Báo cáo khoa học: " ỨNG DỤNG GIẢI THUẬT META-HEURISTIC TRONG BÀI TOÁN TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT" pot

Một thuật toán được xem là lý thuyết vững chắc trong việc giải các bài toán tìm kiếm tối ưu toàn cục đã có nhiều ứng dụng thực tế như: tìm kiếm các trang web cần tìm trên mạng, kế hoạch

ỨNG DỤNG GIẢI THUẬT META-HEURISTIC TRONG BÀI TOÁN TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT

APPLICATION OF META-HEURISTIC ALGORITHM

FOR A SEARCH OF SHORTEST PATH

Đoàn Duy Bình

Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

TÓM TẮT

Bài toán tìm kiếm được xem là bài toán được nhiều người quan tâm, đặc biệt là tìm kiếm tối ưu toàn cục Một thuật toán được xem là lý thuyết vững chắc trong việc giải các bài toán tìm kiếm tối ưu toàn cục đã có nhiều ứng dụng thực tế như: tìm kiếm các trang web cần tìm trên mạng, kế hoạch sắp xếp thời khóa biểu cho các y tá trong bệnh viện, tìm kiếm đường

đi tối ưu cho những người lái xe hơi… đấy là thuật toán kiến (ACS – Ant Colony Search hoặc ACO - Ant Colony Optimization) Trong bài báo này chúng tôi giải thuật Meta-Heuristic và đặc biệt là thuật toán kiến để thực hiện bài toán tìm kiếm Thuật toán kiến mô phỏng hành vi của đàn kiến trong tự nhiên nhằm tìm kiếm đường đi ngắn nhất giữa tổ kiến và nguồn thức ăn dựa trên mật độ mùi - Pheromone mà các con kiến để lại trên đường đi

ABSTRACT

Search problem is a problem that concerns many people, especially in the field of global optimal search An algorithm is considered to be a well-established theory in solving problems of globally optimal search and it has many practical applications such as searching for pages needed to be found on the web, planning a schedule for the nurses in hospitals, finding

an optimal way for people to drive,etc That is an ant algorithm (ACS - Ant Colony Search or ACO - Ant Colony Optimization) In this paper, we introduce the Meta-Heuristic algorithm, especially ACO to make search problems The Ant Algorithm describes the behaviour of natural ants to find the shortest way between food sources and density based on the pheromone that the ants left on the road

1 Giới thiệu về ACO (ANT COLONY OPTIMIZATION)

Các lĩnh vực nghiên cứu thuật toán kiến đã thu được từ những quan sát mô hình, hành vi thực tế của loài kiến, và sử dụng các mô hình này như là một nguồn cảm hứng cho việc thiết kế các thuật toán cho các giải pháp tối ưu hóa và phân phối kiểm soát các vấn đề

Các ý tưởng chính là việc tự tổ chức phối hợp giữa các nguyên tắc cho phép với hành vi thực sự của loài kiến có thể được triển khai để giải quyết vấn đề về máy tính Một số khía cạnh khác nhau ở các hành vi ứng xử của các đàn kiến có cảm hứng cho các thuật toán kiến khác nhau

2 Khám phá hành vi của đàn kiến và sự tối ưu hoá

Những hình ảnh nhận thức đặc biệt của đàn kiến chỉ đơn giản là sự phát triển và hoàn toàn mò mẫm Trong thực tế, một điều quan trọng trong nghiên cứu về loài kiến là hành vi liên lạc giữa các con kiến, hoặc giữa các cá nhân với môi trường, được dựa trên việc sử dụng các sản phẩm hóa chất của các loài kiến Các hóa chất đó được gọi là pheromones

a Thí nghiệm chiếc cầu đôi

Sự gửi vết mùi pheromones và hành vi của một số loài kiến đã được điều tra kiểm soát trong các thử nghiệm của một số nhà nghiên cứu Một trong những thí nghiệm nổi bật nhất là thí nghiệm được thiết kế và đi vào hoạt động của Deneubourg và các đồng nghiệp của ông [1], người mà đã sử dụng một cây cầu nối tổ của đàn kiến với nguồn thức ăn Họ chạy các thử nghiệm với tỉ lệ r = l l /l s giữa độ dài hai nhánh của cây cầu,l là độ dài của nhánh dài và l l là độ dài của nhánh ngắn hơn Trong thử s

nghiệm đầu tiên với cây cầu có hai nhánh chiều dài bằng nhau (r = 1; xem hình 1.1a)

Hình 1 Thí nghiệm chiếc cầu đôi (a) Hai nhánh có kích thước bằng nhau,

(b) Một nhánh có kích thước gấp đôi nhánh kia

Khi bắt đầu, trên 2 nhánh của cây cầu đều chưa có pheromones Do đó, các con kiến có thể chọn một trong các nhánh với cùng một xác suất Tuy nhiên, do sự lựa chọn

là ngẫu nhiên lên sau một thời gian số lượng kiến đi trên những chi nhánh sẽ là khác nhau Bởi vì loài kiến sẽ gửi pheromones trong khi di chuyển, dần dần số lượng pheromones trên những nhánh cũng sẽ khác nhau, điều này càng kích thích thêm đàn kiến sẽ lựa chọn nhánh có lượng mùi pheromones lớn, và như vậy đến một thời gian nào

đó tất cả đàn kiến sẽ hội tụ về cùng một nhánh

(a)

15cm

60 0

2 1

(b)

b Một mô hình ngẫu nhiên

Trong mô hình này, ψ là mỗi giây đàn kiến băng qua cầu trong mỗi hướng ở một tốc độ hằng số v (cm/s), một trong những đơn vị gửi pheromones trên các nhánh Cho

dộ dài l và l l (cm) trong các nhánh dài và ngắn, một con kiến chọn nhánh ngắn sẽ đi s

ngang qua nó trong khoảng thời gian là ts = ls / v (giây), trong khi kiến lựa chọn Chi nhánh dài sẽ sử dụng r.ts giây, với r=ll /ls

Xác suất pia(t) là xác xuất tại điểm i (i Є {1,2}) (xem hình 1.1b) kiến chọn nhánh

a (a Є {s,l}), trong đó s, l là các chi nhánh ngắn và dài tương ứng, tại thời điểm t tổng số lượng pheromones φia(t) được thiết lập trên các chi nhánh, là tổng lượng pheromones

mà các loài kiến để lại trên các chi nhánh cho đến thời gian t đó

Trong mô hình này đàn kiến gửi lại vết mùi pheromones của họ trên cả hai đường đi: từ tổ đến nguồn thức ăn và quay trở lại tổ Sự di chuyển này là một hành vi ứng xử cần thiết để có được sự hội tụ của đàn kiến hướng về nhánh ngắn

2 Đàn kiến nhân tạo

Qua thử nghiệm chiếc cầu đôi cho thấy rõ ràng có khả năng xây dựng được tối

ưu hóa đàn kiến: Thông tin để tìm ra con đường ngắn nhất giữa 2 điểm có thể dựa vào quy tắc xác xuất

Có 2 khía cạnh bất đồng quan trọng:

- Phạm vi xem xét các hành vi của hệ thống là trung bình, và không phải những hành vi ứng xử tuân theo biến thiên ngẫu nhiên của đàn kiến là duy nhất

- Đây là thí nghiệm trên những thời gian không liên tục, trong khi trước đó mô hình xét trong một thời gian liên tục

3 Kiến nhân tạo và chi phí tối thiểu trên đường đi

Những hành vi là:

1 Giải pháp xây dựng theo hướng xác xuất bởi vết mùi pheromones, với sự cập nhật pheromones nhanh

2 Thuyết tiền định con đường quay trở lại với việc loại bỏ vòng lặp và sự cập nhật pheromones

3 Đánh giá về chất lượng của các giải pháp tạo ra và sử dụng các giải pháp chất lượng trong việc xác định số lượng pheromones đã gửi lại

Xác xuất chọn đỉnh tiếp theo của đàn kiến và giải pháp xây dựng S-ACO đàn

kiến có hai phương thức hoạt động: chuyển tiếp và quay trở lại

Thuyết tiền định về hành vi quay trở về tổ của đàn kiến và sự cập nhật pheromones Việc sử dụng một bộ nhớ rõ ràng cho phép một con kiến có thể trở lại con

đường mà nó đã đi trong khi tìm kiếm đến đỉnh đích

Cơ sở giải pháp hiệu quả của sự cập nhập pheromones Trong S-ACO đàn

kiến nhớ các đỉnh mà nó đi qua trong quá trình tìm nguồn thức ăn, cũng như các chi phí trên các cạnh đã qua nếu biểu đồ có trọng số

Sự bay hơi của Pheromones Trong đàn kiến thực, lượng pheromone giảm theo

thời gian vì có sự bay hơi

Để biểu diễn mỗi cạnh (i,j) của đồ thị G =(N,A) chúng tôi dùng một biến gọi là

τ ij gọi là vết mùi nhân tạo, để rút ngắn lượng mùi pheromones trong thời gian tiếp theo Vết mùi pheromones được tạo và cập nhập bởi đàn kiến Ở những phương thức tính số lượng vết mùi pheromones trên các cạnh chỉ được tính theo tỷ lệ, ước tính của đàn kiến

Hành vi tìm kiếm đường đi của đàn kiến

Mỗi kiến, bắt đầu từ một đỉnh, một giải pháp cho vấn đề ứng dụng từng bước được giải quyết Một con kiến k tại một đỉnh i bất kì sử dụng vết mùi pheromones τij để tính xác suất chọn đỉnh j như sau:

I

N là vùng lân cận của kiến k ở đỉnh i trong S-ACO vùng lân cận của

đỉnh i là tất cả các đỉnh kết nối trực tiếp đến đỉnh i trong đồ thị G =(N,A), ngoại trừ tất

cả các đỉnh trước (ví dụ, các đỉnh trước khi di chuyển đến đỉnh i của kiến)

Đường đi về tổ và sự cập nhập vết mùi Khi đạt tới đỉnh đích, kiến thực hiện quá

trình quay về tổ trên cùng con đường đến nguồn thực phẩm Bổ sung tính năng này là, trước khi bắt đầu quá trình quay về tổ, kiến sẽ loại bỏ những đường đi rơi vào tình trạng vòng lặp mà nó đã gặp phải trên đường đi tìm đến nguồn thức ăn

Trong thời gian quay trở về tổ con kiến thứ k sẽ để lại một lượng ∆τk pheromones trên các cạnh mà nó đi qua Trong đó, nếu kiến thứ k quay trở về tổ trên cạnh (i,j), thì giá trị τij pheromones sẽ thay đổi như sau:

ij

đơn giản nhất, giá trị của ∆τk là một hằng số cho tất cả các loài kiến

Sự bay hơi của vết mùi pheromones.Vết mùi pheromones bay hơi có thể được

coi như là một kỹ thuật thăm dò nhanh chóng của đàn kiến tìm điểm cực thuận tốt trên đường đi Sau đó mỗi kiến thứ k di chuyển đến một đỉnh kế tiếp nào đó tuỳ theo hành vi tìm kiếm của kiến đã được mô tả ở trên, lượng bay hơi của pheromones được áp dụng theo công thức sau đây với tất cả các cung:

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

Ν

∉

Ν

∈

∑

∈

=

k i j if

, 0

k i j if ,

α τ

τ α

il

N ki l

ij k

ij

Trong đó tham số ρ(0,1] Sau khi sự bay hơi pheromones đã được áp dụng cho tất cả các cạnh, số lượng pheromones ∆τk sẽ được thêm vào các cạnh

2 Các ACO METAHEURISTIC

2.1 Trình bày vấn đề

Chúng tôi xem xét các vấn đề cực tiểu hoá (S , f,Ω) Trong đó S là nơi tập hợp các giải pháp được xét, f là mục tiêu của chức năng quan trọng, trong đó quy định giá trị của chức năng đó là một hằng số f ( t s, ) của mỗi giải pháp s∈S và Ω là một tập (t) hợp các khó khăn (sự bắt ép, sự đè nén)

2.2 Hành vi của đàn kiến

Đó là giải pháp xây dựng dựa vào di chuyển có thể được trên đồ thị G C =(C,L) trong đó , C: Là các nút trên đồ thị, L là tập hợp đầy đủ các thành phần kết nối của C Các vấn đề có điều kiện Ω(t) được đàn kiến tìm kiếm xây dựng lên Các thành phần

C

c i ∈ và các kết nối l ij ∈ có thể lên kết với nhau ở vết mùi pheromones τ L

3 Phân tích giải thuật

Thật sự, một thuật toán ACO có thể được hình dung như sự tác động của ba thủ tục[2]:

ConstructAntsSolutions, UpdatePheromones, và DaemonActions

ConstructAntsSolutions (Giải pháp xây dựng các loài kiến) là quản lý một đàn

kiến xảy ra đồng thời và không đồng bộ của các vấn đề cần xem xét của đàn kiến, bằng cách di chuyển qua các đỉnh bên cạnh của đồ thị GC

UpdatePheromones (Cập nhật pheromones) là quá trình mà vết mùi pheromones

được sửa đổi

DaemonActions (Những hành động) thủ tục được sử dụng để thực hiện những

hành động tập trung mà điều này không thể thực hiện bởi những con kiến riêng lẻ

Procedure ACOMetaheuristic

ScheduleActivities

ConstructAntsSolutions

UpdatePheromones

DaemonActions % optionnal

End-ScheduleActivities

End-procedure

Sơ đồ thuật toán ACO cho bài toán TSP

Hình 3 Sơ đồ thuật toán ACO cho bài toán TSP

4 Đề xuất ứng dụng

Bài toán người du lịch (TSP) là một trong những bài toán kinh điển và được đầu

tư nghiên cứu trong một thời gian dài Nó góp phần quan trọng vào việc nghiên cứu giải thuật ACO: Các giải thuật ACO nguyên thủy và những cải tiến của giải thuật này về sau đều được áp dụng mô phỏng bởi bài toán người du lịch

5 Triển khai ứng dụng

Bài toán người di lịch có thể được biểu diễn khái quát bằng một đồ thị có trọng

số G(N,A) với N là tâp hợp các nút mô tả cho các thành phố, A là tập hợp các cung mô

tả đoạn đường giữa hai thành phố

Đúng Sai

Đúng

Sai

Bắt đầu

Định vị kiến ngẫu nhiên trong những thành phố trên lưới và cất thành phố hiện thời trong danh sách visited

Xác định xác suất có thể như là đến thành phố nào tiếp theo

Di chuyển tới thành phố tiếp theo và đặt thành phố này trong danh sách visited

Tất cả các thành phố đã được ghé thăm

Ghi lại độ dài của cuộc hành trình và xoá danh sách visited

Xác định hành trình ngắn nhất từ trước đến nay và cập nhật pheromone

Số vòng lặp tối

đa đã được thực hiện

Kết thúc

Mỗi cung (i,j) thuộc A được gán một giá trị dij mô tả chiều dài của đường đi giữa hai đỉnh i, j với i, j thuộc N Mục đích cuối cùng của bài toán người di lịch chính là tìm

ra chu trình Hamilton ngắn nhất của đồ thị G có n đỉnh với n là số thành phố mà người

di lịch phải đi qua Như vậy, kết quả tốt nhất của bài toán chính là một hoán vị π của các đỉnh {1, 2,…, n}, sao cho chiều dài f(π) là nhỏ nhất f(π) được tính theo công thức sau:

5.1 Giải thuật ACO cho bài toán người di lịch

Việc xây dựng một đồ thị G=(C, L) tương ứng với việc xây dựng đồ thị G(N,A)

ở trên với C=N và L=A Trong đó tập hợp các đường đi của đồ thị tương ứng với tập hợp các hành trình từng phần có thể có và giá trị Ω nhằm ràng buộc rằng con kiến chỉ tìm những đường đi tương ứng với các hoán vị của các thành phố Ở đây bài toán tìm đường đi ngắn nhất qua tất cả các đỉnh của đồ thị mỗi đỉnh một lần có mối liên hệ mật thiết với bài toán tìm đường đi ngắn nhất của con kiến

trị Heuristic η ij trên cung nối thành phố i với thành phố j mà con kiến chưa đến

ACO Metaheuristic tĩnh

procedure ACOMetaheuristicStatic

set parameters, initialize pheromone trails

while (termination condition not met) do

ConstructAntsSolutions

UpdatePheromones

end

end

5.2 Hệ thông kiến (Ant System – AS) và những cải tiến

Khả năng mà con kiến k có thể đi từ thành phố hiện tại i đến thành phố j được tính theo công thức như sau[3]:

i

∈

với ηij=1/ d ij là giá trị Heuristic có thể có, α và β là hai tham số quyết định sự ảnh hưởng lẫn nhau của các pheromones trên các hành trình được xây dựng và các thông tin Heuristic Nik là những thành phố mà con kiến k có thể đi đến, từ vị trí hiện tại là thành phố i ( Đây là các thành phố mà con kiến này chưa viếng thăm bao giờ) Với tập luật như trên, khả năng lựa chọn một cung (i,j) tỉ lệ thuận với giá trị của các pheromones có liên quan τij và của giá trị heuristic ηij

Sau khi tất cá các hành trình được xây dựng, các pheromone bắt đầu được cập nhật Việc cập nhật được thực hiện bằng cách giảm mật độ pheromone trên tất cả các cung của đồ thị, sau đó thêm pheromone trên các hành trình mà con kiến đã đi qua Việc xóa các dấu được thực hiện như sau:

τ ij ← (1-ρ)τ ij , □(i,j) ∈ L (3.3)

với 0<ρ≤1 là tỉ lệ mất pheromone, dùng để giới hạn sự tăng lên của pheromoe trên các hành trình Sau khi pheromone mất đi, tất cả các con kiến sẽ ghi dấu trên các hành trình của nó theo công thức như sau:

với ∆ τijk là số lượng các dấu con kiến k thực hiện ghi dấu trên hành trình mà nó đi qua

∆ τijk được định nghĩa như sau:

trường hợp ngược lại

với Ck là độ dài của hành trình Tk được xây dựng bởi con kiến thứ k, được tính bằng tổng chiều dài của các cung thuộc Tk

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] M Dorigo and Thomas Stützle Ant Colony Optimization, papes 17-20 McGraw

Hill, London, UK, 2004

[2] M Dorigo and Thomas Stützle Ant Colony Optimization, papes 70-90 McGraw

Hill, London, UK, 2004

[3] M Dorigo and T Stütxle The ant colony optimization metaheuristic: Algorithms, applications and advances Technical Report IRIDIA/2000-32, IRRIDIA,

Université Libre de Bruxelles, Belgium, 2000