TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC HUẾ, Số 48, 2008TỐC ĐỘ HỘI TỤ TRONG MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN ĐỐI VỚI TỔNG NGẪU NHIÊN QUA KHOẢNG CÁCH TROTTER Trần Lộc Hùng, Trần Thiện Thành Trường Đại học Khoa h
Trang 1TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC HUẾ, Số 48, 2008
TỐC ĐỘ HỘI TỤ TRONG MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN
ĐỐI VỚI TỔNG NGẪU NHIÊN QUA KHOẢNG CÁCH TROTTER
Trần Lộc Hùng, Trần Thiện Thành Trường Đại học Khoa học, Đại học Huế
TÓM TẮT
Mục đích chính của bài báo này là thiết lập tốc độ hội tụ trong một số định lý giới hạn đối với tổng ngẫu nhiên các biến ngẫu nhiên độc lập bằng phương pháp khoảng cách xác suất Trotter
1 Đặt vấn đề
Phương pháp khoảng cách xác suất được sử dụng rộng rãi trong Lý thuyết xác suất, nhất là trong các bài toán liên quan đến các định lý giời hạn (xem các tài liệu [1], [2], [4], [7], [8], [9], [10]) Một trong số đó là khoảng cách Trotter được xây dựng trên cơ sở toán tử Trotter trong [3] Khoảng cách Trotter được dùng nhiều trong việc đánh giá tốc độ hội tụ của luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm của tổng các biến ngẫu nhiên (xem [1], [2], [9]) Mục đích của bài báo này là thiết lập tốc độ hội tụ của một số định lý giới hạn đói với tổng ngẫu nhiên các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối bằng khoảng cách Trotter Các kết quả nhận được là sự tiếp tục và tổng quát các kết quả trong [11], [12]
2 Toán tử và khoảng cách Trotter
Giả sử X là biến ngẫu nhiên với hàm phân phối xác suất FX(x) = P(X < x)
Ký hiệu CB(R) là lớp các hàm thực liên tục đều, bị chặn xác định trên R và
CBr(R) = {f ∈ CB(R) : f(j) ∈ CB(R), 1 ≤ j ≤ r}
Chuẩn của hàm f ∈ CB(R) xác định bởi kf k = supx∈R|f (x)|
Định nghĩa 0.1 Toán tử Trotter TX : CB(R) → CB(R) xác định bởi
TXf (t) := Ef (X + t) =
Z
R
f (x + t)dFX(x), t ∈ R, f ∈ CB(R) (1)
Kết quả này được tài trợ một phần kinh phí bởi Chương trình NCCB 2006-2008 (Bộ KHCN, mã số 101806), Đề tài KHCN 2007-2008 (Bộ GD & ĐT) và Trung tâm
Hỗ trợ Nghiên cứu Châu Á (VNU) 2007-2008
Trang 2Toán tử Trotter được nhà toán học Trotter H F [3] đặt ra đầu tiên và được sử dụng trong nhiều bài báo Nó được xem như là một phương pháp dùng trong chứng minh các định lý giới hạn như hàm đặc trưng trong xác suất
Định nghĩa 0.2 Khoảng cách Trotter dT(X, Y ; f ) của 2 biến ngẫu nhiên X, Y ứng với hàm f ∈ CB(R) xác định bởi
dT(X, Y ; f ) = sup
t∈R
|TXf (t) − TYf (t)| (2)
Dựa vào các tính chất của toán tử Trotter (xem [3]), ta chứng minh được các tính chất sau của khoảng cách Trotter
a dT(X, Y ; f ) là một khoảng cách xác suất
b Nếu dT(X, Y ; f ) = 0 với mọi f ∈ CB(R), thì FX ≡ FY
c Cho {Xn, n ≥ 1} là dãy biến ngẫu nhiên và X là một biến ngẫu nhiên Nếu
lim
n→+∞dT(Xn, X; f ) = 0, với mọi hàm f ∈ CB(R),
thì lim
n→+∞FXn(x) = FX(x), ∀x ∈ C(F )
d Giả sử X1, X2, Xn; Y1, Y2, Yn là các biến ngẫu nhiên độc lập (theo mỗi nhóm) Khi đó
dT
n
X
j=1
Xj,
n
X
j=1
Yj; f
!
≤
n
X
j=1
dT(Xj, Yj; f )
Hơn nữa, nếu các biến ngẫu nhiên trong mỗi nhóm cùng phân phối thì
dT
n
X
j=1
Xj,
n
X
j=1
Yj; f
!
≤ ndT(X1, Y1; f )
e Nếu N là biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương, độc lập với X1, X2, , Xn
và Y1, Y2, , Yn thì
dT
N
X
j=1
Xj,
N
X
j=1
Yj; f
!
≤
∞
X
k=1
P (N = k)
k
X
j=1
dT(Xj, Yj; f )
Hơn nữa, nếu các biến ngẫu nhiên X1, X2, , Xn độc lập, cùng phân phối,
Y1, Y2, , Yn độc lập, cùng phân phối và E(N ) < ∞, thì
dT
N
X
j=1
Xj,
N
X
j=1
Yj; f
!
≤ E(N ).dT(Xj, Yj; f )
Trang 3Định nghĩa 0.3 Môđun liên tục của hàm f với δ > 0, ký hiệu ω(f, δ), xác định bởi
ω(f, δ) = sup
|h|≤δ{|f (x + h) − f (x)|, x ∈ R}
Một số tính chất của môđun liên tục được sử dụng trong bài báo
a ω(f, δ) → 0 khi δ → 0
b Với λ ≥ 0 thì ω(f, λδ) ≤ (1 + λ)ω(f, δ)
3 Kết quả chính
Trong phần này, ta giả sử {Xn, n ≥ 1} là dãy biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối với X {Nn} là dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên, dương và độc lập với mỗi Xj Xét tổng ngẫu nhiên
SNn = X1+ X2+ · · · + XNn (3)
Trong các bài báo [11], [12] (cùng tác giả) đã đưa ra một số kết quả về giới hạn của tổng ngẫu nhiên (3) bằng phương pháp hàm đặc trưng Dưới đây, ta sẽ thiết lập một số kết quả về tốc độ hội tụ của tổng ngẫu nhiên qua khoảng cách Trotter (2) Những kết quả này là sự mở rộng cho các kết quả đã có Để đơn giản các kết quả, ta ký hiệu Xo là biến ngẫu nhiên suy biến tại 0 và X? là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc N (0, 1)
Định lý 0.1 Giả sử X có kỳ vọng 0 và moment tuyệt đối cấp r +1 hữu hạn (r ≥ 2) ϕ(n) là hàm số không âm, xác định trên N và thỏa mãn
lim
n→∞ϕ(n) = 0, lim
n→∞ϕ(n)E(Nn) < ∞ (4) Khi đó, với f ∈ CBr+1(R),
dT(ϕ(n)SN n, Xo; f ) = O[ϕ(n)]
Nhận xét Theo tính chất c) của khoảng cách Trotter và mối liên hệ giữa các dạng hội tụ trong lý thuyết xác suất, kết quả của định lý trên kéo theo rằng
ϕ(n)SNn −→ 0,P khi n → ∞
Chứng minh Trước hết, do Xo suy biến tại 0 nên
P
( ϕ(n)
N n
X
j=1
Xo = Xo
)
= 1, ∀n
Trang 4Do giả thiết cùng phân phối nên theo tính chất e) của khoảng cách Trotter, với
f ∈ CBr+1(R), suy ra
dT(ϕ(n)SNn, Xo; f ) ≤ E(Nn).dT(ϕ(n)X, ϕ(n)Xo; f )
= E(Nn) sup
t∈R
|Tϕ(n)Xf (t) − Tϕ(n)X of (t)| (5)
Mặt khác, khai triển Taylor hàm f và lấy kỳ vọng 2 vế, ta được
Tϕ(n)Xf (t) = Ef (ϕ(n)X + t)
=
r
X
j=0
f(j)(t) j! ϕ
j(n)E(Xj) + ϕ
r(n) r! E([f
(r)(η) − f(r)(t)]Xr)
= f (t) +
r
X
j=2
f(j)(t) j! ϕ
j
(n)E(Xj) + ϕ
r(n) r!
Z
R
xr[f(r)(η) − f(r)(t)]dFX(x)
(6) (do EX = 0), trong đó |η − t| ≤ ϕ(n)|x| Hơn nữa, áp dụng tính chất của môđun liên tục, ta có
Z
R
xr[f(r)(η) − f(r)(t)]dFX(x)
≤ Z
R
|x|rω(f(r), ϕ(n)|x|)dFX(x)
≤ ω(f(r), ϕ(n))
Z
R
|x|r(1 + |x|)dFX(x)
= [αr+ αr+1]ω(f(r), ϕ(n))
(7)
trong đó αj = E(|X|j) < ∞ (0 < j ≤ r + 1) Kết hợp (5), (6) và (7) với chú ý rằng
Tϕ(n)Xof (t) = f (t), suy ra
dT(ϕ(nSNn,Xo; f )) ≤ E(Nn)
" r
X
j=2
||f(j)||
j! ϕ
j(n)αj +ϕ
r(n) r! [αr+ αr+1]ω(f
(r), ϕ(n))
#
= ϕ(n)E(Nn)
" r
X
j=2
||f(j)||
j! ϕ
j−1
(n)αj +ϕ
r−1(n) r! [αr+ αr+1]ω(f
(r)
, ϕ(n))
#
Với giả thiết (4) của định lý và tính chất môđun liên tục, kéo theo dT(ϕ(n)SN n, Xo; f ) →
0 khi n → ∞ Hơn nữa tốc độ hội tụ ở đây là O[ϕ(n)] Ta có điều phải chứng minh
Hệ quả 0.2 Giả sử X có kỳ vọng 0 và EX2 < ∞ Chỉ số Nnthỏa mãn lim
n→∞E(Nn) =
∞ Khi đó
SNn E(Nn)
P
−
→ 0
Chứng minh Áp dụng định lý 0.1 với hàm ϕ(n) = [ENn]−1
Trang 5Hệ quả 0.3 Giả sử X có kỳ vọng µ = E(X) và EX2 < ∞ Chỉ số Nn thỏa mãn
Nn/n−→ 1 Khi đóP
SNn n
P
−→ µ
Chứng minh Áp dụng định lý 0.1 với dãy biến ngẫu nhiên Yn = Xn − µ và hàm ϕ(n) = n−1
Định lý 0.4 Giả sử X có kỳ vọng 0, moment tuyệt đối cấp r + 1 hữu hạn (r ≥ 2) ϕ(n) là hàm số không âm, xác định trên N và thỏa mãn
lim
n→∞ϕ(n) = 0, lim
n→∞E[Nnϕ2(Nn)] = 0 (8) Khi đó, với f ∈ CBr+1(R),
dT(ϕ(Nn)SNn, Xo; f ) = O[ENnϕ2(Nn)]
Nhận xét Kết quả của định lý 0.4 kéo theo rằng
ϕ(Nn)SNn −→ 0P khi n → ∞
Chứng minh Hoàn toàn tương tự trong chứng minh định lý 0.1, ta được
dT(ϕ(Nn)SNn,Xo; f ) ≤
∞
X
k=1
kP (Nn = k)dT(ϕ(k)X, ϕ(k)Xo; f )
≤
∞
X
k=1
kP (Nn = k)
" r
X
j=2
||f(j)||
j! ϕ
j
(k)αj +ϕ
r(k) r! [αr+ αr+1]ω(f
(r)
, ϕ(k))
#
=
r
X
j=2
||f(j)||
j! αjE[Nnϕ
j(Nn)] + E Nnϕr(Nn)
r! [αr+ αr+1]ω(f
(r), ϕ(Nn))
(9)
Mặt khác, do lim
n→∞ϕ(n) = 0 nên tồn tại hằng số M : ϕ(n) ≤ M ∀n Khi đó, với
j > 2,
E[Nnϕj(n)] ≤ Mj−2E[Nnϕ2(Nn)] (10) Với giả thiết (8) của định lý và kết hợp (9), (10), suy ra dT(ϕ(Nn)SN n, Xo; f ) → 0 khi n → ∞ Và tốc độ hội tụ là O[ENnϕ2(Nn)] Ta có điều phải chứng minh
Hệ quả 0.5 Giả sử X có kỳ vọng µ = E(X) và EX2 < ∞ Chỉ số Nn thỏa mãn
Nn −→ ∞ Khi đóP
SNn
Nn
P
−
→ µ
Chứng minh Áp dụng định lý 0.4 với dãy biến ngẫu nhiên Yn = Xn − µ và hàm ϕ(n) = n−1
Trang 6Định lý 0.6 Giả sử X tuân theo phân phối chuẩn tắc N (0, 1) và chỉ số Nn thỏa
mãn các điều kiện
ENn → ∞, E|Nn− ENn|
ENn → 0 khi n → ∞
Khi đó, với f ∈ C2
B(R),
dT(SNn/pENn, X?; f ) → 0 khi n → ∞
SNn pE(Nn)
d
−
→ N (0, 1)
Chứng minh Trước hết, ta có đồng nhất sau (về phân phối)
X? d=
k
X
j=1
X?
√ k Đặt an =√
ENn Theo tính chất của khoảng cách Trotter, ta có
dT SNn
an , X
?; f
≤
∞
X
k=1
P (Nn = k).dT
k
X
j=1
X?
an,
k
X
j=1
X?
√
k; f
!
≤
∞
X
k=1
kP (Nn= k).dT X?
an,
X?
√
k; f
(11)
Mặt khác khai triển Taylor hàm f ∈ C2
B(R) và lấy kỳ vọng 2 vế, ta được
TX?
anf (t) = Ef X?
an + t
= f (t) + f
(2)(t) 2a2 n
+ 1 2a2 n
Z
R
x2[f(2)(η1) − f(2)(t)]dFX?(x)
TX?√
k
f (t) = Ef X?
√
k + t
= f (t) +f
(2)(t) 2k +
1 2k Z
R
x2[f(2)(η2) − f(2)(t)]dFX?(x)
(12) trong đó |η1− t| ≤ a−1
n |x| và |η2− t| ≤ k−1/2|x| Khi đó, kết hợp (11), (12) và tương
tự trong chứng minh định lý 0.1, ta suy ra
dT SNn
an , X
?; f
≤
∞
X
k=1
kP (Nn = k) kf(2)k
2
1
a2 n
− 1 k
+ C1 2a2 n
ω(f(2), a−1n ) + C2
2kω(f
(2), k−1/2)
=
∞
X
k=1
P (Nn = k) kf(2)k
2
|k − a2
n|
a2 n
+ C1k 2a2 n
ω(f(2), a−1n ) + C2
2 ω(f
(2), k−1/2)
= kf(2)k 2
E|Nn− ENn|
C1
2 ω(f
(2), (ENn)−1/2) + C2
2 Eω(f
(2), Nn−1/2) trong đó C1 = C2 = 1 + E|X?|3 Với các giả thiết của định lý, ta suy ra điều phải
chứng minh
Trang 7Tài liệu tham khảo
[1] P L Butzer, L Hahn, U Westphal, On the rate of approximation in the central limit theorem, Journal of approximation theory, Vol 13, N 3, (1975), 327-340 [2] R Cioczek, D Szynal, On the convergence rate in terms of the Trotter operator
in the central limit theorem without moment conditions, Bulletin of the Polish Academy of Sciences Mathematics, Vol 35, No 9-10, (1987), 617-627
[3] H F Trotter, An elementary proof of the central limit theorem, Arch Math (Basel), 10(1959), 226-234
[4] V M Zolotarev, Probability metrics, Theory Prob., 28(1983), 278-302
[5] V Kruglov, V Korolev Các định lý giới hạn đối với tổng ngẫu nhiên, Trường Đại học Tổng hợp Quốc gia Mátxcơva (Bản tiếng Nga), Mátxcơva, 1990 [6] H Robbins, The asymptotic distribution of the sum of a random number of random variables, Bull Amer Math Soc., 54 (1948), 1151-1161
[7] Trần Lộc Hùng, Ứng dụng của phương pháp toán tử trong luật các số lớn, Tạp chí Toán học Việt Nam, Số 2, (1983), 20-24
[8] Trần Lộc Hùng, Phương pháp Trotter trong luật các số lớn với tổng ngẫu nhiên, Tạp chí Toán học Việt Nam, Số 2, (1988), 4-9
[9] Tran Loc Hung, On Trotter metric and its an application in weak law of large numbers, Proc International Conference on Theory Probability, Random Processes, Mathematical Statistics and Applications, 21-23 Feb BSU, Minsk (Belarus), 519.2 (063), N 22, T 33, (2005), 344-349, ISBN 985-485-370-5 [10] Tran Loc Hung, On a probability metric based on Trotter operator, Vietnam Journal of Mathematics, N 3, (2007), 21-32, ISSN 0866-7179
[11] Trần Lộc Hùng và Trần Thiện Thành, Một số kết quả về các định lý giới hạn ngẫu nhiên của các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối, Tạp chí Khoa học
và Kỹ thuật, Học Viện Kỹ thuật Quân sự, N 120, III (2007), 12-22, ISSN-1859-0209
[12] Tran Loc Hung and Tran Thien Thanh, Some results on random sum of in-dependent random variables, Submitted to Statistics and Probability Letters, (2008)
Trang 8THE RATES OF CONVERGENCE IN LIMIT THEOREMS FOR RANDOM SUMS VIA TROTTER’S DISTANCE
Tran Loc Hung, Tran Thien Thanh College of sciences, Hue University SUMMARY
The main aim of this paper is established the rates of convergence in some limit theorems for random sums via Trotter’s distance The received results are extensions
of authors in [11] và [12]
... tính chất mơđun liên tục, kéo theo dT(ϕ(n)SN n, Xo; f ) →0 n → ∞ Hơn tốc độ hội tụ O[ϕ(n)] Ta có điều phải chứng minh
Hệ 0.2 Giả sử X có. .. O[ENnϕ2(Nn)] Ta có điều phải chứng minh
Hệ 0.5 Giả sử X có kỳ vọng µ = E(X) EX2 < ∞ Chỉ số Nn thỏa mãn
Nn... pháp toán tử luật số lớn, Tạp chí Tốn học Việt Nam, Số 2, (1983), 20-24
[8] Trần Lộc Hùng, Phương pháp Trotter luật số lớn với tổng ngẫu nhiên, Tạp chí Toán học Việt Nam, Số 2, (1988), 4-9