Tạp chí Khoa học Đại học Huế, Số 48, 2008Một số điều kiện để môđun có tính chất chuyển đổi là trơn Đặng Thanh Hưng, Ngô Sỹ Tùng Trường Đại học Vinh Tóm tắt Trong bài báo này chúng tôi đư
Trang 1Tạp chí Khoa học Đại học Huế, Số 48, 2008
Một số điều kiện để môđun
có tính chất chuyển đổi là trơn
Đặng Thanh Hưng, Ngô Sỹ Tùng
Trường Đại học Vinh Tóm tắt
Trong bài báo này chúng tôi đưa ra một số điều kiện để một môđun có tính chất chuyển đổi là trơn Trong [2], một môđun tựa liên tục với tính chất chuyển đổi là trơn Câu hỏi đặt ra đối với môđun CS thì liệu có còn đúng nữa không? Trong bài báo này chúng tôi sẽ xem xét về vấn đề này
1 Mở đầu
Trong suốt bài viết này, các vành luôn được giả thiết là vành kết hợp, có đơn vị Các môđun trên một vành luôn được hiểu là các môđun phải unita (nếu không nói gì thêm) Một phần tử a ∈ R được gọi là trơn (clean) nếu a = e + u, trong đó e là một phần tử lũy đẳng và u là một phần tử khả nghịch trong R Nếu mọi phần tử của R là trơn thì R
được gọi là vành trơn (clean ring) M được gọi là môđun trơn nếu End(MR) là vành trơn Vành trơn được đưa ra bởi W.K Nicholson trong [7] khi nghiên cứu về môđun có tính chất chuyển đổi Môđun M là môđun có tính chất chuyển đổi (exchange property)
i∈I
Ai, với M0 ∼= M, đều tồn tại các môđun con A0
i ⊆ Ai (và theo luật modular thì A0
i ⊆⊕Ai) sao cho A = M0⊕ ( ⊕
i∈I
A0i) Môđun M có tính chất chuyển đổi hữu hạn nếu định nghĩa trên đúng với tập chỉ số I hữu hạn Vành R được gọi là vành chuyển đổi (exchange ring) nếu môđun RR có tính chất chuyển đổi hữu hạn Vành chuyển đổi có tính chất
đối xứng trái-phải Warfield [8] đã chứng minh được rằng một R-môđun phải MR có tính chất chuyển đổi hữu hạn nếu và chỉ nếu End(MR) là vành chuyển đổi Trong [7, Proposition 1.8], Nicholson đã chứng minh được rằng mọi vành trơn đều là vành chuyển
đổi Lớp các vành trơn là một lớp con thực sự của lớp các vành chuyển đổi
Với M là R-môđun phải Ta xét các điều kiện sau:
(C1) Mọi môđun con của M đều cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M
(C2) Nếu A và B là các môđun con của M đẳng cấu với nhau và A là hạng tử trực tiếp của M thì B cũng là hạng tử trực tiếp của M
(C3) Nếu A và B là các hạng tử trực tiếp của M và A ∩ B = 0 thì A ⊕ B cũng là hạng
tử trực tiếp của M
Một môđun M được gọi là CS-môđun (hay extending môđun) nếu M thỏa mãn điều kiện (C1) Trong điều kiện (C1) nếu ta thay mọi môđun con của M bởi các môđun con
đều thì ta được điều kiện (1-C1) Nếu M thỏa mãn (C1), (C2) thì M được gọi là môđun liên tục Nếu M thỏa mãn (C1) và (C3) thì M được gọi là môđun tựa liên tục
Trang 2Ta có các phép kéo theo sau đây là đúng:
Trong [6, Theorem 3.24], Mohamed-Muller đã chứng minh được môđun liên tục là môđun có tính chất chuyển đổi
môđun con của M, hạng tử trực tiếp của môđun M và vành các tự đồng cấu của môđun
cốt yếu trong M Ta nói môđun M có chiều đều (hay chiều uniform) hữu hạn (ký hiệu
là u − dim(M) < ∞) nếu M chứa một môđun con cốt yếu là tổng trực tiếp hữu hạn các môđun con đều Môđun con A ⊆ M được gọi là bất biến đầy đủ (fully invariant) nếu với mọi f ∈ End(MR) ta đều có f(A) ⊆ A
Các kiến thức cơ sở về vành và môđun có thể tham khảo trong [1], [3], [5], [9]
2 Một số kết quả
Kết quả sau đây đóng vai trò quan trọng trong việc mở rộng lớp các vành trơn
Bổ đề 0.1 ([4]) Nếu e là một lũy đẳng trong vành R sao cho eRe, (1 − e)R(1 − e) là các vành trơn thì R cũng là vành trơn
Hệ quả 0.2 Nếu M = M1⊕ M2⊕ ⊕ Mn, trong đó Mi là các môđun trơn (i=1, ,n) thì M là môđun trơn
Chứng minh Giả sử MR = M1⊕ M2⊕ ⊕ Mn Khi đó tồn tại {e1,e2, , en}là họ lũy
đẳng trực giao trong End(MR) thỏa mãn e1+ e2 + + en= 1M, sao cho Mi = M ei, với ∀i = 1, , n Dễ dàng kiểm tra được eiEnd(MR)ei ∼= End(M ei). Theo giả thiết
Mi là môđun trơn, nên End(Mei) cũng là môđun trơn Do đó eiEnd(MR)ei là những môđun trơn (∀i = 1, , n ) Sử dụng Bổ đề 2.1, quy nạp lên cho n trường hợp, ta sẽ suy ra vành End(MR)là vành trơn Nghĩa là MR là môđun trơn
Ta thấy thể, vành Boolean, vành địa phương là các vành trơn Theo bổ đề Schur, vành các tự đồng cấu của môđun đơn là một thể Do đó môđun đơn là trơn Theo Hệ quả 2.2 ta suy ra vành nửa đơn là một vành trơn Ta thấy vành nửa hoàn chỉnh cũng là vành trơn Thật vậy, R là vành nửa hoàn chỉnh nên R/J(R) là vành nửa đơn và mọi lũy
đẳng của R đều có thể nâng được theo căn Jacobson J(R) Theo [4, Proposition 6] ta suy ra R là vành trơn Đặc biệt, vành Artin cũng thuộc lớp vành trơn
Trong [7], Nicholson đã chỉ ra lớp các vành trơn là một lớp con thực sự của lớp các vành chuyển đổi Câu hỏi đặt ra là khi nào một vành chuyển đổi là trơn? Định lý sau chúng tôi đưa ra điều kiện trả lời câu hỏi đó
Định lý 0.3 Nếu môđun MR có tính chất chuyển đổi, sao cho mọi hạng tử trực tiếp của nó đều là môđun con bất biến đầy đủ thì MR là môđun trơn
Chứng minh Đặt X = M ⊕ M
Xét các môđun con của X có dạng
A1 = M ⊕ 0 , A2 = 0 ⊕ M
K = {(x, x), x ∈ M }
Trang 3Giả sử f, g ∈ End(MR) sao cho f + g = 1M.
X = M0⊕ K Thật vậy, với mỗi (x, y) ∈ X ta có
(x, y) = f (x − y), −g(x − y) + f (y) + g(x), f (y) + g(x) ∈ M0+ K
môđun có tính chất chuyển đổi, nên tồn tại A0
i ⊆ Ai sao cho X = M0⊕ A01⊕ A02 Với mỗi x ∈ M, ta có sự phân tích duy nhất sau đây
Xét f0, g0 ∈ End(M ) sao cho f0(x) = x2 , g0(x) = x1 Khi đó:
f f0(x), f f0(x) = f f0
g.g0(x), g.g0(x) = − f g0
Từ (1) ta có
f f0(x), f f0(x) = f (y1), −g(y1) + g0
f f0(x), 0 + 0, f0
Do có sự phân tích duy nhất nên từ (2) và (4) ta có f0
f f0(x) = f0(x), tức là
f0f f0 = f0 Tương tự g0gg0 = g0 Từ đó ff0, gg0 là các lũy đẳng trong S = End(MR) Mặt khác từ (1) ta có x = f0(x) − g(y) , x = f(y) + g0(x) Suy ra y = (f0− g0)(x) Do
đó x = f(y)+g0(x) = (f f0+ gg0)(x) Nên ff0+ gg0 = 1M Vậy với mỗi f ∈ End(M), tồn tại lũy đẳng e2 = e = f f0 ∈ f S, mà 1 − e ∈ (1 − f)S
Khi đó (ef)(M) ⊆ Ker(1−f) (vì Imf = Ker(1−f) ) Vì vậy (1−f) ef(M) = 0 Tức là fef = ef Tương tự ta cũng có (1 − f)e(1 − f) = e(1 − f)
Mặt khác, ta có:
e − ef = e(1 − f ) = (1 − f )e(1 − f ) = e − ef − f e + f ef
= e − ef − f e + ef = e − f e
Do đó ef = fe Tức lũy đẳng e giao hoán được với mọi phần tử của S
Ta có
f0f = f0(f f0)f = f0f (f f0) = (f0f )f f0 = f (f0f )f0 = f (f0f f0) = f f0
Tương tự g0g = gg0 Dễ dàng kiểm tra được u = (f0− g0) là phần tử nghịch đảo của
f − (1 − e) trong S Vậy f = (1 − e) + u là phần tử trơn trong S Điều đó có nghĩa là
MR là môđun trơn
Gần đây, Nicholson và một số tác giả đã mở rộng lớp các vành các tự đồng cấu của môđun thỏa mãn tính chất trơn Trong [2] các tác giả đã chỉ ra rằng môđun liên tục
là trơn Đối với môđun tựa liên tục có tính chất chuyển đổi (hữu hạn) thì ta cũng thu
được kết quả tương tự Câu hỏi tự nhiên được đặt ra liệu môđun CS có tính chất chuyển
đổi có là môđun trơn hay không? Trong bài báo này, chúng tôi đã đạt được kết quả sau
đây
Trang 4Định lý 0.4 Giả sử MR là môđun CS, có u − dimM < ∞, và có tính chất chuyển đổi Khi đó MR là môđun trơn
Chứng minh Vì M là môđun CS, có u−dimM < ∞ nên ta có sự phân tích M = ⊕n
i=1
Ui,
hạng tử trực tiếp Ui của M cũng có tính chất chuyển đổi Ta sẽ chứng minh End(Ui)
là vành địa phương
Thật vậy, giả sử ngược lại End(Ui)không địa phương Khi đó tồn tại α, β ∈ End(Ui)
là những phần tử không khả nghịch mà (α − β) khả nghịch trong End(Ui)
Đặt N = N1⊕ N2 trong đó N1 = (Ui, 0) ∼= Ui, N2 = (0, Ui) ∼= Ui
Xét f := (α, β) là đồng cấu từ Ui tới N, với f(x) = (α(x), β(x)) Ta có R-đồng cấu môđun g ∈ End(Ui), xác định bởi g(x1, x2) = (α − β)−1(x1− x2)thỏa mãn gf = idU i
Do đó f là đơn cấu chẻ ra
Khi đó, ta có N = Imf ⊕ K = N1⊕ N2 với K ⊆⊕ N Do Imf ∼= Ui là môđun có tính chất chuyển đổi nên tồn tại N0
1 ⊆⊕ N1, N20 ⊆⊕ N2 sao cho N = Imf ⊕ N0
1⊕ N0 2
và khi đó theo luật modular thì N1 = N10 ⊕ N00
1, N2 = N20 ⊕ N00
N/N0
1 ⊕ N0
2
∼= N00
1 ⊕ N00
2 Vì Imf ∼= Ui là môđun không phân tích được nên ta có
N100= 0 hoặc N00
2 = 0 Giả sử N00
1 = 0 (tương tự đối với N00
2 = 0 ) Ta có N = Imf ⊕ N1⊕ N0
2, mà N =
N1⊕ N2, nên N0
2 N2 Vì N2 không phân tích được nên N0
2 = 0 Vậy N = Imf ⊕N1
Đặt π2 : N → N2 là phép chiếu của N trên N2 Ta có π2|Imf : Imf → N2 là đẳng cấu Do đó β = π2f : Ui → N2 ∼= Ui là đẳng cấu Điều này mâu thuẫn với giả sử ban
đầu đó là β không khả nghịch trong End(Ui) Vậy End(Ui) là vành địa phương Khi đó, End(Ui)là vành trơn, hay Ui là môđun trơn Do đó, theo Hệ quả 2.2 ta suy ra
i=1
Ui là môđun trơn
Hệ quả 0.5 Giả sử M là môđun (1−C1), có tính chất chuyển đổi và u−dim(M) < ∞ Khi đó M là môđun trơn
Chứng minh Vì M là (1 − C1), có u − dim(M) < ∞ nên M là môđun CS Theo Định
lý 2.4 ta suy ra M là môđun trơn
Hệ quả 0.6 Nếu M là môđun CS, có tính chất chuyển đổi, với u−dim(M/SocM) < ∞ thì M là môđun trơn
Chứng minh Theo [3, Corollary 18.6] ta có M = M1⊕ M2, trong đó M1 là môđun nửa
đơn và u − dim(M2) < ∞ Ta có M2 là môđun trơn (theo Định lý 2.4) Mặt khác một môđun nửa đơn cũng là môđun trơn Do đó theo Hệ quả 2.2 thì M là môđun trơn
Tài liệu tham khảo
[1] F.W Anderson, K.R Fuller, Rings and Categories of Modules, Graduate Text in Math, vol.13, 2nd Edition, Springer-Verlag, NewYork, Heidelberg, Berlin, 1992
Trang 5[2] V.P Camillo, D Khurana, T.Y Lam, W.K Nicholson,Y Zhou, Continuous modules are clean, J Algebra, 304 (2006), 94-111
[3] N.V Dung, D.V Huynh, P.F Smith and R Wisbauer, Extending Modules, Pitman Research Notes in Mathematics series 313, Longman, Harlow, UK, 1994
[4] J Han, W.K Nicholson, Extensions of clean rings, Comm Algebra, 29 (2001), 2589-2595
[5] T.Y Lam, Lectures on Modules and Rings, Grad.Texts in Math, vol.189, Springer-Verlag, Berlin, 1998
[6] S.H Mohamed, B.J Muller, Continuous and Discrete Modules, London Math Soc Lecture Notes Series., vol.147, Cambridge Univ Press, Cambridge, 1990
[7] W.K Nicholson, Lifting idempotents and exchange rings, Trans Amer Math Soc.,
229 (1977), 269-278
[8] R.B Warfield Jr, Exchange rings and decompositions of modules, Math Ann., 199 (1972), 31-36
[9] R Wisbauer, Foundation of Modules and Rings Theory, A Handbook for Study and Research, Gordon and Breach Sci Pub, 1991
SOME CONDITIONS FOR EXCHANGE MODULES ARE CLEAN|
Dang Thanh Hung, Ngo Sy Tung
Vinh University SUMMARY
In this paper, we gave some conditions for exchange modules are clean In [2], quasi-continuous modules that have exchange property are clean It is asked that for
CS modules with exchange property whether it is true? In this article, we will consider this problem