TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC HUẾ, Số 50-2009MỘT TƯƠNG TỰ CỦA ĐỊNH LÝ ABC CHO CÁC HÀM NHIỀU BIẾN Nguyễn Thị Phương Nhung Trường Đại học Vinh Tóm tắt.Trong bài báo này, bằng kỹ thuật Wronskian
Trang 1TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC HUẾ, Số 50-2009
MỘT TƯƠNG TỰ CỦA ĐỊNH LÝ ABC CHO CÁC HÀM NHIỀU BIẾN
Nguyễn Thị Phương Nhung Trường Đại học Vinh
Tóm tắt.Trong bài báo này, bằng kỹ thuật Wronskian trên đa thức chúng tôi chứng được một kết quả tương tự của định lý abc cho các hàm nhiều biến
1 Giới thiệu:
Giả sử F là một trường đóng đại số có đặc số 0 và f (z) là một hàm khác hằng
số với hệ số thuộc F Ký hiệu r(f ) là số các không điểm phân biệt của f Định lý abc cho hàm một biến được phát biểu như sau:
Định lý abc([3]) Giả sử a(z), b(z), c(z) là các đa thức trên F không đồng thời là hằng số sao cho a + b = c Khi đó
max {deg(a), deg(b), deg(c)} ≤ r(abc) − 1
Trong [2], Hu-Yang đã chứng minh một kết quả suy rộng của định lý trên, trong
đó đẳng thức a + b = c được thay bởi f0+ · · · + fn+1= 0 Trong bài báo này, chúng tôi chứng minh được một kết quả tương tự của định lý abc cho các hàm nhiều biến Giả sử f là một đa thức nhiều biến với hệ số trong F và f có sự phân tích:
f =
s
Y
i=1
pαi
i ,
trong đó các đa thức pi là bất khả quy, phân biệt, và αi > 0 là các số nguyên Định nghĩa
N0(f ) = deg(
s
Y
i=1
pi)
Kết quả chính của bài báo là định lý sau đây:
Định lý:Giả sử f0, , fn+1 là n + 2 đa thức nhiều biến trong vành F [x1, , xl] không có không điểm chung sao cho f0, , fn độc lập tuyến tính Giả sử rằng
Trang 2Khi đó
max
0≤i≤n+1deg fi ≤ n(n + 1)
2 (N0(f0· · · fn+1) − 1)
2 Chứng minh Định lý:
Giả sử f là một hàm hữu tỉ nhiều biến, ta viết f dưới dạng:
f = f1
f2, trong đó f1, f2 là các đa thức khác không và nguyên tố cùng nhau trong vành đa thức F [x1, , xl] Bậc của f , ký hiệu deg f , được định nghĩa bởi deg f1 − deg f2 Giả sử p là một đa thức bất khả quy, ta viết f dưới dạng:
f = pαg1
g2, trong đó g1, g2 là các đa thức sao cho p không là ước của tích g1g2 Khi đó, số nguyên
α được gọi là bậc của f tại p và được ký hiệu bởi µpf Chúng ta có một số tính chất đơn giản của µpf sau đây
Bổ đề 2.1.Giả sử f, g là hai đa thức và p ∈ F [x1, , xl] là một đa thức bất khả quy, ta có:
a) µpf +g ≥ min(µpf, µpg),
b)µpf g = µa
f + µp
g, c) µpf
g
= µpf − µp
g Cho ∆ là một toán tử vi phân dạng
∆ = (µ1· · · µm)−1 ∂
µ 1
∂xµ1
1
· · · ∂
µ m
∂xµm
m
, trong đó µi ≥ 0 là các số nguyên Ta ký hiệu hạng của ∆ bởi:
ρ(∆) =
m
X
i=1
µi
Bổ đề 2.2 Giả sử ϕ là một đa thức nhiều biến thỏa mãn ∆ϕ 6≡ 0, p là một đa thức bất khả quy Khi đó
µp∆ϕ ≥ −ρ(∆) + µpϕ Chứng minh: Giả sử µpϕ = m, khi đó tồn tại đa thức f sao cho ϕ = pmf Ta có
∂ϕ
∂xi
= pm−1(p∂f
∂xi
+ mf ∂p
∂xi
)
Trang 3Từ đó ta có
µp∂ϕ
∂xi
≥ m − 1
Do đó
µp∂ϕ
∂xi
≥ −1 + µp
ϕ
Từ đó ta thu được
µp∆ϕ ≥ −ρ(∆) + µpϕ
Cho ∆0, , ∆s sao cho ρ(∆i) ≤ i và các đa thức h0, , hs trong F [x1, , xl], Wronskian suy rộng có dạng
W [h0, , hs] = det |∆ihj|0≤i,j≤s (2) Một kết quả (xem [7, 8]) khẳng định rằng nếu các hàm hi độc lập tuyến tính trên
F thì tồn tại Wronskian suy rộng (2) không triệt tiêu
Chứng minh định lý: Theo giả thiết f0, , fn độc lập tuyến tính, khi đó tồn tại một Wronskian suy rộng W của f0, , fn không triệt tiêu Ta đặt
P = W (f0, , fn)
f0 fn ,
Q = f0 fn+1
W (f0, , fn).
Từ đó ta có
Trước hết, ta chứng minh rằng
deg Q ≤ ρN0(f0· · · fn+1) trong đó ρ =Pn
j=0ρ(∆j)
Giả sử rằng p là một ước của f0f1· · · fn+1 và p là một đa thức bất khả quy Từ giả thiết này ta suy ra tồn tại một chỉ số ν, 0 ≤ ν ≤ n + 1 sao cho p không là ước của fν Từ giả thiết f0+ · · · + fn+ fn+1 = 0 ta có
µpf0···fn+1
W (f0, ,fn)
= µp f0···fν−1fν+1···fn+1
W (f0, ,fν−1,fν+1, ,fn+1)
=
n+1
X
j=0
µpf
j − µpW (f
0 , ,f ν−1 ,f ν+1 , ,f n+1 )
trong đó W (f0, , fν−1, fν+1, , fn+1) là một tổng của các hạng tử
δ∆0fα0∆1fα1· · · ∆nfαn,
Trang 4αi ∈ {0, n + 1}\{ν}, δ = ±1 Từ các Bổ đề 2.1, 2.2 chúng ta có
µp∆
0 fα0∆ 1 fα1···∆nfαn
≥
n
X
j=0
µpf
αj −
n
X
j=0
ρ(∆j)
= µpQ n
j=0 fαj − ρ
Theo Bổ đề 2.1 ta có
µpW (f
0 , ,f ν−1 ,f ν+1 , f n+1 ) ≥ µpQ n
j=0 fαj − ρ
Do đó
µpf0···fn+1
W (f0, ,fn)
≤ ρ
Theo định nghĩa bậc của hàm hữu tỉ, ta có:
deg Q ≤ ρN0(f0· · · fn+1) (4) Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh rằng
deg P ≤ −ρ
Ta có định thức P là tổng của các hạng tử sau
δ∆0fβ0∆1fβ1∆2fβ2 ∆nfβn
fβ0fβ1fβ2 fβn . Với mỗi hạng tử ta có
deg ∆0fβO∆1fβ1∆2fβ2 ∆nfβn
fβ0fβ1fβ2 fβn
= deg ∆0fβO
fβ0
+ deg ∆1fβ1
fβ1
+ · · · + deg ∆nfβn
fβn
≤ −ρ(∆0) − ρ(∆1) − · · · − ρ(∆n)
= −ρ
Do đó
Từ (3), (4), (5) chúng ta có
deg fn+1 = deg P + deg Q
≤ ρ (N0(f0· · · fn+1) − 1)
Trang 5Từ ρ(∆i) ≤ i, ta có ρ ≤ 1 + 2 + · · · + n = n(n+1)2 Do đó
deg fn+1≤ n(n + 1)
2 (N0(f0· · · fn+1) − 1)
Tuơng tự đối với các đa thức f0, f1, , fn, ta có
max
0≤i≤n+1deg fi ≤ n(n + 1)
2 (N0(f0· · · fn+1) − 1)
Định lý được chứng minh
Tài liệu tham khảo
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Browkin, J and Brzezinski, J., Some remarks on the abc conjecture, Mathe-matics of Computation, 62, (1994), 931-939
[2] P.C Hu and C.C.Yang, Notes on a generalized abc-conjecture over function fields, Ann Math Blaise Pascal 8 (2001), No 1, 61-71
[3] Lang, S., Old and new conjectured Diophantine inequalities, Bull Amer Math Soc 23 (1990), 3775
[4] Leonid N Vaserstein and Ethel R Wheland, Vanishing polynomial sums, Com-munications in Algebra, 31, No 2, (2003), 751-772
[5] Mason, R C., Equations over function fields, Lecture Notes in Math 1068 (1984), 149-157, Springer
[6] Mason, R.C., Diophantine equations over function fields, London Math Soc Lec-ture Note Ser 96, Cambridge Univ Press, Cambridge, 1984
[7] K F Roth, Rational approximation to algebraic numbers, Mathematika 2, (1955), 1-20
[8] T Schneider, Einfuhrung in die tranzsendenten Zahlen, Berlin, (1957), 15-16 [9] H.N Shapiro and G.H Sparer, Extension of a Theorem of Mason, Comm Pure and Appl Math., 47 (1994), 711-718
AN ANALOG TO ABC-THEOREM FOR FUNCTIONS OF SEVERAL VARIABLES
Nguyen Thi Phuong Nhung Department of Mathematics,Vinh University SUMMARY
In this paper we prove an analog to abc theorem for functions of several variables