Báo cáo nghiên cứu khoa học: "TÍNH CHẤT ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ COMPACT CỦA ĐƠN HÌNH CHUẨN TRONG KHÔNG GIAN" ppt

TÍNH CHẤT ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ COMPACT CỦA ĐƠN HÌNH CHUẨN TRONG KHÔNG GIAN lp 0... Cho A là một tập lồi trong một không gian metric tuyến tính X,d, A được gọi là có tính chấ

TÍNH CHẤT ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ COMPACT CỦA ĐƠN HÌNH CHUẨN TRONG KHÔNG GIAN lp (0<p<1)

THE FIXED POINT PROPERTY FOR COMPACT MAPS OF NORMAL

SIMPLEX IN THE SPACE lp(0<p<1)

LÊ HOÀNG TRÍ

Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

TÓM TẮT

Ta đã biết rằng mỗi tập lồi trong không gian topo tuyến tính lồi địa phương đều có tính chất điểm bất động đối với các ánh xạ compact Câu hỏi đặt ra là điều này còn đúng với các không gian topo tuyến tính không lồi địa phương không Bài báo này chỉ ra rằng đơn hình chuẩn trong không gian lp(0<p<1) (không gian topo tuyến tính không lồi địa phương) có tính chất điểm bất động đối với các ánh xạ compact

ABSTRACT

We know that every convex subset in local convex space has the fixed point property for compact maps However, it is not known, whether a convex subset of a non-locally convex space has the property The aim of this paper is to prove that normal simplex in the space l p

(0<p<1) ( non-locally convex space ) has the fixed point property for compact maps

1 Mở đầu

Năm 1951, Dugundji chứng minh rằng mỗi tập lồi trong một không gian metric tuyến tính lồi địa phương là một AR Borsuk chứng minh được rằng mỗi AR là có tính chất điểm bất động đối với các ánh xạ compact Từ đó người ta suy được rằng:

Mỗi tập lồi trong một không gian metric tuyến tính lồi địa phương đều có tính chất điểm bất động đối với mỗi ánh xạ compact Sau đó Mazur và Hukuhara mở rộng kết quả này cho không gian topo tuyến tính lồi địa phương Người ta đặt ra câu hỏi rằng : có phải mỗi tập lồi trong một không gian metric tuyến tính không lồi địa phương có tính chất điểm bất động đối với ánh xạ compact hay không?

Mục đích của bài báo này là chứng minh các đơn hình chuẩn trong không gian lp (0<p<1) đều có tính chất điểm bất động đối với các ánh xạ compact

Không gian lp (0<p<1) là không gian metric tuyến tính không lồi địa phương Trong [3], ta biết rằng mỗi tập lồi giới nội trong không gian lp (0<p<1) đều có tính chất điểm bất động đối với các ánh xạ compact, đơn hình chuẩn là tập lồi không giới nội trong không gian lp

(0<p<1) cũng có tính chất này

2 Kết quả chính

Trước khi chứng minh định lý chính ta nêu và chứng minh một số bổ đề

Bổ đề 1

Cho (X,d) là một không gian metric, f : X X là ánh xạ compact mà không có điểm bất động thì ε >0 : d(x, f(x)) 0 ε ; 0 x X

Chứng minh

Gọi K là một compact trong X mà f (X) K Ta phải chứng minh

ε >0 : d(x, f(x)) ε ; 0 x X (*)

Giả sử ngược lại ε 0, x X : d(x,f (x)) ε;

n , chọn ε 1

1

x X : d(x , f (x )) ; n

n Do {f(xn)} K, do K compact nên

tồn tại dãy con

n m

f (x ) của dãy f (x ) và tồn tại n y0 K :

n

n

lim d(f (x ), y ) 0 (1)

Do d(f (x ), x )n n 1; n

n

n

n

d(f (x ), x ) ; n

lim d(f (x ), x ) 0 (2)

Từ (1), (2)

lim d(x , y ) 0 lim d(f (x ), f (y )) 0 y f (y ) vô lí.

Định nghĩa

Cho A là một tập lồi trong một không gian metric tuyến tính (X,d), A được gọi là có tính chấp nhận được nếu ε 0, với mỗi tập compact K Athì tồn tại hàm

h : K Aliên tục mà d(h(x), x) ε; x Kvà h(K) nằm trong một không gian tuyến tính con hữu hạn chiều của X

Ta có

Bổ đề 2

Cho A là một tập lồi trong một không gian metric tuyến tính (X,d) Nếu A có tính chấp nhận được thì A có tính chất điểm bất động đối với các ánh xạ compact

Chứng minh

Giả sử ngược lại f : A A là ánh xạ compact mà không có điểm bất động ε0 0 :d(f (x), x) ε0; x A

Gọi K là tập compact trong A mà f (A) K

Do A có tính chấp nhận được nên g : K A liên tục mà ε0

d(g(x), x) ; x K

g(K)nằm trong 1 không gian tuyến tính con hữu hạn chiều L của X

g(K) L A L A là tập lồi trong không gian metric tuyến tính hữu hạn chiều L Xét g f | A L:A L A L

Ta biết rằng mỗi không gian metric tuyến tính hữu hạn chiều là một không gian metric tuyến tính lồi địa phương L A là một AR L A có tính chất điểm bất động đối với các ánh xạ compact mà g f | A L (A L) g(K), mà g(K) là tập compact

d(g(f (x )), f (x )) d(x , f (x ))

mà d(x ,f (x ))0 0 ε 0 vô lí 

Trong l (0<p<1), cho

2

3

n

e (1, 0, 0, , 0, )

e (0,1, 0, , 0, )

e (0, 0,1, , 0, )

e (0, 0, ,1, 0, )

Đặt A conv e , e , e , , e , 1 2 3 n , A là đơn hình chuẩn trong l (0<p<1) Ta thấy A là p tập lồi không giới nội và sẽ chứng minh A có tính chất điểm bất động đối với các ánh xạ compact

Định lý

A có tính chất điểm bất động đối với các ánh xạ compact

Chứng minh

Theo Bổ đề 2, ta chỉ cần chứng minh A có tính chấp nhận được

Cho K là một tập compact bất kì trong A

Với mỗi n , x (x , x , , x , )1 2 n K; Ta đặt

p (x) (x , x , , x , 0, 0, );

f (x) (x , x , , x ,1 x x x ,0, )

Trước hết ta có nhận xét rằng: x (x , x , , x , )1 2 n A thì 1 2 n n

n 1

x , x , , x , 0, x 1

Thật vậy cho

q

(q) (q) (q) (q)

x (x , x , , x , ) conv e , e , e , , e ,

mà x(q) x (khi q ) Khi đó x1(q) x , x1 (q)2 x , , x2 (q)n x , (qn )

1 x 0,1 x 0, ,1 x 0,

n , do d(x , x)(q) 0 khi q

p n

(q)

k 1

k {1,2, ,n}, x , x [0,1] x x 1

p

p

n (q)

k 1

Qua giới hạn khi q

n

k

k 1

k 1

x 1

Từ đó f (x) conv e ,e ,e , ,en 1 2 3 n f (K) nằm trong 1 không gian tuyến tính con hữu hạn n chiều của lp và f (K)n conv e ,e ,e , ,e , 1 2 3 n A

Hơn nữa x (x , x , , x , )1 2 n K

p p

d(f (x), x) (1 x x x ) x

cho x(q) (x , x , , x , ) conv e ,e ,e , ,e , mà (q) (q) (q) x(q) x (khi q )

Ta thấy (q) (q)

mà

p

Qua giới hạn khi q n

n 1

n 1

p

k n 1 k n 1 k n 1 k n 1 k n 1

Do đó ta cần chứng minh

0

ε 0; n : d(p (x), x) ε; x K thì A có tính chấp nhận được.Giả sử ngược lại,

p

k n 1

ε 0 : n , x (x , x , , x , x , ) K : d(p (x), x) ε x ε (*)

Sử dụng (*) x(1) (x , x , , x , x(1)1 (1)2 (1)k (1)k 1, ) K mà

p (1)

k 1

x ε Do chuỗi

p (1) k

k 1

x hội tụ nên

1

p (1) 0

k n 1

ε

4



1

p

k n 1

x (x , x , , x , x , ) K : x ε và

2

p (2) 0

k n 1

ε

4 Tiếp tục quá trình này ta tìm được dãy {x }(k) K mà với mọi l>k thì d(x(k),x(l)) 3ε0

4 K không hoàn toàn giới nội K không compact vô lí Vậy định lý được

chứng minh xong 

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] C.Bessaga and A.Pelczynski, Selected topics in infinite dimensional topology, PWN,

Warszawa,1975

[2] J.Dugundji and A.Granas, Fixed point theory I, Warszawa, 1982

[3] Lê Hoàng Trí, "The AR-property of bound convex in the space lp (0<p<1)", Journal of

science and technology, University of DaNang, pp.59-64 , No 1(13), April, 2006