M ỘT VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN CÂU HỎI CỦA BING ONE PROBLEM CONCERNING BING’S QUESTION Nguy ễn Hoàng Thành Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng TÓM T ẮT R.H.Bing đã sử dụng một ví dụ về
Trang 1M ỘT VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN CÂU HỎI CỦA BING
ONE PROBLEM CONCERNING BING’S QUESTION
Nguy ễn Hoàng Thành
Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng
TÓM T ẮT
R.H.Bing đã sử dụng một ví dụ về tập liên thông đường X trong 3
¡ và chứng minh tính chất điểm bất động của X trong bài báo c ủa ông trong tạp chí Amer.Math.Monthly 76(1969),119-132 Trong bài báo này ông còn đưa ra một câu hỏi (câu hỏi 5) là liệu tích Descartes Xx[0,1] có hay không tính ch ất điểm động Ngay sau đó W.L.Young đã trả lời khẳng định cho câu hỏi của Bing và Le Hoang Tri đã chứng minh được rằng nếu A là một AR compact thì XxA có tính chất điểm bất động
Bài báo này ch ỉ ra một ví dụ về tập A không là AR có tính chất điểm bất động mà tích Descartes XxA ( trong đó X là tập thiết lập bởi R.H.Bing trong Theorem 14 của [1] ) có tính chất điểm bất động
ABSTRACT
in the American Mathematical Monthly (76-1969, pp119-132) R.H.Bing utilized an
example of an arcwise connected set X in ¡ 3 with a fixed point property In that paper, he poses a question (question 5) if Xx[0,1] has a fixed point property In 1970 W.L.Young gave a positive answer to Bing’s question Le Hoang Tri (1995) proves that if A is a compact AR-space then XxA has a fixed point property This paper gives an example of set A which has a fixed point property but is not an AR And XxA also has a fixed point property
1 Đặt vấn đề
Trong toàn bộ bài báo tập ta qui ước X là tập liên thông đường do Bing thiết lập trong [1] (Hình 1)
Năm 1967 Knill chỉ ra một tập B có tính chất điểm bất động nhưng Bx[0,1] không có tính chất điểm bất động (xem [3])
Trang 2Năm 1969 Bing đã thiết lập một tập X (Hình 1) trong 3
¡ (xem [1]) có tính chất điểm bất động mà X∪D không có tính chất điểm bất động, ở đây D là hình chữ nhật
và X∩D là 1 đoạn Tiếp đó Bing đặt câu hỏi liệu XxI có hay không tính chất điểm bất động với I là đoạn [0,1](xem [1], question 5)
Năm 1970 Young trả lời được câu hỏi của Bing bằng việc chứng minh rằng XxI
có tính chất điểm bất động (xem [5])
Năm 1995 Le Hoang Tri trong [4] đã tổng quát được kết quả của Young với
việc chứng minh định lí
Định lí 1 Nếu A là một AR compact thì XxA có tính chất điểm bất động
Câu hỏi đặt ra ở đây là nếu A không phải là AR thì liệu XxA có hay không tính
chất điểm bất động?
Trước hết ta đi xây dựng tập A (Hình 2)
xπ
dàng có được các kết quả sau
B ổ đề 1 A không phải là một tập liên thông đường và vì vậy nó không phải là
một AR
B ổ đề 2 A có tính chất điểm bất động
2 Gi ải quyết vấn đề
Định lí sau đây là câu trả lời cho câu hỏi đã nêu trong phần đặt vấn đề
Định lí 2 Tồn tại một tập A có tính chất điểm bất động mà không phải là AR và
XxA có tính chất điểm bất động
Chứng minh
Giả sử XxA không có tính chất điểm bất động, khi đó tồn tại một ánh xạ liên tục
Trang 31 1
Kí hiệu p : XxA→ là phép chiX ếu từ XxA lên X, q : XxA→ là phép chiA ếu
từ XxA lên A
Kí hiệu 2
1
p : → , p :2 2 → tương ứng là các phép chiếu từ 2
lên thành
phần thứ nhất và lên thành phần thứ hai
Do (1) nên f (XxA )1 ∩XxA2 ≠ ∅
Vậy ta có f (XxA )1 ∪XxA2 là tập liên thông đường
Giả sử f (XxA )1 ⊄XxA2 Khi đó
f (XxA )∩XxA ≠ ∅
Vậy f (XxA )1 ∪XxA1 là tập liên thông đường
Do (f (XxA )1 ∪XxA )1 ∩(f (XxA )1 ∪XxA )2 ⊃f (XxA )1 nên
(f (XxA )∪XxA )∪(f (XxA )∪XxA ) liên thông đường Từ đó do
(XxA )∪(XxA )=(f (XxA )∪XxA )∪(f (XxA )∪XxA )và do
XxA=XxA ∪XxA nên ta có XxA là tập liên thông đường Suy ra A liên thông đường (vô lí)
Chọn x∈X và một dãy {M }n ⊂A2 sao cho Mn →(0,1)
Hiển nhiên (x, M )n →(x, (0,1))
Vì f liên tục nên f (x, M )n →f (x, (0,1))
Do các phép chiếu là liên tục ta có q f (x, M ) n →q f (x, (0,1)) và
p q f (x, M )→p q f (x, (0,1))
Do (2) ta có p1 q f (x, (0,1))>0
Vậy tồn tại n0∈ sao cho
0
p q f (x, M )>0 Suy ra
0
q f (x, M ) ∈A và vì vậy
0
Giả sử f (XxA )2 ⊄XxA2 Khi đó
f (XxA )∩XxA ≠ ∅
Do đó f (XxA )2 ∪XxA1 là tập liên thông đường
Và do (3) nên f (XxA )2 ∩XxA2 ≠ ∅ suy ra f (XxA )2 ∪XxA2là một tập liên thông đường
Và do (f (XxA )2 ∪XxA )1 ∩(f (XxA )2 ∪XxA )2 ⊃f (XxA )2 nên
(f (XxA )∪XxA )∪(f (XxA )∪XxA ) liên thông đường
Trang 4Từ đó do (XxA )1 ∪(XxA )2 =(f (XxA )2 ∪XxA )1 ∪(f (XxA )2 ∪XxA )2 và do
XxA=XxA ∪XxA nên ta có XxA là tập liên thông đường
Suy ra A liên thông đường (vô lí) Vậy f (XxA )2 ⊂XxA2 (4)
Từ đó f (XxA)=f (XxA1∪XxA )2 ⊂XxA2
Suy ra q f (XxA) ⊂q(XxA )2 Từ đó 1 1 2
1
π
Do XxA là tập compact và p1 là ánh xq f ạ liên tục nên tồn tại
0
P( , 0 ), Q(ε ,sin ) A
π ε ∈ và đoạn [P,Q] trên A Ta th2 ấy do (5) nên
1
p q f (XxA)ε , ][
π
⊂
suy raq f (XxA) ⊂[P, Q] và vì thế f (XxA)⊂Xx[P, Q]
Do Xx[P, Q]⊂XxA2 nên f (Xx[P, Q])⊂Xx[P, Q].Và hiển nhiên vì [P,Q] là đồng phôi với [0,1] nên [P,Q] là AR compact Vậy theo định lí 1 thì Xx[P,Q] có tính
chất điểm bất động Do đó f Xx[P,Q]có điểm bất động suy ra f có điểm bất động.
3 K ết luận
Với kết quả của Knill thì nếu B là tập có tính chất điểm bất động thì chưa chắc BxA với A là một AR đã có tính chất điểm bất động Với tập liên thông đường X mà Bing nêu ra thì XxA trong đó A là một AR compact là có tính chất điểm bất động Bài báo này đã chỉ ra được một ví dụ về tập A không phải là AR mà tích Descartes XxA (trong đó X là tập do Bing thiết lập) có tính chất điểm bất động
[1] R.H.Bing, The elusive fixed point property, The Amer.Math.Monthly.76,
pp119-132, 1969
[2] J Dugundji and A.Granas, Fixed point theory, Springer, 2003
[3] R.J.Knill and Cones, Product and fixed point Fund Math 60, pp 35-46, 1967
[4] Le Hoang Tri, On Bing's question about fixed point property Acta Math Vietnam
20
[5] W.L.Young, A product space with the fixed point property, Proc Amer Math
Soc 25, pp 313-317, 1970
, no 2, 257-264, 1995