gx), ∀(g, x), (g0, x0) ∈ G
1.2 Mệnh đề: Đại số Lie của nhóm Lie Poincaré G = O(3, 1) n R4 là tích nửa trực tiếp của các đại số Lie so(3, 1) ⊕πR4, với π : so(3, 1) → DerR4 là đồng cấu đại
số Lie xác định bởi π(X)x = Xx, ∀X ∈ so(3, 1), ∀x ∈ R4
Chứng minh Gọi τ (g) là vi phân của τ (g, ) tại phần tử đơn vị của R4 Do τ (g, ) :
R4 → R4
là một tự đẳng cấu nhóm Lie nên τ (g) : R4 → R4 là tự đẳng cấu đại số Lie của R4 Khi đó, ánh xạ τ : G → AutR(R4), g 7→ τ (g) là một đồng cấu nhóm
Trang 2và trơn nên τ là một đồng cấu nhóm Lie Đại số Lie của các nhóm Lie O(3, 1) và Aut(R4) lần lượt là so(3, 1) và Der(R4) nên dτ là một đồng cấu đại số Lie từ so(3, 1) vào Der(R4) Theo định nghĩa, đại số Lie của nhóm Poincaré G = O(3, 1) n R4 là
g= so(3, 1) ⊕dτ R4 Ta sẽ chứng minh π = dτ Thật vậy, với X là một phần tử bất
kì của so(3, 1), ta có
dτ (X)(x) = dtd t=0τ (I + tX)(x) = dtd t=0(I + tX)x = dtd t=0(x + tXx)
= dtd t=0tXx = Xx, ∀x ∈ R4
Do đó, dτ = π Để đơn giản, ta sẽ kí hiệu g = so(3, 1) n R4
Xét tác động của nhóm SL(2, C) lên R4 bởi các tự đẳng cấu xác định bởi ν : SL(2, C) × R4 → R4, (g, x) 7→ ψ(g)x Khi đó, ta xác định được tích nửa trực tiếp SL(2, C) ×ν R4 Phép nhân và phép nghịch đảo trên eG = SL(2, C) ×ν R4 cho bởi (g, x)(g0, x0) = (gg0, ν(g0−1, x) + x0) = (gg0, ψ(g0−1)x + x0)
= (gg0, (ψ(g0))−1x + x0)
(g, x)−1 = (g−1, ν(g, −x)) = (g−1, −ψ(g)x), ∀g, x), (g0, x0) ∈ eG
Mặt khác, tác động τ của nhóm Lorentz O(3, 1) lên R4 hạn chế trên SO(3, 1)◦ cảm sinh tích nửa trực tiếp của các nhóm Lie
G◦ = SO(3, 1)◦n R4 := SO(3, 1)◦×τ R4, với G◦ là thành phần liên thông của nhóm Poincaré
Xét ψ : SL(2, C) → SO(3, 1)◦ là đồng cấu phủ của nhóm Lorentz liên thông
H◦ = SO(3, 1)◦, với SL(2, C) là nhóm phủ đơn liên hai lá tương ứng Khi đó, ta có kết quả sau:
1.3 Mệnh đề:Phủ phổ dụng của nhóm Poincaré liên thông SO(3, 1)◦ n R4 là tích nửa trực tiếp SL(2, C) ×ν R4 với đồng cấu phủ
Ψ := ψ × I : SL(2, C) ×νR4 → SO(3, 1)◦
n R4, (g, x) 7→ (ψ(g), x)
Chứng minh Ta có SL(2, C) và R4 là các nhóm Lie đơn liên nên SL(2, C) ×ν R4 cũng đơn liên Bây giờ ta sẽ chứng minh Ψ là một đồng cấu nhóm Lie Thật vậy, giả sử (g, x), (g0, x0) là hai phần tử bất kì của SL(2, C) ×νR4, khi đó, ta có
Ψ((g, x)(g0, x0)) = Ψ(gg0, (ψ(g0))−1x + x0) = (ψ(gg0), (ψ(g0))−1x + x0)
= (ψ(g)ψ(g0), (ψ(g0))−1x + x0)
Trang 3Ψ(g, x)Ψ(g0, x0) = (ψ(g), x)(ψ(g0), x0) = (ψ(g)ψ(g0), (ψ(g0))−1x + x0).
Suy ra Ψ((g, x)(g0, x0)) = Ψ(g, x)Ψ(g0, x0), hay Ψ là một đồng cấu nhóm Do ψ và I
là các toàn ánh nên Ψ cũng toàn ánh Hơn nữa, kerΨ = {(±I, 0)} ∼= Z2
Ta có SL(2, C) ×ν R4 đơn liên và Ψ là một toàn cấu nhóm Lie nên suy ra SL(2, C) ×ν R4 là nhóm phủ phổ dụng của nhóm Poincaré liên thông
G◦ = SO(3, 1)◦ n R4 với đồng cấu phủ Ψ : SL(2, C) ×ν R4 → SO(3, 1)◦
n R4 Do kerΨ ∼= Z2 nên phủ phổ dụng này cũng là phủ hai lá
Để đơn giản khi viết, ta sẽ kí hiệu SL(2, C)nR4 thay cho nhóm Lie SL(2, C)×νR4
và đại số Lie tương ứng là sl(2, C) n R4 thay cho sl(2, C) ⊕dνR4
§2 Biểu diễn xạ ảnh của nhóm Poincaré
Xét đại số Lie g = so(3, 1) n R4 của nhóm Lie Poincaré G = O(3, 1) n R4, ta có kết quả sau:
2.1 Mệnh đề: H2 so(3, 1) n R4 = 0
Chứng minh Trước hết chú ý rằng đại số Lie của nhóm Lorentz h = so(3, 1) là một đại số Lie nửa đơn Lấy ω : R4× R4 → R là một phần tử của (∧2(R4)∗)so(3,1) và xét tích trong Lorentz β trên R4 Do β không suy biến nên tồn tại duy nhất một ánh
xạ tuyến tính T ∈ End(R4) sao cho ω(x, y) = β(T x, y), với mọi x, y ∈ R4 Khi đó, với mọi X ∈ so(3, 1), x, y ∈ R4, ta có
0 = Xω(x, y) = ω(Xx, y) + ω(x, Xy) = β(T Xx, y) + β(T x, Xy)
Suy ra
β(T Xx, y) = −β(T x, Xy) = −
trong đó <, > là kí hiệu tích vô hướng chính tắc trên R4 và J là ma trận chéo cấp
4 với ba phần tử đầu tiên trên đường chéo bằng 1 và phần tử cuối cùng của đường chéo bằng -1 Do vậy, ta có
T Xx = XT x, ∀X ∈ so(3, 1), x ∈ R4 Nên T giao hoán với tác động của so(3) Do đó T = cI, với c ∈ R Vì thế
ω(x, y) = β(T x, y) = β(cIx, y) = cβ(x, y), ∀x, y ∈ R4
Hay ω = cβ Mặt khác, ta có ω là phản đối xứng nên
cβ(x, y) = ω(x, y) = −ω(y, x) = −cβ(y, x), ∀x, y ∈ R4
Trang 4Suy ra cβ(e1, e1) = −cβ(e1, e1) Do β(e1, e1) = 1 nên c = −c hay c = 0.
Do đó ω = 0 Vậy (∧2(R4)∗)so(3,1)= 0 Suy ra H2(so(3, 1) n R4) = 0
Biểu diễn xạ ảnh π : G → Aut(P(H)) của nhóm Lie G trong không gian Hilbert phức H được gọi là bất khả quy nếu không tồn tại không gian con đóng thực sự khác không π(G)-bất biến của P(H) Kết quả dưới đây cho thấy rằng, mỗi biểu diễn unita bất khả quy của SL(2, C) n R4 có thể được cảm sinh từ một biểu diễn xạ ảnh bất khả quy của SL(2, C) n R4
2.2 Định lý:Cho H là không gian Hilbert phức Khi đó mỗi biểu diễn xạ ảnh
π : SL(2, C) n R4 → Aut(P(H)) nâng lên thành một biểu diễn unita duy nhất π của∼ SL(2, C) n R4 trong H Hơn nữa, π là bất khả quy nếu và chỉ nếu ∼π bất khả quy Chứng minh Ta có nhóm Lie SL(2, C) n R4 đơn liên Hơn nữa, đại số Lie tương ứng sl(2, C) n R4 đẳng cấu với so(3, 1) n R4 nên theo Mệnh đề 2.1, ta có
H2 sl(2, C) n R4 = 0 Suy ra biểu diễn xạ ảnh π : SL(2, C) n R4 → Aut(P(H)) nâng lên thành một biểu diễn unita π : SL(2, C) n R∼ 4 → U (H)
Bây giờ ta sẽ chứng minh tính duy nhất củaπ Giả sử ρ là phép nâng thứ hai của π.∼ Khi đó, q ◦∼π = π = q ◦ ρ, nên với mọi x ∈ SL(2, C) n R4, ta có q ◦∼π(x) = q ◦ ρ(x) Suy ra q π(x) q(ρ(x))∼ −1 = 1 Hay q ∼π(x).(ρ(x))−1 = q ∼π(x).q (ρ(x))−1 = 1
Vì vậy ∼π(x).(ρ(x))−1 là một phần tử của kerq = T
Từ đó, ta xác định được ánh xạ ϕ : SL(2, C) n R4 → T theo công thức ϕ(x) =
∼
π(x).(ρ(x))−1 Suy ra,π(x) = ϕ(x)ρ(x), ∀x ∈ SL(2, C) n R∼ 4 và ϕ là ánh xạ duy nhất
có tính chất này
Do ρ và ∼π là những ánh xạ liên tục nên ϕ cũng liên tục Hơn nữa, T là tâm của
U1(H) nên với mọi phần tử x, x1, x2 thuộc SL(2, C) n R4, ta có
ϕ(x1x2) =π(x∼ 1x2).(ρ(x1x2))−1 =∼π(x1).∼π(x2) ρ(x1).ρ(x2)−1
=π(x∼ 1) ∼π(x2).(ρ(x2))−1.(ρ(x1))−1 =∼π(x1).ϕ(x2).(ρ(x1))−1
= ∼π(x1).(ρ(x1))−1.ϕ(x2) = ϕ(x1).ϕ(x2)
Như vậy, ϕ là một đồng cấu nhóm Lie Gọi ϕ là thu hẹp của ϕ lên SL(2, C) Khi
đó, đạo hàm ϕ∗ : sl(2, C) → R của ϕ là một đồng cấu đại số Lie Xét như là một đại số Lie thực, sl(2, C) là đại số Lie đơn, với ker ϕ∗ là một ideal của sl(2, C) Do
đó ker ϕ∗ = 0 hoặc ker ϕ∗ = sl(2, C) Nếu ker ϕ∗ = 0 thì ϕ∗ là một đơn cấu, suy ra
số chiều của sl(2, C) nhỏ hơn hoặc bằng số chiều của R
Điều này là mâu thuẫn vì số chiều của sl(2, C) bằng 6 còn số chiều của R bằng 1 Vậy ker ϕ∗ = sl(2, C), hay ϕ∗ = 0 trên sl(2, C) Khi đó,
ϕ(SL(2, C) = ϕ(SL(2, C) = ϕ(exp(sl(2, C)) = exp(ϕ∗(sl(2, C)) = 1
Trang 5Suy ra ϕ = 1 trên SL(2, C) Không gian con ker ϕ∗ ∩ R4 là SO(3, 1)-bất biến, nên ker ϕ∗ ∩ R4 = R4 Vì thế ker ϕ∗ = R4 Như vậy, ϕ∗ = 0, do đó ϕ = 1 trên SL(2, C) n R4 Suy ra ∼π = ρ
Bây giờ, xét V là một không gian con đóng của H Kiểm tra trực tiếp theo định nghĩa và áp dụng đẳng thức q ◦∼π = π ta suy ra V là ∼π SL(2, C) n R4-bất biến nếu
và chỉ nếu P(V ) là π SL(2, C) n R4-bất biến Do đó, π bất khả quy khi và chỉ khi
∼
π bất khả quy
Một trong các áp dụng của định lý 2.2 là xác định mối liên hệ hai chiều giữa tập hợp tất cả các biểu diễn unita bất khả quy của nhóm Lie Poincaré liên thông
G◦ = SO(3, 1)◦ n R4 và tập hợp tất cả các biểu diễn xạ ảnh bất khả quy của phủ phổ dụng tương ứng SL(2, C) n R4
2.3 Mệnh đề:Mỗi biểu diễn unita bất khả quy của SL(2, C) n R4 trong H cảm sinh một cách tự nhiên một biểu diễn xạ ảnh bất khả quy của SO(3, 1)◦n R4 trong
H Từ đó, xác định được một song ánh giữa tập hợp tất cả các biểu diễn xạ ảnh bất khả quy của nhóm Poincaré liên thông và tập hợp tất cả các biểu diễn unita bất khả quy của phủ phổ dụng tương ứng SL(2, C) n R4
Chứng minh Giả sử π : SL(2, C) n R∼ 4 → U1(H) là một biểu diễn unita bất khả quy của SL(2, C) n R4 trong không gian Hilbert H Ta đã biết toàn cấu nhóm
q : U1(H) → Aut(P(H)) có hạt nhân là T, đồng cấu phủ Ψ : SL(2, C) n R4 → SO(3, 1)◦ n R4 có hạt nhân là {(±I, 0)} và trùng với tâm của SL(2, C) n R4 Suy
ra π(KerΨ) ⊂ T Khi đó, biểu diễn∼ ∼π cảm sinh một biểu diễn xạ ảnh π = q ◦π :∼ SL(2, C) n R4 → Aut(P(H)) tầm thường trên ker Ψ Do vậy, π cảm sinh biểu diễn xạ ảnh π : SO(3, 1)◦ n R4 → Aut(P(H)) của nhóm Poincaré liên thông
G◦ = SO(3, 1)◦n R4 trong H sao cho sơ đồ sau giao hoán
SL(2, C) n R4 SO◦(3, 1) n R4
Aut(P(H))
-Ψ
?
π
π
Ta cóπ bất khả quy nên π bất khả quy, do đó π cũng bất khả quy Ngược lại, cho π∼
là một biểu diễn xạ ảnh bất khả quy của SO◦(3, 1) nR4 trong H, ta suy ra π =π ◦ Ψ∼
là một biểu diễn xạ ảnh bất khả quy của SL(2, C) n R4 Theo định lí 2.2, biểu diễn này nâng lên một biểu diễn unita bất khả quy duy nhất của SL(2, C) n R4 Vậy có một song ánh giữa tập tất cả các biểu diễn xạ ảnh bất khả quy của nhóm Poincaré
Trang 6liên thông G◦ = SO(3, 1)◦ n R4 với tập tất cả các biểu diễn unita bất khả quy của phủ phổ dụng tương ứng SL(2, C) n R4
Theo Mệnh đề 2.3, các biểu diễn xạ ảnh bất khả quy của nhóm Lie liên thông Poincaré SO(3, 1) n R4 được cảm sinh từ các biểu diễn unita bất khả quy của nhóm phủ đơn liên SL(2, C) n R4 tương ứng Theo quan điểm của Mackey thể hiện trong [2, Theorem 11.6], các biểu diễn unita bất khả quy này được phân lớp dựa vào hai tham số
Tham số thứ nhất là một đại diện ξ của một quĩ đạo trong cR4 Do cR4 ' i(R4)∗ nên qua tích vô hướng Lorentz ta xác định được một đẳng cấu tuyến tính thực
R4 −→ i(R4)∗, v 7−→ ξv, theo công thức ξv(x) = eiβvx, ∀x ∈ R4
Do β bất biến qua nhóm Lorentz, đẳng cấu tuyến tính v 7−→ ξv giao hoán với tác động của nhóm SL(2, C) lên R4 được xác định như trong phần trước Chú ý rằng, với mỗi đại diện ξ ta có thể xác định ξv với v lấy mọi giá trị cúa các đại diện của SO(3, 1)0-quỹ đạo trong R4
Tương tự như trong trường hợp tác động của SO(3, 1) lên R4, ta cũng xác định được tập hợp các đại diện nói trên là R = R1∪ R2∪ R+
4 ∪ R−4 ∪ {0}, trong đó
R1 = {me1|m > 0}, R2 = {e1+ e4, e1− e4},
R+
4 = {me4|m > 0}, R−4 = {−me4|m > 0}
Đối với mỗi đại diện v ∈ R4, ta ký hiệu nhóm con ổn định tương ứng trong SL(2, C)
là fHv Mệnh đề sau cho ta các nhóm con ổn định tương ứng với các điểm v trên các quĩ đạo đã xác định ở trên
2.4 Mệnh đề:Nhóm con ổn định fHv của v ∈ R được xác định như sau
a) fHv = SU (2), với v ∈ R+4 họăc v ∈ R−4,
b) fHv = U (1) n R2, với v ∈ R2,
c) fHv = SL(2, R), với v ∈ R1,
d) fHv = SL(2, C), với v = 0
Trong Mệnh đề trên, chú ý rằng U (1) là phủ hai lá của SO(2) và SU (2) là phủ hai lá của SO(3), với SO(2) và SO(3) là các nhóm con ổn định tương ứng qua tác động của SO(3, 1) lên R4
Tham số thứ hai là một phần tử ρ ∈ cHfv, với cHfv là tập hợp tất cả các lớp tương đương các biểu diễn unita bất khả qui của nhóm con ổn định fHv
Trang 7Tác động SL(2, C) lên R4 cảm sinh một tác động của SL(2, C) lên cR4 Khi đó R xác định một nhát cắt σ-compact của SL(2, C)-tác động lên cR4 và R4 là nhóm Lie giao hoán liên thông nên các giả thiết của định lý Mackey được thỏa mãn Từ đó ta
có mệnh đề sau ([2, Theorem 16.1])
2.5 Mệnh đề:Biểu diễn unita bất khả qui của nhóm Lie SL(2, C) n R4 được xác định bởi
πv,ρ= IndSL(2,C)nRf 4
H v nR4 (ρ ⊗ ξv), trong đó v ∈ R, ρ ∈ cHfv
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] E.P Van den Ban, Lie group, Lecture Notes in Mathematics, University of Utrecht, MRI Holland, 2003
[2] E.P Van den Ban, Representation theory and applications in classical quantum mechanics, Lecture for Spring school, University of Utrecht, MRI Holland, 2004 [3] Bernard W Banks, Representations of the Poincaré Groups, Preprint, Califor-nia State Polytechnic University, Pomona, 2006
[4] Theodor Br¨ocker, Tammo tom Dieck, Representations of Compact Lie groups, Springer Verlag, 1985
[5] Anthony W.Knapp, Lie groups Beyond an Introduction, Progress in Mathemat-ics, Boston, 1996
ON THE STRUCTURE AND PROJECTIVE REPRESENTATIONS OF POINCARÉ LIE GROUPS
Tran Dao Dong, Hue University Luu Thi Khanh Giang, Quang Binh Department of Education and Training Nguyen Tan Quang, Master student, College of Pedagogy, Hue University
SUMMARY
The description and classification of projective representaions of the semisimple Lie groups based on the irreducible unitary representations of the corresponding universal cov-ering group is one of the important problems in the representation theory of Lie groups
In this note, we would like to give the description of irreducible projective representaions
of Lie Poincaré based on the irreducible unitary representations of SL(2, C) n R4, the cor-responding simply connected two-fold covering By this way, they are the representations naturally induced and classified by the irreducible unitary representations of SL(2, C)nR4
... nhóm Lie SL(2, C)×νR4và đại số Lie tương ứng sl(2, C) n R4 thay cho sl(2, C) ⊕dνR4
§2 Biểu diễn xạ ảnh nhóm Poincaré...
Như vậy, ϕ đồng cấu nhóm Lie Gọi ϕ thu hẹp ϕ lên SL(2, C) Khi
đó, đạo hàm ϕ∗ : sl(2, C) → R ϕ đồng cấu đại số Lie Xét đại số Lie thực, sl(2, C) đại số Lie đơn, với ker ϕ∗... Khi đó, biểu diễn∼ ∼π cảm sinh biểu diễn xạ ảnh π = q ◦π :∼ SL(2, C) n R4 → Aut(P(H)) tầm thường ker Ψ Do vậy, π cảm sinh biểu diễn xạ ảnh π :