PHÂN LOẠI ĐẲNG CẤU CÁC NHÓM KHÔNG GIAO HOÁN CẤP 20 THE CLASSIFICATION, UP TO ISOMORPHISM, OF THE NON-ABELIAN GROUPS OF ORDER 20 Nguyễn Ngọc Châu Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng
Trang 1PHÂN LOẠI ĐẲNG CẤU CÁC NHÓM KHÔNG GIAO HOÁN CẤP 20
THE CLASSIFICATION, UP TO ISOMORPHISM, OF THE NON-ABELIAN
GROUPS OF ORDER 20
Nguyễn Ngọc Châu
Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng
Nguyễn Văn Bảy
Học viên Cao học khoá 2006 - 2009,
Đại học Đà Nẵng
TÓM TẮT
Bài toán tìm và phân loại tất cả các nhóm có cấp cho trước là một bài toán khó và đến nay vẫn còn là bài toán mở Việc xác định các nhóm cấp thấp có vai trò nhất định trong việc xây dựng các nhóm có cấp cao hơn Để xây dựng một nhóm mới từ hai nhóm bất kỳ G và H, chúng tôi định nghĩa một phép toán hai ngôi trên tập tích Descartes của G và H, sao cho tập tích này trở thành một nhóm, gọi là tích nửa trực tiếp của G và H Như một áp dụng của định lý Sylow
và khái niệm tích nửa trực tiếp của hai nhóm, bài báo này sẽ xác định và phân loại đẳng cấu các nhóm không giao hoán cấp 20
ABSTRACT
The problem of finding and classifying all groups of a given order is difficult, and up to now, there is still an open problem The determination of groups of low order plays a fundamental part in the construction of groups of higher order In order to construct a new group from any two groups G and H, we define a binary operation on the cartesian product of G and
H The resultant group is called the semi-direct product of G and H As an application of the Sylow theorem and the semi-direct product of two groups, in this paper, we will determine and classify, up to isomorphism, the non-abelian groups of order 20
1 Mở đầu
Vấn đề tìm tất cả các nhóm có cấp cho trước là bài toán tổng quát của lý thuyết nhóm hữu hạn và đến nay vẫn còn là bài toán mở Việc xác định các nhóm cấp thấp có vai trò nhất định để xác định và phân loại các nhóm có cấp cao hơn Bài báo này sẽ ứng dụng định lý Sylow, tích nửa trực tiếp của hai nhóm để tìm và phân loại đẳng cấu các nhóm cấp 20
2 Định lý Sylow, tích nửa trực tiếp
2.1 Định nghĩa: Giả sử G là một nhóm hữu hạn và p là một số nguyên tố Một
nhóm con H của G được gọi là p-nhóm con Sylow của G nếu cấp của H là luỹ thừa cao nhất của p mà chia hết cấp của G
2.2 Định lý Sylow:[2] Giả sử G là một nhóm hữu hạn và p là một số nguyên tố chia
hết cấp của G Khi đó:
Trang 2i) Nhóm G chứa ít nhất một p - nhóm con Sylow
ii) Mọi p - nhóm con Sylow của nhóm G đều liên hợp với nhau
iii) Gọi sp là số các p - nhóm con Sylow phân biệt của nhóm G Khi đó s p ≡
1mod(p) và sp chia hết cấp của G
2.3 Mệnh đề:[2] Cho H và Q là hai nhóm và θ: Q → Aut(H) là một đồng cấu nhóm
Khi đó tập hợp {(h, q) | h ∈ H, q ∈ Q} với phép nhân xác định bởi: (h, q)(h', q') = (hθ(q)h', qq') là một nhóm, kí hiệu H⋊θ Q
2.4 Định nghĩa: Nhóm H⋊θ Q xác định trong mệnh đề trên được gọi là tích nửa trực
tiếp ngoài của hai nhóm H và K bởi đồng cấu θ
2.5 Nhận xét:
i) Nếu θ là đồng cấu tầm thường thì tích nửa trực tiếp H⋊θ Q chính là tích
trực tiếp H × Q
ii) Nếu H và Q là hai nhóm giao hoán và θ là đồng cấu tầm thường thì H⋊θ Q
là nhóm giao hoán
Giả sử G = H⋊θ Q , khi đó hai đơn cấu chính tắc:
H h h
h G
H → , a ( ,1Q), ∈ và Q →G, q a (1H , q), q∈Q, cho phép
xem H và Q là hai nhóm con của G
2.6 Mệnh đề:[2] Cho G = H⋊θ Q , khi đó
i) H là một nhóm con chuẩn tắc của G
ii) HQ = G
iii) H ∩ Q = {1G}
2.7 Định nghĩa: Cho G là một nhóm và H, Q là hai nhóm con của G Nhóm G được
gọi là tích nửa trực tiếp trong của H và Q nếu:
i) H chuẩn tắc trong G
ii) HQ = G
iii) H ∩ Q = {1G }
Từ định nghĩa trên ta thấy một tích nửa trực tiếp ngoài cũng là một tích nửa trực tiếp trong, mệnh đề sau sẽ cho ta chiều ngược lại
2.8 Mệnh đề:[2] Giả sử G là tích nửa trực tiếp trong của hai nhóm con H và Q Khi
Trang 32.9 Nhận xét
Mối quan hệ giữa tích nửa trực tiếp trong và tích nửa trực tiếp ngoài của hai
nhóm cung cấp một phương pháp tìm được tất cả ( sai khác một đẳng cấu ) các nhóm G
sao cho G là tích nửa trực tiếp trong của hai nhóm con H và Q xác định nào đó, cụ thể
G = H⋊θ Q, với θ là một đồng cấu từ nhóm Q đến nhóm các tự đẳng cấu Aut(H)
2.10 Mệnh đề:[2] Nếu α ∈Aut(Q) và θ’ = θ° α , thì H⋊θ Q ≅ H⋊θ' Q
Ký hiệu C n là nhóm cyclic cấp n, ta có
2.11 Bổ đề:[1] Nhóm các tự đẳng cấu của nhóm cyclic cấp 5 là nhóm cyclic cấp 4
Nếu C 5 = < a > là nhóm cyclic cấp 5, thì Aut(C5) có 4 phần tử xác định bởi bảng
sau
2.12 Bổ đề:[1] Nhóm các tự đẳng cấu của nhóm C 2 × C2 , là nhóm đối xứng S3 Nếu
C2 × C2 = { 1, b, c, bc }, thì Aut(C2×C2) có 6 phần tử xác định bởi bảng sau
Aut(C2×C2) ϕ ( b ) ϕ ( c ) ord(ϕ)
Trang 43 Xác định và phân loại đẳng cấu các nhóm không giao hoán cấp 20
3.1: Định lý: Mọi nhóm không giao hoán cấp 20 đều đẳng cấu với một trong ba nhóm:
C5⋊θ1C4 , C 5⋊θ2C4 và C 5⋊θ (C2×C2), trong đó
2 , 1 , ) ( :C4= <b> → Aut C5 i =
i
với θ1(b) = ψ2 , θ2(b) = ψ4 , và θ :C2×C2 = <b>×<c> → Aut(C5), với θ(b) =
ψ4 , θ(c) = id ( ψ2 và ψ4 được xác định trong Bổ đề 2.11 )
Chứng minh:
Giả sử G là một nhóm không giao hoán bất kỳ có cấp 20 Khi đó |G| = 2 2 5, theo
định lý Sylow, G có ít nhất một 5 - nhóm con Sylow H cấp 5 và ít nhất một 2 - nhóm con Sylow K cấp 4 Vì |H| = 5 nên H ≅ C5 , và |K| = 4 nên K ≅ C4 hoặc K ≅ C2×C2
Gọi s 5 là số các 5 - nhóm con Sylow của G, theo định lý Sylow ta có s 5 = 1, do đó H
< G Vì G không giao hoán và theo Nhận xét 2.5, Nhận xét 2.9, nên G ≅ H⋊θ K,
với θ là một đồng cấu không tầm thường từ nhóm K đến nhóm các tự đẳng cấu Aut(H) Xét hai trường hợp sau của nhóm K
i) Trường hợp K ≅ C4 Gọi a là phần tử sinh của H và b là phần tử sinh của K
Có đúng ba đồng cấu không tầm thường từ K đến Aut(H) là các đồng cấu xác định bởi
θ1(b) = ψ2 , θ2(b) = ψ4 vàθ3(b) = ψ3 , trong đó ψi, i = 2, 3, 4 là các tự đẳng cấu xác
định trong Bổ đề 2.11
Xét φ∈ Aut(K) xác định bởi φ(b) = b 3 , với mọi a ∈ K, ta có:
(θ3°φ)(b)(a) = θ3(b 3 )(a) = (ψ3oψ3o ψ3) (a) = a 2 = ψ2(a) = θ1(b)(a)
do đó θ1 = θ3 °φ và theo Bổ đề 2.10 ta có C5⋊θ1C 4 ≅ C5⋊θ3C 4 Nhóm này có biểu
diễn là: < a, b / a 5 = b 4 = 1, bab -1 = a 2 >
Nếu θ = θ2 thì G ≅ C5⋊θ2C4 Nhóm này có biểu diễn là:
< a, b / a 5 = b 4 = 1, bab -1 = a -1 >
Trang 5ii) Trường hợp K ≅ C 2×C2 Gọi a là phần tử sinh của H và b, c là hai phần tử
sinh của K Có đúng ba đồng cấu không tầm thường từ K lên Aut(H) là các đồng cấu xác
định bởi:
⎩
⎨
⎧
=
=
id c
b
) (
) ( 1
4 1
θ
ψ
θ
,
⎩
⎨
⎧
=
=
4 2
2
) (
) (
ψ θ
θ
c
id b
và
⎩
⎨
⎧
=
=
4 3
4 3
) (
) (
ψ θ
ψ θ
c
b
Dễ dàng kiểm tra được θ2 =
θ1ϕ3 và θ3 = θ1ϕ2 , với ϕ2, ϕ3 ∈ Aut(C2 C2) trong Bổ đề 2.12 Do đó theo Mệnh đề
2.10, ba nhóm C 5⋊θi (C2× C2), i = 1, 2, 3, đều đẳng cấu nhau và đẳng cấu với nhóm
G = C5⋊θ (C2×C2), với θ(b) = ψ4, θ(c) = id Nhóm này có biểu diễn là:
< a, b, c / a 5 = b 2 = c 2 = 1, bc = cb, bab = a -1 , cac = a >
Từ các quan hệ xác định trong mỗi nhóm, ta dễ dàng tính được cấp của các phần
tử của hai nhóm C 5⋊θ 1C4 , C 5⋊θ 2C4 , và được cho bởi bảng sau:
1 a a 2 a 3 a 4 b b 2 b 3 ab ab 2 ab 3 a 2 b a 2 b 2
a 2 b 3 a 3 b a 3 b 2 a 3 b 3 a 4 b a 4 b 2 a 4 b 3
Tương tự như trên, ta xác định được nhóm C 5⋊θ(C2×C2) có 11 phần tử cấp 2 là
, ,
, a b a bc
c i i i = 0, 1, 2, 3, 4
Trang 6Số phần tử cấp 2 của ba nhóm C 5⋊θ1C4 , C 5⋊θ2C4 và C 5⋊θ (C2×C2) đôi một
khác nhau, do đó chúng đôi một không đẳng cấu nhau
3.2 Hệ quả: Có đúng ba nhóm không giao hoán cấp 20 không đẳng cấu nhau là
C5⋊θ 1C4 , C 5⋊θ 2C4 và C 5⋊θ(C2×C2), trong đóθi:C4= <b> → Aut(C5), i = 1, 2,
với θ1(b) = ψ2 , θ2(b) = ψ4 , và θ :C2×C2 = <b>×<c> → Aut(C5), với θ(b) =
ψ4 , θ(c) = id
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Văn Bảy (2009), Phân loại đẳng cấu các nhóm có cấp n, n ≤ 20, Luận văn
thạc sỹ khoa học, Đại học Đà Nẵng
[2] Milne, J.S (2008), Group Theory, http://www.jmilne.org/math/Course
Notes/GT.pdf