Valla [2] về chỉ số chính qui của tập điểm béo ở vị trí tổng quát.. Sau đó chúng tôi sẽ chỉ ra công thức tính chỉ số chính qui của tập s điểm béo tùy ý trong Pn, s ≤ 4.. Chỉ số chính qui
Trang 1TẠP CHÍ KHOA HỌC, Đại học Huế, Số 53, 2009
CHỈ SỐ CHÍNH QUI CỦA s ĐIỂM BÉO Ở VỊ TRÍ TỔNG QUÁT
TRONG Pn, s ≤ n + 2
Phan Văn Thiện Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế
TÓM TẮT Chúng tôi sẽ chỉ ra công thức tính chỉ số chính qui của tập s điểm béo ở vị trí tổng quát trong Pn, s ≤ n + 2, công thức này mở rộng kết quả của M.V Catalissano, N.V Trung và G Valla [2] về chỉ số chính qui của tập điểm béo ở
vị trí tổng quát Sau đó chúng tôi sẽ chỉ ra công thức tính chỉ số chính qui của tập s điểm béo tùy ý trong Pn, s ≤ 4
Cho P1, , Ps là các điểm phân biệt trong không gian xạ ảnh n-chiều Pn :=
Pnk, với k là trường đóng đại số Cho ℘1, , ℘s là các iđêan nguyên tố thuần nhất trong vành đa thức R := k[X0, , Xn] được xác định bởi các điểm P1, , Ps tương ứng Cho m1, , ms là các số nguyên dương Lược đồ chiều không
Z := m1P1+ · · · + msPs
được xác định bởi iđêan ℘m1
1 ∩ · · · ∩ ℘m s
s được gọi là s điểm béo trong Pn Vành toạ độ thuần nhất của tập điểm béo m1P1+ · · · + msPs là:
A := R/(℘m1
1 ∩ · · · ∩ ℘ms
s )
Vành A = ⊕
t≥0At là k-đại số phân bậc Cohen-Macaulay một chiều có số bội là
e :=
r
P
i=1
m i +n−1
n Với mỗi t, phần phân bậc At là một k-không gian véc tơ hữu hạn chiều Hàm Hilbert HA(t) := dimkAt là hàm tăng chặt cho đến khi nó đạt đến số bội e, tại đó nó dừng Chỉ số chính qui của tập điểm béo Z được định nghĩa là số nguyên t bé nhất sao cho HA(t) = e và chúng tôi ký hiệu nó là reg(A) (hay reg(Z))
Chỉ số chính qui reg(A) cho chúng ta biết nhiều thông tin về tập điểm béo Z, nhưng việc tính toán được chỉ số chính qui của một tập điểm béo là rất khó Vì vậy, thay vào đó người ta thường tìm những chặn trên cho reg(A) (xem [1]-[10])
Trang 2Bài toán tìm chặn trên cho reg(A) cũng không phải là dễ, hiện nay giả thuyết của N.V Trung (xem [9]) về chặn trên cho chỉ số chính qui của một tập điểm béo tùy ý được xem là tốt nhất, giả thuyết này đã được chứng minh trong một
số trường hợp không gian xạ ảnh có chiều bé (xem [4]-[5], [8]-[10])
Bởi vì việc tính toán chỉ số chính qui reg(A) là không dễ, cho nên đến nay chỉ
có rất ít kết quả được công bố: với tập s điểm béo m1P1+ · · · + msPs trong Pn, E.D Davis và A.V Geramita (xem [3]) đã chứng minh
reg(A) = m1+ · · · + ms− 1 khi và chỉ khi tất cả các điểm P1, , Ps nằm trên cùng một đường thẳng Tập điểm béo trong Pn được gọi là ở vị trí tổng quát nếu không có j + 2 điểm trong chúng nằm trên cùng một j-phẳng với mọi j < n Cho n ≥ 3,
2 ≤ s ≤ n + 2 và m1P1+ · · · + msPs là tập s điểm béo ở vị trí tổng quát trong Pn với 2 ≤ m1 ≥ m2 ≥ · · · ≥ ms M.V Catalissano, N.V Trung và G Valla (xem [2], Corollary 8) đã chứng minh
reg(A) = m1+ m2− 1
Những kết quả trên giúp cho chúng tôi chứng minh được một công thức tính chỉ số chính qui của s điểm béo ở vị trí tổng quát trong Pn với s ≤ n + 2 (Định
lý 3.1), công thức này mở rộng kết quả của M.V Catalissano, N.V Trung và G Valla ([2], Corollary 8) Sau đó, chúng tôi sẽ chỉ ra công thức tính chỉ số chính qui của tập s điểm béo tùy ý trong Pn, s ≤ 4 (Định lý 3.3)
Chúng tôi sẽ cần đến các bổ đề sau đây, chúng đã được chứng minh trong [2]
Bổ đề đầu tiên cho phép chúng ta tính chỉ số chính qui bằng qui nạp trên số các điểm
Bổ đề 2.1 [2, Lemma 1] Cho P1, , Pr, P là các điểm phân biệt trong Pn và cho ℘ là iđêan xác định bởi điểm P Nếu m1, , mr và a là các số nguyên dương,
J = ℘m1
1 ∩ · · · ∩ ℘m r
r , I = J ∩ ℘a và A = R/I, thì reg(A) = max {a − 1, reg(R/J ), reg(R/(J + ℘a))}
Bổ đề thứ hai cho chúng ta một chặn dưới cho chỉ số chính qui của một tập điểm béo
Bổ đề 2.2 [2, Corollary 2] Cho s ≥ 2, P1, , Ps là các điểm phân biệt trong Pn
và m1 ≥ ≥ ms là các số nguyên dương Đặt I = ℘m1
1 ∩ · · · ∩ ℘m s
s và A = R/I Khi đó
reg(A) ≥ m1+ m2 − 1
M.V Catalisano N.V Trung và G Valla đã chỉ ra một chặn trên cho chỉ số chính qui của một tập điểm béo ở vị trí tổng quát
Trang 3Bổ đề 2.3 [2, Theorem 6] Cho s ≥ 2, P1, , Ps là các điểm phân biệt ở vị trí tổng quát trong Pn và m1 ≥ ≥ ms là các số nguyên dương Đặt I =
℘m1
1 ∩ · · · ∩ ℘m s
s và A = R/I Khi đó, reg(A) ≤ max
(
m1+ m2− 1,
"
(
s
X
i=1
mi+ n − 2)/n
#)
Sau đó, các tác giả này đã chỉ ra công thức tính chỉ số chính qui của một tập
s điểm béo ở vị trí tổng quát trong Pn, với n ≥ 3 và 2 ≤ s ≤ n + 2 như sau
Bổ đề 2.4 [2, Corollarry 8] Cho n ≥ 3, 2 ≤ s ≤ n + 2 và P1, , Ps là các điểm phân biệt ở vị trí tổng quát trong Pn Nếu 2 ≤ m1 ≥ ≥ ms là các số nguyên dương, I = ℘m1
1 ∩ · · · ∩ ℘m s
s và A = R/I Khi đó, reg(A) = m1+ m2− 1
Bổ đề sau đây chỉ ra một tính chất của vành artin R/(J + ℘a)
Bổ đề 2.5 [2, Lemma 3] Cho P1, , Pr là các điểm phân biệt trong Pn và
m1, , mr, a là các số nguyên dương Đặt J = ℘m1
1 ∩· · ·∩℘m r
r và ℘ = (X1, , Xn) Khi đó,
reg(R/(J + ℘a)) ≤ b nếu và chỉ nếu X0b−iM ∈ J + ℘i+1 với mọi đơn thức M bậc i theo các biến
X1, , Xn, i = 0, , a − 1
Chúng ta đến kết quả đầu tiên của bài báo này, nó mở rộng một kết quả của M.V Catalisano, N.V Trung và G Valla ([2], Corollary 8)
Định lý 3.1 Cho s ≤ n + 2 và P1, , Ps là các điểm phân biệt ở vị trí tổng quát trong Pn Nếu 2 ≤ m1 ≥ m2 ≥ · · · ≥ ms là các số nguyên dương, I =
℘m1
1 ∩ · · · ∩ ℘m s
s và A = R/I Khi đó, reg(A) = maxnh − 1,h
s
X
i=1
mi+ n − 2/nio,
với h = maxmi1 + · · · + miq|Pi1, , Piq nằm trên một đường thẳng
Chứng minh: Nếu s = 1, thì h − 1 = m1− 1 ≥(m1+ n − 1)/n Khi đó, với vành artin A = R/℘m1
1 chúng ta đều biết là
reg(A) = reg(R/℘m1
1 ) = m1− 1
Nếu s ≥ 2, chúng ta xem xét ba trường hợp sau:
Trang 4Trường hợp n = 1: Khi đó P1, , Psnằm trên một đường thẳng Trong trường hợp này, E.D Davis và A.V Geramita [3] đã chứng minh:
reg(A) = m1+ · · · + ms− 1 = h − 1
Trường hợp n = 2: Nếu m1+ m2− 1 ≥h
s
P
i=1
mi/2i, thì h − 1 = m1+ m2− 1 = maxnh − 1,h
s
P
i=1
mi/2io Theo Bổ đề 2.2 và Bổ đề 2.3 chúng ta nhận được
reg(A) = m1+ m2− 1 = maxnh − 1,h
s
X
i=1
mi/2io
Nếu m1 + m2 − 1 < h
s
P
i=1
mi/2
i , thì s = 4, m1 = m2 = m3 = m4 = m và h−1 = 2m−1 Do các điểm P1, , Ps ở vị trí tổng quát trong Pnnên chúng ta có thể giả sử rằng P4 = (1, 0, 0), P1 = (0, 1, 0), P2 = (0, 1, 0) và P3 = (1, a, b), ab 6= 0
Vì vậy, ℘4 = (X1, X2), ℘1 = (X0, X2), ℘2 = (X1, X2), ℘3 = (aX0− X1, bX0− X2) Đặt J = ℘m
1 ∩ ℘m
2 ∩ ℘m
3 , I = J ∩ ℘m
4 Bởi vì vành R/(J + ℘m
4 ) là vành artin và
X0mX1m−1 ∈ J + ℘/ m
4 nên reg(R/(J + ℘m4 )) ≥ 2m Theo Bổ đề 2.1 chúng ta nhận được reg(A) ≥ 2m
Mặt khác, theo Bổ đề 2.3 chúng ta có reg(A) ≤ 2m Từ đó,
reg(A) = 2m = maxnh − 1,h
4
X
i=1
mi/2io
Trường hợp n ≥ 3 : Khi đó, m1+ m2− 1 = maxnm1+ m2− 1,h
s
P
i=1
mi+ n − 2/nio
Theo Bổ đề 2.4 chúng ta nhận được
reg(A) = maxnm1+ m2− 1,h
s
X
i=1
mi+ n − 2/nio
Định lý 3.1 đã được chứng minh xong
Trong Định lý 3.1 trên, nếu n ≥ 3 thì h = m1+ m2− 1 ≥h
s
P
i=1
mi+ n − 2/ni Lúc đó, từ Định lý 3.1 chúng ta nhận được kết quả của M.V Catalissano, N.V Trung và G Valla ([2], Corollary 8)
Bây giờ chúng ta sẽ tính chỉ số chính qui của tập 4 điểm béo tùy ý trong Pn
Trang 5Mệnh đề 3.2 Cho P1, , P4 là bốn điểm phân biệt tuỳ ý trong Pn và m1 ≥
· · · ≥ m4 là các số nguyên dương Đặt I = ℘m1
1 ∩ · · · ∩ ℘m4
4 và A = R/I Với
j = 1, , n, đặt
Tj = maxnhmi1 + · · · + miq + j − 2
j
i
|Pi1, , Piq nằm trên một j-phẳngo,
T = max{Tj|j = 1, , n}
Khi đó,
reg(A) = T
Chứng minh: Chúng ta xét ba trường hợp sau:
Trường hợp 1: Các điểm P1, , P4 ở vị trí tổng quát trong Pn Khi đó, T1 =
m1+ m2− 1 = maxnTj|j = 1, , n − 1o Theo Định lý 3.1 chúng ta có
reg(A) = max
n
T1,
h (
4
X
i=1
mi+ n − 2)/n
io
= T
Trường hợp 2: Các điểm P1, , P4 nằm trên một đường thẳng Khi đó, T1 =
4
P
i=1
mi− 1 = T Trong trường hợp này, E.D Davis và A.V Geramita (xem [3]) đã chứng minh
reg(A) = T
Trường hợp 3: Các điểm P1, , P4 không ở vị trí tổng quát của Pn và không nằm trên một đường thẳng Khi đó, tồn tại một đường thẳng, gọi là l, chứa đúng
3 điểm của {P1, P2, P3, P4} và có duy nhất một điểm Pik ∈ l Đặt J = ∩/
P i ∈l℘mi
i Khi đó, I = J ∩ ℘mi ik
k Chúng ta có thể giả sử Pik = (1, 0, , 0), do đó ℘ik = (X1, , Xn) Bởi vì
Pik ∈ l nên chúng ta có thể tìm được một siêu phẳng L thỏa mãn l ⊂ L và/
Pik ∈ L Vì P/ ik = (1, 0, , 0), ℘ik = (X1, , Xn) và Pik ∈ L nên chúng ta có/ thể viết L = X0+ H, với một dạng tuyến tính H ∈ ℘ik Do Lm1 +m 2 −mik ∈ J nên chúng ta có X0m1+m2−mik ∈ J + ℘ik
Với mọi đơn thức M bậc i theo n biến X1, , Xn, 0 ≤ i ≤ mik − 1 Bởi vì
M ∈ ℘i
i k và theo trên chúng ta có X0m1+m2−mik ∈ J + ℘ik, do đó X0m1+m2−mikM ∈
J + ℘i+1ik Theo Bổ đề 2.5 chúng ta nhận được reg(R/(J + ℘mi ik
k )) ≤ m1+ m2− 1
Do I = J ∩ ℘mi ik
k , nên theo Bổ đề 2.1 chúng ta có reg(A) = maxmik− 1, reg(R/J), reg(R/(J + ℘mikik))
Vì các điểm của {P1, P2, P3, P4} \ {Pik} nằm trên đường thẳng l nên theo kết quả của E.D Davis và A.V Geramita (xem [3]) chúng ta nhận được reg(R/J ) = P
P i ∈lmi− 1 Nếu P
P i ∈lmi ≥ m1 + m2 thì T1 =P
P i ∈lmi− 1 = T Vì vậy, reg(A) = reg(R/J ) = T
Trang 6Nếu P
i ∈lmi < m1+m2thì T1 = m1+m2−1 = T Do reg(R/J) = P
i ∈lmi−1 ≤
m1 + m2 − 1 và reg(R/(J + ℘mik
i k )) ≤ m1 + m2 − 1 nên chúng ta có reg(A) ≤
m1+ m2− 1 Hơn nữa, theo Bổ đề 2.2 chúng ta có reg(A) ≥ m1+ m2− 1 Từ đó suy ra,
reg(A) = m1+ m2− 1 = T
Mệnh đề 3.2 đã được chứng minh xong
Từ Định lý 3.1 và Mệnh đề 3.2 chúng ta suy ra công thức tính chỉ số chính qui của tập s điểm béo tùy ý trong Pn, s ≤ 4 như sau:
Định lý 3.3 Cho s ≤ 4 và P1, , Ps là các điểm phân biệt tuỳ ý trong Pn Cho
m1 ≥ · · · ≥ ms là các số nguyên dương Đặt I = ℘m1
1 ∩ · · · ∩ ℘m s
s và A = R/I Với j = 1, , n, đặt
Tj = maxnhmi1 + · · · + miq + j − 2
j
i
|Pi1, , Piq nằm trên một j-phẳngo Khi đó,
i) Nếu s = 1 thì
reg(A) = m1− 1
ii) Nếu s = 2 thì
reg(A) = m1+ m2− 1
iii) Nếu s = 3 và các điểm P1, P2, P3 nằm trên cùng một đường thẳng thì
reg(A) = m1+ m2+ m3− 1
Nếu s = 3 và các điểm P1, P2, P3 không nằm trên cùng một đường thẳng thì
reg(A) = m1+ m2− 1
iv) Nếu s = 4 thì
reg(A) = max{Tj|j = 1, , n}
Chứng minh: i), ii) và iii) được suy ra dễ dàng từ Định lý 3.1 và kết quả của E.D Davis và A.V Geramita (xem [3]) khi các điểm nằm trên một đường thẳng iv) chính là Mệnh đề 3.2
TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] M.V Catalisano, Fat points on a conic, Comm Algebra 19 (1991), 2153-2168
[2] M.V Catalisano, N.V Trung and G Valla, A sharp bound for the regularity index of fat points in general position, Proc Amer Math Soc 118 (1993), 717-724
Trang 7[3] E.D Davis and A.V Geramita, The Hilbert function of a special class
of 1-dimensional Cohen-Macaulay graded algebras, The Curves Seminar at Queen’s, Queen’s Papers in Pure and Appl Math 67 (1984), 1-29
[4] G Fatabbi, Regularity index of fat points in the projective plane, J Algebra
170 (1994), 916-928
[5] G Fatabbi, A Lorenzini On a sharp bound for the regularity index of any set of fat points, J Pure and Appl Algebra 161 (2001), 91-111
[6] W Fulton, Algebraic Curves, Math Lect Note Series, Benjamin 1969 [7] B Segre, Alcune questioni su insiemi finiti di punti in geometria algebrica, Atti Convergno Intern di Torino 1961, 15-33
[8] P.V Thien, On Segre bound for the regularity index of fat points in P2, Acta Math Vietnamica 24 (1999), 75-81
[9] P.V Thien, Segre bound for the regularity index of fat points in P3, J Pure and Appl Algebra 151 (2000), 197-214
[10] P.V Thien, Sharp upper bound for the regularity of zero-schemes of double points in P4, Comm Algebra 30 (2002), 5825-5847
REGULARITY INDEX OF s FAT POINTS IN GENERAL
POSITION IN Pn, s ≤ n + 2
Phan Van Thien College of Pedagogy, Hue University
SUMMARY
We will give a formula to compute the regularity index of s fat points in general position in Pn, s ≤ n + 2, which generalizes Catalisano, Trung, and Valla’s result [2] for the regularity index of fat points in general position Then we will show a formula to compute the regularity index s arbitrary fat points in Pn, s ≤ 4 Keywords : Mathematics subject classification: 13C20; 13D40