NỘI SUY TAM THỨC BẬC HAI TRÊN MỘT ĐOẠN INTERPOLATING THE POLYNOMIAL OF SECOND DEGREE ON A SECTION Nguyễn Thị Sinh Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng TÓM TẮT Lý thuyết nội suy, đặ
Trang 1NỘI SUY TAM THỨC BẬC HAI TRÊN MỘT ĐOẠN
INTERPOLATING THE POLYNOMIAL OF SECOND DEGREE
ON A SECTION
Nguyễn Thị Sinh
Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng
TÓM TẮT
Lý thuyết nội suy, đặc biệt là nội suy bất đẳng thức là một trong những vấn đề khá mới
mẻ đối với học sinh và giáo viên ở các trường phổ thông trung học Bài báo này trình bày phép nội suy tam thức bậc hai để ước lượng chính nó trên một đoạn Chúng ta biết rằng vấn đề về tam thức bậc hai đã được đề cập từ chương trình phổ thông trung học và luôn nhận được sự quan tâm của học sinh cũng như giáo viên giảng dạy Tác giả của bài báo được trình bày sau đây mong muốn đem lại cho độc giả và những người quan tâm đến tam thức bậc hai một cách nhìn mới cũng như phương pháp giải toán độc đáo với hình thức nội suy trên một đoạn
ABSTRACT
Interpolation theory, especially interpolating inequality is one of the relatively new problems for pupils and teachers in high school This article presents interpolating the polynomial of second degree to estimate itself on a section It is known that the problem of the polynomial of second degree was mentioned from high school and always attracts the attention
of pupils and teachers In this article, the author wants to bring attention to readers and all those who are interested in the polynomial of second degree a new way of observing it and unique methods with a form of interpolation on a section
1 Đặt vấn đề
Xét tam thức bậc hai f x( )= Ax2+Bx C A+ , ≠ ; 0 ∆ = B2−4AC, ta có:
Định lý 1
i) Nếu ∆ <0 thì Af x( ) 0,> ∀ ∈ R x
ii) Nếu ∆ =0 thì Af x( ) 0,≥ ∀ ∈ R Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 2
B
x
A
= −
iii)Nếu ∆ >0 thì ( )f x có hai nghiệm x x x1, 2( 1<x2), trong trường hợp này ( ) 0
Af x < khi x∈( , )x x1 2 và Af x( ) 0> khi x x< hoặc 1 x x> 2
Định lý 2 Điều kiện cần và đủ để tồn tại số α sao cho Af( ) 0α < là ∆ >0 và
x < < trong đó α x x x x1, 2( 1<x2) là hai nghiệm của tam thức ( ) f x
Ta sẽ đi xem xét trong điều kiện nào bất đẳng thức ( ) 0f x ≥ thoả mãn với mọi
x∈ a b ?
Trang 2Ta phát biểu bài toán sau đây:
2 Bài toán
Xét tam thức bậc hai f x( )= Ax2+Bx C A+ , ≠ Cho 0
f a = ≥ , ( )α f b = ≥ , β 0
2
( ) ( )
f a f b
a b
f ⎛⎜⎝ + ⎞ −⎟ ⎜⎠ ⎝⎛⎜ − ⎞⎟⎟⎠ =γ
a) Xác định ( ) f x khi biết , , α β γ
b) Chứng minh rằng ( ) 0 f x ≥ thoả mãn với mọi x∈[ ]a b, khi và chỉ khi γ ≥ 0
Giải
a) Áp dụng công thức nội suy Lagrange (xem [1]) cho tam thức bậc hai f x tại ( ) các nút nội suy 1 , 2 , 3
2
a b
x =a x = + x = , ta có b
( ) 3
3
x x
−
−
ở đây
2
( ) , ( ) ,
a b
f a α f b β f ⎛ + ⎞ γ ⎛ α − β ⎞
= = ⎜ ⎟= + ⎜⎜ ⎟⎟
3
1, 1 1 3
1, 2 2 3
1, 3 3
2
4
2
j
j
j
f x
f x
f x
= ≠
= ≠
= ≠
∏
∏
∏
Vậy
( ) [
]
2
2
1
2
a b
x a x b x a b x a
α
−
⎛ ⎛ − ⎞ ⎞
− +⎜⎜ ⎟⎟ − − + − − −
2
1
−
Trang 3
2 2
2 2
1
4 ( )
1
( )
a b
a b
−
b) Chứng minh f x( ) 0,≥ ∀ ∈x [ ]a b, ( 1)b
0 γ
Giả sử ( 2)b được thoả mãn, theo câu a) f x biểu diễn được dưới dạng ( )
2
1
Suy ra f x( ) 0,≥ ∀ ∈x [ ]a b,
Ngược lại, giả sử ( 1)b được thoả mãn Khi đó ( ) 0 ,f a ≥ f b( ) 0≥ và ( )f x có
thể viết được dưới dạng
f x = mx n+ −K x a x b− − với K ≥0 ( 3)b
Nếu trong ( 3)b ta chọn , ,
2
a b
x ⎧a + b⎫
f a = ma n+ f b = mb n+ ,
và
2
a b
= − ⎢ ⎜⎝ ⎟ ⎜⎠−⎜⎝ ⎟⎟⎠ ⎥= −
Suy ra γ ≥ Bài toán đã được chứng minh0
Kết quả của bài toán được phát biểu bằng định lý sau đây:
Định lý 3 Giả sử f x( )= Ax2+Bx C A+ , ≠ Khi đó bất đẳng thức ( ) 00 f x ≥
thoả mãn với mọi x∈[ ]a b, khi và chỉ khi
( ) 0 , ( ) 0
f a ≥ f b ≥ và
2
( ) ( )
f a f b
a b
f ⎛⎜⎝ + ⎞ ≥ ⎜⎟ ⎜⎠ ⎝⎛ − ⎞⎟⎟⎠
3 Áp dụng
Chứng minh rằng với mọi tam thức bậc hai f x( )= Ax2+Bx C A+ , ≠ ta đều 0
có f x( ) 1,≤ ∀ ∈x [ ]a b, xảy ra khi và chỉ khi f a( ) 1 ,≤ f b( ) 1≤ và
( ) ( )
Trang 4Giải Đặt g x( ) 1= − f x( ) , h x( ) 1= + f x( ).
Khi đó sử dụng kết quả của bài toán trên ta có g x( ) 0 , ( ) 0 ,≥ h x ≥ ∀ ∈x [ ]a b,
khi và chỉ khi f a( ) 1 ,≤ f b( ) 1≤ và
2
2
, ( ) ( )
a b g
a b h
⎨
⎩ nghĩa là
2
2
1
1
a b f
a b f
⎨
⎩
,
hay
( ) ( )
4 Kết luận
Bài báo đã giải quyết được vấn đề là ứng dụng phép nội suy cho tam thức bậc hai để ước lượng chính nó trên một đoạn Kết quả của bài báo cho phép học sinh và các thầy cô có một cách nhìn mới và tổng quát hơn đối với tam thức bậc hai Vấn đề trên còn có thể mở rộng đối với đa thức bậc ba hoặc lớn hơn Đây là nội dung mà tác giả đang nghiên cứu
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Văn Mậu, Các bài toán nội suy và áp dụng, NXB Giáo dục, 2007
[2] Nguyễn Văn Mậu, Đa thức đại số và phân thức hữu tỉ, NXB Giáo dục, 2004 [3] Nguyễn Văn Mậu, Trịnh Đào Chiến, Trần Nam Dũng, Nguyễn Đăng Phất, Chuyên
đề chọn lọc về đa thức và áp dụng, NXB Giáo dục, 2008