Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên phần 5 doc

Tiếp theo dựa vào biểu diễn trung bình trượt này ta hãy tìm hàm tự tương quan của X n... 2.1.3 Độ đo phổ và mật độ phổTrong tiết này chúng ta sẽ trình bày một đặc trưng quan trọng của dã

Các hệ số h i được xác định truy hồi như sau

h0 = 1

h1 = β1 + α1 = 0, 7 h2 = β2 + α1h1 + α2 = (0, 7)(0, 7) − (0, 1) = 0, 39

i=0

α i z i)

=

∞X

i=0

α i + β

∞X

i=0

α i z i+1

=

∞X

i=0

α i + β

∞X

i=1

α i−1 z i

= 1 +

∞X

i=1

(α i + βα i−1 )z i

= 1 + (α + β)

∞X

α i−1 W n−i

Tiếp theo dựa vào biểu diễn trung bình trượt này ta hãy tìm hàm tự tương quan của (X n ) Nhân hai vế của (2.7) với X n−h ta được

X n X n−h − αX n−1 X n−h = W n X n−h + βW n−1 X n−h

Lấy kỳ vọng hai vế ta được

K(h) − αK(h − 1) = EW n X n−h + βEW n−1 X n−h Với h = 1 chú ý rằng EW k X m = 0 nếu k > m và EW k X k = σ2 ta được

K(1) − αK(0) = βσ2 Cho h = 0 ta được

2.1.3 Độ đo phổ và mật độ phổ

Trong tiết này chúng ta sẽ trình bày một đặc trưng quan trọng của dãy dừng:

Đó là khái niệm độ đo phổ

Định lý 2.11 Giả sử K(h) là hàm tự tương quan của dãy dừng (Xn ) Khi

đó tồn tại và duy nhất một độ đo hữu hạn µ trên [−π, π] sao cho K(h) có biểu diễn tích phân sau

K(h) =

Z π

−π

e ihx dµ(x).

Độ đo µ được gọi là độ đo phổ của dãy dừng X n

Chứng minh Do K(n) là hàm xác định không âm nên với z j = e −ixj ta có

−π e −imx dx = 0 nếu m 6= 0) Gọi µ n là độ đo trên [−π, π] với hàm mật

độ f n (x) Họ độ đo {µ n } là compact yếu nên ta trích ra được một dãy con {µ nk} hội tụ yếu tới độ đo hữu hạn µ Ta chứng tỏ µ là độ đo cần tìm Thật vậy với mỗi m cố định ta có

Chú ý Nếu Xn nhận giá trị thực thì K(h) nhận giá trị thực Khi đó ta

có

K(h) =

Z π

−π cos hxdµ(x).

Nếu độ đo µ tuyệt đối liên tục dµ = f (x)dx thì mật độ f (x) của µ được gọi

là mật độ phổ của X n Trong trường hợp này ta nói X n có phổ liên tục Nhưvậy ta có:

Định nghĩa 2.6 Hàm f (x) được gọi là mật độ phổ của dãy dừng (Xn ) với hàm tự tương quan K(h) nếu f (x) ≥ 0 với mọi x ∈ [−π, π] và

Định lý 2.12 Hàm f (x) không âm xác định trên đoạn [−π, π] là hàm mật

độ phổ của một dãy dừng khi và chỉ khi

Định lý 2.13 Nếu

∞X

|K(h)| < ∞

thì (X n ) có phổ liên tục và mật độ phổ của nó được cho bởi công thức sau

f (x) = 1

2π

∞X

h=−∞

Chứng minh Đầu tiên nhận xét rằng chuỗi (2.8) hội tụ tuyệt đối do đó hàm

f (x) được xác định đúng đắn Với mỗi số m nguyên dương ta đặt

Rõ ràng f m (x) không âm với mỗi m và

f m (x) → 1

2π

∞X

Vậy f (x) là mật độ phổ của dãy X n

Hệ quả 2.1 Một hàm chẵn K(h) khả tổng tuyệt đối

∞X

|K(h)| < ∞

sẽ là hàm tự tương quan của một dãy dừng khi và chỉ khi

f (x) = 1

2π

∞X

h=−∞

Trong trường hợp này f (x) chính là mật độ phổ của dãy dừng.

Chứng minh Điều kiện cần ta vừa chứng minh Giả sử f (x) thoả mãn (2.9).

Do K(h) chẵn nên dễ thấy f (x) chẵn Mặt khác từ công thức (2.9) suy ra

K(h) =

Z π

−π

e ihx f (x)dx.

Từ chứng minh của định lý 2.12 ta suy ra K(h) xác định không âm Vậy

nó là hàm tự tương quan của một dãy dừng

Hệ quả trên cho ta một phương pháp rất hiệu lực để kiểm tra một hàmchẵn khả tổng tuyệt đối có phải là hàm tự tương quan hay không Phưongpháp này tỏ ra đơn giản hơn so với việc kiểm tra tính xác định không âmcủa hàm đang xét Xét ví dụ sau (so sánh nó với ví dụ 2.4)

Ví dụ 2.10 Ta sẽ chứng minh rằng hàm sau đây

là hàm xác định không âm nếu và chỉ nếu |θ| ≤ 1/2 Thật vậy K(h) rõ ràng

là hàm chẵn và khả tổng tuyệt đối Vậy theo hệ quả trên nó sẽ là hàm tự tương quan khi và chỉ khi hàm

f (x) = 1

2π

∞X

h=−∞

e −ihx K(h)

= 1

2π [1 + 2θ cos x]

là không âm với mọi x ∈ [−π, π] Nhưng điều này xảy ra khi và chỉ khi

Vậy µ là độ đo phổ rời rạc của X n

Tổng quát hơn giả sử U1, U2, , U m và V1, V2, , V m là các ĐLNN với

EU k = EV k = 0, EU2

k = EV2

k = σ2

k , EU i U k = 0, (i 6= k), EV i V k = 0 (i 6= k), EU i V j = 0 Xét dãy (X n ) xác định bởi

Ví dụ 2.11 (Mật độ phổ của dãy ồn trắng.) Nếu Wn là dãy ồn trắng với tham số σ2 thì từ công thức (2.8) và biểu thức hàm tự tương quan của nó ( xem ví dụ 2.1) ta suy ra mật độ phổ của nó là

2π (1 − 2p cos x + p

2)−1.

Định lý 2.14 Cho (Xn ) là một dãy dừng với trung bình không và hàm mật

độ phổ là f X (x) Cho dãy số thực (h k ) thoả mãn

X

j∈Z

h j e −ijx

2

f X (x)dx.

Từ đẳng thức cuối suy ra Y n có mật độ phổ f Y (x) là

f Y (x) =

2(1 + βe ix )(1 + βe −ix)

2π(1 − αe ix )(1 − αe −ix)

= σ

2

(1 + 2β cos x + β2)

2π(1 − 2α cos x + α2).

2.1.4 Biểu diễn phổ

Trong mục này chúng ta sẽ chứng minh một định lý cơ bản của dãy dừnggọi là định lý biểu diễn phổ Ta cần một công cụ mới: Tích phân đối với một

độ đo ngẫu nhiên gia số trực giao

Cho đến nay ta mới chỉ xét các đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị thực.Bây giờ chúng ta xét cả các ĐLNN nhận giá trị phức Việc này làm chonhiều công thức trong lý thuyết quá trình dừng trở nên đơn giản hơn Giả sử

(Ω, F , P ) là không gian xác suất cơ bản Ký hiệu L2(Ω, F , P ) là không gian các ĐLNN X nhận giá trị phức sao cho E|X|2 < ∞ Khi đó L2(Ω, F , P ) là

không gian Hilbert với tích vô hướng xác định bởi

a) Với mỗi A ∈ A ta có E|Z(A)|2 < ∞

b) Với bất kỳ hai tập A1, A2 ∈ A rời nhau A1 ∩ A2 = ∅ thì

Z(A1 ∪ A2) = Z(A1) + Z(A2) (P − h.c.c)

Độ đo ngẫu nhiên cộng tính hữu hạn Z được gọi là đọ đo ngẫu nhiên nếu với bất kỳ dãy các tập A1, A2, ∈ A đôi một không giao nhau thì

E

Z

Z(A k ) ,

trong đó chuỗi ở trên hội tụ bptb Đây là tính chất cộng tính đếm được.Tương tự như đối với độ đo thông thường tính chất cộng tính đếm đượccủa độ đo ngẫu nhiên tương đưoưng với tính chất liên tục sau

E|Z(A n )|2 → 0 khi A n &∅ , A n ∈ A

Độ đo ngẫu nhiên Z được gọi là trực giao ( hay là độ đo với giá trị trực giao) nếu với hai tập bất kỳ A1 , A2 ∈ A không giao nhau thì

EZ(A1)Z(A2) = 0 (hoặc EZ(A1)Z(A2) = 0).

Điều này tương đương với: Với hai tập bất kỳ A1, A2 ∈ A thì

EZ(A1)Z(A2) = E|Z(A1 ∩ A2)|2 Đặt m(A) = E|Z(A)|2 ta có m là độ đo hữu hạn Nó được gọi là độ đo cấu trúc của Z Tóm lại ta có định nghĩa sau đây về độ đo ngẫu nhiên trực giao

ứng với một độ đo cấu trúc đã cho

Định nghĩa 2.7 Giả sử (S, A, m) là không gian có độ đo ánh xạ Z : A →

L2 (Ω, F , P ) thoả mãn tính chất sau

a) < Z(A1), Z(A2) >= m(A1 ∩ A2) , ∀A1, A2 ∈ A

b) Với {A n }∞n=1 là dãy các tập đôi một rời nhau thuộc A thì

Cho Z : A → L2(Ω, F , P ) là một độ đo ngẫu nhiên với độ đo cấu trúc m.

Ta xây dựng tích phânR

S f (t)dZ(t) với f ∈ L2(S, A, m) như sau:

Ký hiệu I A là hàm chỉ tiêu của tập hợp A tức là

Tính chất tuyến tính, đẳng cự của I được phát biểu lại thành các tính

chất sau đây của tích phân ngẫu nhiên

Định lý 2.15 Tích phân ngẫu nhiên có các tính chất sau

2 Bảo toàn tích vô hướng

S

f (t)dZ(t)

2

=Z

S

|f (t)|2dm.

4 Liên tục bptb

f n (t) → f (t) trong L2(S, A, m) khi và chỉ khi

Cho Z là độ đo ngẫu nhiên giá trị trực giao trên (S, A) với độ đo cấu trúc

m Với g ∈ L2(S, A, m) ta có thể định nghĩa một độ đo ngẫu nhiên U trên (S, A) như sau

Từ định lý trên ta dễ dàng suy ra U cũng là một độ đo ngẫu nhiên giá trị

trực giao Khi đó ta viết

dU (t) = g(t)dZ(t).

Gọi l là độ đo cấu trúc của U Ta có

l(A) = E

Z

S

I A (t)g(t)dZ(t)

... tức là

Tính chất tuyến tính, đẳng cự I phát biểu lại thành tính< /i>

chất sau tích phân ngẫu nhiên

Định lý 2. 15 Tích phân ngẫu nhiên có tính chất sau... data-page="13">

trong chuỗi hội tụ bptb Đây tính chất cộng tính đếm được.Tương tự độ đo thơng thường tính chất cộng tính đếm đượccủa độ đo ngẫu nhiên tương đưoưng với tính chất liên tục sau

E|Z(A... đo ngẫu nhiên giá trị trực giao (S, A) với độ đo cấu trúc

m Với g ∈ L2(S, A, m) ta định nghĩa độ đo ngẫu nhiên U (S, A) sau

Từ định lý ta dễ dàng suy U độ đo ngẫu nhiên